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Full text of "Física Elemental"

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FÍSICA 

ELEMENTAL 


POR EL DOCTOR 

ENRIQUE LOEDEL PALUMBO 

Profesor de física en los colegios secundarios 7 en la Facultad de Ciencias Fisicomatemáticas 
de la Universidad Nacional de La Plata. Profesor de metodología 7 encargado de dirigir 
la práctica pedagógica de los alumnos del profesorado en matemáticas 7 física 
de la misma Universidad. 


Responde a los programas de enseñanza media 
( Colegios Nacionales, Escuelas Normales, etc.) 

SEXTA EDICIÓN 

(Reimpresión de la primera edición, aprobada 
por el Ministerio de J. e Instrucción Pública i 



ANGEL ESTRADA & Cía. S. A. - Editores 
BOLIVAR 466 BUENOS AIRES 




Régimen Legal de la Propie- 
dad Intelectual. Ley Í1.72S. 



A mi primera maestra , la ex 
directora de una simpática y 
. lejana eseuelita rural , señora 

Emilia falumbo de Loedel 



PRÓLOGO 


El deber primordial del autor de un libro destinado a la ense- 
ñanza de una disciplina científica, es expresarse con claridad, y 
sencillez, amoldándose a la mentalidad del lector a quien va 
dirigido. Para lograr esto, busqué mis colaboradores entre los 
centenares de mis ex alumnos que, al evocarlos, desfilaban ante 
mi mesa de trabajo, confiándome, unos, lo que nunca habían 
logrado comprender ; otros, lo que comprendieron sólo a medias; 
repitiendo, todos , las preguntas que habían formulado en las 
más diversas ocasiones. Ellos, en su calidad de auténticos repre- 
sentantes de las generaciones futuras, estuvieron a mi lado en 
forma permanente durante mi labor, tile obligaron a rehacer 
gran parte de la obra más de una vez; a revisar las definiciones 
corrientes de muchas magnitudes físicas fundamentales; a inter- 
calar buen número de problemas con su solución explicada, mos- 
trándose particularmente exigentes con el material gráfico del 
texto. Quisieron, en efecto, que los triángulos semejantes de las 
figuras demostrativas se destacaran a la primera ojeada; que se 
distinguiera siempre, al primer golpe de vista, la resultante 
de las componentes de un sistema cualquiera de fuerzas; 
que .los rayos de luz o las líneas de fuerza de un campo eléctrico 
se diferenciaran de otros trazos auxiliares del dibujo, etc. Para 
satisfacer estas exigencias hice varios ensayos. Los dibujos en 
varios colores no resultaban, porque en las figuras de precisión, 
como son las del vernier, las de estática, las de óptica, etc., era 
sumamente difícil lograr una coincidencia perfecta entre las di- 
versas impresiones. Se me ocurrió entonces adoptar en todos los 
casos el sistema que podría llamarse “ pseudo - cromático ” y que 
ya había sido ensayado por el profesor De Luca y por mí en 
otra oportunidad. Además, inducido siempre por ellos, tomé gran 
cantidad de fotografías en el laboratorio de física del Colegio 
Nacional de La Plata, de las cuales utilicé, finalmente, sólo una 
mínima parte, pues, cuando las fotos no resultaban suficiente- 
mente claras, me instaban a reemplazarlas por dibujos, no habien- 
do permitido, en ningún caso, que utilizara grabados de otros 



X 


Prólogo 


textos o catálogos. Presionaban en tal forma sobre mi ánimo , 
que a causa de ellos, el dibujante señor José Palma tuvo que 
repetir numerosas figuras más de una vez, lo que hizo siempre 
de buen grado, con entusiasmo y desprecio del tiempo, logrando 
así volcar en el esquema más frío, algo de su espíritu de artista. 

Fue cediendo al clamor de los más estudiosos y entusiastas 
de ellos, que intercalé en el texto, con frecuencia, párrafos cuyo 
contenido excede a las exigencias mínimas de los programas ofi- 
ciales de enseñanza media, y que he señalado por esa razón, con 
un asterisco. Ellos quisieron también que les presentara una 
visión panorámica de la física teórica de nuestros días, conven- 
ciéndome, con irrefutables argumentos, que tienen el derecho 
de que se les diga en un lenguaje llano, sin engorrosas fórmulas 
matemáticas, cuáles son las ideas fundamentales de la teoría de 
la relatividad o las de la mecánica cuántica. Por artículos que 
aparecen de tanto en tanto en los periódicos corrientes, todo el 
mundo culto se ha enterado, por ejemplo, que el principio de 
causalidad ha hecho crisis en la física moderna. El rumor que 
esto despierta, llega hasta la conciencia del autor de un texto 
elemental, como un eco de la histórica frase: “¡El pueblo quiere 
saber de qué Be trata!”. Por ello, agregué un apéndice en el 
cual procuré abrir de par en par las puertas del recinto donde 
los Planck, los Einstein, los Bohr, los de Broglie, Ips Schroe- 
dinger, los Heisenberg, etc., construyen la física del futuro. 
Espero así, que “el pueblo”, que no posee las afiladas armas del 
cálculo tensorial y de matrices, perciba por lo menos el resplan- 
dor que se produce cuando, con recios golpes de maza, los titanes 
tratan de hacer encajar en abstractos moldes matemáticos la 
variedad infinita de datos que, sin cesar, aportan al taller de la 
ciencia la pléyade incontable de físicos experimentales contem- 
poráneos. 

Claro está, que considero fuera de lugar se trate en clase lo 
referente a esos asuntos de física teórica, creyendo que no es 
oportuno todavía exigir a los alumnos de enseñanza media, un 
estudio, por somero que sea, sobre la relatividad o el principio 
de Heisenberg. La lectura de esa parte del texto debe ser entera- 
mente voluntaria. Creo en cambio, que alguna que otra lección 
sobre el movimiento perpetuo, probabilidad y estadística, aparte 
del interés que despiertan esos tópicos, serán de sumo provecho, 
pues la imposibilidad del movimiento contiguo de primera y 
segunda especie traduce, en la forma más clara y adaptada a la 



Prólogo 


XI 


mentalidad de los jóvenes, el verdadero contenido de los prin- 
cipios de conservación y degradación de la energía. 

El cuadro histórico ilustrado, puesto al comienzo del texto , 
no es un adorno; juzgo de la mayor importancia cultural que el 
alumno aprenda a ubicar en el tiempo, poco a poco , ios hechos 
más salientes de la historia de la ciencia. 

Los originales de esta obra fueron revisados minuciosamente 
por mi excelente amigo el señor Werner Schiller ; con él he 
discutido punto por punto todo el contenido del texto, debién- 
dole a su vasta ilustración científica y agudo espíritu crítico, un 
sinnúmero de mejoras fundamentales. Me ayudó también en la 
pesada tarea de la corrección de pruebas , empeñándose en lograr 
lo que parece imposible: que aparezca el libro, desde la primera 
edición, sin ninguna errata. 

Finalmente, constituye para mí un placer, dejar constancia 
de mi agradecimiento hacia la casa editora, la que, con amplio 
espíritu liberal, puso a mi disposición todos sus recursos para 
que este libro tuviera una presentación adecuada. 

Enrique Loedel Palumbo. 


Febrero de 1941 





CAPÍTULO I 


INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA FÍSICA 


1. Materia. — Los cuerpos que nos rodean : esta mesa, aquel 
banco, el Sol, las estrellas, nuestro propio cuerpo, constituyen lo 
que llamamos el mundo exterior. A los cuerpos los suponemos cons- 
tituidos por algo que denominamos materia. 

Extensión. — Todos los cuerpos ocupan cierto volumen o lo 
que es lo mismo cierto lugar en el espacio. 


2. Dilatación. — El volumen de todos los cuerpos puede hacerse 
variar sometiéndolos a diversas acciones. Sólidos, líquidos y gases 
se dilatan cuando se les calienta. La dilatación térmica se comprueba 
fácilmente en los sólidos por medio del conocido experimento de 
Gravesande: una esfera de metal que pasa en forma ajustada por 
un anillo (fig. 1) no puede pa- 
sar por el mismo después de 
haber sido calentada. 

En los líquidos la dilatación 
que experimentan por la acción 
del calor se comprueba en la 
forma que indica la figura 2. 

El líquido que llena totalmente 
el recipiente, y que puede ser 
agua, asciende por el tubo cuan- 
do se le calienta. Este experi- 
mento prueba al mismo tiempo 
que la dilatación del líquido ha 
sido mayor que la experimen- 
tada por el recipiente. 

Los gases se dilatan bajo la 
acción del calor mucho más que 

los sólidos y líquidos. Para comprobarlo basta tomar un matraz de 
vidrio lleno de aire con un tapón atravesado por un tubo doble- 
mente curvado (fig. 3) que contiene algo de agua. Basta el calor 
de las manos para observar, por el movimiento del agua del tubo, 
la dilatación experimentada por el aire. 



Fig. 1. — Dilatación de sólidos. 



2 


E. Loedel 



3. Cambios de estado. — Por simple observación sabemos que 
una misma substancia puede presentarse en estado sólido, líquido 

■■ o gaseoso. El caso más corriente es el del 

agua, que al ser enfriada se solidifica, for- 
mando hielo, y que al calentarse se trans- 
forma en vapor de agua. Este vapor, en 
contacto con una pa- _ • 

red fría se condensa 
y se convierte nue- 
vamente en líquido. 

Poniendo unos Jjhl 

trozos de naftalina 11^ %J) 

en un tubo de ensa- J 

yo, es fácil observar, 1 

aproximando el tubo 
a una llama, el pa- ¡/ ' 

del estado sólido Y 
al líquido, llamado j 

del estado líaui - 

Fig. 2. — Dilatación de ^ Fig. 3. — Dilatación de 

líquidos. do al de vapor 9 lia • gasea. 

mado vaporización. 

Los vapores de naftalina se desprenden primero, únicamente de 
la superficie del líquido, y a este modo de vaporización se le llama 
e v — evaporación. Se observa que si se si- 

\ gue calentando el tubo se forman bur- 

bujas en todo el seno del líquido, que 
se desprenden a través de la superficie 
// rt/ del mismo. Este modo de vaporización 

i /s Ui se llama ebullición. Cuando la ebulli- 

produce se dice que el líquido 


cion se 

I fif 'S / / f\ / La condensación de los vapores 

de naftalina se observa igualmente, 
haciendo que aquéllos incidan sobre 
una lámina fría de vidrio (fig. 4), 
Ufe viéndose de inmediato también, el 

Fig. 4. — Cambio» de estado. pasaje del estado líquido al sólido o 

sea la solidificación que es lo inverso 
de la 'fusión. Fundiendo una substancia y colocándola en moldes 
apropiados ésta adquiere, al solidificarse, la forma de los mismos. 



Física Elemental 


3 


4. Termómetro. — Aprovechando la dilatación térmica se cons- 
truyen aparatos llamados termómetros, que sirven para apreciar si 
un cuerpo está más o menos caliente, o más o menos frío. 

Un tubo de vidrio de muy pequeño ‘diámetro, llamado por eso 
capilar, con un ensanchamiento en uno de sus extremos (bulbo) 
contiene cierta cantidad de mercurio. El otro extremo del 
tubo está cerrado y en el interior del mismo no hay aire 
(fig. 5). 

El aparato así construido, aun sin estar graduado, pue- 
de servir para indicarnos si la temperatura de un cuerpo 
aumenta, disminuye o permanece constante , ya que el mer- 
curio del tubo capilar subirá, bajará o permanecerá al 
mismo nivel, respectivamente. Se constata así, poniendo 
el termómetro en contacto con una substancia en fusión, 
que mientras dura ésta la temperatura 
permanece constante, pues el nivel al- 
canzado por el mercurio del termó- 
metro no varía desde el comienzo hasta 
el fin de la misma. 

Se comprueba en forma análoga, 
que también durante la ebullición la 
temperatura no varía. 

5. Escala termométrica. — Colo- 
cando el termómetro en hielo en fusión 
(fig. 6) se indica con cero (0 o ) la 
posición en que se estaciona el mer- 
F¡g. 5. — curio del tubo. 

«ro. Se le lleva luego al interior de un 

recipiente en el que se hace hervir 
agua pura y se marca con cien (100°) el lugar 
de estacionamiento del mercurio (fig. 7). Se 
divide luego la columna termométrica en cien 
partes iguales, pudiéndose prolongar las divi- 
siones por arriba del punto cien y por debajo 
del cero (fig. 8). 

Esta escala de temperatura es la llamada centígrada o Celsius. 

6. Fenómeno. Observación y experimentación. — Cualquier 
cambio que acaece en el mundo exterior lo designamos con el nom- 
bre de fenómeno. Hemos visto hasta ahora el fenómeno de la dila- 



Fig. 6. — Punto cero. 



4 


E . L O E D E L 


tación térmica, el de la fusión, etc. Éstos son ejemplos de fenó- 
menos físicos. 

El conocimiento de que el agua puede presentarse en estado só- 
lido, líquido o de vapor se logra por la simple observación de fenó- 
menos que suceden sin la intervención de nuestra voluntad. Para 

conocer más profundamente un fenómeno o 
'grupo de fenómenos, el hombre los produce 
■artificialmente, variando sistemáticamente las 
circunstancias que acompañan a aquéllos. Se 
dice entonces que realiza experimentos. En los 
párrafos que preceden hemos mencionado ya 
algunos experimentos sencillos, que han sido 
el origen de importantes conocimientos. 

7. Leyes. — Una ley física es una proposi- 
ción que establece cierta dependencia entre 
varios fenómenos. Hemos enunciado ya varias 
leyes: Los cuerpos se dilatan al ser 
calentados ; mientras dura la fusión > 
la temperatura no varía , etc. 

El conocimiento de las leyes 
permite prever lo que ocurrirá en 
determinadas circunstancias. Apli- 
éando leyes físicas que han sido 
obtenidas experimentalmente, es 
que el ingeniero puede calcular de 
antemano la resistencia de un puen- 

Fi s . 7. — Panto. cien. te, la estructura de un edificio, etc. 

8. Principios. — Algunas leyes gozan de un carácter 

muy general y son aplicables a los fenómenos más diver- 
sos. Por esta razón y por considerárselas como piedras 
fundamentales del edificio de la ciencia reciben el nom- 
bre de principios. Así, por ejemplo, el llamado principio 
de la conservación de la energía se aplica a los fenó- ^ cala 8 ter . 
menos mecánicos, calóricos, eléctricos, etc. mométrica. 

9. Inducción y deducción. — De la multiplicidad incontable de 
fenómenos o hechos individuales se pasa al enunciado de leyes, 
y de éstas a los principios. 

El procedimiento que permite pasar de lo particular a* lo gene- 
ral se conoce con el nombre de inducción. 




Física Elemental 


5 


Inversamente, una vez establecidos los principios más generales, 
pueden deducirse de éstos leyes particulares y llegar así, por vía 
deductiva, hasta los hechos. 

El método que siguen todas las ciencias en sus búsquedas, y en 
particular la física, es esencialmente inductivo. El propulsor de este 
método de investigación fué, sin duda alguna, Galileo. 

10. Hipótesis y teorías.- — Para interpretar algunos fenómenos 
el hombre se encuentra en la necesidad de hacer ciertas suposiciones 
o hipótesis. De la hipótesis hecha se deben poder deducir, o lo que 
es lo mismo, explicar, todo un conjunto de fenómenos. Cuando esto 
sucede se dice que la hipótesis es plausible. Con el nombre de teoría 
se designa una hipótesis que ha resultado plausible y también al 
conjunto de principios generales que explican o pretenden explicar 
determinado grupo de fenómenos. Con el solo objeto de fijar ideas 
damos a continuación una reseña de los resultados de la teoría 
atómica. 


CONSTITUCIÓN DE LA MATERIA 

11. Moléculas. — Como el volumen de todos los cuerpos puede 
hacerse variar por la acción de fuerzas exteriores y también por la 
acción del calor (2) haremos la hipótesis, para explicar esto, de que 
todos los cuerpos están formados por partículas muy pequeñas 
separadas entre sí. Al variar las distancias entre las partículas el 
volumen ocupado por el cuerpo varía. A estas partículas las desig- 
namos con el nombre de moléculas. A las fuerzas que mantienen 
unidas las moléculas de los cuerpos se las llama fuerzas de 
cohesión. 

12. Átomos y moléculas. — Si las moléculas existen, como esta- 
mos suponiendo, deben ser muy pequeñas. No se las puede ver, en 
efecto, ni aún con los microscopios más potentes. Consideremos un 
centímetro cúbico de agua: cuando se convierte en vapor ocupa un 
volumen de unos 1 500 centímetros cúbicos (un litro y medio) ; si 
se le hace condensar sobre láminas de vidrio podría empañar fácil- 
mente una superficie de más de 3 000 metros cuadrados. Esto nos 
muestra que el número de moléculas contenidas en una pequeña 
gota de agua debe ser realmente enorme. 

¿Podrán dividirse las moléculas en porciones aún más pequeñas? 

Para contestar esta pregunta realizaremos el experimento si- 
guiente: Coloquemos en un recipiente agua acidulada o sea agua 



6 


E. Loedel 


común con algo de ácido, sulfúrico por ejemplo, disuelto en ella. De 
paso constataremos que se trata de agua acidulada viendo cómo se 
enrojece un papel de tornasol al ser introducido en la misma. Haga- 
mos pasar por el agua acidulada una corriente eléctrica utilizando al 
efecto un acumulador o pilas en la forma que indica la fig. 9. Apenas 

se establece la corriente observaremos 
que de los llamados electrodos se des- 
prenden burbujas gaseosas. Estos ga- 
ses se recogen en dos tubos de ensayo 
obteniéndose en uno hidrógeno y en 
el otro oxígeno ; ambos pueden reco- 
nocerse fácilmente introduciendo en 
los mismos el extremo en ignición de 
una varilla de madera. El hidrógeno 
producirá una pequeña explosión y el 
oxígeno avivará la llama. 

Estos dos gases se han obtenido del 
agua; luego, debemos suponer que las 
moléculas de agua están constituidas 
por partículas aún más pequeñas, lla- 
madas átomos, de hidrógeno y oxí- 
geno. Para explicar cuantitativamente este fenómeno así como el 
comportamiento químico del agua debe admitirse que la molécula 
de la misma está formada por dos átomos de hidrógeno y uno de 
oxígeno (fig. 10). 

13. Número, tamaño y peso de los átomos. — Los cientos de 
miles de substancias que conoce la química actual no son más que 
combinaciones de unos noventa cuerpos simples o 
elementos. En otros términos: todas las moléculas 
están formadas por agrupaciones de átomos. 

La molécula de hidrógeno está formada por dos 
átomos iguales (H 2 ) ; la de ácido sulfúrico por un 
átomo de azufre (S) cuatro de oxígeno (O) y dosí 
de hidrógeno (H) : (SO4H2). En cambio la molécula ](J _ V)u 

de helio (He) está formada por un solo átomo: es lécula de agua, 
monoatómica. La del benceno, por seis átomos de 
carbono (C) y seis de hidrógeno (H) : (CcH c ), etc. 

Por procedimientos diversos se ha encontrado que el número de 
átomos existentes en 1 gramo de hidrógeno es: 

N = 6 X 10 23 ; 





Física Elemental 


7 


o sea 6 seguido de 23 ceros. Este número expresa también el número 
de átomos contenidos en 16 gramos de oxígeno , o 35,5 gramos de 
cloro, etc., o sea en lo que se llama átomo gramo, que no es otra 
cosa que el peso atómico expresado en gramos. En cuanto al tama- 
ño de los átomos, se sabe hoy, que pueden asimilarse a esferas 
de diámetro igual a un cien millonésimo de centímetro (fig. 11). 

Conociendo el número de 
átomos contenidos en el áto- 
mo gramo (número llamado 
de Avogadro) es fácil hallar 
el peso de los mismos. 



14. Constitución de los Fie - átomo - 

átomos. — Los átomos se 

comportan como partículas indivisibles en todos los procesos quí- 
micos y de ahí su nombre. Sin embargo, para explicar infinidad 
de fenómenos, se admite hoy que los átomos tienen una estructura 
compleja y que se parecen a minúsculos sistemas planetarios. 

El átomo de hidrógeno estaría constituido por un núcleo cen- 
tral con una carga eléctrica positiva y un único electrón que gira 
alrededor de aquél (fig. 12). El electrón tiene una carga negativa 
y su peso es insignificante en comparación al peso del átomo. Se 
ha medido en efecto la masa de los electrones y se ha encontrado 
que es 1850 veces menor que la masa de un átomo de hidrógeno. 

Al núcleo del hidrógeno se le llama protón. 

El átomo de helio está formado por dos 
electrones que giran alrededor de un núcleo 
que tiene dos cargas positivas y una masa 
aproximadamente igual a cuatro o sea equi- 
valente a la de cuatro átomos de hidrógeno. 

El átomo de oxígeno (fig. 13) es un 
sistema planetario más complicado pues tiene 
8 electrones, y el ' uranio, el más complejo 
. , de todos, tendría 92 electrones planetarios. 

Fig. 12. — Átomo de ’ r 



hid 


rogeno. 


15. Los núcleos atómicos. — Los núcleos 
de los átomos pueden asimilarse a esferas de diámetro diez mil veces 
menor que el del átomo entero. A pesar de ello, en estos núcleos 
atómicos de pequeñez inconcebible, tendrían lugar procesos muy 
complejos que dan origen al fenómeno de la radiactividad. Para 
explicar estos fenómenos se admite en la actualidad que los núcleos 
atómicos están constituidos por neutrones y protones. Los neutrones 


8 


E. Loedel 


son partículas sin carga eléctrica y de masa igual a la del protón 
o sea a la del átomo de hidrógeno. 

Se conocen en la actualidad dos núcleos de hidrógeno diferen- 
tes, uno formado por un protón y otro, el del hidrógeno pesado , de 
peso atómico 2. llamado dentón , formado por la asociación de un 

protón con un neutrón. 

El núcleo del helio estaría 
formado por dos neutrones y 
dos protones, etc. 

Además de los protones , neu- 
trones y electrones se conside- 
ran actualmente, porque la ex- 
periencia así lo ha revelado, 
partículas llamadas positones en 
un todo análogas a los electro- 
nes pero con cargas eléctricas 
positivas. Los mesones son par- 
tículas neutras de masa interme- 
dia entre la de los protones y 
los electrones. Se considera que 

Fig. 13. — Átomo de oxígeno. la masa de un “mesón” (del 

griego mediano) es igual a unas 
200 veces la masa de un electrón. Según la concepción actual, los 
átomos de todos los elementos estarían formados por las mismas 
partículas básicas, lo que se ha comprobado transformando por pro- 
cedimientos especiales, unos átomos en otros. En esto consiste la 
llamada transmutación de los elementos. 

El primero en lograr una transmutación de un elemento en otro 
fué lord Rutherford quien en 1919, haciendo chocar núcleos de 
helio (partículas alfa) sobre átomos de nitrógeno, obtuvo átomos 
de oxígeno y de hidrógeno. Debemos advertir que hoy es posible 
transmutar, unos en otros, a todos los elementos conocidos pero en 
cantidades completamente insignificantes. 




CAPÍTULO II 


MAGNITUDES Y MEDIDAS 

16. Magnitudes escalares y vectoriales. — Se dice que una mag- 
nitud es escalar cuando queda completamente determinada por el 
número que expresa su medida en determinada unidad. 

El volumen, la longitud, el tiempo, etc., son magnitudes escala- 
res. Un intervalo de 3 horas queda perfectamente determinado por 
el número 3 y la unidad de tiempo que ha sido en este caso la hora. 

En cambio, si digo que la fuerza que ejerzo sobre un cuerpo es 
de 5 kilogramos, no queda con ello del todo determinada esa mag- 
nitud; pues falta conocer todavía además del punto de aplicación, 
la dirección y el sentido. Estas magnitudes se llaman vectoriales y 
se representan por un vector. Velocidad, aceleración, fuerza, etc., son 
ejemplos de magnitudes vectoriales que estudiaremos más adelante. 

17. El metro. — La unidad fundamental de longitud en el sis- 
tema métrico decimal es el metro, que aproximadamente, es igual a 
la diez millonésima parte de un cuarto de meridiano terrestre. Exac- 



Fig. 14. — El metro patrón, sus estuches y la sección del mismo. 


tamente se le define así : metro es la distancia entre dos trazos mar- 
cados en una regla de platino iridiado (cuando su temperatura es 
de cero grado centígrado) que se llama metro patrón. Esta regla 
(fig. 14) se conserva en la oficina inlernacional de pesas y medidas 
de Sévres, localidad próxima a París. 



10 


E. Loedel 


Cuando se construyó el metro patrón se pretendió hacerlo igual a la diez- 
millonésima parte del cuadrante de meridiano, pero en las medidas geodésicas 
llevadas a cabo con ese objeto se cometieron pequeños errores. Por esa circuns- 
tancia la longitud de un meridiano terrestre es en unos 7 500 metros superior 
a los 40 millones. El metro patrón ha resultado pues, unas dos décimas de milí- 
metro más corto que la cuarenta millonésima ava parte del meridiano terrestre" 
(fig. 15). 


Los múltiplos y submúltiplos del metro son: 


Kilómetro 

Km 

= 1 000 m. 

decímetro 

dm 

= 0,1 m. 

Hectómetro 

Hm 

= 100 „ 

centímetro 

cm 

= 0,01 „ 

Decámetro 

Dm 

= 10 „ 

milímetro 

mm 

= 0,001 „ 


Para medidas muy pequeñas' se emplea el micrón (p) que es 
la milésima parte del milímetro y también el milimicrón (m/x) que 
es la milésima parte del micrón. 


18. Unidades derivadas de superficie y volumen. — Un cua- 
drado de lado igual a un metro tiene una superficie de un metro 



Fig. 15. — El metro y la Tierra. Fig. 16. — Radián. 


cuadrado (unidad de superficie). Análogamente la unidad de volu- 
men es el metro cúbico , igual al volumen de pn cubo cuya arista 
es de un metro. 

Recordaremos las equivalencias siguientes: 

1 m 2 = 100 dm 2 1 m 3 = 1 000 dm 3 

1 dm 2 = 100 cm 2 1 dm 3 = 1 000 cm 3 

19. Medida de ángulos en radianes. — Se dice que un ángulo 
tiene una medida de un radián cuando el arco de circunferencia con 
centro en el vértice del mismo, tiene una longitud igual al radio 
(fig. 16). Como la longitud de la circunferencia es igual a 2ttR, 



Física Elemental 


11 


el radio R cabe en ella 2v veces. Luego 360° equivalen a 2ir radia- 
nes, por lo cual: 

360° 


1 radián = =*57°17’45”. 

2 77 



Kig. 17. — Verolcr. 

Se obtienen de inmediato las equivalencias siguientes: 

180° = 7 t radianes 

7T 

90° = — „ 

2 

77 

I o = = 0,01745 radianes. 

180 

La ventaja de expresar los ángulos en radianes radica en que: 
la longitud de un arco de circunferencia es igual al radio de la 
misma por el valor angular de dicho arco expresado en radianes. 



Fig. 18. — Vernier. Lectura: 5,4. 


20. Vernier. — La mayor parte de los aparatos de medición 
están provistos de un dispositivo inventado por Pedro Vernier 
(1580- 1637) con el cual se logra mayor precisión en las medidas. So- 
bre la regla principal (fig. 17) se desliza una reglilla dividida en par- 


12 


E. L O E D E L 


tes iguales de modo que diez divisiones de ella correspondan a sólo 
nueve de la regla principal. Las divisiones de la reglilla móvil están 

separadas entonces 
por una distancia 
igual a nueve déci- 
mos. Consideramos 
como unidad la dis- 
tancia entre dos di- 
visiones de la regla 
principal. 

El cuerpo de la 
figura 18 se ve que 
tiene una longitud 
igual a 5,4, pues 
la cuarta división 
de la reglilla, lla- 
mada propiamente 
vernier, coincide con una de las divisiones de la regla principal (con 
la 9). Luego la línea 3 del vernier y la 8 de la regla distan en 0,1; 
la 2 de la 7 en 0,2; la 1 de la 6 en 0,3; y finalmente la división 
cero del vernier distará de la división 5 de la regla en 0,4. 

Si se hubiera dividido el vernier en 20 partes, correspondientes 
a 19 unidades, se alcanzaría una aproximación del vigésimo. En 
los calibres (fig. 19) un vernier dividido en 10 partes que abarcan 
9 milímetros permite apreciar hasta el décimo de milímetro. 

Para la medida de ángulos se usan vernieres circulare^. 




Fig. 20. — Tornillo micromctrico. 


21. Tornillo micrométrico. Palmer. — Paso de un tornillo es 
lo que avanza en el sentido del eje cuando se le hace, girar una vuelta 



Física Elemental 


13 


completa. Si suponemos un tornillo cuyo paso constante sea igual 
a un milímetro, provisto de un tambor dividido en 100 partes (fig. 
20), podremos apreciar con él hasta el centésimo de milímetro, co- 
rrespondiente a un centésimo de vuelta. El Palmer no es más que 
un tornillo micrométrico dispuesto para medir espesores de láminas, 
diámetros de alambres, etc. 

FUERZAS. GRAVEDAD. PESO 

22. Fuerza. — El esfuerzo muscular que debemos hacer para 
estirar un resorte, sostener un cuerpo pesado, etc., nos da una noción 
intuitiva de lo que llamamos fuerza. 

Peso. Su medida. — Colocando en el platillo suspendido de un 
resorte como indica la figura 21, cuerpos diversos, observamos que, 
en general, ocasionan estiramientos diferentes. Dos ruernos tienen 
igual peso si producen alargamientos iguales. 

Con varios cuerpos de igual peso puede gra- 
duarse la escala, colocando en el platillo, su- 
cesivamente, uno, dos, etc., de esos cuerpos. 

La unidad técnica de peso es el kilogramo, 
que es el peso de una pesa de platino iridiado 
llamada kilogramo patrón que se conserva en 
la oficina internacional de pesas y medidas de 
Sévres. Un kilogramo (Kgr) es igual a 1 000 
gramos (gr). 

El peso de un cuerpo varía algo con la altura y la 
latitud del lugar, como veremos más adelante, por lo 
cual, se ha convenido en llamar kilogramo a lo que 
pesa el kilogramo patrón al nivel del mar y a la lati- 
tud de 45°. 

El kilogramo es, con mucha aproximación, 
igual al peso de un dm 3 de agua destilada a 
la temperatura de cuatro grados centígrados. 

La posición de un hilo que sostiene un peso 
(fig. 22) determina la vertical o dirección de Fig. 21. — Medida del peso, 
la fuerza de gravedad. Aproximadamente la ver- 
tical de un lugar coincide con la dirección del radio terrestre que 
pasa por el lugar considerado (fig. 23). Por lo tanto los cuerpos, 
por su peso, tienden a dirigirse hacia el centro de la Tierra. Pode- 




14 


E. Loedel 


mos, pues, decir, que el peso de un cuerpo es la fuerza de atracción 
que toda la Tierra ejerce sobre él. 


23. Peso específico. — Peso específico de una substancia es el co- 
ciente entre el peso y el volumen de una porción de la misma. Se 
adopta generalmente en estas determinaciones como uni- 
dad de peso el gramo, y como unidad de volumen el 
centímetro cúbico. Luego : 

Peso en gramos 

peso específico = , 

Volumen en cm 3 

o simbólicamente : 

P 

P = — 

V 

Ejemplo. — Un cubo 
mada. Vertical, de metal de 5 centímetros 
de arista pesa 875 gramos. 

Su peso específico p será : 

P 875 gr gr 




V 125 cm 3 cm 


Fig. 23. — Las verticales se cortan 
en el centro de la Tierra. 


lo que nos dice que un centímetro cúbico de esa substancia pesa 
7 gramos. 

Aire Benceno Agua Aluminio Hierro Plomo Mercurio Oro 



0,0013 0,88 1,00 2,7 7,8 11,3 13,6 19,3 gr. 


Fig. 24. — Peso en gramos de un centímetro cúbico de diferentes substancias. 


En la figura 24 se consignan los pesos en gramos de un centíme- 
tro cúbico de algunas substancias. 

Para determinar el volumen de un sólido de forma irregular, 
basta con recoger y pesar el agua que se derrama al introducir el 



Física Elemental 


15 


cuerpo en un vaso apropiado (fig. 25). Se tendrá en cuenta que 1 
gramo de agua ocupa un volumen de 1 centímetro cúbico. Puede- 
utilizarse también una probeta graduada. 

24. Densidad relativa al agua. — Se llama así a la relación o- 
cociente entre él peso de un cuerpo y el peso de un volumen igual 
de agua. 

Sea un cuerpo cuyo peso es igual a 200 gramos. Introducido en 
el vaso de derrame (fig. 25) supongamos que desaloja 100 gramos 
de agua. El volumen ocupado por el agua es igual al volumen del 
cuerpo. Luego la densidad d, será: 

200 gramos r tvt - 

j 2 I JNumero 

100 gramos L abstracto 

La densidad 2, expresa entonces, que esa substancia es, a igual- 
dad de volumen, el doble más pesada que el agua. El peso espe- 
cífico de esa substancia sería: 

200 gramos’ gramos 

p = — 2 . 

100 era 3 cm 3 

Densidad relativa al agua y peso es- 
pecífico se expresan por la misma cifra, 
siempre que se mida el peso en gramos 
y el volumen en cm 3 , pues el peso espe- 
cífico del agua es 1 gr/cm 3 . 

25. Todos los cuerpos son pesados. 

— Se ha constatado pesando un balón 
de vidrio con y sin aire que: 

1 litro de aire pesa 1,293 gramos, 

_ Fig. 25. — Determinación del 

cuando la temperatura es 0 o C y la volumen, 

presión 760 mm de mercurio. 

En forma análoga se constata que todos los gases son pesados. 
Es frecuente en los gases expresar la densidad de los mismos, con 
respecto al aire. Ésta, no es más que el cociente entre el peso de 
un cierto volumen de gas y el peso de un volumen igual de aire. 
Así por ejemplo la densidad del hidrógeno con relación al aire es:. 

d = 0,06951. 



16 


E. L O E D E L 


La densidad del oxígeno es 16, la del nitrógeno 14, la del 
gas cloro 35,5, etc., veces mayor que la del hidrógeno. 





26. Medidas de las fuerzas 
por los pesos. Representación 
gráfica. — Para saber qué fuer- 
za hemos ejercido al estirar un 
resorte basta con suspender pe- 
sos del mismo, hasta que éstos 
produzcan una deformación igual 
(fig. 21). Si ejercemos una fuer- 
za de 5 Kgr en el punto A (fig. 
26), la representaremos como se 
ve a la derecha de la figura por 
un vector cuya longitud sea igual 
Fig. 26 . — KeprcáeniHcíúu de un» fuer*». a 5 veces el segmento que con- 
vencionalmente suponemos que 
representa la fuerza de 1 Kgr. Si convenimos en representar 1 Kgr 
por un segmento de 1 cm la fuerza de 5 Kgr estará representada 
por un vector de longitud igual a 5 cm. El origen del vector (A) 
representa el punto de aplicación, la recta sostén del 
mismo la dirección, la longitud del vector mide la inten- 
sidad de la fuerza cuyo sentido está dado por la flecha. 


27. Dinamómetros. — El resorte de la figura 21, pro- 
visto de una escala graduada en 
gramos o kilogramos, puede servir- 
nos para medir la intensidad de una 
fuerza. Aparatos de esta clase (fig. 

27) reciben el nombre de dinamó- 
metros. 

En la fig. 28 se indica una insta- 
lación consistente en una polea por 
cuya garganta pasa un hilo. En uno 
de los extremos del hilo tenemos un 
platillo con pesas; el otro extremo 
está unido a un dinamómetro. Éste 
marcará, cualquiera sea la dirección 

del hilo, la misma fuerza, que se- Fig- 28 . — Dinamómetro, 
rá igual al peso de las pesas más 
el peso del platillo. Una polea puede servirnos, entonces, para 
hacer actuar en una dirección cualquiera una fuerza determinada. 


Fig. 27. — 
Dinamó- 
metro. 




Física Elemental 


17 


EXACTITUD Y ERROR 

Midiendo con una cinta la circunferencia y el diámetro de un 
plato o de cualquier otro objeto circular se puede obtener el valor 
de ir. He aquí el resultado de una medida. 

Longitud de la circunferencia .... C = 69,5 cm. 

„ del diámetro D = 22,3 „ 

C 

ir = — = 3,116. 

D 

Se llama error absoluto E, a la diferencia entre el valor deter- 
minado y el valor verdadero: 

E = 3,116 — 3,1416 = —0,025. 

Error relativo e es el cociente entre el error absoluto y el valor 
de la magnitud que se mide. Prescindiendo del signo tenemos: 

0,025 

e — = 0,008. 

3,14 

Se acostumbra indicar el error relativo en tanto por ciento. En 
el ejemplo anterior dicho error sería de 0,8 %. 

En todas las determinaciones experimentales, tiene gran impor- 
tancia el conocimiento aproximado del error que se comete. Reco- 
mendamos por ello, al alumno, la lectura cuidadosa de los proble- 
mas numéricos que siguen. 


PROBLEMAS 

1. Se ha medido con un calibre un cilindro de madera, resultandoi 
diámetro = 2R = 4,75 cm. Altura = h — 7,36 cm. Hallar el 
volumen. 

V — irR 2 h = 130,4 cm 3 . 

2. En las medidas anteriores se puede haber cometido un error 

de un décimo de milímetro en más o en menos; hallar el vo- 
lumen máximo y el mínimo V 2 que podría tener el cilindro. 
Para obtener el volumen máximo V\ supondremos: 



18 


E. Loedel 


2R -- 4,76 cm y h = 7,37 cm, de donde V 1 = 131,1 cm 3 , 
y para el mínimo : 

2/? =4,74 cm, h = 7,35 cm, V% = 129,7 cm 3 . 

3. El cilindro de madera del problema 1 pesa 120 gramos. Ha- 
llar su peso específico p. 

P 120 gr gr 

p = — = = 0,9202 . 

V 130,4 cm 3 cm 3 

4. En la pesada del cilindro se puede haber cometido un error de 
1 gramo en más o en menos. Teniendo en cuenta los resultados 
obtenidos en el ejemplo 2, hallar el peso específico máximo p x 
y mínimo p 2 que podría tener el cuerpo. 

El peso específico máximo lo obtenemos suponiendo el pe- 
so máximo 121 gr y el volumen mínimo 129,7 cm 3 : 

121 gr gr 

p t = = 0,9330 ; 

129,7 cm 3 cm 3 

y el mínimo será : 

119 gr gr 

p 2 = -- 0,9074 . 

131,1 cm 3 cm 3 

5. Expresar el peso específico del cilindro que estamos conside- 
rando. , haciendo notar el grado de exactitud del resultado. 
Tomaremos como valor del peso específico el término medio 
de los valores extremos: 

gr 

p = 0,9202 . 

cm 3 

La diferencia entre este valor y los valores extremos es 
igual a 0,0128 gr/cm 3 . Por lo tanto, ni siquiera podemos ase- 
gurar la segunda cifra decimal. No tiene pues, sentido, escribir 1 
el peso específico en este caso con cuatro cifras decimales. 

El resultado debe expresarse así : 

p = (0,92 ± 0,01) gr/cm 3 . 



Física Elemental 


19 


6. Se ha medido con un palmer, el diámetro de un alambre re- 
sultando : 2R = 0,204 cm. La longitud del mismo alambre es 
de 100 m. Hallar su volumen. 

V = 7 tRH = 326,8 cm 3 . 

7. En la medida del diámetro se ha apreciado el error envíos cen- 
tesimos de milímetro. ¿Cuánto influye este error eii el re- 
sultado? 

El valor del radio lo expresaremos: 

R = (0,102 ± 0,001) cm. 

El error relativo es del uno por ciento. 

Considerando un radio igual a 0,103 cm resulta para el 
volumen : 

V = 333,2 cm 3 . 

La diferencia entre ambos valores es igual a 6,4 cm 3 . Si 
en 330 la diferencia es 6,4 resulta aproximadamente que el 
error relativo en el volumen es del dos por ciento. 

Luego un error del 1 % en la medida del radio de un cilin- 
dro ocasiona un error del 2 % en la medida del volumen del 
mismo. Esto es así porque en la fórmula del volumen el radio 
aparece elevado al cuadrado. 

Si se tratara del volumen de una esfera un error del 1 % 
en la medida del radio ocasionaría un error del 3 % en el 
resultado. , 

8 . ¿Con qué precisión deberá medirse la longitud del alambre 
anterior para que el error de esa medida influya en el resul- 
tado de igual modo que el error cometido en la determinación 
del radio? 

Un error del 1 % en la medida del radio ocasiona un error 
del 2 % en el volumen, como hemos visto, por lo tanto la 
longitud podrá medirse con una precisión de sólo el 2 %. To- 
mando para la longitud un valor igual a 102 metros, siendo 
el radio igual a 0,102 cm obtenemos en efecto para el volumen: 


V = 333,4 cm 3 . 



20 


E. Loedel 


* 

9 . Un cuerpo pesa 100 gr y el peso del agua que desaloja es 20 gr. 
Hallar su volumen y su peso específico. 

gr 

R. : V = 20 cm 3 ; p = 5 . 

era 3 

10 . ¿ Cuánta* veces más .influye, en el resultado del caso anterior, 
un error de 1 gramo en la medida del peso del agua que un 
error también de 1 gramo en la medida del peso del cuerpo? 

Al pesar el cuerpo un error de 1 gramo representa el 1 %. 
En cambio al pesar el agua un error de 1 gramo representa 
el 5%. 

11 . Construyase un triángulo cualquiera y compruébese por medi- 
das directas que el producto de la longitud de un lado cual- 
quiera por Iq altura correspondiente es constante. 



Fig. 29. — Sobre errores. 


He aquí los resultados de medidas efectuadas con una apro- 
ximación cercana al milímetro (fig. 29) . 

L : Lados: 7,3 cm .4,5 cm 3,6 cm 

A: Alturas: 1,8 „ 3,0 „ 3,5 „ 

P: Productos: 13,14 cm 2 13,50 cm 2 12,60 cm 2 

En base a estas medidas: ¿Puede considerarse verificada 
la ley expresada en el enunciado? En otros términos: ¿Pueden 
ser atribuíbles a errores de medida las diferencias entre los 
distintos productos? 



Física Elemental 


21 


Hallemos el término medio M de los tres productos, suman- 
do y dividiendo por 3. Obtenemos 13,08 = M. Hallemos los 
errores absolutos y relativos considerando verdadero a este 
término medio. Obtenemos así el cuadro siguiente: 


Productos 

Error — E 

Error relativo 

P 

E — P — M 

. « % 

13,14 

+ 0,06 

0,5 

13,50 

+ 0,42 

3,2 

12,60 

— 0,48 

3,7 


Un error de un milímetro en la medida de una longitud 
de 35 milímetros representa un error de casi 3 % ; por lo tanto 
las diferencias son atribuíbles a errores de observación, pues 
en los productos puede originarse un error doble: de 6%. Se 
ha constatado entonces la constancia del producto LA. Se ad- 
quiere el convencimiento de ello si atribuimos al último lado 
considerado la longitud de 3,7 cm en lugar de 3,6 y a la altura 
correspondiente 3,6 en lugar de 3,5. Obtendríamos así para el 
producto : 

3,7 X 3,6 = 13,32. 


Valor mayor, en lugar de menor, que el término medio ha- 
llado. Por lo tanto las diferencias en los resultados provienen 
de errores menores de un milímetro en las medidas. 


i 



CAPÍTULO III 


ESTÁTICA 

✓ 

La estática se ocupa del equilibrio. Bajo qué condiciones un 
puente resistirá sin desmoronarse; cuándo una viga podrá resistir 
o equilibrar determinados pesos, etc. 

28. Fuerzas concurrentes. — Son aquéllas que tienen un punto 
de aplicación común. Sobre el gancho de la figura 28 actúan dos 
fuerzas: la del resorte del dinamómetro y la proveniente del peso 
de las pesas y del platillo. La recta de acción de ambas es la misma 
(la del hilo), tienen igual intensidad y sentido opuesto', por eso se 

equilibran. Se suele de- 
cir también que dos fuer- 
zas de igual intensidad, 
que actúan sobre la mis- 
ma recta, pero de senti- 
dos opuestos, se anulan. 


gramo. — En algunos ca- 
sos, tres fuerzas concu- 
rrentes que actúan sobre 
un mismo punto P (fig. 
30), se equilibran. Si se 
representan estas fueizas 
por vectores se comprue- 
ba que uno cualquiera 
de ellos es igual y opuesto al vector que se obtiene trazando la dia- 
gonal del paralelogramo cuyos lados son los otros dos vectores. 
Las fuerzas 3, 4 y 5 están en equilibrio: la diagonal del paralelo- 
gramo formado por los vectores 3 y 4 es un vector igual y opuesto 
al 5. La diagonal del paralelogramo formado por 4 y 5 sería un 
vector igual y opuesto al 3, etc. 


Regla del paraleló- 



te 

Fig. 30, — Fuerzas concurrentes. 



Física Elemental 


23 



Luego dos fuerzas concurrentes , pueden r< 
única fuerza, llamada resultante, que está dada 
e intensidad por la diagonal del * 
paralelogramo construido sobre 
los vectores que representan am- 
bas fuerzas. 

En la figura 31 los vectores 
en blanco representan las resul- 
tantes de dos fuerzas concurren- 
tes (en negro) en varios casos. 

Como caso particular de la regla / 

del paralelogramo, cuya validez 
se obtiene de la experiencia, se 
desprende que la resultante de 
dos fuerzas concurrentes de igual / 
dirección y sentido es igual a su 
suma; si las fuerzas componen- 
tes tuvieran igual dirección y sen- 
tidos opuestos su resultante sería 
igual a la diferencia de aquéllas. \\ /’ 


29. Polígono de las fuerzas, 
Si se tienen varias fuerzas con 


— Resultante de fuerzas 
concurrentes. 


currentes se hallará la resultante 

del sistema hallando primero la resultante de dos fuerzas; luego se 



Fig. 32. Resultante de varias fuerzas. 


hallará la resultante de la resul- 
tante ya hallada con otra de las 
componentes y así sucesivamente 
(fig. 32). 

Como se ve, hasta para hallar 
la resultante del sistema, trazar 
por el extremo de una de las 
fuerzas un segmento paralelo 
igual y del mismo sentido a otra 
de las fuerzas; desde el extremo 
de este segmento se trazará otro 
igual y paralelo a la fuerza sub- 
siguiente y así sucesivamente. El 
vector cuyo origen es el punto 


de aplicación común y cuyo ex- 
tremo es el extremo de la poligonal trazada, representa a la resul- 
tante total del sistema de fuerzas (fig. 33). Si el extremo de la 



24 


E. Loedel 


poligonal coincidiera con el punto de aplicación la resultante sería 
nula, y el sistema estaría en equilibrio. 



30. Descomposición de una fuerza. — Supongamos que desea- 
mos saber las fuerzas 
que se ejercen sobre los 
ganchos A y B por efec- 
to del peso del cuerpo 
suspendido en O (figu- 
ra 34). Prolonguemos 
los segmentos OA y OB. 
Construyamos ahora un 
paralelogramo cuya dia- 
gonal sea la fuerza del 
peso F y cuyos lados ten- 
gan las direcciones de 
OA y OB. La fuerza F 
puede ser sustituida por 
F 1 que es la fuerza que se- 
Fíg. 33 . — Polígono de las fuems. ejerce sobre A y por F 

que será la que se ejerce 
sobre B. Hemos descompuesto una fuerza según dos direcciones dadas. 


A 



31. Cuerpo rígido. Traslación del punto de aplicación. — 
Un cuerpo absolutamente rígido 
sería aquél que no experimentara' 
deformaciones bajo la acción de 
fuerzas. No existe ningún cuer- 
po que sea absolutamente rígido. 

Una goma se estira visiblemente 
por la acción de dos fuerzas igua- 
les y opuestas. En cambio una 
varilla de madera, cuando las 
fuerzas no son excesivamente 
intensas, se deforma de modo 
inapreciable. La experiencia 
vela que dos fuerzas que actúan 

sobre la misma recta, iguales en Fig. 34. — Descomposición de una fuerza. 

intensidad, de sentidos opuestos, 

aplicadas en dos puntos diferentes de un cuerpo rígido (fig. 35) se 
equilibran. No tomando en cuenta las deformaciones que pueda expe- 
rimentar el cuerpo podremos decir que ambas fuerzas se anulan. Se 



Física Elemental 


25 



desprende de aquí, que la fuerza F cuyo punto de aplicación es 'A pue- 
de considerarse actuando directamente sobre B, o ambas, la F y la F’ 
actuando sobre un punto cualquiera O 
de su recta de acción común. Concluimos 
que una fuerza F que actúa sobre un 


Fig. 35. — Equilibrio de dos fuerzas iguales y opuestas. 


cuerpo rígido puede trasladarse sobre su Fig. 36. — Traslación de una fuerza, 
recta de acción. Su efecto será el mismo 

tanto si se considera que su punto de aplicación es A o A’ (fig. 36). 


/|\ 
/ 

• n 

\ 


' í 1 »» 


m m 

* ; i 

i 


32. Resultante de fuerzas coplanares y concurrentes. — Si se 
tienen dos fuerzas (fig. 37), que actúan 
en dos puntos A y B de un cuerpo sien- 
do coplanares sus rectas de acción, para 
hallar la resultante de ambas basta con 
trasladarlas al punto O de concurrencia 
y hallar la resultante por la regla del 
paralelogramo. El punto de aplicación 
de la resultante podrá trasladarse luego 
a cualquier otro punto (O’) de su recta 
de acción. 

Si se tratara de un sistema de va- 
rias fuerzas coplanares se procedería en 
forma análoga (29). 

33. Fuerzas paralelas. — Si en dos 
puntos A y B de una barra (fig. 38) 
actúan dos fuerzas paralelas de igual 
sentido F\ y F<¿ , puede demostrarse que 
el efecto de ambas es igual al de una 

única fuerza R, llamada resultante, paralela a las componentes e igual 
a su suma. El punto de aplicación C de la resultante se encuen- 



Fig. 37. — Resultante de fuerzas 
coplanares. 



26 


E. Loedel 


tra más cerca de la fuerza mayor, de tal modo, que divide al seg- 
mento AB en partes proporcionales a las fuerzas no adyacentes : 



o sea: 


F t . AC — F 2 . BC. 

Demostración experimen- 
tal. — Las pesas P equilibran 
la regla de madera, cuando está 
descargada (fig. 39). Se obser- 
va que para que haya equili- 
brio, la suma de los pesos agre- 
gados a ambos lados debe ser 
igual al peso que se suspende de la regla (2 + 3 = 5), debiendo 
además verificarse la relación establecida más arriba, como se ve 
en la figura (2 X 6 = 3 X 4) . 


Fig. 38. — Fuerzas paralelas. 



Que la resultante de dos fuerzas paralelas de igual sentido es 
igual a la suma de ambas se verifica a cada paso: dos pesas, una 
de 200 gr. y otra de 
300 gr. colocadas en 
el platillo de una ba- 
lanza, pueden reem- 
plazarse por otra de 
500 gr. En cuanto a 
la posición del pun- 
to de aplicación, se 
verifica de inmedia- 
to apoyando una re- 
gla por su punto me- 
dio sobre una cufia 
de madera y colocan- 
do pesas conocidas 
sobre aquélla (fig. 

40), (500 X 2 = 

200 X 5). 

Fig. 39. — Fuerzas paralelas. 


Demostración 

teórica. — Agreguemos en los puntos A y B donde están aplicadas 
las fuerzas F x y F 2 , dos fuerzas iguales y opuestas H\ y H 2 que por 



Física Elemental 


27 


anularse mutuamente no alterarán en nada el sistema primitivo 
(fig. 41). Por la regla del paralelogramo hallamos Rx y R 2 que 
transportamos al punto O de concurrencia. Tracemos por O una 
recta paralela a la dirección AB 
determinada por los puntos d< 
aplicación de F i y F 2 . Obtenemo 
así la recta r. Tracemos ademá: 
por O una recta r paralela a F i 
y F 2 . Descompongamos a R\ y 
R’ 2 , que son Ri y R 2 transporta- 
das a O, según las direcciones r y r. Obtenemos así sobre r dos 
fuerzas: H\ y H’ 2 iguales y opuestas, por ser iguales a H 1 y H 2 . 
Ambas se anularán. Nos quedan finalmente sobre la recta r, y 




Fig. 41. — Fucrzag paralelas. 


aplicadas en O, dos fuerzas F\ y F\ iguales, respectivamente, a 
F x y F 2 . La resultante será igual a su suma, pudiendo transportarse 
su punto de aplicación a C. La posición de este punto la obtenemos. 



28 


E. Loedel 


considerando la semejanza de los triángulos blancos entre sí y grí- 


ses entre sí. De los triángulos blancos obtenemos: 


OC 

AF X 


OC 

Fx 



# 

0 sea: 


m 

[1} 

AG 

F x Ri ’ 

AC 


y de los grises: 






OC 

bf 2 


OC 

f 2 




• 

0 sea: 




[2] 

BC 

F 2 R 2 

BC 

h 2 

Dividiendo miembro a 

s 

miembro las igualdades [1] y [2] 

tenemos: 

OC BC 

Fi 

H 2 


BC F x 


— X — = 
AC OC 

X 

H 1 

; 0 

f 2 

sea: 

AC F 2 

~ 9 


puesto que H 1 y H 2 son iguales. 


34 . Fuerzas paralelas de sentido opuesto. — Sean dos fuerzas 
F x y F 3 paralelas y de igual sentido (fig. 42 ). 

Supongamos que el punto de aplicación de la resultante, no 
representada en la figura, sea B. Agreguemos en B, la fuerza Fo, 

igual y opuesta a la resultante 
de F x y F 3. El sistema formado 
por las tres fuerzas F x , F 2 y F 3 
estará en equilibrio. Podrá con- 
siderarse entonces a una cual- 
quiera de ellas, igual y opuesta 
a la resultante de las otras dos. 
La resultante de las fuerzas F 1 
y F 2 será entonces igual y 
opuesta a F s . Luego, la resul- 
tante de dos fuerzas paralelas 
de sentido opuesto (F 1 y F 2 ) 
es otra fuerza paralela a am- 
bas, igual a su diferencia y 
cuyo sentido coincide con el de la fuerza mayor (fig. 43 ). El punto 
de aplicación de la resultante está fuera del segmento AB deter- 
minado por los puntos de aplicación de las componentes y del lado 




Física Elemental 


29 


de la fuerza mayor. De acuerdo a lo visto para fuerzas paralelas 
de igual sentido se tiene: 

AB F z 

BC F 1 

y sumando la unidad a ambos miembros: 

AB + BC F 3 + Fi ac f 2 

= ; o sea : = . 

BC Fi BC F 1 

Esta última relación nos dice que el punto de aplicación C de 
la resultante determina con los puntos de aplicación de las compo- 
nentes dos segmentos que son proporcionales a las fuerzas no 
adyacentes. 

El mismo experimento 
hecho, relacionado con 
fuerzas paralelas de igual 
sentido, puede ser inter- 
pretado (parte inferior de 
fig. 39), de tal modo, que 
con él se comprueba lo 
referente a fuerzas parale- 
las de sentido opuesto. 

35. Determinación gráfica del punto de aplicación. — Para 
hallar el punto de aplicación de dos fuerzas paralelas de igual sen- 
tido (fig. 44) se toma sobre la fuerza 
menor un segmento igual a la fuerza 
mayor y sobre ésta y en sentido opuesto, 
un segmento igual a la fuerza menor. 
Uniendo los extremos de ambos segmen- 
tos por una recta se obtiene en la inter- 
sección de ésta con la AB el punto C de 
aplicación de la resultante. En forma 
análoga se procede cuando las fuerzas 
-tienen opuesto sentido. 

36. Fuerzas aplicadas en diferen- 
tes puntos de un cuerpo rígido. — Ya 
hemos visto (32) cómo se procede para hallar la resultante de fuerzas 
coplanares aplicadas a diferentes puntos de un cuerpo rígido. Si se 



Fig. 44. — Determinación gráfica 
del punto de aplicación. 




30 


E. Loedel 


trata de fuerzas paralelas se puede hallar también la resultante de to- 
das ellas hallando primero la resultante de dos, luego la resultante 
entre la ya hallada y otra fuerza y así sucesivamente. Si las fuerzas na 
son paralelas ni coplanares, el sistema no se puede reducir a una 

fuerza única, como veremos más adelante. 

37. Centro de gravedad. — El peso de un 
cuerpo no es otra cosa que la resultante de un 
sistema de fuerzas paralelas que son los pesos 
parciales de las partículas en que puede consi- 
derarse dividido (fig. 45). El punto de aplica- 
ción de la resultante , o sea del peso, es el cen- 
tro de gravedad del cuerpo. En un cuerpo rígido 
la posición del centro de gravedad es invariable. 
En una esfera homogénea, hueca o maciza, 
fí 6 . 45. — centro de el centro de gravedad coincide con el centro de 
gravedad. la misma. En un anillo el centro de gravedad se 

encuentra en el centro geométrico del mismo. 
Veremos más adelante cómo se determina el centro de gravedad de 
un cuerpo cualquiera. 

PROBLEMAS 

1. Dos fuerzas de 300 y 400 gramos forman un ángulo de 90° . 
Hallar el valor de la resultante. Aplicando el teorema de Pitá- 
goras se tendrá: 

R = V 300 2 + 400 2 = 500 gr. 

2. Dos fuerzas iguales forman un ángulo 
de 120°. ¿Cuánto vale la resultante? Se 
ve haciendo la figura que se obtiene un 
triángulo equilátero. Luego la resultante 
es igual a cada una de las componentes. 

3. Una fuerza F está representada por el' 
lado de un cuadrado y la otra por la 
diagonal del mismo. Hallar la resul- 
tante. La segunda fuerza es igual a la 

primera por V 2. Como forman un 
ángulo de 45°, aplicando el teorema del coseno se tiene: 

R = Fy/ 5. 





Física Elemental 


31 


4. Dos fuerzas paralelas de 5 Kgr y 3 Kgr están aplicadas en los 
extremos de una barra de 80 centímetros. Hallar la resultante 
y su punto de aplicación. 

Si las fuerzas tienen igual sentido la resultante vale 8 Kgr. 
En cuanto al punto de aplicación, deberá dividirse la lon- 
gitud de 80 centímetros en partes proporcionales a 5 y 3: 

80 

X 3 = 30 cm 

5 + 3 

es la distancia del punto de aplicación a la fuerza mayor y: 

80 

X 5 = 50 cm 

5 + 3 

es la distancia a la fuerza menor. 

Si las fuerzas tuvieran sentido opuesto la resultante val- 
dría 2 Kgr y su punto de aplicación estaría distante de la 
fuerza mayor en: 

80 

X 3 = 120 cm. 

5 — 3 

5. La resultante de dos fuerzas para- 
lelas de igual sentido vale 10 Kgr. 

Una de las componentes , de 4 Kgr. 
dista de ella 50 cm. ¿Cuánto val- 
drá y a qué distancia se encon- 
trará la otra fuerza? 

R .: F = 6 Kgr; d = 33,3 cm. 

6. Hallar gráficamente el valor de las fuerzas que se ejercen sobre 
A y B ( fig . 46), suponiendo que la carga sea de 50 Kgr. Cuando 
los ángulos tengan los valores de la figura se. obtendrá para 
las fuerzas actuantes en A y B el valor: 

50 

F = —Kgr. 

V 2 

7. Hallar Fa y Fb en el caso de la figura 47. 

R .: Fa = 50 Kgr; Fb = 50 yj 2 Kgr. 




CAPÍTULO IV 


CONDICIONES DE EQUILIBRIO 



Fig. 48. — Palanca. 


38. Palanca. Momento de una fuerza. — Una barra rígida que 
pueda girar alrededor de un eje fijo, recibe el nombre de palanca. 
El eje de giro puede atravesar la barra, o bien ésta puede apoyarse 

sobre algo resistente. De aquí el nombre de 
''“punto de apoyo ” que recibe el eje de giro, 
i En cuanto a las fuerzas actuantes, una recibe 
él nombre de potencia (la fuerza activa) y la 
otra el de resistencia. 

La figura 48 representa una palanca des- 
tinada a accionar una bomba de agua. La 
figura 49 muestra el pedal de una máquina 
de coser. Se designan con el nombre de pa- 
lancas de primer géne- 
ro aquéllas cuyo punto 
de apoyo 1 se encuentra 
entre la potencia y la 
resistencia (la palanca de la bomba). De se- 
gundo género si la resistencia se encuentra 
entre el apoyo y la potencia; y de tercer gé- 
nero cuando es la potencia la que actúa entre 
el apoyo y la resistencia (el pedal al actuar 
con la punta del pie). 

Poder de giración de una fuerza. — La 
palanca de la figura 50 está en equilibrio. 

La fuerza P tiende a hacer girar a la barra en 
un sentido y la R en sentido opuesto. Al 
hallarse la palanca en equilibrio, el poder 
de giración de ambas fuerzas, alrededor de 
A, será igual. Esto sucede cuando el producto 
de la fuerza P por la distancia AP es igual 
el producto de la fuerza R por la distancia AR. En el caso de la 
figura: 1 X 4 = 2 X 2. 



Fig. 49. — Palanca. 



Física Elemental 


33 


La palanca de la figura 51 está también en equilibrio. Se cons- 
tata en este caso que el producto 400 X 3 es igual a 600 X 2. El 
segmento 3 mide la dis- 
tancia entre el punto de * 
apoyo y la recta de ac- 
ción de la fuerza 400 y 
el segmento 2 entre el 
punto de apoyo y la fuer- 
za 600. ReCOrdemOS que fie» 50. — Ley de equilibrio- 

la distancia de un punto 

a una recta, se mide sobre la perpendicular trazada desde el punto. 

Llamaremos brazo de 
palanca, de potencia o de 
resistencia, a la distancia 
que media entre el punto 
de apoyo y la recta de ac- 
ción de las fuerzas de po- 
tencia o de resistencia, 
respectivamente. 

En la figura 52 AP’ 
es el brazo de la potencia 
y AR’ el de la resistencia. 

Al producto de la po- 
tencia por el brazo de la 
potencia se le llama mo- 
mento de la potencia con 
Fig. si. — Ley de equilibrio. respecto al punto de apo- 

yo. Análogamente se defi- 
niría el momento de la resistencia. La ley de equilibrio de la pa- 




lanca es, pups, la siguien- 
te: Una palanca ise halla 
en equilibrio ct^ido el 
momento de la ~pjotencia 
es igual al mom:ento de 
la resistencia. (Momen- 
tos considerados con 
respecto al punto de 
apoyo) . 

En general, momento 
M de una fuerza F con 



respecto a un punto O es el producto de la fuerza F por la distancia 
d de su recta de acción al punto considerado (fig. 53) : 



34 


E. Loedel 


M = Fd. 


Si se consideran positivos los momentos de las fuerzas que tien- 
den a producir una giración en cierto sentido, los que tienden a hacer 

girar al sistema en sentido contrario se 
considerarán negativos. Es evidente que 
en la palanca los momentos de la po- 
tencia y de la resistencia deben ser de 
signos contrarios para que haya equi- 
librio. 

Nota. — Se suelen considerar positivos 
aquellos momentos que tienden a hacer girar 
al sistema en sentido inverso al de las agujas 
de un reloj y negativos a los que tienden a 
hacerlo girar en. el mismo sentido. Claro está 
que si se mira al sistema del lado opuesto 
cambia el signo de los momentos considerados. 

39. Teorema de los momentos de 
Varignon. — En un sistema de fuerzas 
coplanares, el momento de la resultante de ellas, con respecto a un 
punto de su plano, es igual a la suma algebraica de los momentos 
de las componentes con respecto al mismo punto. 

Si las componentes son F lt F 2 , F 3 . . . y su resultante R, se tendrá: 




Mom. R = Mom. F i -f- 


-f- Mom. F 2 . . . 


Para demostrar el teo- 
rema, demostraremos pri- 
mero los dos lemas si- 
guientes. 

Lema I. — El mo- 
mento de una fuerza AF 
con respecto a un punto 
O (fig. 54) e5 igual al 
producto del segmento 
OA comprendido entre el 
punto O y el de aplica- 
ción A de la fuerza, por la proyección de ésta, AF’, sobre una recta 
r perpendicular al segmento OA, antes considerado. Es decir: 


Fíg. 54. — Momento. 


Mom. F = Fd = FD. 



Física Elemental 


35 


Los triángulos rectángulos de la figura son semejantes, como 
se ve de inmediato (ángulo en F del chico igual al ángulo en A 
del grande por correspondientes) de donde: 

F D 

— = — ; o sea : Fd = F’D< 

F d 

Lema II. — La proyección de la resultante de dos fuerzas concu- 
rrentes sobre una recta cualquiera de su plano (fig. 55) es igual a 
la suma algebraica de las proyecciones de las componentes sobre la 
misma recta. No hay más que observar la figura y ver que la pro- 
yección de F 2 es igual a la del segmento 



proyección de F x menos la proyección de F 2 que es igual a la proyec- 
ción del segmento F X R. Es fácil ver que el enunciado se cumple 
también para fuerzas paralelas y puede extenderse a todo un sis- 
tema de fuerzas coplanares. 

Demostremos ahora el teorema para dos fuerzas concurrentes 
aplicadas en A. Sea K la proyección de R sobre la recta r perpen- 
dicular a O A (fig. 57) ; y llamemos F\ y F\ a las proyecciones 
sobre la misma recta de F x y F 2 . Se tendrá: 


R’ = F 1 + F 2 ' 


Estas proyecciones no se han representado en la figura. 



36 


E. Loedel 


Multiplicando ambos miembros por la distancia D, se tiene: 

R’D = F\D + F 2 D; 

y por lema I, tendremos: 

Mom. R — Mom. F\ -f- Mom. F 2 . 



40. Demostración de la ley de la palanca. — Para que una pa- 
lanca se halle en equilibrio será necesario que la resultante de la 

potencia F i y de la re- 
sistencia F 2 pase por el 
punto de apoyo (fig. 
58). Cuando esto suce- 
da la distancia del pun- 
to de apoyo a la resul- 
tante será cero, por lo 
cual su momento será 
nulo respecto a ese 
punto. 

Fig. 57. — Teorema de los momeiau». ComO el mOmeiltO 

de la resultante es igual 

a la suma de los momentos de las componentes, se tendrá: 


0 : Mom. Fj -J- Mom. F 2 , 


o lo que es lo mismo: 

Mom. Fi = — Mom. F 2 . 

La palanca está en equilibrio si el momento de la potencia es 
igual y de signo 
contrario al de la 
resistencia. 

41. Palanca en 
la que actúan va- 
rias fuerzas. — Si 
sobre una palanca 
actúan varias fuer- 
zas (fig. 59) la 
condición de equi- 
librio es que la suma algebraica de los momentos de todas ellas 
con respecto al punto de apoyo sea cero; o lo que es lo mismo, la 
suma de los momentos de las fuerzas que producen una giración 




Física Elemental 


37 


en cierto sentido debe ser igual -a la suma de los momentos de las 
fuerzas que producen una giración en sentido opuesto. En el caso 
de la figura se cumple: 



Fig. 59. — Palanca “compuesta”. 


o sea : 


500 X 2 = 100 X 2 + 200 X 4; 
500 X 2 — 100 X 2 — 200 X 4 = 0. 


42. Polea fija. — Ya en el párrafo 27 hemos visto que una 
polea cuyo eje se mantiene fijo, se encuentra en equilibrio si las 
fuerzas que actúan en ambos extremos 
del hilo son iguales. La ley de equili- 
brio de la polea fija (fig. 60) es, pues, 
la siguiente: Una polea fija $e halla en ( 
equilibrio si la potencia es igual a la 
resistencia. 

Una polea fija puede considerarse 
como una palanca cuyos dos brazos son 
iguales, por ser radios de una misma 
circunferencia. 


Polea móvil. — Si los hilos que pa- 
san por la garganta de la polea móvil 
M (fig. 61) son paralelos, la fuerza R 
se puede descomponer en otras dos pa - 1 
ralelas que actúen sobre ambos hilos, 
cada una de las cuales valdrá R/2. Lúe- f ¡ g . 6o. — Poica fija, 
go, para que una polea móvil se halle 

en equilibrio es necesario que la potencia sea igual a la mitad de 
la resistencia. 




38 


E. Loedel 


43. Asociación de poleas. — Sea un sistema como el indicado 
en la figura 62. La carga R actúa sobre cada uno de los dos hilos 
que sostienen la polea 1 con la fuerza R/2. La fuerza R/2 que actúa 
sobre la polea 2 ejercerá sobre cada uno de los hilos que la sostie- 
nen la fuerza R/ 4. Finalmente actuará sobre el cordón de la polea 

fija la fuerza R/8, mitad -de R/ 4, por 
lo cual la potencia P será en este caso, 
para que exista equilibrio, la octava 
parte de la resistencia. 

Si es n el número de poleas móviles 
asociadas en esta forma, la potencia P, 
en el caso de equilibrio, será: 

R 

P = —. 

2 n 

En el caso de la figura 63, el núme- 
ro de hilos paralelos que sostienen la 
carga es igual al 



Fig. 61. — Polea móvil. 


doble de poleas 
móviles por lo 
cual en ese caso 
se tendrá: 

R 

P = . 

2Xn 


44. Torno. — La resistencia R está suspen-' 
dida del extremo .de una cuerda que se arrolla 1 
en un cilindro accionado por la manivela M 
sobre la que actúa la potencia (fig. 64). En 
la figura 65 se supone al eje del torno per- 
pendicular al plano de la figura en el punto 
O. Se ve que se trata de una palanca en* la 
que el brazo de la potencia es el radio de la 
circunferencia descripta por la manivela M, 
que llamaremos radio de la manivela; sien- 
do el brazo de la 'resistencia el radio del 
cilindro. 

Durante el equilibrio debe cumplirse: La 
potencia por el radio de la manivela es igual a la resistencia por 
el radio del cilindro. 



Fig. 62. — Asociación 
de poleas. 



TTí sica Elemental 


39 





45. Plano inclinado. — Un plano rígido que puede realizarse con 
una tabla de madera, que forma un án- 
gulo con el horizonte, constituye un planc- 
inclinado. Sfe le representa por un trián- 
gulo rectángulo (fig. 66). El qgteto 
vertical AB, recibe el nombre de al- 
tura; el otro cateto, horizontal, es 

la base, siendo 
la hipotenusa BC 
la longitud del 
plano *. 

La experiencia 
muestra que un 
cuerpo apoyado 
sobre un plano' 

inclinado se des- n g . t4. - Tomo, 

liza o rueda a lo 

largo del mismo. Si el roce fuera nulo, bastaría 
la más leve inclinación 
para provocar la caída ‘ 
del cuerpo a lo largo ! 
del plano. En cambio, 
si el plano es horizon- 
tal, un cuerpo apoyado 
sobre el mismo, se man- 
tiene en equilibrio. Pa- 
ra explicar esto, debe- 
dnos suponer que el 
plano ejerce sobre el 
F¡g. es. — Aparejo cuerpo una fuerza 

igual y opuesta al peso 
P (fig. 67). La fuerza P’ es la llamada reac- 
ción del plano. Para que un cuerpo se .man- 
tenga en equilibrio estando apoyado en un 
plano inclinado es necesario que actúe sobre 
él otra fuerza, además de su peso. La fuerza 
qúe impide la caída del cuerpo, se llama po- Fi g . es. - Tomo. 

tencia, siendo la resistencia el peso del mis- 
mo. Concluimos de aquí que en_ caso de equilibrio, la resultante_de 


* Esta representación es lu sección del plano inclinado con otro vertical y perpendicular a 
la recta de intersección del plano inclinado con un plano horizontal. De este modo la longitud 
del plano coincide con la línea de máxima pendiente del mismo, 



40 


E. Loedel 





no inclinado son semejantes. Llamando 
h a la altura y l a la longitud se tiene: 

P h 


es igual a la rela- 
ción entre la altu- 
ra y la,, longitud 
del plano. 

No actuando la 
potencia P el cuer- 
po se deslizará por 
la acción de una 
fuerza igual y con- 
traria a ella. Si 
se descompone la 
fuerza R (fig. 69) 
en otras dos: una 
normal al plano, 
la N, y otra para- 
lela a la longitud del mismo, la F, la fuerza N se anulará por la 
reacción N’ del plano, quedando solamente la F. Como para que 
haya equilibrio la potencia deberá ser igual y opuesta a F, se obtiene 
también de este modo, por la semejanza de los triángulos sombrea* 


Fig. 68. — Plano inclinado. 


la potencia y la resistencia deberá ser perpendicular al plano. Supon- 
gamos que la potencia P se ejerza paralelamente a la longitud, según 
la recta r (fig. 68). Tracemos la recta n normal a la longitud del 
plano. Construyamos un paralelogramo uno de cuyos lados es el peso 
(resistencia) R; 
y otro lado que 
tenga la dirección 
r, siendo n su dia- 
gonal. 

El triángulo 
claro y el que re- 
presenta al pía- 

l-'ig. 06 . -“Planrj íncliuntíiju 


Fig. 67. — Reacción P\ 


Cuando hay equilibrio, la rela- 
ción entre la potencia y la resistencia 



Física Elemental 


41 


dos, la ley que ya hemos establecido. En la figura 70 se indica un 
dispositivo que permite verificar experimentalmente la ley de equi- 
librio del plano inclinado. 

46. Equilibrio de cuerpos 
suspendidos. — Para que un 
cuerpo sometido sólo a la acción 
de su peso, se halle en equili- 
brio, estando suspendido, será 
necesario que el momento de la 
fuerza del peso con respecto al 
punto de suspensión sea cero. SP 
O es el punto de suspensión y 
G el centro de gravedad del 
cuerpo, el momento de la fuer- 
za P con respecto a O será Pd 
(fig. 71), siendo d el segmento 
blanco de la figura. 

Este momento valdrá cero si la distancia d es cero, como ocurre 
cuando la vertical que pasa por G pasa también por O. ■* » 

Si el centro de gravedad se encuentra por debajo del punto de 
suspensión el equilibrio es estable, lo que significa que si se aparta 
al cuerpo un poco de su posición de equilibrio tiende a volver a 
ella. En cambio el equilibrio es inestable cuando el centro de gra- 
vedad está por arriba del punto de suspensión. La figura 72 mues- 
tra un caso de equi- 
librio estable. El 
equilibrio es indi- 
ferénte cuando el 
punto o eje de sus- 
pensión pasa por el 
centro de gravedad. 


47. Determina- 
ción del centro de 
gravedad. — Sus- 
pendiendo un cuer- 
po sucesivamente 
de dos puntos dis- 
tintos la intersec- 
ción de las verticales que pasan por los puntos de suspensión deter- 
mina el centro de gravedad del cuerpo (figs. 73a y b ) . 





42 


E. L O E D E L 





48. Equilibrio de cuerpos apoyados. — Un cuerpo apoyado en 
un plano horizontal se encuentra en equilibrio siempre que la ver- 
tical que pasa por el centro de gravedad pase 
también por el interior de la llamada base de 

sustentación. En un 
'trípode (fig. 74) la 
base de sustentación 
es el triángulo deter- 
minado por los pun- 
tos de apoyo de las 
patas. En el caso de 
la figura 75 se ve 
que no hay equili- 
brio: la vertical tra- 
zada desde el centro 
de gravedad cae fue- 

Fig. 71. — Equilibrio. l'a de la base de SUS- F ' e ' 72 ‘ Equilibrio. 

tentación. 

El centro de gravedad tiende a ocupar siempre la posición más 

baja posible. Se explica así lo que 
ocurre con el juguete de la figura 76 
formado por iin muñeco de celuloide 


Kig9. 73 a y b. — Determinación del centro de gravedad. 


■con una base semiesférica de plomo con lo cual se mantiene de pie. 
El cilindro cargado de la figura 77 sube por el plano inclinado. 



Física Elemental 


43 





aunque en realidad el centro de gravedad baja, lo mismo que ocurre 

con el doble cono de la figura 78 que parece 
subir por un doble 
plano inclinado. 


49. Balanza. — 

Una balanza es, en 
esencia, una palan- 
ca de brazos igua- 
les. La palanca 
propiamente dicha 
es la cruz que des- 
cansa sobre un pía- F¡ g . 75. 

no de ágata o de 

acero apoyada en la arista afilada de una 
cuña llamada cuchillo (fig. 79). Los platillos, 
a m b o s de 
igual peso, 
se apoyan 

en forma 

< , , 
a n a I o g a . 

fíc- 74. sóbrelos 

extremos 

de la cruz. Una aguja rígidamen- 




te unida a Fi g . 77. 

la cruz, lla- 
mada fiel, recorre en su movimiento una pe- 
queña escala. 

Para 
- que el equi- 
librio sea 
estable, el 
centro de 
gravedad 
de la cruz 
(sin tener 
en cuenta Fig. 78. 

los plati- 
llos) debe encontrarse por debajo del punto 
de suspensión. 


Condición de equilibrio. — Supongamos que en el platillo de 
la derecha (fig. 80) se coloca una sobrecarga p. El equilibrio se 



44 


E. Loedel 


establecerá cuando el momento de la sobrecarga respecto a O, o 
sea px, sea igual al momento del peso Q de\ la cruz que es Qa. 
Luego : 

px = Q a. 

Llamemos l a la longitud O A =OB de los brazos de la cruz; d 
a la distancia OG del centro de gravedad de la misma al punto 



l'ig. 79. — Balanza ríe precisión. 


de apoyo y h al cateto AA\ La semejanza de los triángulos som- 
breados nos da: 

h a lid 

— = — ; de donde: a = — . 

I d l 

Reemplazando este valor de a en la fórmula anterior obtenemos: 

hd h pl 

px = Q — ; de donde: — = - . 

I x Qd 



Física Elemental 


45 



El cociente de h por x no es otra cosa que la tangente trigono- 
métrica del ángulo 
a que ha girado la 
cruz. Como este 
ángulo es siempre 
pequeño, podremos 
tomar la tangente 
igual al ángulo me- 
dido en radianes, 
con lo que: 


pl 

a = ; 

Qd 

fórmula que nos 


1**12. 90. — Condición de equilibrio. 



Kig. fci. — bciianzu iiícxarl.i 


dice que la desviación 
que experimenta la cruz 
o lo que es lo mismo el 
fiel, es proporcional a 
la sobrecarga y a la lon- 
gitud de los brazos de la 
.balanza, estando en ra- 
zón inversa del peso de 
la cruz y de la distan- 
cia del centro de grave- 
dad de la misma a la 


cuchilla de suspensión. 

Sensibilidad. — Se 
llama así al cociente a /P 
entre la desviación que 
experimenta el fiel y la 
que la pro- 
duce. En las balanzas de 
precisión se considera 
una sobrecarga de un 
centigramo o de un mili- Fig . 82 . -Doble peaaoa. 

gramo. 

De acuerdo a la fórmula que hemos establecido anteriormente 
una balanza sensible deberá tener una cruz liviana y el centro de 





46 


E. Loedel 


gravedad tendrá que distar poco del punto de suspensión. Los bra- 
zos de la balanza, que debieran ser largos según la fórmula, para 

obtener una sensibilidad 
grande, se construyen por 
el contrario cortos , pues 
con ello se aminora el 
peso de la cruz y sobre 
todo el tiempo de oscila- 
ción de la misma. 


Exactitud. — Una ba- 
lanza es absolutamente 
exacta si sus brazos son 
rigurosamente iguales. Puede una balanza ser muy sensible sin ser 
exacta e inversamente. Sea una balanza con brazos desiguales a y 
b (figs. 81 y 82). Pesando un 
mismo cuerpo de peso Q = X 
sucesivamente en cada uno de los 
platillos, se puede obtener el peso 
exacto del cuerpo y también la 
relación entre los brazos de la 
balanza. 

Valdrán las relaciones si- 
guientes: 

Xb = Pa; Xa = P’b. 

Multiplicando estas relaciones miembro a miembro obtenemos: 

X 2 ba — PP’ab; de donde: X = y/ PP\ 

Si hubiéramos divi- 
dido, tendríamos: 

b Pa 

a P’b * 

de donde: 


El peso exacto del 

cuerpo es igual a la raíz cuadrada del producto de los resultados 





Fig. 84. — Romana. 




Física Elemental 


47 


de ambas pesadas y la relación entre los brazos está dada por la 
raíz cuadrada del cociente de las 
mismas. 

Jinetillo. — Es una pesa de for- 
ma especial que puede desplazarse 
a lo largo de una regla dividida 
en partes iguales adjunta a la cruz 
(fig. 83). Si el peso del jinetillo 
es de 10 miligramos, colocado sobre 
la mitad del brazo hará las veces 
de un peso de 5 miligramos y co- 
locado en la división 1 se com- 
portará como una pesa de un miligramo colocada en el platillo. 

\ Otros tipos de balanzas. — Las figuras 84 y 85 indican otros 

tipos de balanzas, cuya descripción omiti- 
mos. 

50. Cupla o par de fuerzas. — Dos fuer- 
zas paralelas de igual intensidad y sentido 
opuesto constituyen una cupla o par de fuer- 
zas (fig. 87). Si se aplicara a este sistema la 
regla de composición de fuerzas paralelas, se 
K¡g. 87. — Cupla. obtendría para la resultante un valor nulo, 
hallándose su punto de aplicación en el infi- 
nito. No tiene, pues, sentido, hablar de la resultante de un par o 
cupla de fuerzas, que constituye un sistema irreductible. 

Se llama brazo de la cupla AB a la distancia d que separa a 
las rectas de acción de ambas fuer- 
zas (fig. 88). 

Momento de una cupla es el 
producto de una de las fuerzas F 
por el brazo: 

M = Fd. 

Este momento mide el poder 
de giración de la cupla con respec- 
to a cualquier punto de su plano. 

En efecto: el momento de am- 
bas fuerzas F, con respecto a un punto O, de su plano (fig. 89) sería: 

Fy — Fx = F (y — x) = Fd. 



Fig. 08. — Brazo de una cupla: d. 




48 


E. Loedel 


51. Composición de fuerzas 
F v aplicada en A y E 2 aplicada 
dos fuerzas iguales y paralelas 



no cop lanares. — Sean las fuerzas 
en B (fig. 90). Agreguemos en B 
a Ei y opuestas: la F 1 y la F’\. 
Con este agregado no habremos 
alterado en nada el estado del 
sistema. 

Hallemos la resultante R en- 
tre F 2 y F\. Obtenemos así que 
el sistema primitivo de las fuer- 
zas Ei y E 2 es equivalente al sis- 
tema formado por la única fuer- 
za R y la cupla F\F’\. 


Fig. 89 . - Momento de una cupia Reducción de un sistema de 

fuerzas. — Se demuestra que un 
sistema de fuerzas cualesquiera puede reducirse a una fuerza única 
y a una cupla única. La fuerza resultante tiende a producir una 
traslación y la cupla una rotación. 

Para que el sistema se halle en equili- 
brio deberán ser nulas la fuerza y la cupla 
resultante. 

52. Principio de acción y reacción. 

— Un cuerpo suspendido de un hilo ejerce 
sobre el soporte cierta fuerza igual a su 
peso, denominada acción. El soporte ejer- 
ce a su vez otra fuerza igual y de sentido 
opuesto: es la reacción. Lo mismo ocurre 
en un cuerpo apoyado sobre un plano hori- 
zontal: la acción (el peso) es igual a la 
reacción del plano. En una palanca la reac- 
ción del eje es igual y opuesta a la resul- 
tante de la potencia y la resistencia. Si esta 
resultante pasa por el eje ambas fuerzas se 
anularán, y si no pasa por el eje, queda 
constituida una cupla, una de cuyas fuerzas 
es la resultante de la potencia y la resis- Fig. <ju - — Fuerzas no copinare», 
tencia y la otra la reacción del eje. 

Veremos más adelante (dinámica) que en todos los casos la 
reacción es igual y opuesta a la acción (90). 




Física Elemental 


49 


53. Viga apoyada. Condiciones generales de equilibrio de 
un sistema de fuerzas. — Consideremos una viga apoyada en A 
y B (fig. 91). Supongamos que la viga tenga una longitud / y un 
peso Q que actúa en 
el centro de grave- 
dad de la misma y 
dictante en conse- 
cuencia 1/2 de ca- 
da apoyo. Suponga- 
mos a la viga car- 
gada con pesos P¡ 
y P >¿ distantes en x 
e y, respectivamente, 
del apoyo A. 

Para que haya 
equilibrio la resul - 
tante de todas las fuerzas deberá anularse, por lo cual será: 

Fa + Fb = /> 1 + /' 2 + <?. [ 1 ] 

Además la suma algebraica de los momentos con respecto a cual- 
quier punto, deberá ser cero. Tomemos los momentos con respecto 
al apoyo A. El momento de F B deberá ser igual en valor absoluto 
a la suma de los momentos de P v P 2 y Q. Luego: 

FbI = Pix + Piy + Q 1/2. [2] 

Las ecuaciones [1] y [2] permiten hallar Fa y F B. 

Los principios aplicados a la resolución del problema prece- 
dente se conocen con el nombre de principios generales de la 
estática. 

PROBLEMAS 

1. ¿A qué distancia del punto medio debe apoyarse una tabla de 
4 m de longitud y 20 Kgr de peso para que permanezca en 
equilibrio sosteniendo en sus extremos pesos de 25 y 50 Kgr?, 

Llamando x a la distancia pedida se tendrá: 

20 x -f- 25 (2 + x) = 50 (2 — x ) ; x — 53 cm. 

2. ¿Cuánto vale la reacción en el apoyo, en el caso anterior 

R = 20 + 25 -f 50 = 95 Kgr. 



Fig. 9l. — Viga cargada. 



50 


E. Loedel 


3. Con una polea fija se sostiene un peso de 50 Kgr tirando hori- 
zontalmente. Hallar la reacción del eje y el ángulo que la abra- 
zadera, enganchada al soporte, forma con la vertical. 

Como la potencia forma con la resistencia un ángulo de 
90° por ser ambas iguales, la abrazadera formará un ángulo 
de 45° con la vertical, siendo la reacción en el eje igual a 

50 V 2 Kgr. 

4. En un plano inclinado, la potencia, paralela a la longitud, es 
igual a la mitad de la resistencia durante el equilibrio. ¿Qué 
ángulo forma el plano con el horizonte? 

Como la altura será igual también a la mitad de la longitud 
el ángulo de inclinación valdrá 30°. 

t 

5. Un automóvil que pesa 1 500 Kgr comienza a rodar, estando 
desfrenado, sobre un camino cuando la pendiente de éste es 
igual a 0,01. ¿Cuánto vale la fuerza del roce? 

Se llama pendiente al cociente entre la altura y la longi- 
tud *. Una pendiente de 0,01 significa que por cada 100 me- 
tros el camino se eleva en 1 m. La fuerza del roce valdrá: 
0,01 X 1500 = 15 Kgr; ya que si la pendiente es menor de 
0,01 el auto no rueda. 

6. ¿Qué fuerza habrá que efectuar para impedir el deslizamiento 
del auto anterior en un camino cuya pendiente sea igual a 0,02? 

Si no hubiera roce habría que efectuar una fuerza F tal que: 

F = 1 500 X 0,02 = 30 Kgr. 

Siendo la fuerza del roce igual a 15 Kgr la fuerza F’ será: 
F = 30 — 15 = 15 Kgr. 

7. ¿Qué fuerza \io2orá que efectuar para hacer que el auto del 
ejemplo anterior suba? 

La fuerza deberá ser algo mayor que la suma de la fuerza 
que impide la caída y la de roce, luego: 

F> 30 + 15 = 45 Kgr. 

8. Siendo (fig. 91) 1 = 5 m; x = 2 m; y = 4 m; Q = 100 Kgr; 
P 1 = 500 Kgr; F<¿ — 800 Kgr, hallar Fa y Fb. 

Fb = 890 Kgr; Fa = 510 Kgr. 


* En realidad es el cociente entre la altura y la ba9e. 



CAPÍTULO V 


MOVIMIENTO 




54. Traslación y rotación. — Se dice que un cuerpo se mueve 
cuando cambia de lugar con respecto a otros cuerpos que se con- 
sideran fijos. 

Un cuerpo rígido se traslada 
cuando cualquier recta del cuer- 
po, fija al mismo (figs. 92 y 
93) se mantiene, en el movi- 
miento, paralela a sí misma. 

Trayectoria es la línea, recta 
o curva, descripta por un punto 
cualquiera del cuerpo, en su mo- 
vimiento. Si el cuerpo se tras- 
lada, todos sus puntos describen 
trayectorias idénticas. 

En la rotación de un cuerpo alrededor de un eje (fig. 94) las 
trayectorias descriptas por diferentes puntos del mismo son circun- 
ferencias cuyos 
centros pertenecen 
todos a la misma 
recta que es el eje 
de rotación. Los 
planos de todas 
esas circunferen- 
cias son norma- 
les* al eje de giro. 


Fig. 92. — Traslación. 


55. Medida 
del tiempo. — 

La unidad de Fig. 93. — Traslación. 

tiempo puede ser 

el segundo, el minuto, la hora, el día, el año, etc. En física se adopta 
por lo general el segundo que es la 86400 ava parte del día so- 
lar medio. 



52 


E. Loedel 


Día solar verdadero es el tiempo que transcurre entre dos pasa- 
jes consecutivos del Sol por el meridiano de un mismo lugar. Este 
tiempo es variable y no puede servir por lo tanto como unidad. 

Día solar medio es el término medio de un gran número de 
días solares verdaderos que comprendan un número entero de años. 

El día solar medio se divide en 24 horas, la hora en- 60 minutos 
y el minuto en 60 segundos. 

El día solar verdadero, que ya hemos definido, es en ocasiones 
mayor de 24 horas {de tiempo medio ) y en ocasiones menor. 

No es éste el lugar apropiado para dar las causas de la irre- 
gularidad de los días solares verdaderos así como la determina- 
ción de la duración del día solar medio *. 

\ 56.. Movimiento uniforme. — Considere- 
mos Un punto cualquiera de un cuerpo que 
se traslada. Midamos la longitud de la tra- 
yectoria recorrida en un intervalo de tiempo 
dado. A esa longitud la llamaremos simple- 
mente espacio recorrido. Si en intervalos 
iguales de tiempo los espacios recorridos son 

Fíg. 94. — Rotación. también iguales, diremos que el movimiento 

es uniforme. 

Sea un móvil que entre las 12h y las 13h recorre 60 kilómetros. 
Término medio ha recorrido 1 kilómetro en cada minuto. 

Ahora bien, si el móvil recorre efectivamente 1 kilómetro en cada 
intervalo de 1 minuto que consideremos, por ejemplo entre las 
12h35m46s y las 12h36m46s, diremos que el movimiento es uniforme. 

( Velocidad., > — Es el cociente entre el espacio recorrido por un 
mdviE y el tiempo empleado en recorrerlo. 

Consideremos un móvil que recorra con movimiento uniforme 
144 kilómetros en 2 horas. Su velocidad será: 

144 Km Km 

V = = 72 . 

2 hora hora 

Si adoptáramos como unidad de tiempo el segundo , y como 

unidad de longitud el metro, tendríamos: 

144 000 m m 

V = = 20 -. 

2 X3 600 seg seg 



• Véase: Cosmografía , Loedel - De Luca. Editorial Estrada. 



Física Elemental 


Esto nos dice que el móvil del ejemplo recorre 72 Km en una 
hora o 20 m en un segundo. 

Llamando e al espacio recorrido durante el tiempo t la veloci- 
dad está dada por la fórmula: 

e 

Fórmula del movimiento uniforme: V — — . 


En el sistema métrico decimal la unidad de velocidad es la de 
un móvil que recorre un metro en un segundo. 

TABLA DE VELOCIDADES 
Crecimiento del cabello: 


V — 1 


3,8 X 10- 7 — - = 3,8 

seg seg 


Extremo de un horario de reloj de 10 centímetros de longitud: 


V = 0,001454 = 14,54 ■ 


Extremo de un minutero de reloj de 10 centímetros de longitud. 


V = 0,017448 = 174,48 


Hombre caminando: 


V = 80 =1,33 


Hombre en carrera (100 m en 11 seg): 


V — 9,09 


Automóvil : 


Km m 

V = 108 = 30 

hora seg 



54 


E. Loedel 


Avión: 

Km m 

V = 540 = 150 . 

hora seg 

Sonido en el aire: 

m 

V = 340 . 

seg 

Bala de fusil (velocidad inicial) : 

m 

V — 450 . 

seg 

Velocidad de la luz en el vacío: 

Km cm 

V = 300 000 = 3 X 10 10 . 

seg seg 

57-. Leyes del movimiento uniforme. — De la misma defini- 
ción surge: En el movimiento uniforme la velocidad es constante . 
Esto implica también que los espacios recorridos son proporcionales 
a los tiempos empleados en recorrerlos. 

De la fórmula de la velocidad se obtiene, despejando el espacio 
e o el tiempo t : 
e 

e = vt; t = — . 

v 

58. Representación gráfica. — Tomemos dos rectas perpendicu- 
lares (fig. 95) una horizontal x y otra vertical y. Representemos 
el tiempo sobre el eje de las abscisas x y la velocidad en el eje 
de las ordenadas y. 

En el instante cero (0) la velocidad es igual a 3 m/seg. 

En el instante uno (1) la velocidad es igual a 3 m/seg. 

En el instante dos (2) la velocidad es igual a 3 m/seg. 

Los puntos representativos están sobre una recta paralela al 
eje del tiempo pues la velocidad es constante. En cuanto al espacio 
recorrido está dado numéricamente por el área de un rectángulo 
cuyos lados son respectivamente la velocidad y el tiempo conside- 
rados, pues e = vt (fig. 96). 



Física Elemental 


55 


59. Sucesión de varios movimientos uniformes. — Considere- 
mos un móvil que se mueva con movimiento uniforme y velocidad 


igual a 3 m/seg, en el intervalo 
de tiempo comprendido entre el 
instante cero (en que se empie- 
za a contar el tiempo) y el ins- 
tante 2 seg. Supongamos que 
en este momento la velocidad 
aumenta bruscamente de tal mo- 
do que en los dos segundos si- 
guientes su velocidad sea de 4 
m/seg. En el instante 4 admi- 
tiremos que el móvil experimen- 
ta otro salto brusco de velo- 



Fig. 95. — Movimiento uniforme. 



cidad. La representación gráfica 
de este movimiento es la de la 
figura 97. 

El espacio recorrido en los 6 
primeros segundos será: 

3 X2 + 4X2 + 5 X 2 = 24 m. 

Este espacio está expresado nu- 
méricamente por la suma de las 



áreas de los rectángulos 
sombreados en la figura. 

El l 9 de área igual a 6, el 
2 9 de área igual a 8 y el 
3 9 de área igual a 10. 

* 

60. Movimiento varia- 
do. — Lo que hemos su- 
puesto en el párrafo ante- 
rior es una ficción. Un 

móvil no puede variar Fi «- 97 ‘ “ Sucesión de movimientos uniforme.. 

bruscamente de velocidad. 

Movimiento variado es aquél en el cual la velocidad varía, 
vale decir, que no permanece constante. La figura 98 representa 
la velocidad en función del tiempo, en un movimiento variado. 

De acuerdo a la gráfica la velocidad inicial o sea la velocidad 
correspondiente al instante cero, es de 3 m/seg. En el instante 2 



56 


E. Loedel 


la velocidad sería de 5 m/seg; en el instante 4 de 7 m/seg, etc. 
Durante los 4 primeros segundos la velocidad habría ido aumentando; 
en ese intervalo se dice que el movimiento es acelerado; después del 
cuarto segundo la velocidad disminuye: el movimiento es retardado. 

61. Velocidad media. 
— Se llama velocidad me- 
dia de un movimiento va- 
riado en determinado in- 
tervalo de tiempo, a la 
velocidad que tendría que 
tener un móvil, para que 
con movimiento uniforme, 
recorriera en igual lapso, 
igual espacio. 

Ejemplo. — Un auto 
ha empleado en recorrer 
800 Km diez horas. El mo- 
vimiento como es natural ha sido variado; el valor de la velocidad 
instantánea, medida por el velocímetro, ha oscilado casi constante- 
mente entre 0 y 120 Km por hora. La velocidad media en todo el 
intervalo de 10 horas, ha sido de 80 Km/hora. Naturalmente, se 
puede hallar del mismo modo, la velocidad media en cualquier otro 
intervalo de tiempo. Si en la segunda hora se recorrieron 103 kiló- 
metros, 103 Km/hora sería la velocidad media correspondiente a 
la segunda hora; y si en el pri- 
mer minuto de esta segunda hora 
se hubieran recorrido 2 kilóme- 
tros, la velocidad media en ese 
minuto habría sido de 120 kiló- 
metros por hora. 

62. JVelocidad instantánea. 

— La velocidad instantánea de 
un movimiento variado en un 
instante determinado, no es más 
que la velocidad media corres- 
pondiente a un intervalo de 
tiempo suficientemente pequeño que comprende al instante dado. 

Más precisamente: velocidad instantánea es el límite hacia el 
cual tiende la velocidad media cuando el intervalo de tiempo con- 
siderado tiende a cero. 





Física Elemental 


57 


63. Espacio recorrido en un movimiento variado. — De lo 
dicho en los párrafos 59 y 60 se desprende que el espacio reco- 
rrido por un móvil que se mueve con movimiento variado, en un 
intervalo dado de tiempo, estará dado por el área limitada por el 
eje del tiempo (fig. 99), la curva que representa la velocidad y 
las dos ordenadas trazadas por los extremos del lapso considerado. 

- ■ - ' V. 

^ 64. Aceleracióji. — Es el cociente entre la variación de la velo- 

cidad y el intervalo de tiempo en que se produjo dicha variación. 

Ejemplo. — Consideremos un móvil que en determinado instante 
tenga una velocidad igual a 5 m/seg y que al cabo de 8 seg su 
velocidad sea de 85 m/seg. La variación de la velocidad ha sido: 

Variación de velocidad = 85 m/seg — 5 m/seg = 80 m/seg. 

Como esta variación de velocidad se produjo en un intervalo de 
tiempo de 8 seg, la aceleración será: 

variación de velocidad 80 m/seg m 

Aceleración = — = : = 10 . 

tiempo 8 seg seg 2 

Esto nos dice que la velocidad aumentó en 10 m/seg en cada 
segundo. La unidad de aceleración, en el sistema técnico, es la de 
un móvil cuya velocidad aumenta en 1 m/seg en cada segundo. 

65. Aceleración instantánea. — La aceleración que acabamos 
de definir es la aceleración media en el intervalo de tiempo consi- 
derado. La aceleración instantánea, en determinado momento, es la 
aceleración media correspondiente a un intervalo de tiempo sufi- 
cientemente pequeño, que comprenda al instante dado. 

66. Movimiento uniformemente variado. — Un movimiento 
es uniformemente variado cuando su aceleración es constante. Con- 
sideremos que la aceleración del móvil del ejemplo del parágrafo 64 
se mantenga constante, o sea, siempre igual a 10 m/seg 2 . En cada 
segundo la velocidad aumentará en 10 m/seg, por lo cual los valo- 
res sucesivos de la velocidad serán: 

Velocidad = 5 m/seg; 

„ =5 m/seg-f-10 m/seg = 15 m/seg; 

„ = 15 m/seg-j-10 m/seg =25 m/seg; 

„ =25 m/seg+10 m/seg=35 m/seg; 


En el instante 0 seg 

« » v 1 

„ „ „ 2 seg 

„ „ „ 3 seg 

y así sucesivamente. 



58 


E. Loedel 


En general llamando Vo a la velocidad inicial y V a la veloci- 
dad que adquiere el móvil al cabo del tiempo t, la aceleración a. 
constante, estará dada de acuerdo a su definición por la fórmula: 

V-Vo 

a = ; y de aquí: V = Vq -f at. [1] 

t 

Apliquemos esta fórmula para calcular la velocidad que adquiere 
el móvil del ejemplo al cabo de 8 seg: 

m m m m m 

V = 5 flO X 8 seg = 5 f 80 = 85 . 

seg seg 2 seg seg seg 

67. Movimiento uniformemente acelerado y uniformemente 
retardado. — Si la aceleración (constante) es positiva el movimiento 
se llama uniformemente acelerado; si es negativa uniformemente 
retardado. Si la velocidad inicial es Vo, la velocidad V al cabo del 

tiempo t está dada, en uno 
u otro caso, por la fór- 
mula que ya hemos esta- 
blecido. Poniendo de ma- 
nifiesto el signo se tendrá: 

V = V 0 + at; [2] 
mov. unif. acelerado. 

V = Vo — at; [ 3 ] 
mov. unif. retardado. 


68. Representación 
gráfica. — La figura 100 
representa la velocidad en 
función del tiempo en un 
movimiento uniformemente acelerado y la figura 101, en un mo- 
vimiento uniformemente retardado. Como la aceleración es cons- 
tante, se obtiene en ambos casos, como representación de la veloci- 
dad, una recta que forma cierto ángulo con el eje del tiempo. 

69. Cálculo del espacio. — El espacio recorrido en el movi- 
miento uniformemente acelerado estará dado numéricamente por el 
área sombreada del trapecio de la figura 100. Esa área es igual 




Física Elemental 


59 


al área del rectángulo Vq X t más el área del triángulo y 2 o,t X t, 
que se ve en la figura, 
o: 

e = V 0 1 + 1/2 at 2 [4] 

mov. unif. acelerado. 

En el movimiento uni- 
formemente retardado, el 
área del trapecio, que 
mide el espacio recorri- 
do (fig. 101) es igual al 
área del rectángulo Vq X 
t menos el área del trián- 
gulo y 2 at X t. Luego : 

e = V 0 t — 1/2 at 2 [5] 

mov. unif. retardado. 

70. Caso de veloci- 
dad inicial nula. — En un movimiento uniformemente acelerado, 
de velocidad inicial nula (Vo = 0), las fórmulas de la velocidad 
y el espacio son: 

V — at; e = 1/2 at 2 . [6] 

Estas fórmulas se han obtenido, haciendo en las fórmulas ya 
establecidas del movimiento uniformemente acelerado, Vq = 0. 

71. Leyes del movimiento uniformemente acelerado. — Para 
un movimiento uniformemente acelerado, cuya velocidad inicial es 
cero, pueden enunciarse de acuerdo a las fórmulas últimamente esta- 
blecidas las siguientes leyes: 

1* Ley. — La velocidad en un instante dado es proporcional al 
tiempo transcurrido desde el comienzo del movimiento. 

2^ Ley. — Los espacios recorridos son proporcionales a los cua- 
drados de los tiempos empleados. 

PROBLEMAS 

1. La velocidad de un móvil aumenta en 20 m/seg en 5 seg. Siendo 
un movimiento uniformemente acelerado, hallar la aceleración. 

20 m 
a — — = 4 . 

5 seg 2 





60 


E . Loedel 


2. Un auto al comenzar la marcha, adquiere en 4 seg una veloci- 
dad de 9 Km /hora. Hallar la aceleración admitiendo que se 
trate de un movimiento uniformemente acelerado. 

Km 9000 m m 

9 = = 2,5 . 

hora 3600 seg seg 

2,5 m/seg m 

a = = 0,625 . 

4 seg seg 2 

3. Hallar el espacio recorrido por el auto del ejemplo anterior 
en los 4 primeros segundos. 

e = y 2 at 2 - y 2 x 0,625 X 16 = 5 m. 

4. Un auto marcha con una velocidad de 72 Km/hora y frena com- 
pletamente en un trayecto de 50 metros. Hallar la aceleración 
y el tiempo empleado. Se admite que el movimiento es unifor- 
memente retardado. 

Se tiene : 

e = V 0 t — y 2 at 2 ; V = V 0 — at. 

Como la velocidad final V es cero tenemos: 

Vo 

0 = V 0 — at, de donde: V 0 = at; o sea: t = . 

a 

Llevando este valor de t a la fórmula del espacio se tiene: 


Vo 

i 

rt . 

Vo 2 

<N 

O 

II 

0 

i 

Vo 2 

a 

u 

2 

ar 

a 

2 

a 


o sea: 

V 0 2 

e — . 

2 a 

En esta fórmula conocemos e y V 0 ; podemos despejar at 

V 0 2 

a = . 


2 e 



Física Elemental 


61 


La velocidad Vo = 72 Km/hora es igual a 20 m/seg, luego: 

20 2 m 

a = — 4 

2 X 50 seg 2 

y para el tiempo t : 

V 0 20 

t — = — = 5 seg. 

a 4 


5. Un móvil parte con velocidad inicial nula; siendo la acele- 
ración a = 10 m/seg 2 , recorre con movimiento uniformemente 
acelerado 45 metros. Hallar el tiempo empleado y la velocidad 
adquirida. 

Las fórmulas a emplearse son: 

e = V 2 at 2 ; V = at. 

De la primera obtenemos para t: 

/ 2 e /2 X 45 _ 

t= \ = y = V 9 = 3 seg. 

a 10 


Reemplazando el valor de t en la fórmula de la velocidad 
se tiene: 


V = a 



V 2 ea. 


Numéricamente : 


m 

F = 30 

seg 


CAÍDA DE LOS CUERPOS 

72. Experimentos de Galileo. Su significado. — En el año 
1604 descubrió Galileo Galilei, experimentalmente, en su ciudad 
natal. Pisa, las leyes de la caída de los cuerpos. 

Si se ha de elegir una fecha de nacimiento para la prodigiosa 
ciencia moderna, esa fecha debería coincidir con la de los experi- 
mentos del célebre sabio italiano. 



62 


E. Loedel 


Antes de Galileo, siguiendo sobre todo a Aristóteles, el insigne 
filósofo de la clásica Grecia, se creía que el hombre tenía la facul- 
tad de encontrar, por mero razonamiento, el modo de comportarse 
del mundo exterior. Sin duda alguna, influía en esta creencia, la 

obra llevada a cabo por 
los geómetras, que culmi- 
nó con la sistematización 
hecha por Euclides. 

La arquitectura del edi- 
ficio geométrico se carac- 
teriza, en efecto, por cons- 
tituir una cadena de razo- 
namientos eminentemente 
lógicos, que parten de cier- 
tos postulados o axiomas, 
cuya verdad se admite, 
‘por presentarse al espíri- 
tu como evidentes”. 

Los teoremas que se 
demuestran en geometría 
de este modo, se a 
luego al mundo real: la 
suma de los ángulos de 
cualquier triángulo forma- 
do por hilos tirantes o por 
rayos de luz es igual a dos 
rectos; el cuadrado de 
la hipotenusa resulta ser 
igual a la suma de los 
cuadrados de los catet^§, etc. ¿Por qué no aplicar entonces ese mé- 
todo geométrico a la física y a las demás ciencias? 

Se encontró que muchas cosas que parecían evidentes no eran 
verdaderas, e inversamente, muchas cosas verdaderas, no son, de 
ningún modo, evidentes. 

La Tierra que parece estar fija se mueve, mientras que la bóveda 
estrellada que vemos girar, permanece fija. 

Se podrá lograr un conocimiento del mundo procediendo a la 
manera geométrica, por vía deductiva, pero habrá que partir para 
ello, no de “verdades que nos parezcan evidentes por sí mismas” 
sino de hechos establecidos experimentalmente. En la parte que ya 
hemos estudiado, la estática, hemos procedido en forma deductiva a 


plican 




Física Elemental 


63 


partir de la regla del paralelogramo de las fuerzas, que se estableció 
en forma experimental. 

73. Leyes de la caída. — Antes de Galileo se argumentaba más 
o menos así: “Los cuerpos más pesados son solicitados por fuerzas 
mayores, luego, caerán más de prisa”. Esto, veremos en seguida que 
es falso. Pero Galileo, no refutó estos argumentos con otros argu- 
mentos. Se limitó a dejar caer desde lo alto de la torre de Pisa, 
esferas de volúmenes aproximadamente iguales y pesos diferentes: 


de hierro, madera, corcho, etc. Ob- 
servó que todas ellas llegaban al 
suelo al mismo tiempo *. 

Luego, haciendo rodar esferas 
pulidas por largos planos inclina- 
dos, vió que su movimiento era 
uniformemente acelerado. Enunció, 
pues, las dos leyes siguientes refe- 
rentes a la caída de los cuerpos. 

I 9 Ley. — Cuerpos diferentes, de 
cualquier forma y naturaleza, tar- 
dan en caer desde una misma altu- 
ra, el mismo tiempo, siempre que 
se elimine la resistencia del aire. 

2 9 Ley. — Todos los cuerpos caen 
con movimiento uniformemente ace- 
lerado si se elimina la resistencia 
del aire. 



Kig. 103. — Torre de Pisa. 


Comprobación de la l 9 ley. — Tómese una moneda y un trozo 
de papel. Si se deja caer a ambos desde cierta altura se verá que 
la moneda llega antes al suelo. Si en cambio formamos con el 
trozo de papel una apretada bolita, eliminaremos así, en gran parte, 
la resistepcia del aire y observaremos que moneda y bolita de papel 
llegan al suelo al mismo tiempo. 

Extrayendo el aire de un tubo de vidrio, que contiene objetos 
diversos tales como un disco de metal, una pluma, etc., se observa 
al invertir el tubo que todos los cuerpos caen juntos. Este experi- 
mento es atribuido a Newton (fig. 104). 

Comprobación de la 2 9 ley. — Con un plano inclinado y un 
metrónomo (fig. 105), se comprueba fácilmente esta ley. El me- 
trónomo es ,un aparato de relojería que da golpes sucesivos sepa- 


• Véaae problema 9 de pag. 83. 



64 


E. Loedel 


rados por intervalos iguales de tiempo. Puede adoptarse como uni- 
dad de tiempo el intervalo comprendido entre dos golpes consecu- 
tivos. Corriendo una pesa de la varilla oscilante del me- 
trónomo se logra que los golpes se sucedan con mayor 
o menor rapidez. Esto significa que la unidad de tiempo 
la podemos acortar o alargar a voluntad. Si regulamos 
el metrónomo de manera que al tercer golpe el cuer- 
po pase por la división 9 del plano, se observará lo 
siguiente: 


ÍÜ 




H -.i 

É 




\\Wm 


En el golpe cero comienza la caída en cero. 

En el golpe uno el cuerpo pasa por uno. 

En el golpe dos el cuerpo pasa por cuatro. 

En el golpe tres el cuerpo pasa por nueve. 

En el golpe cuatro el cuerpo pasa por diez y seis, etc. 

Se constata así. que los espacios recorridos son pro- 
porcionales a los cuadrados de los tiem pos. 

Esto significa (71) que el movimiento de caída es 
uniformemente acelerado. 


74. Aceleración de la gravedad. — A medida que 
se aumenta la inclinación del plano inclinado se obser- 
va que 1^ aceleración de caída va siendo mayor. Si el 
plano es vertical el movimiento es el que corresponde 
a la caída libre. Tomando cinematográficamente el rao- 
Fl TÚbo°de _ vimiento de caída de un cuerpo, que se efectúe junto 
Newion. a una regla vertical graduada, se constata que el mo- 
vimiento es uniformemente acelerado. 

La aceleración de caída en el vacío, igual para todos los cuer- 
pos, se llama ace- 
leración de la 
gravedad. Se la 
designa con la le- 
tra g y su valor 
es aproximada- 
mente: 






' w ;>tt * "7 \: j * -y: 


m 


g = 9,80 



seg- 


Fiy. 105. — Caída por un plano inclinado. 


El valor de g varía con la latitud y también algo con la altura 
sobre el nivel del mar. 



Física Elemental 


65 


En lo que se refiere a la latitud se obtienen para g, aproxima- 
damente, estos valores: 


Latitud 

g m /eeg 2 

0 ° ( Ecuador ) 

9,78 

45 ° 

9,806 

900 (p 0 l 0s ) 

9,83 


75. Fórmulas de la caída en el vacío: a) Caída sin velocidad 
inicial. — Si se deja caer un cuerpo desde cierta altura, sin veloci- 
dad inicial, la velocidad adquirida V, al cabo del tiempo í será: 

y = gt; [l] 

y el espacio recorrido: * 

e = 7 2 gt*; [2] 

de acuerdo a lo establecido en (70). 

b) Velocidad inicial vertical hacia abajo. — En este caso se 
tendrá si la velocidad inicial es V 

V = V o + gt; [3] 

e=V 0 1 + 72 gt 2 . [4] 

c) Velocidad inicial vertical bacía arriba. — En este caso 
siendo la velocidad inicial V o, el movimiento será uniformemente 
retardado : 

V=Vo — gt; [5] 

e = V 0 t-V 2 gt 2 . [6] 

PROBLEMAS 

1. Un cuerpo tarda 5 seg en caer en el vacío. Hallar la altura a 
que se encontraba y la velocidad con que choca contra el suelo. 

La altura h es igual al espacio recorrido, luego por [1] 
y [2] se tiene: 

m 

h = 122,50 m V = 49 . 

seg 

Nota. — Consideramos en todos los problemas g = 9,80 
m/seg 2 . El cálculo se realiza fácilmente considerando g = 10 



66 


E. Loedel 


m/seg £ y descontando luego del resultado el 2 %. El cálculo 
precedente de la altura se realiza mentalmente así: 

¿2 = 52 = 25 ; 25 X 10 = 250 ; la mitad 125. 

El 1 % de 125 es 1,25; el 2 % 2,50. 

125 — 2,50 = 122,50. 


2 . Un cuerpo cae desde una altura h = 490 m. Hallar el tiempo 
empleado en la caída y la velocidad adquirida al finalizar el 
recorrido. 

En las fórmulas [1] y [ 2 ] se conoce e — h, y g; habrá que 
determinar t y V ; de la [ 2 ] se obtiene para t : 



S 

▼alor que llevado a la [ 1 ] nos da: 


V = g 



Reemplazando : 


t = 10 seg ; 


r = V 2 gh. 


m 

V = 98 

seg 


3. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velo- 
cidad inicial V o = 98 m/ seg. Hallar el espacio recorrido en 
9 seg y la velocidad adquirida al cabo de ese tiempo. 

Aplicando [5] y [ 6 ] resulta: 

e = 485,1 m; V = 9,8 m/seg. 


4 . Hallar la altura máxima alcanzada por un cuerpo lanzado ver- 
ticalmente hacia arriba con una velocidad inicial Vo — 98 m/seg. 

Al alcanzar la altura máxima la velocidad del cuerpo es 
cero, luego: 

Vo 

0 = Vo — gt; de donde: í = % 


S 



Física Elemental 


67 


Llevando este valor a la [6] se tiene, llamando ahora al 
espacio H (altura máxima) : 

Fo 2 1 Vo 2 V o 2 

H = , o sea : H = . 

8 2 8 2 g 

Reemplazando: 

H = 490 m. 

5. Representar gráficamente el espacio recorrido en función del 
tiempo, de un cuerpo que cae libremente en el vacío sin velo- 
cidad inicial . 

La fórmula del espacio es la [2]. Reemplazando g por su 
valor numérico resulta: 

e = 4,90 t 2 . 

Dándole a t sucesivamente los valores 0, 1. 2, 3. etc., resulta 



Fig. 106. 


En la figura 106 están representados los puntos correspon- 
dientes, habiendo tomado en el eje de las abscisas el tiempo 
y en el de las ordenadas, hacia abajo, el espacio recorrido. 
La curva obtenida uniendo los puntos es una parábola. 

76. Otros modos de comprobar las leyes de la caída. — La 
figura 107 representa el aparato de Morin, consistente en un cilin- 
dro envuelto por una banda de papel que gira uniformemente alre- 
dedor de un eje vertical por medio de un aparato de relojería. Para- 





68 


E. Loedel 





lelamente a una generatriz del cilindro se encuentra un alambre 
tirante, fijo y vertical, que sirve de guía al cuerpo que cae, provisto 
de un lápiz que se apoya sobre el cilindro. Sobre la banda de papel 
queda diseñada así, una curva (fig. 108). Esta 
curva es una parábola. Trazando sobre el pa- 
pel, por el punto en que ha comenzado la caí- 
da, una recta vertical y 
. otra horizontal, si se di- 
vide ésta en segmentos 
iguales, dichos segmen- 
tos podrán representar 
unidades iguales de tiem- 
po, constatándose enton- 
ces que los espacios son 
proporcionales a los cua- 
drados de los tiempos 
empleados en recorrerlos. 

Veremos más adelan- 
i te . otros dispositivos con 
los cuales pueden verifi- 
carse igualmente las le- 
yes de la caída. 


FUERZAS RESISTENTES 

Fig. 108. — Gráfica de 
la caída. 

77. Rozamiento. — 

Para hacer que un cuer- 
po apoyado sobre una superficie horizontal 
comience a desplazarse (fig. 109) es necesa- 
rio ejercer sobre él cierta fuerza. El valor de 
la fuerza necesaria para producir el despla- 
zamiento de- 
pende del 

Fig. 107. — Aparato de ^ DeSO del 
Morin. ' r _ 

cuerpo y de 
la naturale- 
za de las superficies puestas en 
contacto. Si las superficies son li- 
sas, la fuerza necesaria será me- 
nor, y menor todavía, si se coloca entre las mismas una capa de 
grasa o aceite. Se observa experimentalmente que la fuerza del roce 
no depende de la extensión de las superficies que están en contacto: 



Física Elemental 


69 


la fuerza necesaria para producir el deslizamiento del paralelepípedo 
de madera representado en la figura 110 es la misma, tanto que 
se apoye aquél sobre una u otra cara. Se llama coeficiente de roce 
s, entre dos superficies determinadas, al cociente entre la fuerza 
mínima necesaria para producir 
el deslizamiento F y la fuerza 
normal N, con que una super- 
ficie se aplica sobre la otra: 

F 

N 

Se determina fácilmente el 
coeficiente de rozamiento colo- 
cando el cuerpo sobre la super- 
ficie e inclinando ésta poco a 
poco (fig. 111 ) hasta que el 
cuerpo comienza a deslizarse. 

Como se ve en la figura, el cociente F/N es igual a la tangente 
trigonométrica del ángulo <p en que comienza el deslizamiento. 

Por lo tanto : 

s = tg<p. 

Ejemplo. — Si se coloca una hoja de acero (hoja de afeitar) 
sobre una tabla de madera, el deslizamiento comienza cuando el m 

ángulo es, aproximada- 
mente, de 20°. Resulta 
entonces para el coefi- 
ciente de roce entre el 
acero y la madera uti- 
lizada: 

9 = tg 20° = 0,36. 

En realidad debe dis- 
tinguirse entre el coefi- 
ciente de roce al partir 
y el coeficiente de roce 
durante la marcha. Este último es siempre menor que el primero. 

Rozamiento por rodadura. — El coeficiente de roce por roda- 
dura, caso de un cilindro, una esfera, una rueda, etc., es mucho 



Fig. 111. — Coeficiente de rozamiento. 




70 


E. Loedel 


menor que el de deslizamiento. Por esta razón los vehículos se apoyan 
sobre ruedas. Pero entre el eje y el cojinete de la rueda existe frota- 
miento por deslizamiento, que se aminora con una lubrificación 
apropiada. Puede transformarse en los ejes el roce por deslizamiento 
en roce por rodadura, colocando esferas pulidas de acero entre el 

eje y el cojinete (fig. 112). 

Sobre un camino liso el coeficiente 
de roce correspondiente a un automó- 
vil es, aproximadamente, 0,03. Esto sig- 
nifica que por cada 1 000 Kgr de peso 
debe efectuarse en 
un camino hori- 
zontal una fuer- 
za de tracción de 
i unos 30 Kgr. 

78. Resisten- 
cia del aire. — 

La fuerza deb 
viento, que mueve las aspas de los molinos, t 
impulsa a los barcos, sostiene a las cometas, 
etcétera, se manifiesta también sobre los cuer- 
pos que se mueveh en el seno del aire, aun es- 
tando éste en reposo. Se manifiesta esta fuerza 
ostensiblemente cuando se marcha a gran velo- 


Fig. 113. — Paracaídas. 

cidad en un vehículo 
descubierto. 

En los paracaídas 
(fig. 113) la resisten- 
cia del aire llega a ser 
igual al peso del para- 
caidista, para una velocidad de descenso relativamente pequeña. 
La fuerza de resistencia que ofrece el aire a un cuerpo en movi- 
miento depende de la velocidad y fundamentalmente de la forma 
del cuerpo. Para un mismo cuerpo — y entre ciertos límites — 
puede considerarse que dicha resistencia es proporcional al cua- 
drado de la velocidad. 






Física Elemental 


71 


En los aeroplanos es la resistencia del aire la que produce la 
fuerza sustentadora. El aparato avanza merced a una hélice accio- 
nada por un motor. El aire al chocar contra las alas débilmente 
inclinadas (fig. 114) ejerce una fuerza F, cuya componente verti- 
cal 5 equilibra o supera el peso del aparato. 

El pilotaje de un avión se logra por medio de timones que apro- 
vechan también la resistencia del aire. El timón de profundidad es 
un plano situado próximo a la cola que puede girar alrededor de 
un eje horizontal. Si se levanta el timón, el aparato se eleva, e 
inversamente. El timón de dirección es un plano que gira alrede- 
dor de un eje vertical. 



CAPÍTULO VI 


DINÁMICA 

79. Principio de inercia. — Sea un plano inclinado unido a 
otro horizontal (fig. 115). Si dejamps caer una esferita por el plano 
inclinado, al llegar al plano horizontal seguirá moviéndose con 
movimiento uniforme, lo que se puede constatar con un metrónomo. 
La velocidad del movimiento uniforme está medida por el trayecto 
recorrido por la esfera en la unidad de tiempo. La velocidad de la 
esfera sobre el plano horizontal es igual a la velocidad final corres- 
pondiente al movimiento acelerado de la misma, sobre el plano 
inclinado *. 

En realidad, el movimiento de la esfera sobre el plano hori- 
zontal no es rigurosamente uniforme, sino algo retardado. Prueba 
de ello es que la esfera acaba por detenerse al cabo de cierto tiempo, 
si el plano es sufi- 
cientemente largo 
La esfera se detie 
ne debido al roza 
miento y a la re 
sistencia del aire 
Si se pudieran eli 
minar ambas resis 
tencias en absoluto, 
un cuerpo en movimiento, apoyado sobre un plano horizontal, se 
movería siempre en línea recta y con movimiento uniforme. 

El principio de inercia enunciado por Galileo afirma: 

Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza y está en reposo , 

permanece en reposo ; y si está en movimiento continúa moviéndose 
indefinidamente en línea recta y con movimiento uniforme. 

Si: fuerza = cero: velocidad = constante. 

Que la velocidad es constante significa no sólo que no varía la 

magnitud de la misma, sino también que permanece invariable su 

dirección, o sea que el movimiento es rectilíneo. 

• De esta manera se puede comprobar que la velocidad en un movimiento uniformemente 
acelerado es proporcional al tiempo, cuando la velocidad inicial es bula. 



~ Fig. 115. 








Física Elemental 


73 


Inversamente : 

Si: velocidad = constante: fuerza = cero. 

Si un auto marcha en línea recta con una velocidad constante 
de 60 Km/hora, podemos asegurar que la resultante de todas las 
fuerzas que sobre él se ejercen (fuerza de tracción, fuerzas de roza- 
miento, de resistencia del aire, del peso, de la reacción del suelo) 
es nula. 

La tendencia de los cuerpos a perseverar en su estado de reposo 
o de movimiento se manifiesta a cada paso. Cuando un vehículo 
, inicia la marcha los pasajeros se sienten impulsados hacia atrás, 
como si “quisieran” quedarse donde esta- 
ban, en reposo; si el vehículo se detiene 
bruscamente los pasajeros son impulsa- 
dos hacia adelante, perseverando en el 
mantenimiento de la velocidad que tenían. 

En una curva es como si actuara so- 
bre los cuerpos una fuerza que los tiende 
a alejar del centro de giro y ello es 
debido también a la persistencia en con- 
servar la dirección de la velocidad. Em- 
pleando un lenguaje no muy científico 
por cierto, podría decirse que la inercia 
es una especie de capricho de la materia. 

' . S ' 1 V s 

80. Composición de movimientos. — 

Consideremos el siguiente caso. Un barco 
se desplaza con respecto a las orillas del 
río con -velocidad V (fig. 116) ; sobre 

_ # # 1 ig. 11U. UÜIUJJUblLlUD 

cubierta un pasajero se pasea con una de velocidades, 

velocidad V’ respecto al propio barco. - 

¿Cuál será la velocidad del pasajero con respecto a la tierra firme? 

La velocidad es una magnitud vectorial. Representando a V y 
V’ por medio de vectores, la velocidad resultante V” está dada por 
la' regla del paralelo gramo. 

Composición de un movimiento uniforme con otro unifor- 
memente acelerado. — Supongamos que en el interior de un 
vehículo (fig. 117) que se desplaza con movimiento uniforme con 
velocidad V se deja caer un cuerpo. El cuerpo cae en el interior 
del vehículo exactamente de la misma manera como caería si aquél 
estuviera en reposo. Es decir, que los pasajeros del interior del 




74 


E. L O E D E L 


mismo, observan que el cuerpo cae verticalmente (siguiendo una 
línea recta) y con movimiento uniformemente acelerado. 

¿Cuál es la trayectoria que sigue el cuerpo con respecto a un 
observador colocado al costado del camino y que no participa del 
movimiento del vehículo? Esta trayectoria será una parábola de 

acuerdo a lo visto en el 
problema 5 del párrafo 
75. Luego, lo que es una 
trayectoria rectilínea para 
los observadores del inte- 
rior del vehículo, es curvi- 
línea para los que están 
fuera de él. Que la fuerza 
del peso actúa .por igual 
sobre un cuerpo que ini- 
cialmente está en reposo como sobre otro animado de cierta velo- 
cidad, se prueba con el aparato de la figura 118. Dos esferas iguales 
A y B, están dispuestas de tal modo que golpeando una varilla V 
con el martillo M se le imprime 
a la esfera A una velocidad hori- 
zontal V 0 , en tanto que la B cae 
vertical mente. Ambas llegan si- 
multáneamente al suelo: luego la 
fuerza de gravedad actúa por igual 
sobre ambas. El experimento pue- 
de realizarse sin ningún aparato 
por medio de dos bolitas. Se co- 
loca la una en el borde de una 
mesa y se sostiene la otra con la 
mano izquierda a la misma altura. 

Se deja caer ésta en el preciso 
instante en que a la otra se la 
impulsa con un papirotazo. 

Si en el interior de un vagón 
de tren, que se traslada con mo- 
vimiento uniforme, un pasajero 
tira verticalmente hacia arriba un 
cuerpo, éste caerá sobre sus manos. Desde afuera del tren se verá 
que el cuerpo recorre una parábola. Puede realizarse este experi- 
mento por medio de un carrito provisto de un cañoncito vertical. 
El proyectil es impulsado por un resorte. Se deja caer el carro por 
un plano inclinado unido a otro horizontal. Un tope especial, fijo 



Fig. 118. — Igual tiempo de caída. 



Fig. 117. 



Física Elemental 


75 


f 

entre las vías del plano horizontal, hace que el cañón al pasar por 
allí dispare. Se observa que el proyectil, luego de describir una 
parábola, cae en la embocadura del cañón. 

Nota. — El aparato tendría que ser de extraordinaria precisión para que 
esto sucediera exactamente. Por esta razón la embocadura del cañón va pro- 
vista de un embudo. 

81. Principio de superposición. — Los experimentos que pre- 
ceden y otros muchos que podrían citarse nos llevan al enunciado 



Fig. 119. — Composición de movimientos. 


del principio de superposición, llamado también de la independen- 
cia de los movimientos: 

El efecto de una fuerza , al actuar sobre un cuerpo , no depende 
del estado de reposo o de movimiento en que aquél pueda hallarse. 



Un cuerpo cae con movimiento uniformemente acelerado. La 
aceleración vertical, hacia abajo, es producida por una fuerza: el 
propio peso del cuerpo. Esta aceleración es constante: igual tanto 
al principio de la caída, cuando la velocidad es pequeña, como cuan- 
do lleva ya 10 ó. 20 segundos q> caída en que la velocidad es grande. 


76 


E. Loedel 


Esta aceleración de caída tiene el mismo valor aunque el cuerpo esté 
dotado de un movimiento uniforme en dirección horizontal u oblicua. 

82. Trayectoria de un proyectil en el vacío. — Supongamos 
que desde O (fig. 120) se lanza un proyectil en la dirección OD 

( O es la boca del cañón). Si 
no actuara sobre el proyectil la 
fuerza de su propio peso, en 
virtud del principio de inercia 
recorrería la recta OD con mo- 
vimiento uniforme. Si los seg- 
mentos OA, AB, BC, etc., son 
iguales, serían recorridos en in- 
tervalos también iguales de tiem- 
po. En el trayecto de O a A el 
proyectil caerá un cierto espa- 
cio e. Si el tiempo empleado 
fuera igual a un segundo el es- 
pacio e sería igual a 4,90 m. 
En el trayecto de O a B el cuer- 
po caerá un espacio cuádruple, de O a C, nueve veces más y así 
sucesivamente. La trayectoria resulta ser una parábola. 

La figura 121 muestra un dispositivo en que la trayectoria para- 
bólica queda determinada por un chorro de agua. En la figura 122 
se ve el llamado plano de Pac- 
kard consistente en un plano in- 
clinado sobre el cual se deja 
caer una esfera de acero. Utili- 
zando un papel de calcar la tra- 
yectoria parabólica de la esfera 
queda impresa sobre un papel. 

PROBLEMAS 

1. La velocidad inicial con que 
sale una bala del caño de 
un fusil es de 300 m/seg. 

Se quiere hacer blanco en* 
un punto distante en 300 metros. ¿A qué punto debe dirigirse 
el caño del arma? (fig. 123). 

El proyectil tardará en alcanzar el blanco 1 seg. En ese 
tiempo (en el vacío) desciende 4,90 metros. Luego debe diri- 




Física Elemental 


77 


girse el caño a un punto situado 4,90 metros más elevado que 
el punto donde quiere hacerse impacto. 


2. Si el blanco estuviera situado a 600 metros , ¿dónde deberá 
apuntarse suponiendo las condiciones del problema anterior? 



Fig. 123. 


El proyectil tardará en llegar 2 seg. En ese tiempo cae 
4,90 X4 — 19,60 m. Se dirigirá el arma 19,60 m más arriba 
del blanco. 

3. Un avión vuela horizontalmente a 490 metros de altura con 
una velocidad de 360 Km/hora = 100 m/seg. 

¿A qué distancia, antes de llegar a pasar sobre el blanco, 
deberá dejar caer una bomba para que haga impacto? 

Como el 
cuerpo tar- 
dará en caer 
10 seg y se 
mueve hori- 
zontalmente 
con la velo- 
cidad de 100 
m/seg, debe- 
rá dejarlo 
caer 1 000 
metros antes 
de pasar so- 
bre el blanco. 

4. Desde el 
avión del ej. 

anterior se dispara en el sentido del movimiento con fusiles 
del tipo del problema 1. ¿Qué velocidad tendrá el proyectil 
con respecto a tierra firme? 

V = 300 + 100 = 400 m/seg. 




78 


E. Loedel 


5. Y si se dispara perpendicularmente a la dirección del movi- 
miento? Aplicando la regla del paralelogramo y el teorema de 
Pitágoras resulta: 

V = V 300 2 -f- 100 2 = 316,2 m/seg. 

Nota. — En todos estos casos se ha supuesto nula la resistencia del aire. 

83. Composición de aceleraciones. — Siendo la aceleración un 
vector, dos aceleraciones se componen de acuerdo a la regla del 

paralelogramo en virtud del principio 
de superposición. 

Ejemplo. — Supongamos un carri- 
to que se desliza por la acción de 
un peso por un plano horizontal (fig. 
125). Su movimiento es uniformemen- 
te acelerado. Sea una varilla vertical 
fija al carro que sirve de guía a un 
cuerpo qué cae C. La aceleración de 
este cuerpo será la resultante entre g 
y a, siendo a la aceleración del carro 
a lo largo del plano horizontal. 

^ 3^ PRINCIPIO DE MASA 

84. Fuerza y aceleración. — Sabemos ya, por el principio de 
inercia, que si sobre un cuerpo no actuara fuerza alguna el cuerpo 
se movería con velocidad constante, siendo en consecuencia la acele- 
ración igual a cero. Sabemos también que si sobre un cuerpo actúa 
una fuerza constante, la aceleración que adquiere es también cons- 
tante. En el caso de la caída la fuerza actuante es el peso, la acele- 
ración, la de la gravedad. 

Si un cuerpo rueda a lo largo de un plano inclinado, se mueve 
también con movimiento uniformemente acelerado (73). La fuerza 
que lp hace caer por el plano es, según vimos (.45) : 

h 

f = 7 P: X 

siendo ahora h, la altura, l la longitud y P el peso del cuerpo 
que en el párrafo 45 habíamos designado con la letra R para 
indicar que era la resistencia. 




Física Elemental 


79 


Se observa experimentalmente que la aceleración de caída a lo 
largo del plano depende, para una misma longitud, de la altura. 
He aquí el resultado de unas medidas: 

Utilizamos un plano al que inclinamos con dos tacos de ma- 
dera (fig. 126 I). Regulamos el metrónomo, de modo que al ter- 
cer golpe el cuerpo pase por nueve, habiéndolo soltado en el gol- 


pe cero. 

Colocamos ahora 4 tacos (II). Observamos (sin variar ya el 
metrónomo) que al tercer golpe pasa por la división 18. 

En este segundo caso la aceleración ha sido el doble que en 
el primero. La fuerza que actuaba en el sentido de la longitud 
también se había hecho doble. 


Concluimos de aquí: 

La aceleración que adquiere 
un cuerpo es directamente pro- 
porcional a la fuerza que’ la pro- 
duce, teniendo su misma direc- 
ción y sentido. _ v / 

- A 

Aceleración de caída en 
un plano inclinado. — Supo- 
niendo nulo el rozamiento la 
fuerza que hace deslizar el cuer- 
po a lo largo del plano incli- 
nado con la aceleración a es co- 
mo sabemos P h/l. Si el cuerpo 
cae libremente bajo la acción del 
peso P la aceleración de caída es 



Fig. 126. — Fuerza y aceleración. 


la de la gravedad g. Por lo tanto: 


h 

F — — P produce una aceleración = a; 

l 


Peso = P „ — g. 

De aquí, y de la proporcionalidad entre fuerzas y aceleraciones 
deducimos, luego de eliminar P: 

F a h a h 

— = — ; — = — ; o sea: a = g — . 

p g i e i 

Como vemos, la aceleración a lo largo de un plano inclinado no 
depende del peso del cuerpo, lo mismo que ocurre en la caída libre. 



E. L O E D E L 


80 

85. Principio de masa. — Para comunicar a un cuerpo cierta 
aceleración se necesita que actúe sobre él una fuerza. Para producir 
una aceleración de un metro por segundo y por segundo sobre una 
locomotora se requerirá mayor fuerza que para producir la misma 
aceleración en una bicicleta. Diremos que la locomotora ofrece una 
resistencia mayor al cambio de movimiento (aceleración) que la 
bicicleta. 

La magnitud que mide la resistencia que opone un cuerpo al 
cambio de velocidad se denomina masa del cuerpo. 

Podemos ya enunciar el principio de masa de Newton en la for- 
ma siguiente: 

La aceleración que adquiere un cuerpo bajo la acción de una 
fuerza, es directamente proporcional a la misma y está en razón 
inversa de la masa del cuerpo. 

Llamando o a la aceleración producida por la fuerza F al 

actuar sobre un cuerpo de masa 
m se tiene: 

F 

a = , 

m 

íórínula que corresponde al principio de masa. 

86. Comparación de masas. — Apliquemos el principio de masa 
al caso de la caída libre en el vacío. La fuerza es en este caso el 
peso del cuerpo; la aceleración, la de gravedad g; luego: 

P 

S = — • 
m 

Para otro cuerpo de peso P’ y masa m\ como cae, de acuerdo 
a la ley experimental de la caída con la misma aceleración g se 
tendrá 

F 

* g = • 

rn 

De ambas igualdades obtenemos: 

P F m P 

= ; o sea: = ; 

m m ni P’ 

que nos dice que las masas son proporcionales a los pesos. Para 




Física Elemental 


81 


comparar, entonces, las masas de dos cuerpos basta con pesarlos: 
la relación entre sus pesos da la relación entre sus masas. 

87. Medida y dimensiones de la masa. — De la relación que 
vincula g, P y m obtenemos: 

P 

m = — . 

g 

Regla. — Para hallar la masa de un cuerpo se divide su peso 
por la aceleración de la gravedad. 

En el sistema práctico el peso se mide en kilogramos y la acele- 
ración en metros sobre segundos al cuadrado, por lo que: 



Observación. — Si el peso se mide con una balanza de platillos 
sea cualquiera el lugar de la Tierra donde se efectúe la medida, lo 
que se hace es compararlo con las pesas patrones, que indican lo 
que pesarían esas pesas llevadas a la latitud de 45° y al nivel del 
mar. Sea un cuerpo que en una balanza de platillos (de brazos 
iguales) equilibra a una pesa marcada como de 1 Kgr. En cualquier 
lugar de la Tierra seguirán, pesa y cuerpo, en equilibrio. Ese cuerpo 
pesaría entonces 1 Kgr llevado a la latitud de 45° donde g tiene 
el valor: 

g = 9,806 m/seg 2 . 

Luego es por este valor de g que se debe dividir el peso para 
obtener la masa. 

Si se pesara con una balanza de resorte habría que dividir por 
el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar de observación. 
Las balanzas de resorte no son nunca balanzas de precisión, por 
lo cual este último caso jamás se presenta. 

Nosotros, en lo que sigue, emplearemos por lo general, para 
g, el valor 9,80 m/seg 2 . ¡\ / 

88. Peso y latitud. — Sea un cuerpo cuyo peso normal , el que 
tendría llevado a la latitud de 45° (donde g = 9,806) es Pn. Su 
peso P (el que acusaría una balanza de resorte) en cierta latitud 
donde la aceleración de la gravedad es g será tal que: 

P g g 

= ; P = Pn — . 

Pn 9,806 9,806 



82 


E. Loedel 


Una pesa de 1 Kgr, pesa a los 45° de latitud 1 000 gramos peso ; 
en el polo 1 002 gramos pues allí g = 9,83 y en el Ecuador 997 
gramos (74).' 


PROBLEMAS 

1. '¿Qué tensión produce sobre un hilo una pesa de 1 Kgr en una 
latitud donde g = 9,79 m/seg 2 ? 

El { eso P será: 

1 

P = 9,79 = 0,9985 Kgr. 

9,806 

2. ¿Cuánto debe valer el peso normal de un cuerpo para que su 
masa , expresada en el sistema práctico , sea igual a la unidad? 

Como la masa se halla dividiendo el peso normal por 9,806 
el peso normal deberá ser igual a 9,806 Kgr. 

Luego, un cuerpo, que al pesarlo con una balanza de pla- 
tillos acuse un peso de 9,806 Kgr tiene una masa igual a la 
unidad práctica. 

3. ¿Qué aceleración adquiere un cuerpo de masa igual a la uni- 
dad práctica ( que pesa casi 10 Kgr ) bajo la acción de una 
fuerza de 1 Kgr? 

F 1 m 

a — — = — = 1 . 

m 1 seg 2 

4. ¿Por qué en el problema anterior se ha puesto m/seg s ? Por- 
que la dimensión de la masa es: 


m 

M = Kgr: ; 

v seg 2 

y también, simplemente, porque operando , con el sistema prác- 
tico, la aceleración debe estar expresada en esas unidades. 

5. ¿Qué aceleración produce una fuerza de 20 Kgr al actuar sobre 
una pesa de 20 Kgr? Si actúa una fuerza igual al peso, la acele- 
ración tendrá que ser la de la gravedad, pues en los cuerpos 
que caen ocurre eso. 



Física Elemental 


33 


6 . 


Un auto pesa 1 500 Kgr. Al partir adquiere una aceleración de 
1,96 m/seg 2 . ¿Cuánto vale la fuerza? 

Siendo : 

F 

a — — ; resulta: F = ma; 

m 


o sea: 

1500 

F = 1,96 = 300 Kgr. 

9,8 


7. El auto anterior, marchando en cierto camino a 36 Km/hora 
se detiene por completo, al cesar de actuar el motor , en 20 seg. 
¿Cuánto valen las resistencias (roce más resistencia del aire) 
que se oponen al movimiento? 

La velocidad resulta ser de 10 m/seg. Como se detiene en 
20 seg la aceleración es: 

10 m 

a = — = 0,5 

20 seg 2 

y la' fuerza: 

1500 

F = 0,5 =?= 76,5 Kgr. 

9,8 


8. ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse un auto de 1 500 Kgr que 
marcha a razón de 72 Km/ hora si se le opone una fuerza de 
200 Kgr? 

200 Kgr 200 

a = = 9,8 = 1,307 m/seg 2 . 

1 500 Kgr /g 1500 

Siendo la velocidad inicial Vq = 20 m/seg, el tiempo será: 


t = = 15,3 seg. 

a 


9. Admitiendo que en un cuerpo que cae en el aire la resistencia 
que opone éste es constante e igual a R, hallar la aceleración 



84 


E. Loedel 


a de caída. Si designamos al peso con P y a la masa con m 
se tendrá: 

P — R R 

a = = g . 

m m 

Esto demuestra que en el aire dos esferas de igual radio 
pero de diferente masa caen con aceleraciones diferentes. Gali- 
leo ya había observado que las esferas que dejaba caer desde 
la torre de Pisa no llegaban al suelo exactamente juntas. 

IMPULSO 

89. Impulso y cantidad de movimiento. — -Sea un cuerpo de 
masa m sobre el que actúa la fuerza F. La aceleración será: 

F 

a = — . 

m 

Si esta fuerza F actúa durante un tiempo t el cuerpo adqui- 
rirá al cabo del mismo la velocidad : v — at, o sea : 

F 

v = — t. ' 
m 

Con esta velocidad seguirá moviéndose el cuerpo al cesar de 
actuar la fuerza. 

De la última relación obtenemos: 

Ft = mv. 

El primer miembro de esta igualdad o sea el producto de la 
fuerza por el tiempo durante el cual ha actuado recibe el' nombre 
de impulso; el segundo miembro: masa por velocidad, es lo que se 
llama cantidad de movimiento. Ambas magnitudes, impulso y can- 
tidad de movimiento, son iguales. En el caso del arco con que se 
disparan las flechas, o en el de las armas de fuego, o al dar un 
puntapié a una pelota, etc., se trata de una fuerza actuando sobre 
un cuerpo durante cierto tiempo con lo cual le comunica cierta 
velocidad. 

La ecuación que hemos establecido se puede leer también invir- 
táendo el orden de sus miembros: 

mv = Ft. 



Física Elemental 


85 



En este caso se trata de una masa dotada de cierta velocidad 
que puede producir una fuerza durante cierto tiempo. Es el caso de 
la masa del martillo al golpear sobre un clavo; o la locomotora 
al presionar los paragolpes de la estación; o la pelota que para ser 
detenida requiere que se ejerza sobre 
ella cierta fuerza durante cierto tiem- 
po* etc ' íd ^ ^ ■* 

90. Principio de acción y reacción. 

— Hemos visto ya (52) la noción de 
acción y reacción. Lo que vimos en está- 
tica- es consecuencia de un principio 
general enunciado por Newton y que se 
cumple en todos los casos haya o no 
equilibrio entre las fuerzas. Este prin- 
cipio puede enunciarse así: 

Si un cuerpo A, ejerce sobre otro 
B, una fuerza F llamada accijón, el cuer- 
po B ejercerá sobre el A otra fuerza, 
reacción, igual y opuesta a la primera 
(fig. 129). 

Un remero para alejarse de la orilla 
ejerce con el remo sobre ésta una fuer- 
za; el bote se separa de la orilla por la reacción (fig. 130). La 
fuerza con que un imán atrae a un trozo de hierro es exactamente 
igual a la fuerza con que el hierro atrae el imán. 

La figura 131 indica un experimento ilustrativo. Una lámina 

elástica colocada entre dos carri- 
tos tiende a separarlos. Cortan- 
do el hilo que los une se obser-' 
vará que ambos se mueven en 
sentidos opuestos. Siendo, de 
acuerdo al principio de acción 
y reacción, las fuerzas que se 
ejercen sobre ambos carros igua- 
les, como el tiempo en que ac- 
túan es el mismo, el impulso, 
fuerza por tiempo, será igual en 
ambos carros. Por esto si llamamos m% y m 2 a las masas de los ca- 
rros y V\ y V 2 a las respectivas velocidades que adquieren se tendrá: 

miVi = m^V 2- 


Fig. 128. — Impulsa. 




'-*■ íí : 4-y /y Y 

M Y V > í 
ív Y ■ 

‘ r?,* - . : 





WfMém? 


Fig. 129. — Acción y reacción. 



86 


E. Loedel 


Si uno de los carros tiene masa doble de la del otro su velo- 
cidad será igual a la mitad de la de aquél. El retroceso de las armas 

de fuego es consecuencia del 
principio de la igualdad de 
la acción y la reacción. 


gún se cuenta, colocó sobre 
un bote a vela un fuelle 
para accionarlo (fig. 132). 

La fuerza que se ejerce so- 
bre la vela es en todo mo- 
mento igual y opuesta a la 
que se ejerce sobre el fuelle. El bote se desplazaría, si el fuelle 
estuviera fijo en la ori- 
lla. Estando el fuelle fi- 
jo en el bote, éste se 
desplazaría en sentido 
opuesto al de la salida 
del aire, si se saca la 
vela. Al ponerse en 

marcha Una locomotora Flg. 1S1. — Acción y reacción. 

se puede asegurar que 

toda la Tierra se pone también en marcha en sentido opuesto. La 

enorme masa de la Tierra 
hace inapreciable estos mo- 
vimientos. Si los rieles so- 
bre los que se desplaza un 
tren estuvieran a su vez 
apoyados sobre ruedas en 
otros rieles fijos al piso, 
se observaría que los rie- 
les en contacto con las 
ruedas marchan en sentido 
opuesto al de la máquina. 

Si un caballo tira de 

<* 

un carro con cierta fuerza, 
el carro ejerce sobre el 
Fig. 132. — Fracaso de un invento. caballo otra fuerza exac- 

tamente igual y opuesta. 
Pero el- caballo al apoyarse en el suelo ejerce contra éste una fuerza 




Este principio es tam- 
bién responsable del fraca- 
so del “inventor” que, se- 




Física Elemental 


87 


que debe ser exactamente igual a la ejercida sobre el carro. Si se 
colocaran al carro y al caballo sobre una plataforma con ruedas, 
la plataforma se movería en sentido opuesto al del vehículo. 

El novelista Julio Verne relata el caso de dos personajes que, 
para aprovechar unas minas que suponían situadas en la región 
polar de la Tierra, pretendían hacer variar la inclinación del eje 
terrestre lanzando desde un punto apropiado de la misma un enor- 
me proyectil a gran velocidad. La reacción sería la que cambiaría 
la posición de la Tierra. n ^ 

0 3 

91. Los principios de la dinámica. — Newton estableció, en 
su gran obra Principia mathematica publicada en 1687 los tres prin- 
cipios siguientes: 

de inercia ; 

de masa; 

de acción y reacción.' 

El principio de superposición fue considerado pdr él como una 
consecuencia del principio de masa. 

Sobre estos principios se apoya toda la dinámica, cuyo objeto 
es el estudio del movimiento relacionado con las fuerzas que lo mo- 
difican, y teniendo en cuenta las masas de los cuerpos que se mueven. 

UNIDADES 

92. Sistema C. G. S. y técnico. — El sistema de unidades que 
hemos usado hasta ahora es el sistema técnico. En él las unidades 
fundamentales son: 


Sistema técnico 


De longitud el metro (m). 

De tiempo el segundo ( seg ) . 

De fuerza el kilo gramo- peso ( Kgr ). 


En el sistema cegesimal (C. G. S.) centímetro, gramo, segundo, 
las unidades fundamentales son: 

Sistema C. G. S. 


De longitud el centímetro ( cm ). 

De tiempo el segundo (seg). 

De masa el gramo - masa (g) . 



88 


E. Loedel 


El gramo masa es la milésima parte de la masa de la pesa kilo- 
gramo patrón. Por lo tanto un gramo masa tiene un peso igual a 
un gramo peso en la latitud de 45° y al nivel del mar. 

En el sistema práctico la unidad de masa era una unidad deri- 
vada como ya hemos visto. En el sistema C. G. S., en cambio, la 
masa es una magnitud fundamental, siendo la fuerza una magnitud 
derivada. 

'""i 

93. La dina. — La unidad de fuerza en el sistema C. G. S. 
recibe el nombre de dina. De la ecuación fundamental' de la diná- 
mica, fuerza igual masa por aceleración: 

F = ma, 

deducimos que F valdrá 1, sii7i = lya = l. 

Luego la fuerza es de una dina cuando aplicada a la masa de ' 
un gramo le comunica la aceleración de un centímetro por segundo 
y por segundo. 

El peso P, *de un cuerpo, hemos visto que es igual a su masa m 
por la aceleración g de la gravedad : 

P = mg. 

Calculemos de acuerdo a esto a cuántas dinas equivale un gra- 
mo peso. Un gramo peso, es lo que pesa un gramo masa en un 
lugar donde el valor de g es: 

cm 

g = 980,6- . 

seg 2 

Por lo tanto: 

cm 

1 gramo peso = 1 gramo masa X 980,6 — — = 980,6 dinas. 

seg 2 

La dina es en consecuencia poca cosa mayor que un miligramo 
peso. 

94. Densidad. — Se llama densidad o masa específica de una 
sustancia al cociente entre la- masa y el volumen de una- porción de 
la misma: 

m 

d = — . 

V 



Física Elemental 


89 


Cuando se pesa un cuerpo con una balanza de platillos se deter- 
mina en realidad la masa del mismo. Si un cuerpo equilibra a una 
pesa de 100 gramos, en cualquier lugar de la Tierra cuerpo y pesa 
seguirán en equilibrio. A igualdad de peso corresponde igualdad 
de masa, y la masa de ese cuerpo, será de 100 gramos. Si el volu- 
men del cuerpo fuera igual a 50 cm 3 su densidad sería: 

100 gramo - masa 

d = =2 — . 

50 cm 3 


- El peso específico del cuerpo sería también exactamente igual a 
2 (gramo -peso sobre. centímetro cúbico) a los 45° de latitud, porque 
sólo allí 100 gramos masa pesan 100 gramos peso. 

En general como el peso es igual a mg, el peso específico será: 

mg r- dina 

Pe = 

» V L cm 3 

y en gramos - peso será : 



Pe = 


mg 

980,6 V 


gramo - peso 


cm 3 



De esta última relación, reemplazando m/V por la densidad d 
resulta : 


8 

Pe = d 

980,6 




gramo - peso 


cm 3 



Como g varía poco con la latitud, puede considerarse, sin co- 
meter error apreciable, que en todas partes vale 980,6 resultando 
así que el mismo número que expresa la densidad en gramos - masa 
por centímetro cúbico, expresa también el peso específico en gramos - 
peso por centímetro cúbico. 

En rigor esto es cierto solamente a los 45° de latitud y al nivel 
del mar. 


PROBLEMAS Y APLICACIONES 

* PRINCIPIO DE D’ALEMBERT 

1. El carrito de masa m se desliza sin roce sobre un plano hori- 
zontal (fíg. 133) por la acción del peso de la masa M. Hallar 
la aceleración común con que se mueven ambas masas. 



E. Loedel 

La fuerza que actúa es Mg, y la masa puesta en movimiento 
es M + m. Por lo tanto: 

F Mg 


M+m 


O lo que es lo mismo: 


M + m 

Ejemplo numérico. — Si M = 20 gramos y m = 80 gramos 
la aceleración resulta igual a un quinto de g. 

Podría también haberse razonado así: si se toman las dos 
masas juntas y se las deja caer, caerán con la aceleración g. 
La fuerza que actúa entonces es el peso de ambas (100 gra- 
mos). Con el dispositivo de la figura se 
hace actuar sobre la misma masa total una 
fuerza que es la quinta parte del peso; la 
aceleración será en consecuencia la quinta 
parte de g. 

2. De los extremos de un hilo que pasa por la 
garganta de una polea penden dos pesas 



iguales, cada una de masa M. Sobre una de ellas se agrega una 
pesa adicional de masa m (fig. 134). Hallar la aceleración. 

Como las dos masas M se equilibran, la fuerza que pone 
en movimiento a la masa total 2 M + m, es el peso mg de la 
masa adicional. Luego: 
mg 

a = . 

2 M + m 



Física Elemental 


91 


En este caso, como en el anterior, no se ha tenido en cuenta, 
ni la masa del hilo, ni la de la polea. 

Ejemplo numérico. — Si M = 45 gramos y m = 10 gramos 
la aceleración resulta ser igual a un décimo de la aceleración 
g de la gravedad. 

El dispositivo que precede no es otro, en esencia, que la 
máquina de Atwood. Con este aparato se pueden verificar las 
leyes del movimiento uniformemente acelerado. Para medir la 
velocidad en un instante dado de la caída, se hace que la pesa 
al pasar por un anillo deje sobre él la masa adicional. A par- 
tir de ese momento el movimiento se convierte en uniforme. 

3. Un carrito de masa m se desliza sin roce por un plano incli- 
nado de altura h y longitud 1. Este carrito (fig. 135) está atado 
al extremo de un hilo, paralelo a la longitud, que pasa por 

una polea, pendiendo del otro 
extremo del hilo la masa M. Ha- 
llar la aceleración. 

El carro tiende a descender 
por la acción de una fuerza igual 
a su peso mg por la altura h y 
sobre la longitud del plano; y 
tiende a subir por la acción del 
peso Mg de la masa M. La fuer- 
Fi g . 135 . za total actuante será: 

h h 

F = Mg — mg — = g (M — m — ). 

I l 

La masa total puesta en movimiento es M-\~m, por lo que: 

mh 

M 

l 

a = g . 

M + m 

* 95. — Principio de D’Alembert. — La manera como hemos 
razonado para resolver los problemas precedentes está muy lejos 
de ser satisfactoria. Se justifica únicamente porque conduce de un 
modo sencillo al resultado exacto. Y no es satisfactoria porque el 
principio de masa se refiere a la aceleración que adquiere un único 




92 


E. Loedel 


cuerpo bajo la acción de una fuerza y no nos dice nada de cómo 
se comportará un sistema de cuerpos vinculados por hilos, vigas, 
soportes, etc. Pensemos en el problema 1. Supongamos que el carro 

y la pesa sean de 1 kilo- 
gramo cada uno. Si fija- 
mos nuestra atención so- 
bre el carro podríamos 
decir que sobre él actúa 
el peso de un kilogramo 
y como su masa es tam- 
bién de un. kilogramo lle- 
garíamos a la conclusión 
falsa de que se debe mo- 
ver con una aceleración 
igual a g. 

En el año 1743 el 
gran matemático francés 
D’Alembert, estableció 
una regla general que permite resolver en forma sencilla compli- 
cados problemas de dinámica. He aquí el enunciado de la regla, 
conocida con el nombre de principio: Si sobre un conjunto dé cuer- 
pos vinculados, actúan fuerzas, .de manera que cada uno de ellos 
adquiere determinada ace- 
leración, el sistema estaría 
en equilibrio, si se supo- 
ne que sobre cada cuerpo 
actúa una fuerza igual y 
" opuesta * al producto de su 
masa por su respectiva ace- 
leración. Estas fuerzas se 
llaman fuerzas ficticias y 
en las figuras que siguen 
las representamos en blanco. 

iquemos este prin- 
cipio para resolver el pro- 
blema 1. Llamemos a a la 
aceleración que buscamos. 

Si aplicáramos al cairo una 
fuerza igual y opuesta a 
ma (fig. 136) y a la masa M, la fuerza igual y opuesta a Ma, el 
sistema se hallaría en equilibrio. Como se trata de una polea, la 
condición de equilibrio es que las fuerzas que obran sobre el hilo 




Fig. 137Í 




Física Elemental 


93 


en ambos sentidos sean iguales. Por lo tanto, la diferencia entre la 
fuerza real Mg y la ficticia Ma debe ser igual a la fuerza ma: 

Mg — Ma = ma. 

De aquí se obtiene el valor de a que ya hemos establecido. La 
tensión del hilo es como se comprende igual a cualquiera de ambos - 
miembros de la fórmula anterior. 

PROBLEMAS (cont.) 

*4. Hallar la aceleración A de la masa M y la aceleración a de la 
masa m, que se desliza horizontalmente, estando ambas vincu- 
ladas en la forma que indica la figura 137. 

Llamaremos R y r a los radios de los cilindros, que giran so- 
bre un eje común, y cuya masa no tomaremos en cuenta. 

Si se supone que se agregan las fuerzas ficticias MA y ma 
el sistema estaría en equilibrio, de acuerdo al principio de 
D’Alembert, con lo que el momento de la • 
fuerza Mg — MA deberá ser igual al mo- 
mento de la fuerza ma: 

(Mg — MA) R = mar. [1] 

Dada la manera como están vinculadas 
ambas masas, se ve que los espacios recorri- 
dos por las mismas en cierto tiempo serán 
proporcionales a los radios de los cilindros, 
con lo que, las aceleraciones serán también 
proporcionales a los radios: 

A R 

- = [ 2 ] 

a r 

Tenemos dos ecuaciones y dos incógni- 
tas: A y a. Resolviendo el sistema resulta: 

J Fig. 138. 

MR 2 MRr 

A— g; a = g. 

MR 2 -f- mr 2 MR 2 + mr 2 

*5. Hallar las aceleraciones Aya con que se mueven las masas 
M y m de la figura 138. 




94 


E. Loedel 


Se tendrá además de la [2] del problema anterior la ecua- 
ción siguiente : «J 

( Mg — MA) R = ( mg-\-ma ) r. 

La [2] y la [3] resuelven el problema. 

Se ve pues, cómo, por el principio de D’Alembert, los pro- 
blemas de dinámica se reducen a problemas de estática. 

* ADVERTENCIA SOBRE ALGUNAS DEFINICIONES 

La definición corriente de que la velocidad de un móvil es igual 
al espacio recorrido por el mismo en la unidad de tiempo, no es del 
todo correcta. Si un móvil en un segundo recorre 5 m, su velocidad 
no es el espacio 5 m, sino 5 m/seg. Por eso la definición usual da 
el valor numérico de la velocidad, pero no sus dimensiones. En el 
mismo caso se encuentran otras definiciones, como se indica en el 
cuadro siguiente': 

DEFINICIONES CORRECTAS 

- * - 

Peso específico es el cocien- 
te entre el peso y el volumen. 

Velocidad es el cociente entre 
el espacio recorrido y el tiem- 
po empleado. 

Aceleración es el cociente en- 
tre la variación de la velocidad 
y el intervalo de tiempo en que 
se produjo aquélla. 

Masa de un cuerpo es el co- 
ciente entre la fuerza que sobre 
él actúa y la aceleración que le 

comunica. 

Un ejemplo en que se advierte bien la no equivalencia de ambos 
modos de expresión, lo proporcionan las definiciones usuales de 
caloría y calor específico, enteramente análogas, a pesar de que las 
dimensiones del calor específico son las de una cantidad de calor 
( caloría ) dividida por una masa y por una diferencia de tempe- 
ratura *. 

* La definición usual, incorrecta , del calor específico, es: “Calor específico de una subs- 
tancia es la cantidad de calor necesaria para aumentar en 1 Q C la temperatura de un gramo de 
dicha substancia ” . 

La definición de caloría, correcta , es: “Caloría es la cantidad de calor necesaria para 
aumentar en 1? C la temperatura de un gramo de agua’ 9 . 


DEFINICIONES INCORRECTAS 

Peso específico es el peso de 
la unidad de volumen. 

Velocidad es el espacio reco- 
rrido en la unidad de tiempo. 

Aceleración es la variación 
de la velocidad en la unidad de 
tiempo. 

Masa de un cuerpo es la fuer- 
za capaz de comunicarle la ace- 
leración unidad. 




CAPÍTULO VII 


TRABAJO Y ENERGÍA 


96. Noción de trabajo mecánico. — - Cuando se levanta un peso- 
hasta cierta altura se dice que se efectúa cierto trabajo. Si se sos- 
tiene el cuerpo, sin .elevarlo, lo que se efectúa es una fuerza, pero 
no un trabajo. Para realizar un trabajo debe haber fuerza y des- 
plazamiento. Al estar sentados, ejercemos sobre el asiento una fuerza 
igual a nuestro peso; como no hay desplazamiento el trabajo es nulo. 

El trabajo mecánico T es, por definición, el producto de la inten- 
sidad de la fuerza F por el camino o desplazamiento, e, efectuado 
por la misma, en su propia dirección : 

T — Fe. 


Supongamos que una persona se traslade por un camino empi- 
nado de la posición A a la B (fig. 139). Si el peso de la persona 
es P, el trabajo que ha- 
brá realizado en contra 
de la fuerza de gravedad, 
será Ph, siendo h la pro- 
yección del camino real 
sobre una recta vertical, 
pues la fuerza del peso 
es vertical. 

Si se arrastra un cuer- 
po sobre un camino ho- 
rizontal el trabajo será 
igual a la fuerza que se 
efectúa horizontalmente, 
por el camino recorrido. Si el movimiento es uniforme la fuerza 
será igual a la fuerza de rozamiento. En este caso el trabajo de la 
fuerza de gravedad es nulo. 



Unidades de trabajo. — Si la fuerza es 1 (uno) y el espacio I 
(uno) el trabajo será igual a la unidad. 



96 


E. L O E D E L 


En el sistema técnico la unidad de trabajo es el kilográmetro, 
que es el trabajo que se realiza al desplazar en un metro, la fuerza 
de un kilogramo. Concretamente, se realiza el trabajo de un kilo- 
grámetro al elevar un peso de un kilogramo a un metro de altura. 

En el sistema C. G. S. la unidad de trabajo es el erg o ergio, 
que es el trabajo que se realiza al desplazar una dina en un centí- 
metro. 

1 kilográmetro = 1 Kgr - peso X 1 metro. 

1 ergio = 1 dina X 1 centímetro. 

Como un kilogramo - peso, tiene 1000 gramos peso, y como un 
gramo -peso es igual a 980,6 dinas, por ser además 1 metro igual 
a 100 centímetros resulta: 

1 Kgmt = 980,6 X 1000 X 100 = 98 060 000 erg. 

Luego un kilográmetro es igual, aproximadamente, a 98 millo- 
nes de ergios. 

Como el ergio es una unidad muy pequeña se emplea un múl- 
tiplo del mismo llamado joule o julio (en honor del físico Joule) 
que es igual a diez millones de ergios: 

1 julio = 10 7 erg. 

97. Aplicación a las máquinas simples. — Cuando una máqui- 
na está, en equilibrio, ni la potencia ni la resistencia se desplazan, 
por lo cual el trabajo de cada una de esas fuerzas es nulo. 

A pesar de esto, estando la máquina en equilibrio, podemos 
imaginar que se efectúa cierto desplazamiento. AI desplazamiento 

imaginado lo llamaremos despla- 
zamiento virtual. 

Al producto de la potencia 
por el desplazamiento virtual de 
la misma, lo llamaremos trabajo 
virtual de' la potencia. Análoga- 
mente definiríamos el trabajo 
virtual de la resistencia. 

F¡g. no. — Trabajos virtuales. Caso del plano inclinado. 

— (Supongamos que la potencia 
P (fig. 140) y la resistencia R (peso del cuerpo) están en equili- 
brio. Consideremos un desplazamiento virtual de C a B. El trabajo 
virtual de la potencia será: 



Física Elemental 


97 


El trabajo de la resistencia será el producto c^e la fuerza R por 
el desplazamiento medido en la dirección de la fuerza. Este despla- 
zamiento es la proyección de la longitud del plano sobre una recta 
vertical, es decir la altura. Resulta así: 

7r = Rh. 

Si el cuerpo se halla en equilibrio debe cumplirse (45) : 

P h 

— = — o sea : Pl = Rh. 

R l 

Concluimos de aquí, que habiendo equilibrio, el trabajo virtual 
de la potencia es igual al trabajo virtual de la resistencia. 

Nota, t — En realidad ambos trabajos son iguales en valor abso- 
luto y de signos contrarios. Si el desplazamiento fuera de C a B 
el trabajo de la potencia sería positivo, 
pues fuerza y camino tienen el mismo 
sentido. En cambio el camino que debe 
tomarse en cuenta para la resistencia, 
va de A hacia B , o sea hacia arriba, en 
tanto que la fuerza está dirigida hacia 
abajo. El trabajo de la resistencia sería 
negativo. 

Caso del torno. — Si llamamos R x 
al radio de la circunferencia que descri- 
be la potencia y R 2 al radio de la cir- 
cunferencia del cilindro, la ley de equi- 
librio del torno expresa: 

PR 1 = RR 2 . 

Si multiplicamos ambos miembros 
de esta igualdad por un ángulo a arbi- 
trario que representa un desplazamiento 
virtual, el producto aR 1 será el despla- 
zamiento virtual de la potencia y el pro- 
ducto aR 2 el desplazamiento virtual correspondiente de la resis* 
tencia. Por lo tanto también en esta máquina se cumple: 

Tp = 7r. 

Si el ángulo a es igual a 2 tt radianes el desplazamiento virtual 
correspondería a una vuelta. 




m mm 



■4 

MkW «i 







i 


Fig. 141. — Torno. 



98 


E. Loedel 


98. Principo de los trabajos virtuales. — En todas las máqui- 
nas que están en equilibrio se cumple siempre que el trabajo virtual 
de la potencia es igual al de la resistencia. — Los desplazamientos 
virtuales que se imaginen deben ser compatibles con los vínculos* 
en el caso del plano inclinado no hubiera sido lícito considerar un 
desplazamiento que hiciera salir al cuerpo del plano inclinado. 
En un cuerpo que se apoya sobre una curva (fig. 142) habrá que 

considerar un desplazamiento virtual in- 
finitamente pequeño. 

Él principio que estamos consideran- 
do se suele expresar en la forma si- 
guiente: lo que se gana en fuerza se 
pierde en camino. 

Quiere decir que si en una máquina, 
la potencia de 1 Kgr equilibra a una re- 
sistencia de 10 Kgr, a un desplazamiento 
de la potencia de 1 centímetro corres- 
ponde un desplazamiento de la resis- 
tencia de sólo un milímetro. 

Este principio permite hallar la ley 
de equilibrio de un mecanismo cualquie- 
ra sin entrar a estudiar detalle por detalle del mismo. Supongamos 
un cric o gato (fig. 143) para el cual, por un desplazamiento de 
20 centímetros de la manivela M, el soporte se eleva 1 milímetro. 
Siendo el desplazamiento de la potencia 200 veces mayor que el de 
la resistencia podremos asegurar que con la fuerza de 1 Kgr en M, 
equilibraremos 200 Kgr en R. El gato podrá ser hi- 


ENERGÍ A 

99. Concepto de energía. — Cuando un cuerpo o 
sistema de cuerpos es capaz de realizar cierto tra- 
bajo se dice que posee energía. La energía se mide 
por el trabajo que el cuerpo o sistema es capaz de 

realizar. 

Un resorte comprimido o un cuerpo pesado (fig. 

144) que se encuentre a cierta altura, poseen energía, pues son capa- 
ces de realizar un trabajo, ya que podrían elevar a otro cuerpo 
hasta cierta altura. Un montón de pólvora posee energía, pues con 
él se puede efectuar trabajo; al dar cuerda a un reloj almacenamos 


dráulico, a cremallera, con complicados engranajes, 
pero en todos los casos el resultado será el mismo. 




I-'ig. 142. 



Física Elemental 


99 


en él cierta cantidad de energía que hiego realiza el trabajo de 
mover los engranajes en contra de la fuerza del roce. Al subir una 
escalera efectuamos un trabajo, para lo cual empleamos cierta ener- 
gía, que hemos tomado, en última instancia, de los alimentos, que 
la proporcionan por medio de complicadas reacciones químicas. 

100. Energía potencial. — La energía almacenada en un cuerpo 
en reposo se llama energía en potencia o potencial. Tal por ejemplo 
la energía elástica de un resorte 
comprimido o dilatado. 

Nos ocuparemos aquí de la 
energía potencial gravitatoria. 

Esta energía potencial es la que 
posee un cuerpo de masa m que 
se encuentra a una altura h con 
respecto a un nivel que arbitra- 
riamente se considera como nivel 
cero. Este nivel cero, puede ser 
el piso, la superficie de una me- 
sa, el nivel de un lago, etc. 

El trabajo que habría sido 
necesario efectuar para elevar al cuerpo desde el nivel cero hasta 
la altura a que se encuentra, es la energía potencial del cuerpo 
con respecto a ese nivel. Si la masa es m, el peso del cuerpo 
es mg; el trabajo habría sido mgh: luego la energía potencial será: 

E p = mgh. 

101. Energía cinética. — Si un cuerpo de masa m se mueve con 
cierta velocidad v dicho cuerpo posee cierta energía, desde el mo- 
mento que es capaz de 
efectuar cierto trabajo. 
Una bicicleta en marcha, 
continúa moviéndose du- 
rante cierto trayecto, aun- 
que el ciclista no pedalee, 
efectuando un trabajo en 
contra de las fuerzas de 
roce y resistencia del 
aire. Es posible también 

que pueda subir una cuesta durante cierto trayecto. Una bala es 
capaz de atravesar un muro, para lo cual deberá ejercer contra el 
mismo, una fuerza en cierto recorrido, es decir un trabajo. 




Fig. 144. — Energía potencial. 



100 


E. Loedel 


Calculemos el trabajo necesario para comunicar a un cuerpo 
de masa m la velocidad v. Sobre el cuerpo, inicialmente en reposo 
(fig. 145), aplicamos la fuerza F , con lo cual el cuerpo adquiere 
la aceleración a, tal que: 

F = ma. 

Supongamos que la fuerza actúe sobre el cuerpo durante un tra- 
yecto e. El espacio e será recorrido con movimiento uniformemente 
acelerado por lo cual : 

\ e = V 2 at 2 - 

De estas expresiones, calculamos el trabajo efectuado multipli- 
cando fuerza por espacio: 

Fe = J / 2 martr. 

El producto at es igual a la velocidad v adquirida por el cuerpo, 
por lo que, el trabajo será: 

T = V 2 mv 2 . 

El trabajo realizado para comunicar al cuerpo de masa m la 
velocidad v, es igual al trabajo que realizaría el cuerpo si su velo- 
cidad pasara del valor v al valor cero. Por esto, la energía cinética 
del cuerpo es: 

Ec = y 2 mv 2 . 

102. Transformación de energía potencial en cinética y vice- 
versa. — Si un cuerpo se encuentra a la altura h, en reposo, se tiene: 

Energía potencial = mgh. 

Energía cinética = 0. 

Dejamos que el cuerpo caiga. Al llegar al nivel cero se tendrá: 

Energía potencial = 0. 

Energía cinética .= V 2 mv 2 ; 

siendo v la velocidad que ha adquirido al caer desde la altura h. 

Hemos visto (pág. 66) que esta velocidad es igual a V 2 gh. Lle- 
vando este valor a la expresión de la energía cinética del cuerpo, 
al pasar por el nivel cero, obtenemos: ' 

Ec — mgh. 

La energía potencial que tenía el cuerpo se ha transformado ínte- 
gramente en energía cinética. 



Física Elemental 


101 


En un proyectil que se lanza verticalmente hacia arriba, la ener- 
gía cinética inicial se convierte totalmente en energía potencial 
cuando alcanza el punto más alto. 

En cualquier punto del recorrido la suma de la energía poten- 
cial y la energía cinética se mantiene constante. 

103. Teorema de las fuerzas vivas. — Al producto de la masa 
de un cuerpo por el cuadrado de su velocidad se le llama fuerza viva. 

La energía cinética, es, en consecuencia, igual a la mitad de la 
fuerza viva. 

Sea un cuerpo de masa m y velocidad v. Supongamos que al 
cabo de cierto tiempo la velocidad del cuerpo sea menor, e igual 
a v. La energía cinética inicial era: 

Ec = y 2 mv 2 ; y la final: E’c = x /z mv 2 . 

La disminución de la energía cinética debe ser igual al trabajo . 
que, en cualquier forma, haya realizado el cuerpo. Luego, llamando 
a ese trabajo T, resulta: 

T = V 2 (mv 2 — mv’ 2 ) . 

Lo que nos dice que el trabajo realizado por un cuerpo es igual 
a la mitad de la variación de la fuerza viva del mismo. Más simple- 
mente: el trabajo es igual a la variación de la energía cinética. 

104. Potencia. — Se llama potencia de una máquina o motor al 
cociente entre el trabajo que es capaz de realizar y el tiempo que 
tardaría en efectuarlo. 

En el sistema técnico la unidad de potencia sería la de una má- 
quina que pudiera realizar un trabajo de un kilográmetro en un 
segundo. Se utiliza en la práctica, como unidad de potencia , el H. P. 

( Horse Power) caballo de fuerza , que es la potencia de una máquina 
que puede realizar en un segundo un trabajo de 75 kilográmetros. 

Otra unidad de potencia utilizada en la práctica es el vatio o 
watt (en honor de Watt) que es la potencia de una máquina que 
puede realizar en un segando el trabajo de un julio. 

El kilovatio es igual a 1000 vatios o sea 1000 julios sobre segundo. 

Se utiliza también como unidad de trabajo el kilovatio - hora que 
es el trabajo que efectuaría durante una hora, una máquina cuya 
potencia fuera igual a un kilovatio. 

Si la potencia es de un kilovatio la máquina realiza el trabajo 
de 1000 julios en un segundo, y en una hora (= 3 600 seg) reali- 
zará 3 600 000 julios; luego: 

/ kilovatio - hora = 3 600 000 julios. 



102 


E. Loedel 


Esta unidad se emplea sobre todo en la medida de la energía 
eléctrica. 

Medida de la potencia. Freno de Prony. — Para medir la 
potencia de una máquina se ajusta al árbol motor de la misma un 
freno cuya presión se regula por medio de las tuercas 1 y 2 (fig. 
146). Se logra así, que el árbol motor efectúe un número de revo- 
luciones por segundo, igual al número de revoluciones que realiza 
la máquina cuando funciona normalmente. El freno tiende a seguir 
al árbol giratorio en su movimiento. Colocando en el platillo de 

la izquierda deter- 
minado conjunto 
de' pesas, puede lo- 
grarse que el freno 
se mantenga en 
equilibrio entre los 
topes T. El con- 
trapeso C, sirve pa- 
ra equilibrar a la 
palanca y al plati- 
llo descargado. Las 
fuerzas debidas al 
rozamiento, e indicadas en blanco en la figura, equivalen a una 
única fuerza F, cuyo momento Fr , tiende a hacer girar al freno en 
el sentido de las flechas blancas. El peso P de las pesas del platillo, 
tiene un momento Pl que tiende a producir una giración en sentido 
opuesto. Cuando se logra el equilibrio del freno debe cumplirse: 

l 

Fr = Pl; F = PX — . 

r 

Cuando el árbol da una vuelta completa, el trabajo de las fuer- 
zas del roce es igual a la fuerza F por el camino 2 wr: 

l 

T = P — X 2 7T r. 

r 

* 

Si se efectúa un número N de revoluciones por segundo, la po- 
tencia W de la máquina será: 

W = PX 2 7 r/XA r . 



Fig. 146. — Freno de Prony. 



Física Elemental 


103 


Ejemplo. P = 4,77 Kgr; 1= 1 m; A =10 revoluciones por 
segundo : 

Kgmt 

W = 4,77 X 2tt X 1 X 10-2T 300 . 


Para hallar la potencia en caballos de fuerza dividimos por 
75 obteniendo : 

JF = 4 H.P. 


PROBLEMAS 

1. Una persona de 60 Kgr de peso sube una escalera; si la dife- 
rencia de nivel entre la parte inferior y superior es de 5m, 
¿qué trabajo ha realizado en contra de la fuerza de gravedad? 

T = Fh = 60 X 5 = 300 kilográmetros. 

2. Expresar el trabajo anterior en julios. 

Como 1 Kgmt vale 9,8 julios (es el valor que adoptaremos 
en todas las reducciones) se tiene: 

T = 300 X 9,8 = 2940 julios. 

3. Si el tiempo empleado por la persona al subir la escalera es 
igual a 16 seg, ¿qué potencia ha desarrollado? 

Designando la potencia por W se tendrá, siendo T el trabajo 
y t el tiempo : 

T 300 Kgmt 

W = — = = 18.75 . 

t 16 seg 

4. Expresar la potencia anterior en H. P. Debemos dividir el resul- 
tado por 75, pues un H. P. es igual a 75 Kgmt/seg: 

300 

W = = Vé H.P. 

16 X 75 

•5. Expresar la misma potencia en vatios. Dividimos el trabajo 
expresado en julios por el tiempo en segundos: 

2940 julios 

W - — — = 183,75 = 183,75 vatios, 

16 seg 



104 


E. Loedel 


6. Expresar esa potencia en kilovatios. Tendremos que dividir el 
resultado anterior por 1000: 

W = 0,18375 kilovatios. 

7. Hallar la energía potencial almacenada con respecto al nivel 
del suelo, en un tanque situado a 10 m de altura de ese nivel 
y lleno con 1000 litros de agua. 

Considerando que los 1000 litros de agua pesen 1000 kilo- 
gramos la energía potencial será: 

Ep = 1000 X 10 = 10 000 Kgmt. 

Hagamos el cálculo empleando unidades del sistema C. G. 

S. (supondremos que g = 980 cm/seg 2 ). La masa es igual a un 
millón de gramos, la altura h es de 1000 centímetros, luego: 

Ep=.\ 000 000 X 1000 X 980 = 98 X 10 10 ergios. 

En julios: 

Ep = 98 X 10 3 julios. 

Para reducir a kilográmetros dividiremos por 9,8 y obten- 
dremos el resultado que ya habíamos hallado. 

8 . Hallar la energía cinética de una bala de 200 gramos cuya velo- 
cidad es igual a 300 m/seg. 

La velocidad anterior es de 30 000 cm/seg, luego: 

Ec = x / 2 200 (30 000) 2 = 9 X 10 10 erg = 9 X 10 3 julios = 

918 kilográmetros. 

9. Un auto de 980 kilogramos de peso, animado con la velocidad 
de 72 Km/ hora, sube una pendiente sin que actúe el motor. Se 
reduce la velocidad en cierto trayecto a 36 Km/ hora. Hallar 
el trabajo que ha realizado en contra de la fuerza de gravedad 
y de las resistencias pasivas ( roce y resistencia del aire). 

Aplicaremos el teorema que dice que el trabajo es igual a 
la disminución de la energía cinética. Las velocidades consi- 
deradas son iguales a 20 y 10 m/seg. Calculemos en el sistema 
técnico. La masa del auto es: 

980 

m = = 100. 

9,8 



Física Elemental 


105 


Luego : 

T = y 2 100 (20 2 — 10 2 ) = 15 000 kilográmetros. 

10. ¿Cuál es la parte de la potencia de un motor de automóvil de 
980 kilogramos de peso , empleada para hacer pasar al vehículo 
de la velocidad de 10 a la velocidad de 20 m/seg en 20 seg? 

De acuerdo al problema anterior la potencia será: 

15 000 Kgmt 

W = = 750 = 10 H. P. 

20 seg 

11. Hallar la ley de equilibrio del torno diferencial aplicando el prin- 
cipio de los trabajos virtuales. Al dar vuelta la manivela (fig. 
147), la cuerda se enrolla en un cilindro 
y se desenrolla en el otro. Sea r 1 el radio 1 
del cilindro más grueso y r 2 el radio del 
otro. Al dar una vuelta con la manivela 
la cuerda se arrolla en una longitud igual [ 
a 2 Trr ± en el cilindro grueso, desarrollán- 
dose en 2 irr 2 en el otro cilindro. Como la 
carga o resistencia Q pende de una polea 
móvil, lo que se eleva dicha carga al dar ¡ 
una vuelta la manivela, será: 

2 i nr 1 — 2 ir r 2 

= 7r (r x — r 2 ). 

2 

El trabajo virtual de la potencia P Fig. 147 . — Torno diferencia), 
durante una vuelta de la manivela de 

radio R es: PX27 t/?. El trabajo virtual correspondiente de 
la resistencia es: Q ir (r \ — r 2 ). Luego: 

P X 2irR = Q-n (r a — r 2 ) 

o sea: 

P r x — r 2 



Q 2 R 



CAPÍTULO VIII 


PÉNDULO. MOVIMIENTO CIRCULAR 
MOVIMIENTO OSCILATORIO 

105. Péndulo; definiciones. — Un cuerpo rígido sometido a la 
acción de su peso y que pueda girar libremente alrededor de un eje 
horizontal, constituye un péndulo. 

Sea el cuerpo de la figura 148; el eje de giro supondremos que 
pasa por O, siendo G el centro de gravedad del cuerpo. En G está 

aplicada la fuerza del peso igual 
a Mg, si llamamos M a la masa 
del cuerpo y g a la aceleración 
de la gravedad. La posición de 
equilibrio del cuerpo es a 
en que el centro de gravedad está 
sobre la vertical OV que pasa 
por el eje de suspensión. Si se 
aparta al cuerpo de la posición 
de equilibrio tiende a volver a 
ella. Si el roce en el eje es pe- 
queño, así como la resistencia 
del aire, se observa que el pén- 
dulo abandonado a sí mismo ad- 
quiere un movimiento de vaivén. 

Se llama amplitud del mo- 
vimiento pendular al valor má- 
ximo que adquiere el ángulo GOV. Es pues el ángulo formado por 
la vertical y la posición extrema del péndulo. 

Tiempo de oscilación o período es el tiempo empleado por el 
péndulo entre la partida de una posición extrema y su retorno 
a la misma. En el caso de la figura sería el tiempo empleado por 
el punto G en ir a G’ más el tiempo que tarda en volver de G ’ a 
G suponiendo que el ángulo GOV sea la amplitud. 

106. Péndulo simple. — Se facilita el estudio del péndulo si se 
considera que se trata de una pequeña esfera pesada, suspendida 
por medio de un hilo (fig. 149). Si el peso del hilo es despreciable 
en comparación con el peso de la esferita, y el radio de ésta muy 





Física Elemental 


107 


pequeño comparado con la longitud del hilo, se tiene de este modo 
un péndulo simple. Claro está que debe considerarse al hilo como 
inextensible : una goma no serviría para la realización de un péndulo 
de esta clase. 

Si queremos ser rigurosos, definiríamos al péndulo simple, ideal 
o matemático diciendo que se trata de un punto material pesado, 
suspendido de un hilo inextensible y 
sin masa. 

Longitud del péndulo es la longi- 
tud del hilo; en la práctica se toma 
como longitud la distancia entre el 
punto de suspensión y el centro de 
la pequeña esfera pendular. 

Descompongamos la fuerza mg del 
peso de la esferita de masa m en otras 
dos fuerzas: la N, en la dirección del 
hilo y la T perpendicular a la misma 
dirección. El efecto de la fuerza mg 
será igual al efecto que producen las 
fuerzas A y 7\ La fuerza N se anula 
por la reacción N’ del hilo, y queda 
por lo tanto únicamente la fuerza T. 

Esta fuerza T es en todo momento tan- 
gente al arco de circunferencia con 
centro en el punto de suspensión, y 
es la que produce el movimiento de 

caída de la masa pendular a lo largo del arco. Esta fuerza T no es 
constante. Va disminuyendo hasta anularse en la posición E. A par- 
tir de allí el péndulo continúa su movimiento por inercia, pero la 
fuerza tangencial se opone ahora al . movimiento. 



Fig. 149. — Péndulo simple. 


107. Juego de la energía. — -En el movimiento pendular se trans- 
forma continuamente energía potencial en cinética y cinética en 
potencial. Cuando el péndulo alcanza su posición extrema llega al 
punto más alto de su recorrido. Allí su velocidad es nula y toda 
su energía es potencial. Al pasar por la posición de equilibrio ocupa 
el nivel más bajo posible. Midiendo la energía potencial, con res- 
pecto a ese nivel, se tendrá que en la posición de equilibrio la ener- 
gía potencial es nula. En esa posición adquiere la energía cinética 
máxima. Comienza el ascenso y tiene lugar la transformación inversa 
y así indefinidamente. En el vacío y sin rozamiento en el punto de 
suspensión, un péndulo oscilaría eternamente. 



108 


E. Loedel 


Se entiende así porqué el péndulo alcanza sensiblemente la mis- 
ma altura a ambos lados de la posición de equilibrio cuando la 
resistencia no es muy grande. 

108. Leyes del péndulo. — Fué Galileo el primero en esta- 
blecer las siguientes leyes: 

Ley del isocronismo. — En un mismo péndulo el tiempo de osci- 
lación no depende de la amplitud. Si se mide con un cronómetro el 

tiempo de una oscilación cuando 
la amplitud es pequeña, 5 o ó 6 o , 
y luego cuando la amplitud es 
mayor, 20° ó 30°, se observa 
que se obtiene muy aproximada- 
mente el mismo resultado (fig. 
150). Conviene medir el tiempo 
de 10 ó 20 oscilaciones para que 
el error sea menor. 

En realidad se observa, si se mide 
cuidadosamente, que cuando la am- 
'plitud es grande, el tiempo de osci- 
lación es algo mayor. Por eso la ley 
es válida únicamente para amplitudes que no excedan de 5 o ó 6 o . O sea el 
tiempo de oscilación para una amplitud de I o es igual al tiempo de oscilación 
para una amplitud de 2 o . 

Ley de las masas. — Dos péndulos de igual longitud, uno de 
hierro y otro de madera, tardan en oscilar el mismo tiempo. Igual 
cosa ocurre con cualquier otra substancia. Luego: 

El tiempo de oscilación no depende de la masa pendular. 

Esta ley es una consecuencia de la primera ley de la caída de 
los cuerpos en el vacío. 

Ley de las longitudes. — Se observa que a medida que aumenta la 
longitud del péndulo el tiempo de oscilación se hace mayor. 

He aquí el resultado de algunas medidas (fig. 151) : 


Longitud del 
péndulo 

Tiempo de 
10 oscilaciones 

l 

T 2 


10,0 seg 

25,00 


14,1 „ 

25,15 


17,3 „ 

25,06 

loo „ 

20,0 „ 

25,00 



Fig. 150. — ■ Ley del isocronismo. 




Física Elemental 


109 


Al hacerse la longitud 4 veces mayor el tiempo se duplica, luego : 
el tiempo de oscilación es proporcional a la raíz cuadrada de la 
longitud. 

Esto significa que el cuadrado del tiempo será proporcional a 
la longitud, y en consecuencia, el cociente entre la longitud y el 
cuadrado del tiempo debe ser constante. Es lo que se aprecia en la 
última columna del cuadro de la página anterior. 

Las diferencias son inferiores al 1 %. Pueden ser atribuidas a 
errores en la medida del tiempo inferiores a un décimo de segundo. 
Si, en la segunda medida, hubiéramos tomado para 10 oscilaciones 
14,2 en lugar de 14,1, habríamos obtenido: 

50/1, 42 2 = 24,80. 

109. Fórmula del péndulo. — Se pue- 
de demostrar que el tiempo de oscilación 
de un péndulo simple, cuando la amplitud 
es pequeña, está dado por la fórmula: 

T = 2rr\J — . 

8 

Como en esta fórmula no interviene ni 
la amplitud ni la masa, elLo nos dice que 
el tiempo de oscilación no depende ni de 
la una ni de la otra; se ve también que el 
tiempo es proporcional a la raíz cuadrada 
de la longitud y que depende del valor de 
la aceleración de la gravedad en el lugar 
de observación. 

110. Determinación de g con el péndulo. — -Midiendo la lon- 
gitud l y el período T puede hallarse la aceleración g de la grave- 
dad. Elevando al cuadrado la fórmula anterior se tiene: 

l 4n 2 l 

T 2 = 4 7r 2 — ; de aquí : g = . 

8 T- 

Disponiendo de un cronómetro que aprecie el décimo de segun- 
do, para una longitud del orden de un metro, apreciada al milí- 
metro, deberá tomarse el tiempo de unas 100 oscilaciones, pudién- 
dole así hallar g con un error inferior al dos o tres por miL 



Fig. 151. — Ley de las longitudes. 



110 


E. Loedel 


111. Aplicaciones. Aplicación a los relojes. — Empleando un 
péndulo igual tiempo en efectuar cada una de sus oscilaciones, aun 
cuando varíe algo la amplitud, en virtud de la ley del isocronismo, 
puede utilizársele en la medida del tiempo. El pro- 
blema que debe resolverse es suministrar al péndulo 
en forma continua la energía que va perdiendo de- 
bido al roce y a la resistencia del aire. Esto se logra 
por medio del llamado escape de áncora (fig. 152). 
En cada oscilación el péndulo deja pasar un diente 
del escape cuyo eje está unido a un muelle de ace- 
ro o bien a un cilindro en el que se arrolla una 
cuerda, del extremo de la cual pende un peso. Si el 
reloj atrasa, el péndulo debe acortarse, y alargarse 
sí adelanta. Para evitar una marcha irregular, de- 
bido a las dilataciones térmicas originadas al variar 
la temperatura, se construye la varilla del péndulo 
de una aleación especial llamada invar que se dilata 
en forma inapreciable. 



¿iipÉfr-' i 




3 ® 


'm 


Comprobación de la rotación terrestre. — El 
plano de oscilación de un péndulo permanece inva- 
riable aun haciendo girar el soporte que lo sostiene 
(fig. 153 a). 

Un péndulo que se hiciera oscilar en un polo 
terrestre (fig. 153 6) mantendría también invariable 
su plano de oscilación con respecto a las estrellas, pero no con, 
respecto al soporte fijo en la Tierra. Dicho soporte da una vuelta 


■ 


Fig. 152. — Péndulo 
de reloj. 



Fig. 153 a. — Invariabilidad del plano 
de oscilación. 


Fig. 153 b. — Péndulo de Foucault. 


completa con respecto al plano del péndulo en 24 horas. Al obser- 
vador fijo a la Tierra le parece que es el plano del péndulo el que 
gira. En el Ecuador esta rotación aparente es nula. Foucault, en 



Física Elemental 


111 


1851, comprobó la rotación terrestre con un enorme péndulo sus- 
pendido de la cúpula del Panteón de París. A la latitud de París 
una vuelta completa del plano de oscilación se efectúa en unas 
32 horas. 


PROBLEMAS 


1. La longitud de un péndulo es 100 cm. Tarda 3m20s4/5 en efec- 
tuar 100 oscilaciones. Hallar g. 

El tiempo en segundos es igual a 200 seg y 8 décimos, o 
sea para una oscilación: 

T = 2,008 seg. 

Aplicando la fórmula resulta: 

cm 

g = 979,1 . 

seg 2 


2. Si el tiempo medido hubiera sido 1/5 seg mayor, ¿qué valor 
se obtendría para g? 

cm 

8 = 977,1 . 

seg 2 

* 


3. 


Un reloj de péndulo marcha perfectamente bien en la latitud 
de 45° donde g vale: 


era 

g = 980, 665 

seg 2 


Transportado a otro lugar de la Tierra se observa que atra- 
sa un minuto por día. ¿Cuánto valdrá g en este lugar? 

Si el péndulo efectuara una oscilación por seg efectuaría 
a los 45° de latitud 86 400 oscilaciones en un día. En el nuevo 
lugar efectúa por día sólo 86 340 oscilaciones. Llamando g’ a 
la aceleración de la gravedad en este lugar se tendrá: 

¿ T 2 86 340 2 


g T 2 864Q0 2 



112 


£. Loedel 


de donde: 

cm 

g’ = 979,303 . 

seg 2 

MOVIMIENTO CIRCULAR 

112. Velocidad angular y tangencial. — Sea una rueda o disco 
que gira alrededor de un eje O (fig. 154 a) de modo que un radio 
cualquiera describa ángulos iguales en intervalos también iguales 
de tiempo. Cada punto de la rueda recorrerá una circunferencia 
de centro en O con movimiento uniforme. 

A este movimiento se le llama circular uniforme. 

Se llama período T al tiempo empleado por un punto cualquiera 



Fig. 154a. — Movimiento circulur. ' Fig. 154 6. — Velocidad tangencial. 


en recorrer una circunferencia completa. Es el tiempo que tarda la 
rueda en dar una vuelta. 

Velocidad angular. — Es el cociente entre el ángulo recorrido por 
un radio cualquiera y el tiempo empleado en recorrerlo. Si la rueda 
tarda 4 seg en dar una vuelta la velocidad angular será de noventa 
grados por segundo. Claro está, que todos los puntos de la rueda 
tienen, en cualquier momento, igual velocidad angular. Es más ven- 
tajoso medir los ángulos en radianes (19). En el ejemplo anterior 
la velocidad sería de 7t/2 radianes por segundo. En el tiempo de un 
período el ángulo recorrido es igual a 360°, o sea 2 ir radianes. La 
velocidad angular w será entonces: 

• 2 ir 




Física Elemental 


113 


Consideremos un punto cualquiera P de la rueda situado a la 
distancia r del eje (fig. 154 6). Como en el tiempo T recorre el 
camino 2 7rr su velocidad lineal será: 

‘ 2 7r r 

v = . [2] 

T 

Esta velocidad tiene en todo momento la dirección de la tan- 
gente a la circunferencia que recorre el punto, por lo cual se la 
llama velocidad tangencial (figs. 154a y 6). 

Reemplazando en la expresión de v, al valor 2ir/T por su igual 
la velocidad angular, resulta: 

V = <1) T. [ 3 ] 

La velocidad tangencial es igual a la velocidad angular por el 
radio. 

113. Aceleración centrípeta. — Supongamos que un punto ma- 
terial' P recorre la circunferencia de radio r y centro O con movi- 
miento uniforme, o sea con velocidad tangencial constante. 

¿Habrá aceleración? Hemos visto 
que la aceleración es el cociente entre 
la variación de la velocidad y el tiem- 
po en que se produjo dicha variación. 

Parecería entonces, que la aceleración 
debiera ser nula ya que la velocidad 
parece que no varía. Pero, ¿la velo- 
cidad no varía? La velocidad se man- 
tiene constante en magnitud pero varía 
continuamente en dirección. Debe te- 
nerse presente que la velocidad es una Fig. iss. — Aceleración centrípeta, 
magnitud vectorial. 

Si la velocidad varía en dirección es porque existe una acele- 
ración. Esta aceleración, llamada aceleración centrípeta, es un vec- 
tor que tiene la dirección del radio y dirigido siempre hacia el cen- 
tro (fig. 155). Se puede demostrar que la aceleración centrípeta a 
tiene el valor: 

O 

V“ 

a = —, 
r 

o bien, reemplazando v por su igual u r: 

a = <ü 2 r. 




E. Loedel 


JI4 


La aceleración centrípeta , igual al cuadrado de la velocidad an- 
gular por el radio, es constantemente normal a la velocidad tan- 
gencial (fig. 155). 


1> £' / 114. Fuerza centrípeta. — Hagamos dar vuelta a una bolita en 

él interior de una copa (fig. 156). En la figura 157 se supone la 
copa vista desde arriba. Sea A una posición de la esferita móvil. 



El vector blanco que parte de A representé su 
velocidad en ese momento. Si no existiera lá pared 
de vidrio, la esferita, por inercia, seguiría una 
línea recta y al cabo de cierto 
tiempo se encontraría en B. Por ; 
la acción de la pared se encuen- A 
tra, sin embargo, en C. Luego 
la pared ejerce sobre la esfera 
una fuerza F dirigida constante- 
mente hacia el centro de la cir- bHHRSEHkHhH 


Fig. ísfi. cunferencia que ésta recorre. Fi g . 157. — Fue™ 

1-1 i* 1 r . / centrípeto. 

Esta fuerza es la fuerza centrí- 
peta. Su valor será igual a la masa m del cuerpo por la aceleración 
centrípeta, de acuerdo al principio de masa. Llamando F a la fuerza 
se tendrá: 


F = mw 2 r. 


Si se hace girar una piedra atada a un hilo, ejercemos con la 
mano (fig. 158) sobre la piedra una fuerza F dirigida hacia el 
centro. La fuerza centrípeta es la que obliga al 
cuerpo a desviarse de la línea recta. 

115. Fuerza centrífuga. 

— Si la pared de vidrio del 
ejemplo del párrafo ante- 
rior ejerce sobre la esfera 
móvil cierta fuerza, en vir- 

, , , ... , Fig. 1 S 9 . — Fuereis. 

tutl del principio de acción centrífuga, 

y reacción, la esfera ejer- 
cerá contra la pared una fuerza igual y opuesta. Ésta es la fuerza 
centrífuga, cuya dirección es la del radio (fig. 159), siendo su 
sentido opuesto al de la fuerza centrípeta. El valor de la fuerza 
centrífuga es también: 



Fig. 158. 



F — m<ú 2 r. 



Física Eléméntal 


m 


6 en función de la velocidad tangencial r 


m ir 


F = 


Si en un momento dado deja de actuar la fuerza centrípeta (ate 
suelta el hilo) desaparece también la fuerza centrífuga. El cuerpo 
continúa moviéndose en línea recta siguiendo 
la dirección de la tangente. 

116. Ejemplos y experimentos. — Si un 
vehículo marcha a gran velocidad, en un vi- 
raje cerrado se expone a volcar por efecto 
de la fuerza centrífuga. En las curvas, los 
caminos se construyen con una elevación ma- 
yor en la parte exterior, para que la resul- 
tante R entre el peso P y la fuerza centrífuga 
F sea normal al pavimento. (Véase proble- 
ma 2) . 

Puede hacerse dar una vuelta completa a un balde lleno de 
agua sin que se derrame una gota (fig. 160), y una esferita que 
se deja caer por un riel inclinado (fig. 161) recorre una circun- 
ferencia vertical sin caerse. Con la máquina centrifugadora (fig. 
162), pueden efectuarse interesantes experimentos y comprobarse 




Fig. 161. — "Looping the loop". 


Fig. 162. — Máquina centrifugadora. 


las leyes de la fuerza centrífuga. Los aros metálicos flexibles y 
circulares adoptan la forma de elipses, explicándose así el achata- 
miento de la Tierra que se- supone, con fundamento, originado por 
su rotación. Las masas m 1 y m 2 ligadas con una cadenilla (fig. 
163) permanecerán en sü posición, aunque se gire rápidamente la 
máquina, si se cumple: 


TTl 1 T 1 — 7712 ^ 2 ? 



116 


E. Loedel 


siendo r t y r 2 las distancias respectivas de las masas al eje de 
giro. El equilibrio relativo se explica porque siendo la velocidad 
angular común, las fuerzas centrífugas son entonces iguales. Si no 

se cumple la relación anterior la masa 
para la cual la fuerza centrífuga es ma- 
yor arrastrará a la otra. 

* 117. Cálculo de la aceleración cen- 
trípeta. — El punto móvil que recorre la 
circunferencia de radio r, tiene la velo- 
cidad V 1 al pasar por el punto 1 (fig. 
164). Inmediatamente después, al pasar 
por 2 su velocidad es V 2 . Los vectores 
V 1 y V 2 son de igual longitud, pues con- 
sideramos que se trata de un movimiento 
circular uniforme. Para saber en cuánto 
varió la velocidad al pasar el móvil de 
la posición 1 a la 2, tracemos por 2 un 
vector igual y paralelo a V x . Es el vector 
V* j. Unamos el extremo de V\ con el extremo de V 2 y complete- 
mos el paralelogramo del cual la diagonal es V 2 . El vector h es la 
velocidad que hubo que agregarle a V\ para obtener V 2 . Luego 
h representa la variación que experimentó la velocidad al pasar el 
móvil de 1 a 2. Si en ese 
pasaje se empleó el tiem- 
po í, la aceleración sería: 

h 

a — — . 

t 

Se ve en la figura la 
semejanza de los dos trián- 
gulos sombreados. Si a la 
longitud del vector V 2 la uí. 

llamamos v (valor de la 

velocidad «hngencial), siendo la cuerda 1-2 igual a e, tenemos: 




h e 


ev 


h = — 


T 


V 


r 


Física Elemental 


119 


Llevando este valor a la expresión de a: 

ev 

a = — . 

tr 

El cociente de la cuerda e por el tiempo, es en el límite , al 
tender el tiempo a cero, igual a la velocidad v, ya que entonces la 
cuerda se confundirá con el arco. Tenemos así: 

v 2 

a = — . 
r 

Cuando el punto 2 tiende hacia el punto 1, en el límite, el ángulo 
en C del triángulo l-C-2 valdrá cero, y los ángulos en la base 1-2 
del triángulo isósceles valdrán cada uno 90°. Entonces el vector h 
será normal al vector V 2 , y el vector aceleración, límite del cociente 
de h por t, cuando t tiende a cero, será normal a la tangente y dirigi- 
do, por lo tanto, hacia el centro de la circunferencia. 

PROBLEMAS 

1. A una esfera de 100 gramos atada al extremo de un hilo de 
1 metro, se le hace dar 10 vueltas por segundo. Hallar la fuerza 
centrífuga, o lo que es lo mismo la tensión del hilo. 

2 TT 2 7T 

F = 77i o» 2 r; tu = = = 20 ir 

T 0,1 

Siendo r = 100 cm resulta : 

F = 39 478 400 dinas — 40 Kgr ■ peso. 

2. Una parte de la pista de un velódromo tiene un radio de 90 
metros y una inclinación de 45°. ¿A qué velocidad debe pasarse 
la curva para que la resultante entre la fuerza centrífuga y el 
peso sea normal a la calzada? (fig. 165). 

El peso mg deberá ser igual a la fuerza centrífuga, luego: 

mv 2 

mg = ; v = V &§• 

R 




11& E. Loedel 

Resulta aproximadamente: 

m Km 

v = 30— — = 108 . 

seg hora 



3. Siendo el radio ecuatorial igual a 6 380 kilómetros y empleando 
la Tierra en una rotación 23h56m4s, hallar la fuerza centrífuga 
que se ejerce sobre una masa de 1000 gramos situada en el 

Ecuador. 

Aplicando la fórmula resulta: 

F = 3392 dinas = 3,46 gramos - peso. 

Luego una masa de un kilogramo experimenta en el Ecua- 
dor una pérdida de peso de casi 3 gramos y medio debido a 
la fuerza centrífuga. 

4. Hallar la aceleración centrípeta de la Luna, considerando que 
su órbita alrededor de la Tierra es circular; el radio de dicha 
órbita igual a 384400 Km y la velocidad tangencial de la Luna 
igual a 1023 m/seg. 

Aplicando la fórmula resulta: 

V 2 m 

a = — = 0,002 722 . 

R seg 2 

En cuanto al valor de la velocidad tangencial se le calcula 
fácilmente conociendo el tiempo de revolución de la Luna alre- 
dedor de la Tierra, que es 27d7h43m. Verifique el alumno 
si está bien el valor de' la velocidad que hemos dada en el 
enunciado del problema. 



Física Elemental 


119 


4 ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO 


*118. Aceleración tangencial y aceleración angular. — Su- 
pongamos que arrollamos una cuerda alrededor de un cilindro cuyo 
eje coincide con el eje de rotación de un cuerpo rígido. Si tiramos 
de la cuerda (fig. 166) con una fuerza constante, la velocidad angu- 
lar del cuerpo irá aumentando. Se llama 
aceleración angular al cociente entre la 
variación de la velocidad angular y el 
intervalo de tiempo en que se produjo di- 
cha variación. Si en el tiempo t la veloci- 
dad angular ha aumentado en w la acele- 
ración angular y será por definición: 

y — — • 

t 

Un punto cualquiera del cuerpo re- 
correrá una circunferencia y su velocidad 
tangencial variará no sólo en dirección 
sino también en valor absoluto. Acele- 
ración tangencial es el cociente entre la 
variación del valor de la velocidad tangencial ( módulo ) y el tiempo 
en que se produjo dicha variación. Si la velocidad tangencial én el 
tiempo t varía en v, la aceleración tangencial q será: 



v 


q = —. 


t 


Si el punto se encuentra a la distancia r del eje de giro, la 
variación v de la velocidad tangencial será igual a la variación <o 
de la velocidad angular por el radio r, de donde: 

q = yr. 

La aceleración tangencial es igual a la aceleración angular por 
el radio de giro. 

* 119. Momento de inercia y aceleración angular. — Si el radio 
del cilindro en que se arrolla la cuerda es R, el momento de la 
tuerza F será: FR (fig. 167). 

, Consideremos descompuesto al cuerpo en partes muy pequeñas 
•de masas m„ m 2 , m 3 , etc., situadas a las distancias r 15 r 2 , r 3 , etc.. 


120 


E. Loedel 


del eje de giro. Admitamos que en un momento dado estas masas 
tengan las aceleraciones tangenciales q lt q<¿, q z , etc. De acuerdo al 
principio de D’Alembert (95) el sistema estaría en equilibrio si 
aplicáramos a cada masa las fuerzas m^q^ m2q%. • • en sentido 
opuesto al de las aceleraciones. Entonces deberá ser el momento 
de la fuerza F igual en valor absoluto a la suma de los momentos 
de esas fuerzas ficticias: 

FR = mi^ri -f- m^q^z + m z q z r z -J- . . . 

Siendo y la aceleración angular se tiene: 

< 7 i = y > a ; <72 = 77-2; <73 = 77-3... 

de donde obtenemos, luego de sacar a y de factor común: 

F R — y {mjx 2 -f- m 2 r 2 2 + 77137- 3 2 + ...). 

La suma entre paréntesis depende de las masas y de cómo están 
ellas distribuidas alrededor del eje. Esa suma es una constante que 
depende de la forma del cuerpo y que se llama momento de iner- 
cia del mismo con respeto al eje. Em- 
pleando el signo de suma y llamando 
/ al momento de inercia: 

/ = 2 mr 2 . 

El momento de inercia de un cuerpo 
con respecto a un eje es igual a la suma 
de los productos de las masas de sus 
partículas por los cuadrados de sus dis- 
tancias al eje. 

Llamando M al momento de la fuer- 
za que hace girar al cuerpo tenemos: 

M = I y. 

Esta fórmula es enteramente análoga a la que traduce el prin- 
cipio de masa: 

F = ma. 

En las rotaciones debe sustituirse la fuerza por el momento, la 
masa por el momento de inercia, la aceleración por la aceleración 
angular. 

Se aprecia el papel desempeñado por el momento de inercia 
en las rotaciones por medio del aparato de la figura 168. Las pesas 
situadas sobre las varillas en cruz pueden acercarse o alejarse del 





eje. Si la distancia de ellas al eje es pequeña el momento de inercia 
será también pequeño y el resorte que tira del hilo arrollado en 

H el cilindro comunicará al 

sistema una aceleración | 1 

angular grande. Estando | j 

las pesas en los extremos pwl ’ j 

ocurre lo contrario. v 


* 120. Energía cinéti- . ' , M 

ca de rotación. Volantes. 

— En el aparato anterior, 
una vez que el sistema 
gira, se observa que al 
arrollarse el hilo en sen- H 
tido contrario el resorte se 
estira. Un “yo - yo” (fig. 

169) es capaz de elevarse .Z ■ ’vJ 

debido a su energía ciné- F¡ g . 169. — "Yo - yo", 
tica de rotación. 

Supongamos que el cuerpo se encuentra 
inicialmente en reposo. Calculemos el trabaja 
que es necesario efectuar para comunicarle la velocidad angular «o. 
Si la fuerza F recorre el espacio e (fig. 170) el trabajo será: 


le inercia 


Este espacio será recorrido con mo- 
vimiento uniformemente acelerado; si lla- 
mamos a a la aceleración: 

e = 1 / 2 at 2 . 

Si el radio del cilindro es R, siendo 
y la aceleración angular tendremos: 


Ue aquí: 

T = 1 / 2 FR yí 2 . 

Pero FR es el momento, igual a / y, 
de donde: 

T = V 2 / y 2 1 2 . 

Como y t es igual a la velocidad angular o> adquirida, la energía 
cinética de rotación resulta: 




Fig. 170. — Energía cinética 
de rotación. 



122 


E. Loedel 

Puede verificarse que la energía cinética de rotación dada por 
la expresión anterior, es igual a la suma de las energías cinéticas 
•de cada una de las partículas del cuerpo. (Véase problema 3). 

Volantes. — Todas las máquinas, desde la simple del afilador 
hasta la imponente de los transatlánticos modernos, llevan en el eje 
una rueda llamada volante destinada a regularizar el movimiento. 
En el volante se acumula cierta cantidad de energía, por lo 
cual conviene que su momento de inercia sea grande. Esta energía 
es la que hace que la máquina pase los “puntos muertos” que son 
aquéllos en que biela y manivela tienen la misma dirección. 

*121. Impulso rotatorio. — Si el momento M actúa durante el 
tiempo t, y el cuerdo estaba inicialmente en reposo, adquirirá una 
velocidad angular o, igual a y t, de modo que: 

Mt = I a>. 

Al producto del momento de inercia del cuerpo por la velocidad 
angular se le llama impulso rotatorio . Si el sistema que gira está 
aislado del exterior el impulso rotatorio debe permanecer constante. 
Esto explica el porqué la velocidad angular con que gira una persona 

situada sobre una plataforma 
giratoria aumenta sensible- 
mente si encoge los brazos 
(fig. 171). El efecto es más 
sensible si tiene una pesa en 
cada mano. Al encoger los 
brazos disminuye el momento 
de inercia debiendo aumentar 
en consecuencia la velocidad 
an 

La conservación del im- 
pulso rotatorio hace que es- 
tando sobre la plataforma 
anterior giremos en sentido 
contrario al sentido de gira- 
ción que le imprimimos a un 
bastón o a una clava (fig. 172) por encima de nuestra cabeza. 
El salto mortal, simple y doble, se explica igualmente por el aumento 
oportuno de la velocidad angular del cuerpo, logrado merced a 
un encogimiento del mismo. 




Fig. 171. — Impulso rotatorio. 



Física Elemental 


123 



Los gatos aplican instintivamente el principio de la conservación 
•del impulso rotatorio para caer de pie. 

Si sentados sobre la plataforma giratoria tenemos con ambas 
manos, por el eje, una rueda de bicicleta en rotación, se observa 

que si estamos sin girar estando el eje de 
la rueda horizontal (fig. 173), comenzamos 
a girar apenas inclinamos a éste. Esto se 
explica porque el impulso rotatorio alrede- 


Fig. 172. — Conservación 

del impulso rotatorio. Fig. 173. Impulso rotatorio. 


dor del eje de la plataforma era inicialmente nulo. Debe seguij 
dicho impulso siendo nulo y por eso nuestro cuerpo adquirirá uní 
rotación de sentido opuesto al de la rueda. 

simé- 
de un 

«je de simetría, que pasa por su centro de 
gravedad, es un giróscopo. 

El trompo se mantiene sin caer mien- 
tras gira debido al movimiento de prece- 
sión que es el movimiento del eje de giro 
alrededor de un eje vertical que pasa por 
el apoyo (fig. 174). 

Al movimiento de vaivén del eje de 
giro alrededor de una posición media, 
movimiento de cabeceo, se le llama nutación. La Tierra es un gran 
giróscopo que cumple su movimiento de precesión, una vuelta com- 
pleta, en 26 000 años. En un giróscopo suspendido en forma apro- 
piada (suspensión de Cardán) se constata que el eje de giro se 


* 122. Giróscopo. — Un cuerpo 
trico que puede girar alrededor 




124 


E. Loedel 



conserva paralelo a sí mismo, cualquiera sea la posición del so- 
porte (fig. 175). Esta propiedad se utiliza en las brújulas giros- 
cópicas. En el conocido juguete del diábolo (fig. 176) se apro- 
vecha también esa propiedad. 

* 123. Traslaciones y rota- 
ciones. — El cuadro que sigue 
es una especie de diccionario 


Fig. 176. — Diábolo. 


Fig. 175. — Giróscopo con sus- 
pensión cardánica. El eje del 
soporte es también eje de giro. 


donde se pueden comparar las magnitudes y fórmulas análogas 
de las traslaciones y las . rotaciones. 


Traslaciones 

Rotaciones 

Velocidad v 

Velocidad angular ^ 

Fuerza F 

Momento M 

Masa m 

Momento de inercia / = X mf2 

Aceleración a 

Aceleración angular y 

F ~ ma 

>- 

ii 

Energía cinética = Yz mv 2 

Energía cinética = / o) 2 

Impulso : Ft = mv 

Impulso: Mt — I & 

mv = mV 




Física Elemental 


125 


* 124. Mohiento de inercia de algunos cuerpos regulares. — 
De la definición de momento de inercia puede calcularse matemá- 
ticamente su valor para cuerpos de forma regular. Para un cilindro 
macizo homogéneo de masa M y radio 
R el momento de inercia con respecto 
al eje del mismo resulta: 

1 


Fig. 177. 

El momento de inercia de una esfera ma- 
ciza y homogénea con respecto a un diáme- 
tro es: 

2 

(esfera) / = — MR 2 . 

Fig. 178. ^ 

* Regla de Steiner. — Si se conoce el momento de inercia lo 
de un cuerpo con respecto a un eje AB que pasa por su centro de 
gravedad (fig. 179), el momento de inercia / con respecto a un 
eje CD paralelo al primero y situado de él a 
la distancia d es: 

I = Io-\-Md 2 

siendo M la masa total del cuerpo. 

MOVIMIENTO OSCILATORIO 

125. Movimiento oscilatorio. — Una vari- 
lla elástica (fig. 180) cumple un movimiento 
de vaivén que se llama oscilatorio. Un punto 
cualquiera de la varilla recorre un arco y 
se llama amplitud a la separación máxima 
del punto considerado de su posición media 

de equilibrio. 

* 

Período es el tiempo que tarda el punto en efectuar una osci- 
lación completa. 

Elongación es la distancia que en un momento dado media 
entre el punto y la posición central de equilibrio. La amplitud 
es igual a la elongación máxima. 



Fig. 179. — Regla de 
Steiner. 



I MR 2 ( cilindro ) 

2 



126 


E. Loedel 


Frecuencia n es el cociente entre el núnlero N de oscilaciones 
efectuadas y el tiempo t en que se han efectuado. , ¡ i 

Ejemplo: Sea N = 100 y t = 10 seg: 

n = N/t = 100/10 seg = 10 [1/seg] . 

Se efectúan pues, 10 oscilaciones en un segundo. 
Considerando una sola oscilación (N = 1) el tiem- 
po t es igual al período ( t = T ), por lo que: 

1 

n = — . 

T 



La frecuencia es la 
inversa del período. 


126. Movimiento vibratorio armónico. — Es 
el movimiento oscilatorio más sencillo. Se le de- 
fine como la proyección de un movimiento cir- 
cular uniforme sobre uno de los diámetros. Si el 
punto P (fig. 181) recorre la circunferencia de 
centro O su proyección P’ recorrerá el diámetro 
AB con un movimiento de vaivén. Llamemos x 
a la elongación OP\ 

Consideremos el diámetro CD normal a AB. 
Si el punto P está situado sobre la circunferencia, 
en un punto tal que el ángulo COP sea igual a <p, la elongación x será 
en ese momento, (fig. 182) : 


Fig. 180. — Movi- 
miento oscilatorio. 


x = R sen 


r-. 


[i] 


siendo R el radio de la circunferencia, 
igual a la amplitud del movimiento vi- 
bratorio armónico. La velocidad V de 
la proyección P’ no es más que la pro- 
yección de la velocidad V 0 del movi- 
miento circular (fig. 183) : 

V = Vo eos <p. [2] 

La aceleración de P’ es igualmente 
la proyección de la aceleración de P. 
Como el movimiento de P es circular 
uniforme, su aceleración es la acelera- 
ción centrípeta a 0 (fig. 184) ; luego la 
aceleración a de la proyección es: 



Fig. 181. — Movimiento vibratoria 
armónico. 


d a$ sen <p. 


[3]/ 



Física Elemental 


127 


■ ■ El signo menos significa que si x es positivo a es negativo; y si 
x es negativo a es positivo. La aceleración está, pues, dirigida con& 
tantemente hacia el centro O. 

Se tiene además: 

F 0 2 x 

a 0 = ; y de la [1]: sen <p = — . 

R R 

Resulta entonces para la aceleración a: 

Vo 2 

a = x 

R- 

Si .■•ido Vo y R constantes resulta 
que la aceleración es proporcional a la 
elongación. 

Siendo Vo igual a 2 7 r R sobre el 
período T, podemos escribir: 

4 TT 2 

a X ' Fig. 182. 

J'2 



* 127. Condición para que se efectúe un movimiento vibra- 
torio armónico. — -Debiendo ser la aceleración proporcional a la 
distancia x al centro, si el punto en movimiento tiene masa m, la 



Fig. 183. 



Fig. 1H4. 


fuerza, igual masa por aceleración, tendrá que estar dirigida cons- 
tantemente hacia el centro y ser proporcional a la elongación x: 

F — — kx; 


donde k es una constante positiva. En una lámina elástica se 
cumple, efectivamente, que la fuerza es proporcional al aparta- 



128 


E. Loedel 


miento. Por esta razón el movimiento de cada uno de sus puntos 
es vibratorio armónico. 

Si la masa es m la fuerza será: 

4nr 2 m 

F = %• 


*128. Fórmula del péndulo simple. — La fuerza F que soli- 
cita a la masa pendular cuando el hilo forma con la posición de 
equilibrio el ángulo a es mg sen a (fig. 185). Poniendo de manifiesto 
el signo, por estar esta fuerza dirigida siempre hacia C, escribiremos: 


F = — mg sen a. 

Pero siendo l la longitud del péndulo: 

x 

sen a = — . 

I 

Si la amplitud es pequeña el segmento de 
cuerda x se confunde en todo momento con el 
arco. De la última fórmula establecida en el 
párrafo anterior y la que acabamos de estable- 
cer resulta: 

mgx 4 7I- 2 m 

= x 

l T 2 ' 

y de aquí: 

T = 2,]/L. 

g 



péndulo. 


* 129. Fórmula del péndulo compuesto. — Sobre el péndulo 
compuesto (fig. 186) actúa la fuerza Mg cuyo momento con res- 
pecto a O es Mgd sen a, llamando d a la distancia OG del eje de 
giro al centro de gravedad G. Siendo I el momento de inercia del 
péndulo con respecto al eje de giro O se tendrá: 

Mgd sen a = / y, 

siendo y la aceleración angular (119). 



Física Elemental 


129 


Apliquemos esta fórmula a un péndulo simple de longitud l 
y masa m, tal que se mueva al unísono con el péndulo compuesto. 
El momento de inercia en el caso del péndulo simple es mi 2 ; luego: 

mgl sen a = mi 2 y. 

Dividiendo estas dos expresiones miembro a miembro y despe- 
jando / se obtiene: 

/ 

1 = . 

Md 

Esta longitud l es la llamada longitud del péndulo simple sin- 
crónico del compuesto, llamado también péndulo físico. Llevando 
este valor a la fórmula del pén- 
dulo simple se obtiene: 

t = 2 7r y/ . 

Mgd 

Al producto Mgd, se le suele 
llamar, impropiamente, ya que es 
un momento, fuerza directriz. 

Como el péndulo simple o 
ideal es irrealizable, en las deter- 
minaciones precisas de g debe 
aplicarse la fórmula del péndulo 
compuesto. 

Se comprende también, cómo 
utilizando dicha fórmula, se podrá hallar experimentalmente el 
momento de inercia de cualquier cuerpo, con sólo hacerlo oscilar. 

PROBLEMAS 

*1. Hallar el trabajo que se realiza en contra de la fuerza centri- 
fuga al encoger los brazos en el experimento de la figura 171. 

Llamemos I al momento de inercia con respecto al eje de 
giro del sistema giratorio al tener los brazos extendidos. La 
velocidad angular es entonces igual a <d. Sea /’ el momento de 
inercia al encoger los brazos, adquiriendo el sistema la velo- 
cidad angular u’. La conservación del impulso rotatorio nos da: 



/a> = /V. 



130 


E. Loedel 


Hallemos la diferencia entre las energías cinéticas de rota- 
ción final e inicial: 

1 * 1 1 

£=_/V 2_ / tó 2 ; £ = _/„(«»_«); 

2 2 2 

éste es el trabajo mecánico realizado. 

*2. Una esfera maciza y homogénea de 5 cm de radio se suspende 
de un punto, por un hilo de masa despreciable. La distancia 
entre el punto de suspensión y el centro de la esfera es de 25 cm. 
Hallar la longitud del péndulo simple sincrónico. 

I 

l = . Por la regla de Steiner: I = Io~\- Md 2 : 

Md 

lo 

l = b d. 

Md 

Tratándose de una esfera : lo = 2/5 MR 2 , luego : 

2 MR 2 2 R 2 

1 = {- d = d -j . 

5 Md 5 d 

l = 25,4 cm. 

*3. Demostrar que la energía cinética de rotación de un cuerpo 
es igual a la suma de las energías cinéticas de las partículas 
del mismo. 

Consideremos al cuerpo descompuesto en partículas de ma- 
sas m x , m 2 ..., etc., animadas de las velocidades tangenciales 
V v V^..., etc. La suma E de las energías cinéticas de estas 
partículas es: 

1 1 

E = — m\V 2 -j m 2 V 2 2 -j- . . . 

2 2 



Física Elemental 

Si las partículas distan del eje de giro en r\ t r 2. . 
siendo to la velocidad angular se tiene: 

Vi = (ú ri, V% = <•> r2» • • y 

de donde: 

1 1 

£ = — /n x <i > 2 ri 2 -j m,2 tü 2 r 2 2 + . . . = 

2 2 


1 1 

= — «a 2 (tfij ri 2 + m,2 r* 2 4~ • • • ) = — / <■>*. 

2 2 


131 

. , etc.. 



CAPÍTULO IX 


GRAVITACIÓN UNIVERSAL 

130. Leyes de Kepler: — El gran astrónomo Juan Kepler esta- 
bleció en los comienzos del siglo XVII, las siguientes leyes del 

movimiento planetario, que obtuvo luego 
de pacientes observaciones y minuciosos 
cálculos. 

Primera ley. — Los planetas, en su 
movimiento de traslación, recorren elip- 
ses, ocupando el Sol uno de los focos 
(fig. 188). Recordemos que la elipse es 
una curva plana en la cual la suma de 
las distancias de cualquiera de sus pun- 
tos a otros dos puntos fijos llamados focos 
es constante. 

Juan Kepler (1571 . 1630) . Segunda ley. — Las áreas barridas 

por los radios vectores de los planetas, 
en su movimiento traslatorio, son proporcionales a los tiempos em- 
pleados en recorrerlas. 

Se llama radio vector al segmento que une el Sol con el planeta. 
Esta ley significa (fig. 189) que si al pasar el planeta de la posi- 



Fig. 188. — Primera ley de Kepler. Fig. 189. — Segunda ley de Kepler. 


ción 1 a la 2 el área del sector 152 es igual al área del sector 354, 
el tiempo que empleará en ir de 3 a 4 será igual al tiempo que 




Física Elemental 


133 


emplea en ir de 1 a 2. Los planetas adquieren entonces su velocidad 
máxima cuando su distancia al Sol es mínima ( perihelio ) y su velo- 
cidad mínima cuando pasan por el afelio, donde la distancia es 
máxima. 

Tercera ley. — Los cuadrados de los tiempos de revolución de 
los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias 
al Sol. Entendemos aquí por distancia media de un planeta al Sol 
la semisuma de las distancias máxima y mínima. Esta distancia 
media es pues igual al semi-eje mayor de la elipse. 

Si T es el tiempo de revolución y d la distancia media, la ley 
puede expresarse así: 

J2 

— = constante ; 

d z 

o sea el cociente entre el cuadrado del tiempo de revolución y el 
cubo de la distancia media es igual para cualquier planeta. 

131. Ley de Newton. — Newton en 1682 pudo explicar las 
leyes de Kepler y otras particularidades del movimiento de los 
planetas y cometas admitiendo que: 

Todos los cuerpos se atraen con una fuerza que es directa- 
mente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al 
cuadrado de las distancias que los 
separan. 

Para dos cuerpos (fig. 190) la 
fuerza F con que se atraen es: 

7TÍ\TTÍ2 

F = K . 

d 2 

En esta fórmula K es una cons- Fig. 190. — Ley de Newton. 

tante cuyo valor depende de las 

unidades que se empleen para medir la fuerza, las masas y la 
distancia. 

132. Leyes de Kepler y ley de Newton. — Matemáticamente 
se puede probar que si un cuerpo (planeta) es atraído por otro 
(Sol) si se considera la masa de este último mucho mayor que la 
del primero, aquél recorrerá una elipse cuyo foco, fijo, es el Sol, cum- 
pliendo la ley de las áreas. Se comprende también sin cálculo, que a 







medida que el planeta se acerca al Sol debe aumentar su velocidad a 
causa de la atracción. En el afelio la energía potencial es máxima y la 
cinética mínima; en el perihelio sucede lo contrario. En cuanto a 
la tercera ley de Keple’r es fácil deducirla de la ley de Newton 

si se admiten órbitas circulares. 


Hemos llamado u a la velo- 
cidad angular del planeta de 
masa m, habiendo reemplazado 
luego (i> por su igual 2 -tt/T, 
siendo T el tiempo de revolu- 
ción. De las igualdades anterio- 
res se obtiene: 


líate Newton (1643 • 1787)' 


constante 


loo. Jreso de los cuerpos. — KP 
Los cuerpos pesan porque la ntg 
Tierra los atrae, de acuerdo a HH 
la ley de Newton. Considerando lili 
a la Tierra como una esfera Bp 
homogénea puede demostrarse ||p 
que se comporta como si toda bB| 
su masa estuviera concentrada 
en su centro. Si llamamos R al 
radio terrestre (fig. 193) el peso 
mg de una masa m colocada sobre la superficie de la Tierra será 





Física Elemental 


135 


En esta fórmula M es la masa total de la Tierra. 

Si un cuerpo se alejara de la Tierra hasta que su distancia al 
centro fuera doble (fig. 194) sería atraído en ese lugar con una 
fuerza igual a la cuarta parte de la fuerza con que es solicitado 
estando en la superficie. Un cuerpo que pesa 1 Kgr en la superficie 
de la Tierra pesaría 1 /\ de Kgr si se ele- 
vara a unos 6370 Km del suelo. A una 
distancia triple el peso se reduciría a la 
novena parte y claro está que en ese lu- 
gar, caería hacia la Tierra con una ace- 
leración igual a la novena parte de g. 

134. Determinación de g por el mo- 
vimiento de la Lima. — Si un cuerpo 
se aleja del centro de la Tierra hasta Fig. 193. — Peso y ley de Newto». 

que su distancia sea igual a 60 veces el 

radio terrestre, en ese lugar caería hacia la Tierra con una acele- 
ración igual a la 3600 ava (60 X 60 = 3600) parte de g. Pues 
bien, existe un cuerpo situado de la Tierra a esa distancia: la Luna. 
Su órbita casi circular permite calcular fácilmente la aceleración 
centrípeta a de su movimiento. (Problema 4 del Cap. anterior). 

Esta aceleración centrípe- 

leración de “caída” de la 

Luna hacia la Tierra. Por 

lo tanto: 

8 

= a. 

3600 

El valor de a se cal- 
cula en función del radio 
de la órbita y del tiempo 
empleado en recorrerla. 
Hemos visto que a es igual a 0,002 722 m/seg 2 . Resulta entonces: 

m m 

g = 3600 X 0,002 722 = 9,80 . 

seg 2 seg 2 

Es realmente extraordinario que del movimiento de la Luna 
obtengamos el valor de la aceleración con que caen los cuerpos en 
la superficie de la Tierra! 


ta debe ser igual a la ace- 





136 


E. Loedel 


135. Determinación de la constante de gravitación. — De la 
fórmula de Newton obtenemos: 

Fd 2 

K = . 

771 x TTl 2 

Experimentalmente se determina K de varios modos. En cual- 
quier caso debe medirse la fuerza con que se atraen dos masas dadas 
situadas a distancia conocida. Esta fuerza es siempre sumamente 
pequeña, de ahí que las medidas sean realmente muy dificultosas. 

Uno de los métodos empleados, el 
de Richarz y Krigar - Menzel, es el 
siguiente: se pesa un cuerpo de masa 
m, con una balanza sensibilísima, colo- 
cándolo sucesivamente en la parte supe- 
rior A e inferior B de una esfera de 

plomo de 10Q toneladas. 

Estando el cuerpo en A la balanza 
nos dará del mismo un peso P x igual a 
la suma del peso P del cuerpo más la 
atracción F de la esfera: 

P t = P + F. 

Estando en B la balanza acusará un peso inferior P 2 , igual 
al peso del cuerpo menos la atracción de la esfera de plomo: 

P 2 = P — F. 

Restando miembro a miembro estas dos igualdades obtenemos: 

1 

P 1 -P 2 = 2F; F = — (P 1 ~P 2 ). 

2 

Conocido F se determina por la fórmula el valor de K. 

Se ha obtenido así para K, en el sistema C. G. S. : 

K = 0,000 000 0668 = 6,68 X 10" 8 . 

Por lo tanto dos masas de un gramo cada una separadas por la 
distancia de un centímetro se atraen con la fuerza de 

6,68 X 10- 8 dinas. 


masa M (fig. 195). En los experimentos 
llevados a cabo era ésta una esfera de 



Fig. 195. — Determinación de K. 



Física Elemental 


137 


136. Masa y densidad de la Tierra. — Conociendo K, la 
fórmula establecida en el párrafo 133 permite hallar la masa total 
de la Tierra. 

Dividiendo esta masa por el volumen, fácilmente calculable 
pues se conoce el radio, se determina la densidad media de nues- 
tro planeta. Se ha obtenido así para la densidad media de la 
Tierra el valor: 

( gramo - masa 
— 

cm 3 

137. Masa del Sol y demás planetas. — La fórmula final 
establecida en (132) permite hallar la masa del Sol. En forma 
análoga se calculan las masas de los planetas que tienen satélites 
y de las estrellas dobles. 



138. Descubrimientos de Neptuno y Plutón. — Las leyes de 
Kepler son sólo aproximadas; el movimiento real de los planetas 
es mucho más complicado, pues cada planeta es atraído no sólo por 
el Sol, sino por todos los demás astros del sistema solar. 

El planeta Neptuno fue descubierto por Leverrier en 1846 por 
cálculo, basándose en la ley de Newton y en las perturbaciones 
observadas sobre el planeta Urano. 

La existencia de Plutón , encontrado recién en 1930, se sospe- 
chaba desde tiempo anterior, debido a las inexplicables perturba- 
ciones de Neptuno. Los cálculos fueron hechos por Lowell y el 
descubridor real fué Slipher. 

*139. Variación de g con la latitud. — Ya hemos visto que 
la aceleración de la gravedad varía con la latitud. Esto se debe a 
dos causas: una, la fuerza centrífuga originada por la rotación terres- 
tre; otra, el achatamiento de la Tierra. 

Si la Tierra no girara, el valor de g en el Ecuador sería en lugar 
de 978, 981 cm/seg 2 . (Véase problema 3 de pág. 118). 

En el polo el valor de g es igual aproximadamente a 983 
cm/seg 2 . Luego el achatamiento terrestre es la causa de esa dife- 
rencia de 2 cm/seg 2 . No hay que creer, sin embargo, que para cal- 
cubar el valor de g en el polo, conociendo el valor que tiene en el 
Ecuador, baste con aplicar la ley de Newton suponiendo que toda 
la masa estuviera concentrada en el centro de la Tierra. En otras 



138 


E. Loedel 


palabras si llamamos Re y Rp a los radios ecuatorial y polar res- 
pectivamente podría creerse que vale la relación: 

gp Re" 2 


gE -f- a Rp 2 

Pero esta relación es falsa. En ella a es la corrección debida a 
la fuerza centrífuga. Tomando para la aceleración que existiría en 
el Ecuador si la Tierra no vgirara el valor: 

cm 

gE -f- a = 981 , 

i seg 2 

y aplicando la fórmula de más arriba, tomando para el radio ecua- 
torial el valor 6378 km y para el polar 6357 se obtiene para gp 
el valor: 


cm 

gp = 987,5 . 

seg 2 

Como este resultado es falso, se prueba así que en el caso del 
elipsoide terrestre no puede considerarse a la masa del mismo con- 
centrada en el centro. 

El cálculo correcto aplicando la ley de Newton a un elipsoide, 
es muy complicado y conduce al resultado exacto. 

SISTEMA PLANETARIO 


A6tro 

Distancia al 
Sol (media) 

Tiempo de 
revolución 

Excentricidad 

Masa 

Sol 




333 400 

Mercurio 

0,387 

0,24 

0,206 

0,056 

Venus 

0,723 

0,61 

0,007 

0,87 

Tierra 

1 

1 

0,017 

1 

Marte 

1,523 

1,88 

0,093 

0,157 

Asteroides 

2—5 

— 

— 

— 

Júpiter 

5,202 

11,86 

0,048 

318 

Saturno 

9*, 554 

29,46 

0,056 

95 

Urano 

19,218 

84,02 

0,046 

14,6 

Neptuno 

30,109 

164,8 

0,009 

17,3 

Pintón 

39,457 

248,4 

0,249 

0,11 


La excentricidad en una elipse es el cociente entre la distancia 
de ambos focos y el eje mayor. 








Física Elemental 


139 


ADVERTENCIAS 

1*) La ley de Newton se refiere en realidad a la atracción de puntos materiales, 
o sea, a cuerpos de dimensiones muy pequeñas en comparación con las 
distancias que los separan. Tratándose de esferas homogéneas, ellas se 
comportan como si toda su masa estuviera concentrada en el centro de las 
mismas. 

2*) Dos puntos materiales de masas cualesquiera que se atraen de acuerdo a 
la ley de Newton, se mueven de tal modo que uno cualquiera de ellos 
recorre, con respecto al otro, una elipse, una parábola o una hipérbola cuyos 
focos se encuentran en el punto que se considera fijo. La Tierra recorre 
una elipse cuyo foco está en el Sol; y con respecto a la Tierra, el Sol 
recorre una elipse de foco en aquélla. 

PROBLEMAS 

1. Hallar el tiempo de revolución de Júpiter aplicando la tercera 
ley de Kepler. 

Datos: Distancia media al Sol de Júpiter (semieje mayor 
de la órbita de Júpiter) = d = 5,202. 

Distancia media al Sol de la Tierra = d’ = 1,000 (unidad). 

Tiempo de revolución de la Tierra = 7” = 1,000 (un año 
sideral) . 

Tiempo de revolución de Júpiter = T = x: 

T 2 d 3 x 2 5,202 3 

T 2 d’ 3 ’ (1 año) 2 l 3 

x = V 5,202 3 = 11,86 años. 

é v 

2. Hallar en qué punto del radio de la órbita lunar la atracción 
de la T ierra iguala a la de la Luna. 

Llamemos re a la distancia de ese punto a la Tierra. Siendo 
d la distancia entre la Tierra y la Luna deberá tenerse, siendo 
M la masa de la Tierra y m la de la Luna: 


M m 

. • 

d — x 

j m 

x 2 (d — x) 2 

X 

i • 

M 


m 1 

Como — = — , 
M 81 


resulta : x = 0,9 d. 



CAPÍTULO X 


HIDROSTÁTICA 

140. Hidrostática. Noción de flúido. — Esta rama de la física 
se ocupa del equilibrio de los líquidos. Un líquido se caracteriza por 
tener un volumen determinado y por cambiar de forma con suma 
facilidad, ya que adopta la del recipiente que lo contiene. Esto 
prueba que en los líquidos las moléculas no encuentran resistencia 
apreciable para deslizarse unas sobre las otras. Un líquido ideal 
sería aquél en que la resistencia de sus moléculas al deslizamiento 
fuese absolutamente nula. De acuerdo a esto, la miel está muy lejos 

de comportarse como un líquido ideal. En 
cambio en el agua la viscosidad, o sea la re- 
sistencia al deslizamiento, es tan pequeña que 
puede considerarse como un líquido ideal. 

Con el nombre genérico de flúido se de- 
signa a líquidos y gases. Ambos ofrecen una 
viscosidad muy pequeña, diferenciándose por- 
que los gases varían de volumen con relativa 
facilidad, en tanto que el volumen de un líqui- 
do se reduce en forma realmente insignificante, 
aun sometido a altas presiones. 

141. Fuerza y presión. — Sea una pila de 
libros (fig. 196) apoyados sobre la mesa. Si 
Fig. 196. — Fuerza y presión. el peso de todos ellos es igual a 20 Kgr, ésta 

será la fuerza que se ejerce sobre la mesa.' 
Si el libro de la base tiene una superficie de 200 cm 2 , considerando 
que la fuerza esté igualmente repartida, la presión ejercida es por 
definición igual al cociente entre la fuerza y la superficie'. 

20 000 gramos 

Presión = = 100 . 

200 cm 2 

Esto nos dice que sobre cada centímetro cuadrado se ejerce una 
fuerza de 100 gramos. 




Física Elemental 


141 


Por lo tanto, la fórmula que da la presión es: 

F Fuerza 

P = — . Presión = . 

S Superficie 

142. Presión en el seno de un líquido. — Consideremos un 
líquido en equilibrio. En él la superficie libre es horizontal (fig. 
197). Naturalmente que dicha superficie debe ser normal a la 
fuerza de gravedad pues si así no fue- 
ra (fig. 198) la componente (blanca) 
de la fuerza del peso produciría un 
deslizamiento para el cual los líqui- 
dos no ofrecen resistencia apreciable. 

Para constatar que en el interior de 
un líquido se manifiestan presiones 
hagamos el experimento siguiente: 

Apliquemos por medio de un hilo 
una planchuela de cartón o metal al 
«xtremo de un tubo abierto por ambos 
extremos (fig. 199). 

Introduzcamos el tubo en una va- 
sija con agua (fig. 200). Observare- 
mos que, aun soltando el hilo, la 
planchuela no se desprende, cualquie- 
ra sea la posición del tubo. Esto prueba que sobre la superficie de 
la planchuela se ejerce cierta presión. La planchuela se desprende 

cuando, vertiendo líquido en el interior del 
tubo, el nivel alcanzado en él iguala al nivel 
en el recipiente. 

143. Teorema general de la hidrostá- 
tica. — Consideremos un líquido en equili- 
brio y aislemos mentalmente en el interior 
del mismo, un cilindro de eje vertical (fig. 
201). Llamando 5 a la superficie de cada 
una de las bases, siendo Pa. la presión en 
la cara A, la fuerza hacia abajo igual al producto de la presión por 
la superficie, será: PaS. 

Análogamente la fuerza hacia arriba originada por la presión 
en B es: PbS. 




Fig. 197. — Superficie horizontal. 



142 E. Loedel 

La diferencia de estas dos fuerzas debe ser igual al peso del 
cilindro líquido que estamos considerando. El peso de este cilindro 
es igual a su volumen, Sh, por el peso específico p. Luego: 

PbS — PaS = Shp ; 

de aquí: 

Pb — Pa = hp; 

fórmula que nos dice que la diferencia de presión entre dos puntos 

del interior de un líquido en equilibrio, es 
igual al producto del peso específico del 
líquido por la diferencia de nivel entre am- 
bos puntos. 

Se comprende que las fuerzas laterales 
se anulan, no influyendo en el equilibrio. 

Admitiremos la validez general del teore- 
ma que hemos establecido, aun cuando la 
demostración dada, corresponde sólo al caso 
en que los puntos A y B están sobre la mis- 
ma vertical. Para demostrar el teorema en 
forma completa habría que probar que todos 
los puntos de una misma capa horizontal, 
de un líquido en equilibrio, soportan igual 
presión. Esto lo admitiremos en base al expe- 
rimento mencionado en el párrafo anterior. 
Aclaremos aún qué entendemos por “ presión en un punto ” del 
seno del líquido. Considerando alrededor del punto P (fig. 202) 


Fig. 200. — Presiones en el seno de un liquido. 



\ 




una superficie orientada de cualquier manera, la presión sobre el 
punto es la presión ejercida sobre la superficie de un pequeño círculo 
con centro en el punto. 


Física Elemental 


14a 



Si consideramos una pequeñísima esfera con centro en el punto 
la presión se ejercerá normalmente a la superficie en todas direc- 
ciones (fig. 203). 


Fig. 202. — Presión en un punta. 


Fig. 203. 




144. Presión sobre las paredes y sobre el fondo. — La presión 
se ejerce siempre normalmente a las paredes del recipiente que 

contiene el líquido (fig. 204). Si así no fuera 
el líquido se deslizaría y no estaría en equi- 
librio. 

Para calcular la presión originada por el 
peso del líquido en un punto cualquiera de 
la pared del vaso o -del fondo, basta con mul- 
tiplicar el peso específico por la distancia 
vertical que separa a dicho punto de la super- 
ficie libre. 

Fig. 204. — La presión ea 

145. Paradoja hidrostática. — Si el fon- 
do del vaso es horizontal, la presión en todos 
sus puntos será igual. La fuerza que se ejerce 


Fige. 205. y 206. — Paradoja hidrostática. 


sobre el fondo es igual a la presión por la superficie : F = PS — hpS. 



144 


E. Loedel 



Si tenemos varios vasos de igual fondo y distinta forma, la 
fuerza ejercida sobre el fondo, en todos ellos, es igual si se llenan 

del mismo líquido hasta la mis- 
ma altura (fig. 205). 

Esto se puede comprobar 
Y' también con el aparato de fondo 

*;| 1,:^ .y * ./• móvil de la figura 206. 

¡¡Mb i La fuerza que se ejerce so- 

■ J bre el fondo, cualauiera sea la 

forma del vaso, es igual al peso 
Fig. 207 . de un cilindro líquido que tenga 

por base la superficie del fondo 

y por altura la distancia 

vertical del fondo al ni- ' ~ T 

vel del líquido. En el 
caso (a) la fuerza es me- 
nor que el peso del lí- 

quido en M es mayor -_ / > m_L 

y en (6) igual. m • A f i, M |g 


146. Vasos comuni- 
cantes. — Si varios tubos 
que contienen un mismo 
líquido comunican entre 
sí, el nivel en todos ellos. 


cuando el líquido es- 
tá en equilibrio, es 
el mismo (figs. 207, 
208 y 209). Esto se 
aplica al aparato lla- 
mado nivel de agua 
(fig. 210) que sirve 
para hallar la dife- 
rencia de altura en- 
tre dos puntos. 


Fig. 209. — Vasos comunicantes naturales: manantial y 
pozo artesiano. 


Vasos comuni- 
cantes con líquidos 


diferentes. — Si los 


líquidos no se mezclan, como agua y mercurio, el nivel en ambos 
tubos no es el mismo. Consideremos el nivel (fig. 211) donde agua 
y mercurio están en contacto. En el punto 1 y en el punto 2 la 


s 




presión será la misma - pues ambos puntos están al mismo nivel 

á’p’ '^i^ndo "a’ 1j' ^ 

altura de la colum 
na de mercurio, 3 

p’ el peso específico de este líquido. Se tiene 
■gf r 1 entonces: 


Fig. 210. — Nivel de agua. 


Como el peso específico 
del agua es 1 y el del mer- 
curio 13,6, la altura h del 
agua resulta 13,6 veces ma- 
yor que la altura de la co- 
lumna de mercurio. Se ve 
pues que la figura no está 
hecha a escala. 


TRANSMISIÓN DE ¡J. 

PRESIONES _ 

Fig. 212. — Principio 
de Pascal. 

147. Principio de Pas- 
cal. — Si se tiene una esfera llena de agua 
provista de un pistón (fig. 212 ) y varios ori- 
ficios que comunican con otros tantos tubos 
doblados en forma de U que contienen mer- 
curio, se observa que al ejercer sobre el pistón 
cierta presión, en todos los tubos la diferen- 
cia de nivel es igual. 

. El principio de Pascal se enuncia de esta 
manera : 

La presión ejercida en una parte de 
la superficie de un líquido se transmite ín- 
tegramente, con igual intensidad, en todas 
direcciones y a toda la masa del líquido. 


Fig. 213. — Ptincipio 
de Pascal. 



146 


E. Loedel 


Este enunciado es consecuencia del teorema general de la hidros- 
tática. En efecto: si en A se ejerce cierta presión Pa la presión 
en B (fig. 213) será: 

Pb — Pa =hp; o sea: Pb = Pa -j- hp. 

La presión en B es igual a la suma de hp, originada por el peso 
del líquido, y la presión efectuada en A. 

148. Prensa hidráulica. — Sean dos ci- 
lindros llenos de líquido que comunican 
entre sí (fig. 215). Ajustando perfecta- 
mente se desplazan en los mismos dos ém- 
bolos de secciones S y S’ sobre los que se 
efectúan las fuerzas F y F\ respectiva- 
mente. La presión sobre ambas caras debe 
ser igual para que haya equilibrio, por 
lo que: 

F F 
S S’ ' 

Ejemplo. — Si S = 5 cm 2 y F = 15 
kilogramos, la presión en el émbolo de 
la izquierda será igual a 3 kilogramos por cm 2 . Sobre el émbolo 
de la derecha la presión tendrá que valer también 3 kilogramos 


por cm 2 , de modo qut si S’ = 100 
cm 2 , la fuerza F’, tendrá que valer 
300 kilogramos. 

La figura 216 muestra una prensa hidráulica basada en este 
principio. El émbolo pequeño se acciona por medio de una palanca. 
La válvula 1 impide que el líquido vuelva del cilindro grande al 
pequeño y la 2, que se abre cuando el émbolo pequeño sube y se 




Fig. 215. 



Blas Pascal (1623 - 1662). 




cierra cuando baja, permite que entre al cilindro líquido del depó- 
sito situado en la parte inferior y que comunica con la atmósfera 
El cilindro pequeño funciona pues como una bomba aspirante 
impelente (165). 


PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES. APLICACIONES 


149. Principio de Arquímedes. — Si con 
piada (fig. 217) se pesa un cuerpo, estando éste 
estando suspendido en el seno de un 
líquido en equilibrio, se constata, que 
en el segundo caso pesa menos que en m 


cogemos y pe- 
samos el líquido desalojado por el cuerpo 
encontramos que: el peso del líquido des- 
alojado es igual al em- 
puje. 

Ejemplo. — Un cuer- 
po pesa en el aire 200 
gramos. Sumergido en el 
agua pesa 
mos 


sólo 150 gra- 

(fig. 219): | ¿o ; ] 

. 1 | 
■■uiiiiiüiiiiiiiiK" . . . -.—Mili™ Pérdida de peso = 

Arquímedes (287 - 212 A. C.) ► . rrk 

empuje = 50 gramos. 

Con un vaso de derrame pesamos el agua que 
el cuerpo desaloja y encontramos: 

Peso del agua desalojada = 50 gramos. 

Se desprende de aquí : 

Todo cuerpo sumergido en un líquido en ílg ' ” 1 ' 

equilibrio, experimenta un empuje vertical de abajo hacia arriba 
igual al peso del líquido desalojado. 

Se puede verificar también este importante principio del modo 
siguiente: se tiene un cilindro macizo que encaja en forma ajustada 



148 


E. Loedel 


en el interior de un cilindro hueco (fig. 220). Suspendamos ambos 
cilindros de uno de los platillos de la balanza y equilibremos su 
peso con municiones. Si luego introducimos el cilindro macizo en 



un líquido el equilibrio se rompe debido al empuje. 
Para restablecer el equilibrio basta llenar con el mismo 
líquido el cilindro hueco, lo que prueba que el empuje 
era igual al peso del líquido desalojado por el cilin- 
dro macizo. 

Demostración teórica. — Aislemos mentalmente una 
porción del interior de un líquido. Dicha porción se halla 
en equilibrio, por lo cual la resultante R de las fuer- 
zas laterales debe ser igual y de sentido opuesto al peso 
P de la porción de líquido considerada (fig. 221). Si 
sustituimos ahora la porción de líquido imaginada por 
un cuerpo sólido cualquiera, de su misma forma, las 
fuerzas laterales serán las mismas que antes y por 
ende la resultante R seguirá teniendo el mismo valor. 


Fig. 220. Esta fuerza R es el empuje, que debe ser igual al peso 


de un volumen de líquido igual al volumen del cuerpo. 
El punto de aplicación del empuje, llamado centro de empuje , 
debe coincidir con el centro de gravedad del líquido desalojado. 



150. Determinación del peso específico. — La pérdida de peso 
que experimenta un cuerpo estando sumergido en el agua es igual 
al peso del agua desalojada. Pero 1 gramo de agua ocupa un volu- 
men de 1 cm 3 . Luego, la pérdida de peso 
expresada en gramos es igual numérica- 
mente al volumen del cuerpo expresado 
en cm 3 . En el ejemplo numérico 
rrafo anterior se trataba de un 
cuyo volumen era igual a 50 cm 3 . 
específico del cuerpo es entonces 


\R 


cuerpo 
II peso 


En realidad, al dividir el peso del Fig. 221. 

cuerpo por el empuje que experimenta al 

estar sumergido en un líquido, lo que se determina es la densidad 
relativa del cuerpo con respecto al líquido considerado. Esto es así, 
ya que se divide el peso del cuerpo por el peso de un volumen 
igual de líquido. 


Física Elemental 


149 


.151. Flotación. — Cuando un cuerpo flota en un líquido el em- 
puje debe ser igual al peso. El peso del cuerpo es igual entonces 
al peso de un volumen de líquido igual al de la parte sumergida. 


Sea V el volumen total del cuerpo y p su peso específico. El 
peso del cuerpo es entonces V p. Este cuerpo flota en un líquido de 
peso específico p’ ; a la parte del volumen del cuerpo sumergido la 


llamamos V’. El empuje, igual al peso del líquido 
desalojado será V’p\ Como el cuerpo flota el peso 
será igual al empuje: 

Vp = V’p\ 

Para que se pueda cumplir esta igualdad, como 
debe ser: 


V* < V, 


tendrá que ser: 


P>P- 




Un cuerpo flota si el peso específico del líqui- Fie - 222 - 

do es mayor que el propio. Si ambos pesos especí- 
ficos fueran iguales el cuerpo puede mantenerse en equilibrio, sin 
subir ni bajar, en el interior del líquido. Esto se realiza con un 
huevo en agua salada (fig. 222). 

Consideremos el caso del hielo (fig. 223). Su peso específico 
es 0.917. Ea relación entre el volumen total y el sumergido en 

agua será : 


Luego, si se aprecia la parte del volumen que está por encima 
del agua, de una montaña de hielo, en 1000 m 3 , el volumen total 
de la montaña será: 

. 1000 

V = — 12000 m 3 . 

0.083 



150 


E. Loedel 


152. Equilibrio de los cuerpos flotantes. — La figura 224 re- 
presenta un corte transversal de un barco. Sea G el centro de gra- 
vedad y C el centro de empuje. Cuando el barco se inclina ( b ) el 

centro de empuje C se desplaza, 
pues él debe coincidir con el cen- 
tro de gravedad que tendría una 
porción de líquido igual a la por- 
ción desalojada. Si la vertical 
que pasa por C corta al plano 
de simetría del barco en un 
punto M colocado por arriba 
del centro de gravedad, la cupla 
originada por el peso del barco 
y el empuje tiende a enderezar 
Fig. 224. — Metacentro. al navio. El equilibrio es enton- 

ces estable. Al punto, o mejor 
dicho a los puntos M, uno para cada posición del barco, se le 
llama metacentro. 

153. Densímetros. — Un tubo cilindrico cerrado (fig. 225), con 
un ensanchamiento en la parte inferior que contiene mercurio o 
municiones de plomo, puede servir para determinar direc- 
tamente la densidad de un líquido. El densímetro se hace 
flotar en el líquido cuya densidad se desea hallar. En los 
líquidos más densos se sumerge menos, hundiéndose en 
cambio más en los menos densos. El tubo está graduado 
y la densidad del líquido se lee directamente sobre el 
tubo en la línea de enrase. 

PROBLEMAS 

1. ¿Cuánto vale la presión causada por el agua en el 
fondo de un lago de 10 m de profundidad? 

gr gr 

p — hp~ 1000 cm X 1 = 1000 = 1 Kgr/cm 2 . Fig 225 .— 

cm 2 Densímetro. 

2. ¿Si el agua fuera salada y de peso específico igual a 1,09? 

Kgr 

p = hp= 1,090 . 

cm 2 




Física Elemental 


151 


3. En una prensa hidráulica el brazo de la potencia, en la palanca 
que acciona al émbolo pequeño es 5 veces mayor que el brazo 
de la resistencia ; la sección del émbolo menor es igual a 10 
cm 2 ; la del mayor 200 cm 2 . Siendo la fuerza aplicado en la 
palanca (la potencia) igual a 10 Kgr hallar la fuerza que se 
transmite al émbolo mayor. 

En el émbolo pequeño actuará una fuerza igual a 50 Kgr 
la que produce una presión de: 

50 Kgr 

— = 5 . 

10 cm 2 

En el émbolo mayor la presión es la misma, por lo cual 
la fuerza será: 

Kgr 

F - 5 200 cm 2 = 1000 Kgr. 

cm 2 

4. Un cuerpo pesa en el aire 500 gramos, en el agua 400 gr. Hallar 
su volumen y su peso específico. 

500 gr 

V = 100 cm 3 ; p = = 5 . 

100 cm* 


5. El cuerpo anterior pesa en agua salada 391 gramos. Hallar el 
peso específico del líquido. 

Empuje = 500 — 391 = 109 gramos. 

Como este empuje es igual al peso del líquido desalojado 
se tiene: 


Peso del líquido desalojado = 109 gramos. 

El líquido desalojado ocupa un volumen igual al del cuer- 
po, o sea 100 cm 3 . Luego: 

100 cm 3 de agua salada pesan 109 gramos. 

Dé donde: 

109 gr 

Peso específico del líquido = = 1,09 

100 cm* 



152 


E. Loedel 


6. ¿Qué relación hay entre el peso de un densímetro y la parte 
de volumen del mismo que se introduce en un líquido de peso 
especificó p? 

Llamando V al volumen de la parte del densímetro sumer- 
gida, el empuje será igual a V p; cuando el densímetro flota, 
siendo P su peso en el aire deberá cumplirse: 

P=V P . 


7. Un bote con sus pasajeros pesa 300 Kgr. ¿Qué volumen de agua 
debe desalojar para mantenerse a flote? 

V = 300 litros. 

8. En un vaso que contiene agua hasta el borde flota un trozo de 
hielo. Al fundirse éste ¿se derramará el agua? 

Consideremos que el trozo de hielo pese 100 gramos. El empu- 
je será también de 100 gramos y el hielo desalojará 100 cm 3 de 
agua. Al fundirse los 100 gramos de hielo se formarán 100 gra- 
mos de agua que ocuparán 100 cm 3 , por lo cual el agua no se 
derrama, permaneciendo constante el nivel. De esta manera se 
puede comprobar, sin balanza, el principio de Arquímedes. 



CAPÍTULO XI 


PRESIÓN ATMOSFÉRICA 

154. Peso de los gases. Principios de Pascal y Arquímedes. 
— Ya hemos mencionado (25) que todos los gases son pesados. 
Se deduce de aquí que tanto el principio de Pascal como el de 
Arquímedes serán aplicables también a los gases. 

En lo que se refiere al principio de Pascal, el experimento men- 
cionado en 147 (fig. 212) se realiza igualmente existiendo aire en 
lugar de agua en la esfera del aparato. 

En cuanto al principio de Arquímedes puede comprobarse en 
forma cualitativa con el pequeño aparato de la figura 226, llamado 
baroscopio. Se trata de una pequeña balanza 
en la cual se equilibra una esfera de vidrio 
hueca y cerrada con una pequeña pesa de 
plomo. Colocando la balanza en el interior 
de una campana y extrayendo el aire de la 
misma con una máquina neumática se obser- 
va que el equilibrio se rompe inclinándose 
la balanza del lado de la esfera de vidrio. 

Esto prueba que la esfera de vidrio sopor- 
taba en el aire, dado su mayor volumen, un 
empuje hacia arriba superior al experimen- 
tado por la pequeña esfera de plomo. 

Un cuerpo de un litro de volumen expe - Fig - 226- ~ Baros<: °p“>- 

rimenta en el aire un empuje igual a 1,293 

gramos, dirigido hacia arriba. En las pesadas de precisión debe 
tenerse en cuenta el empuje hacia arriba que experimentan el cuerpo 
y las pesas. Se halla así por el cálculo lo que pesaría el cuerpo si 
estuviera en el vacío. 

Los aeróstatos (fig. 227) y dirigibles, ascienden porque se llenan 
de un gas menos denso que el aire (hidrógeno, helio, etc.). El peso 
total del gas interior más el peso de la envoltura, más^ el de la 
barquilla, etc., debe ser menor, para que el globo suba, que el 
peso del aire desalojado. 




154 


E. Loedel 


Ejemplo. — Si un globo tiene un volumen de 1000 m 3 , el em- 
puje será igual a 1293 Kgr pues 1 m 3 de aire = 1000 litros, pesa 

1,293 Kgr. Si el globo con el gas interior y los 
pasajeros, etc., pesara 1100 Kgr, ascendería- 
con una fuerza (fuerza ascensional) de 193 Kgr. 

155. Peso específico del aire. — Sobre la 
superficie de la Tierra un litro de aire pesa 
como hemos dicho 1,293 gramos, por lo cual 
su peso específico será: 

gramo 

P =0,001293 . 

cm 3 

Se observa que el peso específico del aire 
se hace menor a medida que nos elevamos: 
a 2000 m de altura 1 litro de aire pesa, sólo 
Fig. 227. 1 gramo y a 3000 m 0,8 gramos. 

Cálculos basados en Ciertas observaciones 
de estrellas fugaces hacen ascender la altura de la atmósfera a unos 
130 Km. Más allá existiría, prácticamente, un vacío absoluto. 

156. Presión atmosférica. Experimento de Torricelli. — La 
superficie de la Tierra es el fondo de un inmenso océano de aire, 
y siendo éste pesado, ejerce sobre la mis- 
ma cierta presión que se llama presión 
atmosférica. 

El primero en medir la presión atmos- 
férica fué un discípulo de Galileo: Evan- 
gelista Torricelli. 

El experimento de Torricelli consiste 
en lo siguiente: se llena totalmente un tubo 
de vidrio de unos 90 centímetros de longi- 
tud, y de cualquier sección , con mercurio 
(fig. 229). Obturando, simplemente con un 
dedo, el extremo abierto del tubo, se le 
invierte introduciéndolo en una cubeta que 
contenga también mercurio. Se observa en- 
tonces, destapando el tubo, que el mercurio Torricelli (i608 -i647). 
del mismo baja algo, hasta que su nivel 

se encuentre a unos 76 centímetros por encima del nivel del mer - 
curio de la cubeta. ‘ 





Física Elemental 


155 


En la parte superior del tubo ha quedado un espacio vacío 
que se llama vacío de Torricelli o cámara barométrica. 

¿Cómo se explica que en los dos vasos co- 
municantes, tubo y cubeta, el nivel del mercu- 
rio sea diferente? 

Ello se debe a la presión, debida al peso 
del aire, que se ejerce sobre el mercurio de la 
cubeta (fig. 230). Si se agujereara la parte 
superior del tubo, dejando entrar aire, los nive- 
les se igualarían de inmediato. 

Valor de la presión atmosférica. — La 
presión atmosférica es pues igual a la que 
produce una columna de mercurio de 76 cm 
de altura. Como la presión que ejerce un líqui- 
do en un punto de su interior depende sólo 

del peso específico del líquido y fig. 229. 

de la distancia vertical que separa 

el punto de la superficie libre, esta distancia es siempre 
igual a 76 cm cualquiera sea la forma y posición del 
tubo (fig. 231). 

Sabemos también que en todos los puntos de un 
líquido pertenecientes a una misma capa horizontal se 
ejerce igual presión. 

Por lo tanto la presión que ejerce el aire sobre el 
mercurio de la cubeta es igual a la presión que ejerce 
el mercurio del tubo sobre los puntos situados al nivel 
del mercurio de la cubeta. Esta presión es igual al peso 
específico del mercurio (13,6) por la altura del mis- 
mo (76 cm) : 

gramo gramo 

p = 13,6 X 76 cm = 1033 . 

cm 3 cm 2 

La presión atmosférica es por lo tan- 
to igual a 1,033 kilogramos por centí- 
metro cuadrado. 

Se dice que vale 1 atmósfera. 

157. Barómetros. — Son aparatos 
destinados a medir la presión atmosférica. Adjuntando al tubo del 
•experimento de Torricelli una regla graduada se tiene un barómetro: 
el de cubeta (fig. 232). Existen naturalmente diversos tipos de 






156 


E. Loedel 


barómetros; en el de Fortín (fig. 233) puede leerse cómodamente 



la altura de la columna barométrica, apreciándose con un 
vernier hasta el décimo de milímetro. En este »*_ 

barómetro el fondo de la cubeta es flexible, 
lográndose con el tornillo T mantener cons- 
tante y en coincidencia con el cero de la 
escala, el nivel del mercurio en A. 

Se llama presión normal la que corres- 
ponde a una columna mercurial de 760 milí- 
metros de altura. En un mismo lugar dé lá 
Tierra la presión atmosférica varía casi cons- 
tantemente. Si la presión es alta, es muy proba- 
ble que el tiempo se mantenga bueno, en cam- 
bio si es muy baja es casi seguro que llueva. 

Los barómetros metálicos pueden consistir . 
en una caja cilindrica de metal de la cual se 
ha extraído el aire (fig. 234). La base supe- 
rior de la caja es acanalada con lo cua 1 wSm& 

aumenta su flexibilidad. Al variar la presión 
atmosférica varía la posición de la lámina 
flexible: sus movimientos se amplifican y se HMfl 


4 


Fig. 234. — Barómetro metálico. 


Fig. 235. — Barómetro registrador. 


de la aguja móvil se apoya sobre un papel envuelto sobre un cilindro 
que gira accionado por un aparato de relojería. 



Física Elemental 


157 


4 

158. Masa total del aire atmosférico. — Es evidente que la 
masa de la atmósfera debe ser igual a la masa de una capa esférica 
de mercurio de radio R igual al de la Tierra 
y de 76 centímetros de altura ( h ). El volu- 
men de esta delgada capa esférica es igual 
a la superficie terrestre por el espesor de la 
misma. Suponiendo el radio terrestre igual 
a 6 370 000 m y siendo la densidad d del 
mercurio 13,6 resulta: 

m = 4 7r R 2 hd = 527 X 10 13 toneladas.. 

159. Efectos de la presión atmosférica. 

— La presión atmosférica se ejerce en todo 
sentido; de aquí que un vaso con agua tapado con un papel puede 

invertirse sin que el agua caiga (fig. 
236). Si se extrae el aire de dos semi- 
esferas se constata que se requiere efec- 
tuar luego una fuerza muy grande para 
separarlas. Esto se conoce con el nom- 
bre de experimento de los hemisferios 
de Magdeburgo (fig. 237) por haber 
sido efectuado por primera vez en esta 
ciudad en el año 1650 por el inten- 
dente de la misma Otto de Guericice, 
el inventor de la máquina neumática. 
En el experimento original los hemis- 
ferios eran muy grandes, por lo cual se 
necesitó emplear 16 caballos de tiro, 8 de cada lado, para separarlos. 

En hemisferios de 5 centímetros de radio, la 
superficie de un círculo máximo (71 - r 2 ) es igual, 
aproximadamente, a 80 cm 2 , de donde, siendo la 
presión atmosférica de 1 kilogramo por centíme- 
tro cuadrado, se necesita tirar con una fuerza 
de 80 Kgr de cada lado para separarlos. Esto se 
logra, por el principio de acción y reacción, atan- 
do uno de los hemisferios a un muro y tirando 
del otro con una fuerza de 80 Kgr. 

Extrayendo el aire de un recipiente cerrado 
con una membrana, de vejiga o de goma (fi g. Fig. *238. — Rompevejigaá 

238) ésta se rompe. 

Siendo la presión atmosférica de 1 Kgr por centímetro cua- 
drado, puede asegurarse que contra el dorso y la palma de una 






158 


E. Loedel 


mano se ejercen fuerzas superiores a los 100 Kgr. Si no notamos la 
acción de estas fuerzas tan grandes es porque existe en el interior 
de nuestro cuerpo una presión igual a la atmosférica. Por eso se 
siente un malestar especial si se asciende a una gran altura. 

160. Variación de la presión atmosférica con la altura. — 
La tabla siguiente da las indicaciones de un barómetro a diversas 
alturas. 


Altura 

Presión 

Altura 

Presión 

Nivel del mar 

760 mm 

1000 m 

670 mm 

100 m 

750 „ 

1500 

631 „ 

500 „ 

714 „ 

2000 „ 

594 „ 


La disminución de la columna barométrica con la allura, prueba 
en forma concluyente, que ella se sostiene por el peso del aire. 

COMPRESIBILIDAD DE LOS GASES 

161. Expansibilidad. — La propiedad de los gases merced a 
la cual éstos tienden a ocupar el mayor volumen posible se llama 
expansibilidad. Colocando en el interior de la campana de una 

máquina neumática una 
cámara de fútbol cerrada 
con algo de aire, se obser- 
va que su volumen aumen- 
ta al extraer el aire de la 
campana ( fig. 239). 

162. Ley dé Boyle y 
Mariotte. — Boyle en 
1661, y Mariotte 15 años 
más tarde, sin conocer los 
trabajos de aquél, comprobaron experimentalmente que el volumen 
de una masa dada de gas, está en razón inversa de la presión que 
soporta, siempre que la temperatura se mantenga constante. 

Se puede comprobar esta ley experimentalmente con el dispo- 
sitivo de la figura 240. En (a) se tiene en el tubo cilindrico T 
cierto volumen de aire a la presión atmosférica, puesto que coin- 
cide el nivel del mercurio del tubo con el nivel del mercurio de 



Flg. 239. — Expansibilidad. 



Física Elemental 


159 


la ampolla A. En (6) la diferencia de nivel es de 76 cm; el aire 
encerrado en el tubo soporta ahora la presión de dos atmósferas : 
una proveniente del peso del aire que se ejerce sobre la ampolla, 
la otra originada por la diferencia de nivel de 76 cm de mercurio. 
Se observa que el volumen se ha reducido a la 
mitad. En (c) el volumen del aire encerrado en 
el tubo se ha hecho doble, pues la presión se ha 
reducido a la mitad ya que la diferencia de nivel 
entre el mercurio del tubo y el de la ampolla 
es de 38 cm. 

En el ejemplo que estamos considerando se 
ha supuesto que la presión atmosférica en el mo- 
mento de la experiencia es de 76 cm de mercurio. 

Naturalmente, que tubo y ampolla deben comu- 
nicarse con un tubo flexible de goma resistente. 

También puede verificarse esta ley con un tubo 

de vidrio en forma de U (fig. 

241), con una rama corta, 
cerrada y otra rama larga, 
abierta. La presión que sopor- 
ta el gas encerrado en la ra- 
ma corta es igual a la atmos- 
férica más la diferencia de 
nivel entre el mercurio de 
ambos tubos. Se agrega mercurio por la rama 
larga y se lee en la escala el volumen calculán- 
dose la presión co- 
rrespondiente. 

Si llamamos V 
y V’ a dos volúme- 
nes de la misma ma- 
sa gaseosa que están 
a la misma tempe- 
ratura y que corres- 
ponden a las pre- 
siones P y P’ se 
comprueba que se 
cumple: 

V P’ 

— = — ; o sea: PV — P’V ’ = constante. 

V’ P 



Fig. 242. — Lev He Boyle - Mariotte. 



/ig. 241. — Tubo de 
Mariotte. 



Fig. 240. — Ley He Boylc- 
Mariottc. 



160 


E. Loedel 


163. Representación gráfica. — Representemos en el eje de las 
abscisas el volumen y en el de las ordenadas la presión (fig. 242). 

Suponiendo que a la presión de una atmósfera tengamos un 
volumen de un litro se tendrán los siguientes valores: 


Vplumen 

Presión 

Presión X Volumen 

1 litro 

1 atmósfera 

1 litro atmósfera 

2 „ 

Va * 

1 m fj 

3 „ 

V, * 

1 i? jí 

4 „ 

V 4 » 

1 í* » 

Va n 

2 

1 , 

V, „ 

3 

1 » » 


Cada par de valores está representado en la gráfica por un punto. 
Uniendo los distintos puntos se obtiene una curva que se llama 
hipérbola equilátera. A una presión infinita corresponde un volu- 
men cero; y a una presión igual a cero un volumen infinito. 

Veremos en su oportunidad que la 
de Boyle y Mariotte no se cum- 
ple con exactitud. 

164. Manómetros. — Son aparatos 
que sirven para medir la presión de 
un gas o vapor. La figura 243 repre- 
senta un esquema del manómetro de 
aire libre. Un tubo abierto, en comu- 
nicación con el aire atmosférico, comu- 
nica por uno de sus extremos con un 
recipiente cerrado que contiene mer- „„„ .. . 

Fig. 243. — Manú- . r n . Fig. 244. — Mano- 

metra de ñire cuno. Lste recipiente se hace comu- metro de aire 

libre • 1*1 .1 comprimido. 

mear, por medio, de un tubo apro- 
piado provisto de una llave, con el 
recipiente que contiene el gas cuya presión desea conocerse. La 
altura h, alcanzada por el mercurio del tubo mide la sobrepresión, 
o sea el exceso de la presión del gas sobre la presión atmosférica. 
Para medir una sobrepresión de 10 atmósferas, con este manómetro, 
se requiere un tubo de casi 8 íjietros de longitud. 

Para evitar dimensiones tan grandes se utilizan manómetros de 
aire comprimido (fig. 244). El tubo- es cerrado en lugar de abierto. 





r isica Elemental 


161 


Se le gradúa teniendo en cuenta la ley de Boyle y Mariotte. 

Para presiones altas las divisiones están muy juntas disminu- 
yendo así la precisión de las medidas. Se construyen también manó- 
metros metálicos de diversos tipos. 

La figura 245, representa uno de ellos 
consistente en un tubo de metal arqueado 
que tiende a enderezarse al aumentar la 
presión interior. El movimiento del tubo 
se amplifica convenientemente y se trans- 
mite a una aguja que recorre un cua- 
drante, que se ha graduado por compa- 
ración con un manómetro de aire libre o 
comprimido. Hay también manómetros de 
émbolo provistos de resorte, como los 
usados para medir la presión del aire de 
los neumáticos de autos, etc. 

APLICACIONES 

165. Bombas hidráulicas. — La figura 246 representa en es- 
quema una bomba aspirante de las que se utilizan para elevar el 

agua de pozos manantiales. Al subir el 
émbolo, la válvula 1 se abre y la 2 
se cierra sucediendo lo inverso cuando 
aquél baja. La presión atmosférica A, 
que actúa sobre el nivel del líquido 
del pozo, es la que hace que ascienda 
el agua ^>or el tubo. Si en lugar de 
agua se tratara de extraer mercurio 
con una bomba de esta clase, la ele- 
vación máxima que se podría lograr 
sería de 76 cm. En las bombas aspi- 
rantes el agua puede subir como máxi- 
mo: 0,76 X 13,6 = 10,33 m. Las bom- 
bas comunes, debido a defectos inevi- 
tables, consiguen elevar el agua a sólo 
siete u ocho metros. 

Los antiguos, que desconocían la 
existencia de la presión atmosférica, 
explicaban el funcionamiento de estas bombas diciendo que lá natu- 
raleza sentía “ horror por el vacío”. Debido a ese horror el agua 
se precipitaba al cuerpo de bomba cuando se levantaba el émbolo, 



Fig. 246. — 1 Bomba aspirante. 



Fig. 245. — Manómetro metálico. 



162 


E. Loedel 


evitando así que quedara vacío. Galileo, fue preguntado en cierta 
ocasión sobre la causa que hacía que el agua subiera por el tubo 

de aspiración sólo hasta cierta altura, co- 
mo si el horror al vacío tuviera un límite. 
Indicó entonces con claridad que el pro- 
blema podría resolverse sólo en base a 
nuevos experimentos y no por simples 
razonamientos como hubiera pretendido 
hacerlo la escuela aristotélica. Ya sabe- 
mos cómo su discípulo, Torricelli, resol- 
vió el problema descubriendo la existen- 
cia de la presión atmosférica. 

Bomba aspirante - impelente. — Es 
la representada en la figura 247. El tubo 
de aspiración A puede tener 6 ó 7 metros 
de longitud; el B puede tener una altura 
cualquiera. Por este tubo sube el agua 
cuando baja el émbolo. Cuanto mayor 
sea la altura del tubo B mayor tendrá que 
ser la fuerza que se debe ejercer sobre 
el pistón. Cualquiera sea el tipo de bomba empleada, el trabajo que 
se realiza es igual al peso del agua que se extrae por la altura a la 
cual se eleva. A este trabajo debe agre- 
garse todavía el que se gasta para ven- 
cer las fuerzas de rozamiento y el que 
corresponde a la energía cinética del 
agua en el tubo de salida. 

Para lograr una salida continua del 
líquido en una bomba impelente se hace 
que el agua entre a una cámara de aire 
C (fig. 248). En esta forma el agua 
asciende por el tubo de salida aun du- 
rante el tiempo en que el émbolo sube, 
debido a la presión del aire de la cá- 
mara. Este tipo de bomba es la llamada 
de incendios. En las figuras hemos re- 
presentado siempre las válvulas abier- 
tas para mayor claridad. 

Bombas rotatorias. — La figura 249 representa una bomba cen- 
trífuga. Ésta consiste en una caja de fundición con dos aberturas: 



Fig. 248. — Bomba ron cámara 
de aire C. 



Fig. 247. — Bomba aspirante - 
impelente. 


* 



Física Elemental 


163 




una en el centro conectada al tubo de aspiración ; la otra en la peri- 
feria unida al tubo de elevación. En el interior de la caja giran a 
gran velocidad álábes de forma especial. Estos tipos de bombas son 
accionados por motores eléctricos. Por 
efecto de la fuerza centrífuga el agua 
se dirige a la periferia formándose en 
el centro un vacío. La presión atmosfé- 
rica que se ejerce en el depósito hace 
subir al agua por el tubo de aspiración. 

La presión que hace subir al agua por 
el tubo de elevación depende de la fuer- 
za centrífuga, que aumenta al aumentar 
la velocidad de giro. 

166. Sifón. — Sean dos vasos A y 
B que contienen un mismo líquido (fig. 

250). Comuniquemos ambos vasos por 
un tubo que hemos llenado previamente 
con el mismo líquido. Se observa enton- 
ces que el líquido pasa en forma conti- 
nua del vaso de mayor nivel al otro. 

Supongamos para fijar ideas que el 
líquido en cuestión tiene una densidad 
tal que si fabricáramos con él un baró- Fig. 24y. — Bomba centrífuga, 
metro, la altura barométrica sería igual 

a 10 m, que es aproximadamente el caso del agua. Supongamos que 
la diferencia de nivel entre el punto más alto del sifón, P, y el 
vaso A sea de 1 m y entre P y B 2 m. La presión en P transmitida 

por el líquido del tubo 1 y que actúa 
de izquierda a derecha será igual a 
la atmosférica que se ejerce sobre A 
menos la diferencia de presión entre 
P y A; es decir 10 — 1 = 9. Análoga- 
mente la presión en P que actúa de 
derecha a izquierda es 10 — 2 = 8. 
Luego : 

Presión en P -> equivale a 9 m. 

Fig. 250. Sifón. tj * # n «I q 

rresion en r <r- equivale a o m. 


El líquido en P se moverá entonces de izquierda a derecha 
siendo la diferencia de presión que lo impulsa igual a 9 menos 
8 igual a 1 m. 




164 


E. Loedel 


Esta diferencia de presión está medida entonces por la diferen- 
cia de nivel entre ambos vasos: 2 — 1 = 1. 

En general si es H la altura barométrica de ese líquido se tendrá: 

Presión en P-*- H — h. 

Presión en P <- H — h’. 

Diferencia — ► h’ — h. 

Si el líquido fuera mercurio, h fuera igual a 1 m y = 2 m, 
el si/ón no funciona pues la columna mercurial se rompe (fig. 251). 

En el vacío ocurrirá lo propio con cual- 
quier líquido. Sin embargo tomando 
ciertas precauciones puede hacerse fun- 
cionar un sifón en el vacío o a una pre- 
sión inferior a la equivalente a la al- 
tura h. Esto se debe a que los líqui- 
dos pueden soportar ciertas tracciones. 
El funcionamiento del si- 
fón en el vacío sería aná- 
logo al rodar de una ca- 
dena pesada (fig. 252). El papel que desémpeña la 
presión atmosférica en el funcionamiento del sifón es, 
fundamentalmente, el evitar la rotura de la columna 

líquida del tubo de comunicación. 

El tubo más largo del sifón, no 
es necesario que se introduzca en 
el líquido del vaso B ; basta para 
que el sifón funcione que la salida 
del líquido tenga lugar a un nivel 
inferior al del vaso A. 

Para cargar el tubo inicialmen- 
te es suficiente con aspirar con la 

1 1' 1 g. 

boca por el extremo de la rama ‘ sifón”, 
larga. 

La figura 253 representa el llamado vaso de 
Tántalo. Al echar agua en el vaso, ésta comienza 
a salir recién cuando el tubo está cargado o sea 
cuando el agua alcanza el nivel correspondiente a la parte supe- 
rior del tubo. 

A partir de este momento el agua continúa saliendo hasta alcan- 
zar el nivel de la embocadura interior del tubo. Las fuentes inter- 
mitentes que se encuentran en la naturaleza, son algo así como 
vasos de Tántalo naturales. 



Fig. 253. — Vaso de 
Tántalo. 




Fig. 251. 



Física Elemental 


165 


BOMBAS NEUMATICAS 

167. Bomba de Otto de Guericke. — La bomba o máquina neu- 
mática inventada por Guericke en 1650 consiste esencialmente en 
una bomba aspirante que extrae aire de un 
recipiente cerrado R consiguiendo así disminuir 
la presión en el mismo (fig. 254). Al bajar 
el émbolo la válvula 1 se cierra y la 2 se abre, 
permitiendo el paso de aire del cuerpo de bom- 
ba al exterior. Al subir el émbolo pasa parte 
del aire de R al cuerpo de bomba y así suce- 
sivamente. Supongamos para fijar ideas que el 
volumen de R más el volumen del tubo de 
comunicación sea igual a un litro, siendo tam- 
bién 1 litro el volumen interior del cilindro 
del cuerpo de bomba cuando el émbolo se halla 
en la parte superior. Supongamos que inicial- 
mente se encuentre el émbolo en la parte infe- 
rior siendo la presión del aire en R igual a 
una atmósfera. Al elevar el pistón el aire de 
R ocupará ahora el volumen de 2 litros y la presión será de V 2 de 
atmósfera de acuerdo a la ley de Boyle y Mariotte. Al bajar el 
émbolo, como se cierra la válvula 1 el aire de R seguirá a la pre- 
sión de 1 / 2 atmósfera, presión que se reducirá 
a 1 / 4 al elevar el émbolo por segunda vez. Si la 
construcción de la máquina fuera perfecta las 
presiones sucesivas serían: 

1; 1/2; 1/4; 1/8; 1/16... 

con lo cual podría alcanzarse una presión tan 
baja como se quisiera. Pero el émbolo es im- 
posible que se ajuste exactamente a la cara in- 
ferior del cilindro. Supongamos que quede en- 
tre ambas caras un espacio cuyo volumen sea 
igual a un milésimo de litro: 1 cm 3 . El aire de 
este espacio, llamado espacio perjudicial, se en- 
contrará a la presión atmosférica cuando el 
émbolo se encuentre en la posición más baja. 
Este aire tendrá una presión de un milésimo 
de atmósfera al encontrarse el émbolo en la parte superior. En este 
caso la presión mínima que se podría lograr con la máquina sería 
de un milésimo de atmósfera = 0,76 milímetros de mercurio. 



Fig. 255. — Bomba de vacío 
y compresión. 



Fig. 254. — Máquina 
neumática. 



166 


E. Loedel 


La figura 255 representa una bomba que aspira el aire por 1 
y lo comprime por 2. Es al mismo tiempo una bomba de vacío y 
<Ie compresión. 

Otros tipos de bombas. — La figura 256 representa un cor- 
te de una bomba rotativa a paletas. Éstas por la acción de resor- 
tes apropiados se apoyan constantemente contra la cara interior de 
un cilindro cuyo eje no coincide con el eje de giro O. Al girar la 
máquina, accionada por un motor en el sentido de la flecha aspira 

el aire por 1, ya que el espacio 
H aumenta de volumen, y lo ex- 
pele por 2. 

Con una bomba de esta cla- 
se puede lograrse una presión 
de sólo un centésimo de milíme- 
tro de mercurio. 

Existen otros tipos de bom- 
bas con las cuales se alcanzan 
Fig. 256. — Bomba je Gaede. presiones inferiores al milloné- 

simo de milímetro de mercurio. 

La técnica del vacío es en la actualidad de suma importancia: 
las ampollas de rayos X, las lámparas eléctricas, las empleadas en 
la radiotelefonía, etc., requieren para su funcionamiento un “vacío 
elevado” o sea una presión muy pequeña. 

La medida de presiones muy pequeñas se logra disminuyendo el 
volumen en forma conocida. Si el volumen se reduce a la diez mil 
ava parte del primitivo y es entonces la presión igual a un milímetro 
de mercurio, la presión primitiva era de un diez milésimo de milí- 
metro de mercurio. En este principio se basa el manómetro de 
Mac - Leod. 

PROBLEMAS 

1 . ¿Qué altura tendría la columna líquida en un barómetro de agua? 

H = 76 cm X 13,6 = 1033 cm = 10,33 m. 

2. Un buzo efectúa el experimento de Torricelli debajo del agua, 
a una profundidad de 5 m. Ese día la presión atmosférica es 
de 76 cm de mercurio. ¿Qué altura tendrá la columna baro- 
métrica en esas condiciones? 

500 cm 



H = 76 cm-f- 


13,6 


= 112,8 cm. 



Física Elemental 


16' 


3. El buzo anterior llevó consigo unos hemisferios de Magdeburgo 
de 10 cm de radio, llenos de aire a la presión atmosférica. ¿Qué 
fuerza habrá tenido que hacer para separarlos? 

gr 

F = t rR 2 h P = 314 cm 2 500 = 157 Kgr. 

cm 2 

‘4. Se han instalado tres laboratorios : uno a los 45 0 de latitud, 
otro en el Polo y otro en el Ecuador. 

Tienen barómetros metálicos idénticos, que han sido gradua- 
dos a la latitud de 45°. Los experimentadores observan en el 
interior de recintos que están a la misma temperatura. Se comu- 
nican telegráficamente sus observaciones que resultan ser en 
un momento dado las siguientes: 



I N D I C A C I 
Barómetro metálico 

ONES DEL 

Barómetro de mercurio 

En el Polo 

76,0 cm 

75,8 cm 

A los 45° 

76,0 „ 

76,0 „ 

En el Ecuador .... 

76,0 „ 

76,2 „ 


¿Cómo se explican estas diferencias de los barómetros de 
mercurio? 

El peso específico del mercurio es tanto mayor cuanto ma- 
yor es g. Por eso en el polo a la misma presión corresponde 
una altura menor. 

5. ¿Cuánto pesa un litro de aire a la presión de 100 atmósferas? 
1.293 X 100 = 129,3 gramos; 

porque equivalen a 100 litros a la presión de una atmósfera. 
(Ley de Boyle). 

ó. El émbolo de una bomba aspirante - impelente tiene una sec- 
ción de 20 cm 2 . ¿Qué fuerza debe ejercerse sobre él para elevar 
el agua por el tubo de salida a una altura de 15 m? 

La presión del agua es 1,5 Kgr/cm 2 . La fuerza será: 

F = 1,5 X 20 = 30 Kcr. 



168 


E. Loedel 


HIDRODINAMICA 

La hidrodinámica se ocupa del movimiento de los flúidos. El 
problema de la resistencia del aire (78) es un problema de hidro- 
dinámica, en particular de aerodinámica. 

168. Teorema de Torricelli. — Se refiere a la velocidad con 
que sale un líquido por un orificio practicado en la pared de un 
vaso (fig. 257). 

Esta velocidad puede medirse midiendo la distancia x alcanzada 
por el chorro de agua y la altura Y del orificio. Si llamamos H a 
la distancia vertical que separa el nivel del líquido del centro del 

orificio, la velocidad V con que 
sale el líquido es: 

V = V~2 W- 

Esta fórmula, que es la ex- 
presión del teorema de Torrice- 
lli, se puede demostrar fácil- 
mente. Al salir por el orificio 
una masa m, el nivel del líquido 
baja algo. Todo sucede,' desde 
el punto de vista de la energía, 
como si la masa m hubiera pa- 
sado desde el nivel del líquido al 
del orificio. La energía potencial 
mgH se transforma en energía cinética: 1/2 mV 2 ; de donde se 
obtiene igualando ambas expresiones la fórmula escrita más arriba. 
Esta fórmula es válida siempre que la sección del orificio sea muy 
pequeña con respecto a la sección del vaso, para poder considerar 
al agua de éste como inmóvil : con energía cinética cero. 

Gasto. — Si la velocidad de salida del líquido es V y la sección 
es S, la cantidad de líquido Q que sale por segundo es: 

Q — SV. 

Esto vale en el supuesto de que las partículas líquidas tuvieran la 
misma velocidad en todos los puntos de la sección considerada. 

Experimentalmente se constata que la cantidad de líquido que 
sale es menor que la calculada por la fórmula anterior. Ello se 
debe a que la velocidad de salida del líquido en los bordes del 
orificio es menor que en el centro, debido al rozamiento. 



Fig. 257. — Teorema de Torricelli. 



Física Elemental 


169 


Se origina así una contracción de la vena líquida. Si indicamos 

por V el promedio de las velocidades del líquido en la sección S 
del orificio, y llamamos V* a la velocidad que adquiere el líquido 
a poco de salir del orificio, cuando adquiere la 
sección contraída S\ se tendrá: 

SV = S T\ 

Cuando se trata de un chorro de líquido ver- 
tical (lig. 258) la sección va disminuyendo en 
fo rma continua debido al aumento de velocidad. 

La constancia del producto SV, llamado gasto, 
explica el aumento de velocidad que experimenta 
un líquido en movimiento al pasar por una sec- 
ción estrecha. El movimiento de un líquido se 
dice que es estacionario cuando en cualquier 
punto fijo con respecto a las paredes del tubo, 
la velocidad del líquido se mantiene constante en 
magnitud y dirección. Es el caso del chorro de 
la figura 258, que parece una varilla de vidrio. 

Cuando en un mismo punto la velocidad del 
líquido que va pasando, varía en magnitud o dirección, se dice 
que se trata de un movimiento turbulento. 

PROBLEMAS 

1. Demuéstrese (fig. 257) que la distancia x alcanzada por el 
chorro de agua, siendo vertical la pared del orificio, es: 

x = 2 V HY. 

Llamando t al tiempo empleado en la caída del agua desde 
su salida del orificio, lo que hace en dirección horizontal y con 
velocidad V, se tendrá: 

1 

x=Vt; Y = — gt 2 ; 

2 

pues en la dirección x - el movimiento es uniforme y en el 
sentido vertical uniformemente acelerado. Eliminando t en las 
ecuaciones anteriores resulta: 

TlT 

x = V y ; y por ser: V ~ ^ 2 gH, 

S 



Fig. 253. — Vena 
1 íquida. 



170 


E. Loedel 


resulta: 

x = 2 y// Y. 

2. Dígase si la figura 257 está bien hecha . Midiendo resulta: 
H = 20 mm ; Y — 16 mm, de donde x debe ser: 

x = 2 \/~HY = 2 V 20 X 16 = 36 mm. 

En la figura, x es igual a 33 mm; la diferencia de 3 mm 
corresponde a un error del 10 %. Pero este error no debe ser 
atribuido al dibujante: se tuvo en cuenta la resistencia del aire 
que hace que x sea inferior en un 10 % al valor teórico. 



CAPÍTULO XII 


FUERZAS MOLECULARES 

169. Elasticidad. — Por la acción de fuerzas exteriores se con- 
sigue hacer variar la forma o el volumen de todos los cuerpos. 
Si las fuerzas dejan de obrar, algunos cuerpos continúan deforma- 
dos: se dice que son plásticos. Ejemplo: la masilla. 

Si estiramos una goma o arqueamos una varilla de acero, la 
goma recupera su longitud primitiva cuando cesa la fuerza de trac- 
ción, y la varilla vuelve a recuperar su forma 
anterior cuando deja de actuar la fuerza. Se dice 
que estos cuerpos son elásticos. 

Los gases son también elásticos : si se aumenta 
la presión disminuye el volumen, y si cesa de 
actuar el aumento de presión, recupera el gas 
su volumen primitivo. 

Los líquidos también son elásticos, pero en 
ellos se requieren grandes aumentos de presión 
para producir pequeñas variaciones de volumen. 

Gases y líquidos son elásticos en cuanto al 
volumen, pero no en cuanto a la forma. 

' Los sólidos en cambio son, en general, elás- 
ticos respecto al volumen y a la forma. Un cuerpo 
que ofrezca gran resistencia al cambio de forma, 
se dice que es muy rígido; ejemplo: el acero. 

Tracción. — Sea un alambre fijo en un extre- 
mo y sometido en el otro a la acción de una 
fuerza, en la forma que indica lg figura 259. 

Colocando pesos diversos en el platillo se observa que el alambre 
se alarga. Dentro de ciertos límites, retirando los pesos, el alambre 
recupera su longitud primitiva. Si los pesos hubieran sido excesiva- 
mente grandes el alambre no volvería del todo a recuperar su lon- 
gitud anterior. Este curioso fenómeno es como una especie de 
“ memoria de la materia”. Cuando el alambre vuelve, al sacar los 
pesos, a tener su longitud primitiva, se dice que se está dentro de 



Fig. 259. — Tracción. 



172 


E. Loedel 


los límites de elasticidad perfecta. Dentro de estos límites, se com- 
prueba que se cumple esta sencilla ley: 

"1 

Ley de Hooke (1635-1722). — El alargamiento (Al) es pro- 
porcional a la fuerza que lo produce (P), a la longitud del hilo (1) 
y está en razón inversa de la sección S del mismo. 

Claro está que dos alambres de igual 
sección y longitud, cargados con igual 
peso, experimentarán diferente alarga- 
miento si son de materiales distintos. Cada 
material está caracterizado por cierta cons- 
tante; llamada módulo de elasticidad por 
tracción o módulo de Young. Designando 
al módulo por E la ley de Hooke se expre- 
sa así: 

1 Pl 

A 1 = . 

E S 

Ejemplo. — Hallar el valor del mó- 
dulo E del hierro, sabiendo que un alambre de ese metal de 4 m 
de longitud y 2 milímetros cuadrados de sección, experimenta un 
alargamiento de 1 milímetro con una car- 
ga de 10 Kgr. 

Obtenemos despejando E : 

Pl 10 Kgr 4000 mm 

E = -X = 

SAl 2 mm 2 1 mm 

Kgr 

20 000 . 

mm 2 

Se acostumbra' expresar el módulo E 
en kilogramos sobre milímetros cuadrados. 

Fie. 261. — Torsión. 

Torsión. — La figura 260 representa 
en A una serie de discos apilados. En B se han deslizado los dis- 
cos de tal modo que las hendiduras están ahora formando una 
hélice. Para esto ha tenido que deslizarse un disco sobre otro. En 
este deslizamiento no se ha producido cambio alguno de volumen. 

Exactamente lo mismo ocurre cuando se tuerce un alambre por 
medio de una cupla; el volumen no varía; las moléculas se deslizan 





Física Elemental 


173 


unas sobre otras. Se trata de un cambio de forma sin cambio de 
volumen. La medida de la torsión que experimenta un alambre de 


cierto material conduce al cono- 
cimiento de su grado de rigi- 
dez. 

Para conocer por completo 
el comportamiento elástico de 
un material se debe estudiar có- 
mo se comporta a la tracción 
y a la torsión. Hace falta saber 
resistencia que opone el material 



Fig. 262. — Flexión. 


además, para las aplicaciones, la 
i la ruptura. 


Fig. 263. — Flexión. 




r u y ; Flexión. Es el caso de 

las figuras 262, 263 y 264. 
¡t a, La deformación se mide por 
IL- v ~ • la “flecha” / indicada en las 

Fi g . 263 . — Flexión. figuras. Las fibras de la par- 

te convexa experimentan una 
dilatación; las de la parte cóncava una contracción. En cierta región 
intermedia existe una capa llamada neutra, que ni se estira ni se 
contrae. La flecha depende 


I 

J 


de la carga, del módulo de 
Young y de la forma de la "H 
sección de la barra. 

La flecha en vigas T o 

doble T (fig. 265) es relati- Fig. 264. — Flexión, 

vamente muy pequeña, por 

eso se las utiliza en las construcciones. No hay inconveniente en 
adelgazar la parte central, porque allí se encuentra la región de 
mm , . a. las fibras neutras. 


Fig. 264. — F1 exión. 



CHOQUE 


\ 


i — r ¡ 

1-4 “ Na "J 

n ^ ; >1 


Fig. 266. — Choque 


^ 170. Si una es- 1 ^ 

fera elástica incide ... _ . 
m contra una pared 
prr —-r 1 ' 1 * t plana se refleja. El Fig. 266. — Choque 

Fig. 265. — viga doble t. punto donde choca 

se llama punto de incidencia (fig. 266). Al 
ángulo formado por la trayectoria inicial con la normal a la super- 
ficie se le llama ángulo de incidencia y al formado por la normal 
y la trayectoria seguida después del choque ángulo de reflexión. 


174 


E. Loedel 


Experimentalmente se comprueba que ambos ángulos son iguales. 
Si se tiene una cantidad de bolitas iguales de marfil o de vidrio 
juntas y se golpea con otra bolita la de un extremo (fig. 267), se 
observa que la del otro extremo se mueve después del choque con 
una velocidad igual a la que tenía la bolita incidente. El impulsa 

se ha transmitido a través 
de todas las esferas. 

Si en cambio se hacen 
chocar dos bolas de masi- 
lla, ambas continúan jun- 
tas en movimiento después 
del choque. En el caso de cuerpos elásticos la energía cinética total 
es igual antes y después del choque. Lo mismo ocurre con la canti- 
dad de movimiento o impulso. En los cuerpos plásticos la cantidad 
de movimiento se conserva, pero parte de la energía cinética se 
emplea en trabajo de deformación. 

CAPILARIDAD Y TENSIÓN SUPERFICIAL 

171. Capilaridad. — En tubos de diámetro muy pequeño (capi- 
lares) que comunican entre . sí se observa que el nivel alcanzado 
por el líquido en los diferentes tubos depende del diámetro de 
éstos y de la naturaleza del líquido. Los líquidos que mojan las 
paredes del tubo, como el agua, ascienden en tubos capilares (fig. 
268); el mercurio, que no moja las paredes, desciende (fig. 269). 




En el caso del agua el menisco es cóncavo y en el del mercurio 
convexo. 

El- ascenso o descenso de un líquido por un tubo capilar no de- 
pende del material de que está hecho el tubo y es tanlo mayor 
cuanto menor es el diámetro del mismo. 



Física Elemental 


175 


Son fenómenos capilares los que hacen posible la acción del 
papel secante, y en parte es por capilaridad que asciende la savia 
en las plantas. 

Tensión superficial.' — Una pequeña porción de líquido adquiere 
la forma de una esfera. La formación de gotas revela que la super- 
ficie de los líquidos se comporta 
como una membrana elástica cuya, 
superficie tiende a ser lo menor 
posible. A causa de la tensión super- 
ficial puede hacerse flotar una hoja 
de acero en el agua (fig. 270) y cier- 
tos insectos pueden caminar por esto 
sobre su superficie. Las pompas de 
agua de jabón muestran en forma 
clara la existencia de esta tensión. 
Introduciendo modelos de alambre en 
agua de jabón se obtienen curiosas formas de delgadas película^ 
líquidas que se extienden entre los alambres, de tal modo, que 
la superficie de ellas es siempre un mínimo. 

En el caso de la figura 271 el alambre AB tiende a subir por- 
que la película líquida del cuadro tiende a contraerse. 

Supongamos que la longitud AB del alambre sea de 3 cm y que 
la fuerza que tiende a hacerlo subir sea de 6 gramos. Esta fuerza 
de 6 gramos, provendrá de una fuerza de 3 gramos de 
la cara anterior de la película líquida y otra de 3 gra- 
mos de la cara posterior. En cada centímetro de lon- 
gitud se ejercerá entonces una fuerza de un gramo. Se 
llama tensión superficial de un líquido al cociente entre 
la fuerza y la longitud en que ella actúa. En el ejemplo 
anterior la tensión superficial es: 

F 6 gr gr 

l 6 cm cm 

Medida de la tensión superficial. — De un orificio 
de 2 mm de diámetro salen gotas de agua (fig. 272). El peso de 
100 gotas es de 5 gramos. Una gota pesa entonces 0,05 gr. La lon- 
gitud de la circunferencia del orificio es tX 0,2 = 0,63 cm. Si 
llamamos a la tensión superficial, por ser la fuerza que sostiene 



Fig. 272. 




Fig. 270. — Tensión 
superficial. 



176 


f 

E. Loedel 

a la gota igual a su peso en el momento en que se desprende, se 
tendrá : 

0,05 gramo - peso 

a — — 0,08 . 

0,63 cm 

Éste es justamente el valor de la tensión superficial del agua. 

Explicación de la capilaridad. — Sea r el radio del tubo capi- 
lar (fig. 273) y consideremos el caso de un líquido que moja las 
paredes del tubo. De la definición de a, surge que la fuerza es igual 
al producto de la tensión por la longitud, que en este caso es 2-rrr: 

F = 2 tt r a. 

Esta fuerza que actúa hacia arriba debe equilibrar 
al peso de la columna líquida del tubo. 

Siendo p el peso específico del líquido, el peso de la 
columna líquida será igual a su volumen por p, o sea: 

P = tt r 2 h p. 

De aquí: 

* 2 a 

7r r 2 h p = 2-7T r a; de donde: h = . 

rp 

Esta última fórmula expresa las leyes de Jurin: La altura a que 
■asciende un líquido en un tubo capilar es proporcional a su tensión 



Fig. 273. 



Fig. 274. — Tubos capilares. 


Fig. 275. — Adhereocia. 


superficial y está en razón inversa del radio del tubo y del peso 
específico del líquido. 

Aplicando la fórmula anterior, con el valor que ya conocemos 
para la tensión superficial del agua, resulta que ésta asciende 16 
milímetros por un tubo de un milímetro de radio. Estos 16 milí- 
metros miden la diferencia de nivel, y deben contarse vertical mente 
(fig. 274). 



Física Elemental 


177 


172. Acciones moleculares. Adherencia. Viscosidad. — Los 
fenómenos que estamos estudiando en este capítulo revelan la exis- 
tencia de fuerzas que actúan entre las moléculas de un cuerpo. Hasta 
ahora no se ha encontrado una ley que exprese estas fuerzas, lla- 
madas en general de cohesión. 

Se llama adherencia al fenómeno que revela las acciones de fuerzas 
entre dos superficies pulidas de cuerpos distintos. La fig. 275 muestra 
la adherencia entre dos discos de vidrio y la figura 
276 entre una lámina de vidrio y la superficie del 
agua. Las acciones moleculares en líquidos y gases 
hacen que éstos sean algo viscosos, es decir que 
ofrezcan cierta resistencia al deslizamiento de unas 
capas sobre otras. La viscosidad es una especie 
de roce interno. En los lubricantes tiene gran im- 
portancia el grado de viscosidad. 

PROBLEMAS 

1. Siendo el módulo de Young para el cobre 
igual a 10000 kilogramos sobre milímetro Fig. 276. — Adherencia. 
cuadrado, calcular el alargamiento de un 

alambre de ese material de 1 m de longitud y 5 mm* de sec- 
ción cargado con una pesa de 20 Kgr. 

20 1000 

Al = — 0,4 mm. 

10 000 5 

2. Hallar la tensión superficial de un líquido que asciende 20 
milímetros en un tubo de 0,5 mm de radio , siendo su peso 
específico igual a 0,8 gr/cm s . 

hrp . gr 

a — — 0,04 

2 cm 




CAPÍTULO XIII 


ACÚSTICA 

173. Movimiento oscilatorio y naturaleza del sonido. — Ya 
hemos estudiado las características principales del movimiento osci- 
latorio, habiendo definido la elongación, la amplitud, el período y 
la frecuencia (125). A este movimiento se le llama también movi- 
miento vibratorio. Es fácil constatar que todos los cuerpos que emi- 
ten sonido están en vibración. La cuerda de una guitarra 5e ve vibrar 
y el sonido se extingue cuando se la sujeta. En algunos casos la 
amplitud de la vibración es tan pequeña que no se distingue a sim- 
ple vista, pero puede siempre ser revelada por 
medios especiales. Si se golpea con un martillo 
de goma un diapasón (fig. 277), consistente en 
una barra de acero en forma de U, se percibe 
un sonido, y acercando a cualquiera de las ramas 
un péndulo liviano se observa que éste es gol- 
peado por el 

violín por el borde de una placa de acero sujeta 
en el centro (figs. 278 y 279) ésta emite un 
sonido y se observa, colocando arena sobre la 
placa, que los granitos saltan en algunos pun- 
tos. La vibración de una placa es muy compli- 
cada. Algunas regiones, líneas nodales, permane- 
cen sin vibrar. En ellas se acumula la arena for- 
mándose así curiosas figuras cuya forma depende del lugar donde se 
pasa el arco y de los puntos de la placa que se mantienen fijos. 
Por estos puntos deben pasar forzosamente líneas nodales. Éstas 
son las figuras de Chladni (1756-1827). 

En un tubo sonoro (fig. 280) se comprueba que el aire del inte- 
rior vibra con sólo colocar en su interior un platillo con arena. 
En algunas regiones los granos de arena saltan, en otras perma- 
necen fijos. 


diapasón. Si se pasa un arco de 



de un diapasón. 




174. Caracteres del sonido. — La tecla de un piano puede tocar- 
se suavemente o con fuerza; en este último caso se percibe un 
sonido más intenso. Lo mismo ocurre al golpear un diapasón. 


| más alto cuanto mayor sea la velo- % 

^ cidad de la rueda, o lo que es lo , jl 

mismo, cuanto mayor sea el número 

de dientes que por segundo gol- /f 

pean la tarjeta. 

En la sirena de Cagniard de 
Latour, una corriente de aire pone 
en rotación una rueda con orificios \ % 

(fig. 282). Para fijar ideas supon- ¿j¡ ¿ J|f 

dremos que el disco fijo de la parte H 

inferior tiene 10 orificios, inclina- 
dos en un sentido, y el disco gira- 
torio otros 10 orificios, inclinados 
en sentido opuesto. Si la corriente « in 

de aire es tal que el disco da una 

, 71 Fig. 281. — Altura y 

vuelta por segundo, en un segundo frecuencia, 

coincidirán 10 veces los orificios de 
ambos discos y el aire efectuará 10 vibraciones en un segundo. 
Si la rueda diera 20 vueltas por segundo la frecuencia debida a 
la salida discontinua del aire sería igual a 200. Cuanto mayor es 


Fig. 280. - 
Vibración 
del aire. 



180 


E. Loedel 


la velocidad de la rueda más agudo es el sonido que se produce. 
Un contador de vueltas, cuyo mecanismo se ve en la parte superior 
del grabado permite medir el número de giros que efectúa la rueda 
en un segundo. 

Además de la intensidad y la altura, un sonido se caracteriza 
por su timbre. La misma nota musical que emite un piano se dis- 
tingue de la que produce un violín. Esto se debe a que se superponen 
a la vibración principal de la cuerda que produce la nota, vibra- 
ciones secundarias producidas por la caja del 
instrumento y por la misma cuerda. Resu- 
miendo diremos que el timbre depende del 
conjunto de vibraciones que produce el cuer- 
po sonoro. 

En síntesis: 

I 

La intensidad depende de la amplitud. 
La altura depende de la frecuencia. 

El timbre depende del conjunto de vi- 
braciones. 

175. Límite de los sonidos perceptibles. 
— Un péndulo oscila y no se percibe sonido 
alguno. Los sonidos más graves que pueden 
percibirse deben provenir de una fuente so- 
nora que produzca por lo menos 16 vibracio- 
nes por segundo. Con el silbato de Galton, 
que es un pito cuya longitud puede disminuir- 
se, se comprueba que cuando la frecuencia es 
superior a 40 000 vibraciones por segundo no 
se percibe sonido alguno. El oído humano es 

Fig. 282. — sirena. por lo tanto sensible a frecuencias compren- 
didas entre 16 y 40 000. El límite superior de 
la frecuencia de los sonidos audibles varía mucho de una a otra 
persona. El límite de los sonidos agudos musicales del flautín mo- 
derno es de 18 800 vibraciones por segundo. 

PROPAGACIÓN DE ONDAS 

176. Ondas en el agua. — Si se arroja una piedra sobre la 
superficie del agua de un lago, se observa que se forman ondas 
circulares cuyo radio va en aumento. Por medio de trozos de corcho 
flotantes se constata que en cualquier punto, el líquido tiene sólo 




Física Elemental 


181 


un movimiento de vaivén de arriba hacia abajo y de abajo hacia 
arriba. Estas ondas, cuando son de pequeña amplitud, se deben, 
dicho sea de paso, a la tensión superficial del líquido. En el lugar 
donde, ha caído la piedra las partículas comienzan a oscilar; al 
cabo de cierto tiempo principian también a oscilar en forma pare- 
cida, partículas de líquido que se encuentran a cierta distancia del 
centro. Se ha propagado el movimiento oscilatorio sin que haya habi- 
do transporte de materia. 

Consideremos cierto número de personas en fila con la consigna 
siguiente: No bien una de ellas recibe de la que está a su izquierda 
un golpe, le debe pegar a la persona que está a su derecha. De este 
modo el golpe se propaga, a lo largo de la cadena de personas, no 

habiendo salido de su puesto ninguna de ellas. 

j . 

/ ' • 

V 177. Longitud de onda. — Volvamos a las ondas superficiales 
del agua, o de otro líquido cualquiera. Supongamos que en 5 se- 
gundos el radio de la onda 
aumenta en un metro. La 
velocidad de propagación 
es entonces de 20 centíme- 
tros por segundo. Medimos 
además el tiempo de una 

Oscilación completa si- Fig. 283. — Propagación de una onda. 

guiendo el movimiento de 

sube y baja de un trozo de corcho. Sea ese tiempo igual a medio 
segundo. ¿Qué espacio recorre la perturbación en el tiempo de un 
período? En este caso el período es de medio segundo y en ese 
tiempo el espacio recorrido será igual a 10 cm. Esta longitud de 

10 cm es la longitud de 
onda: Longitud de onda 
es el espacio recorrido 
por la perturbación en 
el tiempo de un período. 

La figura 288 repre- 
senta un corte de la su- 
perficie del agua en un momento dado. Fijemos nuestra atención en 
los puntos 1, 2, 3, etc. Cada uno de ellos cumple un movimiento 
oscilatorio sobre un segmento de recta perpendicular a la dirección 
de propagación que indica la flecha. Tratemos de ubicar esos pun- 
tos al cabo de 1/4 de período. El punto 1 se encontrará en 1’, el 2 
en 2’, etc. Los puntos de la superficie se encontrarán ahora sobre 



Fig. 284. — Longitud de onda. 




182 


E. Loedel 


la línea 1’, 2’, 3’, etc. Se ve así que en un cuarto de período la 
cresta de la onda se desplazó de 1 a 2’. Esa distancia 1-2’ es igual 
a 1/4 de longitud de onda. La distancia entre dos crestas consecu- 
tivas (fig. 284) es entonces igual a la longitud de onda que se 
designa con la letra A. Llamando V a la velocidad de propagación, 
siendo T el período se tiene: 

A = VT. 


Como el período es la inversa de la frecuencia ( T = 1/n) resulta 
también : 


V 

A = — ; o sea: V — n A. 

n 


178. Ondas transversales y longitudinales. — En el ejemplo 
anterior las partículas vibran siguiendo una dirección perpendicular 

a la dirección de propagación. 

Esas ondas son transversales (fi-. 
gura 285). 

Sea ahora un largo resorte en 
espiral (fig. 286). Juntemos algu- 
nas espiras y soltémoslas. Cada 
espira vibrará en una dirección 
coincidente con la dirección de 

propagación. Estas ondas son lon- 
gitudinales. Consideremos una es- 
fera de goma cuyo volumen aumenta y disminpye periódicamente, 
algo así como lo que ocurre con el pecho al respirar. Si esa esfera 

está en el seno del aire, cuando aumenta de volumen las capas de 

aire próximas experimentarán 
'una condensación, un aumento 
de presión. Lo contrario cuando 
la esfera se contrae. Aumento y 
disminución de presión se pro- 
pagan a esferas vecinas con cier- 

. , 1' ig- 286. — Ondas longitudinales. 

ta velocidad. Estas ondas son, 

evidentemente, longitudinales. En los gases y en el interior de los 
líquidos, las únicas ondas posibles son las longitudinales. Esto se 
debe a que gases y líquidos son elásticos en cuanto al volumen y 
no en cuanto a la forma. En los sólidos pueden propagarse en cam- 
bio ondas transversales y longitudinales. 



Dirección da 

*0 ; ' ~ 

*3 propa (faetón 

| 

a 

Ju 

/> - ' 


Fig. 285. — Ondag transversales. 


I 


Física Elemental 


183 


Una onda longitudinal puede representarse gráficamente como 
una onda transversal; pero aquí la “onda” representa no la posi- 
ción de las partículas en un iqomento dado, sino el aumento o 


disminución de presión (figura 
287) en cada punto. . 

179. Propagación del soni- 
do. — Colocando un timbre en 
una campana, se observa que su 
sonido deja de percibirse cuan- 
do se extrae el aire de aquélla 
(fig. 288). El sonido necesita 
para propagarse de un medio 
elástico, no pudiéndose propagar 



Fig. 287. — Representación de una onda 
longitudinal. 


en el vacío. En los líquidos el sonido se propaga mejor que en el 
aire: los buzos perciben sonidos que se producen en la orilla. 


En los sólidos se comprueba la propagación aplicando el oído 


al extremo de una varilla de 2 ó 3 m de largo y haciendo que se ras- 



débilmente en el otro extremo 


Velocidad de propagación. — Midiendo la 
diferencia' de tiempo entre el instante de perci- 
bir el fogonazo luminoso y el ruido del estam- 
pido de un cañón situado a distancia conocida 
se obtiene de inmediato la velocidad de pro- 
pagación del sonido en el aire. En este cálculo 
se supone que la luz se propaga instantánea- 
mente, pues recorre en 1 seg 300000 Km. 


Ejemplo. — El cañón está a 3400 m del 
observador. Entre la percepción del fogonazo y 
el estampido median 10 seg. La velocidad es- 


Fig. 288. — El sonido no 

se propaga en ei vacio. Esta velocidad aumenta con la temperatura 

y el grado de humedad del aire. En aire seco 
y a 0 o C, la velocidad es de 331 metros por segundo. En las con- 
diciones comunes del aire la velocidad de propagación puede con- 
siderarse igual a la consignada en el ejemplo. 



184 


E. Loedel 


En los líquidos la velocidad de propagación es mayor. Colla- 
don y Sturm la midieron directamente en el agua de un lago 
(fig. 289) utilizando dos lanchas con campanas y bocinas apropia- 
das. Al hacer sonar una campana se encendía automáticamente cierta 
cantidad de pólvora que producía un destello luminoso. Se obtuvo 
así para la velocidad del sonido en el agua el valor de 1435 metros 



Fig. 289. — Determinación de la velocidad del sonido en el agua. 


por segundo. En el agua salada de mar la velocidad alcanza los 
1500 metros por segundo. 

En los sólidos debe distinguirse entre la velocidad de propa- 
gación de ondas transversales y longitudinales. Para cada material 



se tienen distintas velocidades de pro- 
pagación, que dependen de la elasti- 
cidad del mismo. En el hierro la velo- 
cidad de las ondas longitudinales *fes de 
unos 5 000 m/seg, siendo la de las 
transversales cerca de la mitad. 


REFLEXIÓN DEL SONIDO 

180. Reflexión y eco. — Si ondas 
de origen en O inciden contra una pa- 
red, salen de ésta otras ondas, de cen- 
tro en el punto O’ simétrico de O con 
respecto al plano de la pared. Las 


Reflexión de ondas. 


ondas se han reflejado (fig. 290). En un teatro se perciben super- 
puestas las ondas que llegan directamente desde el escenario y las re- 
flejadas en distintos lugares. Si llegan las distintas ondas al oído del 
observador con diferencia apreciable de tiempo, producen un efecto 


muy desagradable: se dice entonces que la acústica de la sala es mala. 

Corregir la acústica de un salón es un problema difícil y com- 
plejo. A veces se logra por medio de cortinados que impiden que 


el sonido se refleje. 



Física Elemental 


185 


La figura 291 muestra un modo sencillo de verificar la refle- 
xión del sonido. El tic -tac del reloj ubicado en el fondo de una 
probeta, se percibe nítidamente si se coloca una pantalla en po- 
sición adecuada. 

El eco es consecuencia de la reflexión 
del sonido. La sensación sonora perdura, 
por razones fisiológicas, cierto tiempo 
después de apagarse la onda que la pro- 
dujo. Este tiempo es más o menos de un 
décimo de segundo. En un décimo de se- 
gundo el sonido recorre en el aire 34 m. 

Si nos colocamos entonces frente a una 
pared a una distancia mayor de 17 m y 
producimos un sonido, las ondas refle- 
jadas llegarán a nuestro oído después de 
haberse disipado la sensación producida 
por el sonido inicial. Si se da un golpe, 
se perciben dos golpes sucesivos. A una 
distancia menor de 17 m se percibe un 
solo golpe algo más prolongado. 

Entre dos paredes paralelas y distan- 
tes se puede percibir un eco múltiple. 

' Es natural que en los teatros debe evitarse la producción de ecos. 

1 DIAPASÓN, TUBOS Y CUERDAS 

181. Diapasón. Medida de la frecuencia. — Ya hemos dicho 
en qué consiste un diapasón. Al vibrar sus ramas el aire se com- 
prime y dilata periódicamente. La frecuencia de un diapasón puede 
determinarse gráficamente colocando en una rama del mismo una 
pequeña punta de metal que se hace apoyar sobre un cilindro enne- 
grecido con negro de humo. El cilindro gira accionado por un 
aparato de relojería. Cuanto más gruesas y cortas son las ramas 
de un diapasón tanto mayor es su frecuencia y más agudo por lo 
tanto el sonido que emite. Si se tiene un juego de diapasones de 
frecuencia conocida, es fácil hallar, aproximadamente, la frecuencia 
correspondiente al sonido emitido por un tubo sonoro o por una cuer- 
da vibrante. Sea un sonido algo más agudo que el emitido por un 
diapasón cuya frecuencia es igual a 435 (vibraciones dobles por 
segundo) y algo más grave que el sonido de otro diapasón de fre- 
cuencia igual a 489. La frecuencia de ese sonido estará compren- 



Fig. 291. — Reflexión del sonido. 



■ 186 


E. L O E D E L 


dida entre las anteriores. Para medidas más exactas puede emplearse 
la sirena, regulando su velocidad hasta que emita un sonido de igual 
altura al emitido por la cuerda, el tubo o el diapasón cuya frecuen- 
cia se busca. 

182. Ondas estacionarias. — Las ondas que consideramos al es- 
tudiar la propagación de las mismas eran ondas progresivas. La 
cresta de la onda se desplazaba en el sentido de la propagación. 

Si una onda progresiva 
se refleja contra una 
pared colocada normal- 
mente a la dirección de 
propagación, la super- 
posición de la onda in- 
cidente y la reflejada 
origina una onda esta- 
cionaria. En una onda 
estacionaria existen 
puntos fijos llamados nodos y lugares en vibración llamados vientres. 

En la figura 292 se han representado en negro y blanco dos 
ondas progresivas idénticas que se propagan en sentidos opuestos. 
La línea de pequeños círculos indica la posición de las partículas 
del medio en un momento dado suponiendo se trate de ondas trans- 
versales. En (a) los efectos opuestos de ambas ondas hacen que 
todas las partículas se encuentren en la posición de equilibrio. En 
( b ), un cuarto de período después, sólo los puntos N siguen en 
su antigua posición de equilibrio. Estos puntos son los nodos, exis- 
tiendo un vientre entre dos nodos. Se ve en la figura que la distancia 
que separa dos nodos con- 
secutivos es igual a me- 
dia longitud de onda. 

183. Ondas estacio- F¡g. 293 . — Tubo d e Kundt. 

narias en una barra y 

en el aire. Tubo de Kundt. — Una barra de latón, de una longitud 
aproximada de un metro se fija por su parte media. Uno de sus 
extremos se apoya (fig. 293) sobre una membrana tensa que cubre 
la extremidad de un tubo que contiene aire en su interior. El otro 
extremo del tubo está provisto de un corcho, a manera de émbolo, 
que puede correrse. Frotando o mejor tirando por el extremo libre 
de la barra con una gamuza con resina, se producen en ella ondas 
estacionarias longitudinales: la barra se acorta y alarga periódica- 




Fig. 292. — Ondas estacionarias. 



Física Elemental 


187 


mente. La membrana transmite al aire del tubo las oscilaciones de 
la barra, produciéndose en el interior del mismo una onda estacio- 
naria proveniente de la superposición de la onda que parte- de la 
membrana con la que se refleja en el corcho. 

Colocando en el interior del tubo polvo de corcho o de licopo- 
dio se observan fácilmente los nodos y los vientres. 

Cada extremo de la barra es evidentemente un vientre, encon- 
trándose un nodo en la parte media. Si la barra tuviera una longitud 
de 1 m la longitud de onda correspondiente a la vibración que efec- 
túa será de 2 m. Suponiendo que entre dos nodos consecutivos del 
interior del tubo exista una separación de 10 cm, la longitud de 
onda en el aire, para el sonido que produce la barra 
al vibrar, será de 20 cm. Luego la longitud de onda es 
en la barra 10 veces mayor que en el aire para la misma 
frecuencia. Esto nos dice que la velocidad del sonido en 
la barra será de 340 X 10 = 3400 metros por segundo. 

En general llamando A y A’ a las longitudes de onda 
en la barra y en el aire, siendo V y V’ las velocidades 
de propagación respectivas se tendrá: 

A = VT ; A’ = V’T. 

El período es el mismo en ambos casos, por lo que: 

A V 

A’ V’ 

El émbolo de corcho se mueve para que coincida con 
un nodo. 

184. Tubos sonoros. — El aire que se insufla por A 
choca contra un bisel B donde se divide produciendo vibraciones en 
la columna de aire del tubo (fig. 294). Si éste es cerrado habrá 
forzosamente un nodo en la parte superior y un vientre en la embo- 
cadura E. La longitud del tubo será igual a 1/4 de la longitud de 
onda del sonido fundamental. Pero también puede vibrar el aire 
de modo que la longitud del tubo sea igual a 3/4 ó 5/4, etc. de la 
longitud de onda: 

13 5 

L — — A; —A’; —A”; ... 

4 4 4 



Fig. 294. — 
Tubo sanom 



188 


E. Loedel 



En los tubos abiertos existe un vientre en la embocadura y otro 

vientre en el extremo, por 

r: I"'" K gBB V 

. ,, w J. . m ú SKI . m - s ¿ lo cual: 


185. Cuerdas. — Para 
percibir las ondas estacio- 
narias en una cuerda basta 
con atar el extremo de un 
hilo al badajo de 


una cam- 
panilla eléctrica (figura 
295). Una cuerda fija en 
sus extremos puede vibrar 
en algunas de las formas 
indicadas en la figura 296, 
pues los extremos deben ser forzosamente nodos. Teóricamente se 
demuestra que .la frecuen- 

tu°d iTometída a la fuefza ' ^ ‘ ~Í‘ 

de tracción T cuando vibra ¿ 

en la forma (o) de la * 


Ondas estacionarias en una cuerda 


Vibraciones de una cuerda 


siendo ¡ul la densidad lineal de la cuerda, igual al cociente entre 

su masa y su longitud. 

En el caso (6) la frecuen- 
cia es 2 no, pues todo pasa 
como si la longitud de la cuer- 
da se hubiera reducido a la 
mitad. 

El aparato de la figura 297 
fí 6 . 297. — sonómetro. sirve para comprobar las le- 

yes de las cuerdas que están 
contenidas en la fórmula precedente. 



Fis.ica Elemental 


18!» 


RESONANCIA 

186. Resonancia mecánica. — Todo el mundo ha experimentado 
al encontrarse sobre un trampolín o sobre una tabla que puede 
vibrar, que moviéndose acompasadamente, siguiendo el ritmo pro- 
pio de oscilación de la tabla, puede hacer 
que aquélla adquiera una gran amplitud. 

Sean dos péndulos de igual período uni- 
dos por un hilo con un peso P (fig. 298). 

Si se hace oscilar el péndulo 1, comienza a 
oscilar el 2; al cabo de cierto tiempo el pén- 
dulo 1 queda casi en reposo y es el 2 el que 
oscila. Luego sucede el proceso inverso. 

En un mismo soporte (fig. 299) se tienen 
varias varillas flexibles. Moviendo acompasa- 
damente el soporte puede lograrse que una 
sola de las varillas entre en vibración. Para esto tendrá que moverse 
la mano con un período igual al propio de la varilla que se quiere 
hacer oscilar. 



187. Resonancia acústica. — Para reforzar el sonido emitido 
por un diapasón se le coloca sobre una caja de madera cerrada por 
un extremo y abierta por el otro. 

Se elige la longitud de la caja 
de modo que el período propio 
de la oscilación de la columna 
de aire de la misma coincida con 
el período del diapasón. La lon- 
gitud de la caja debe ser igual, 
para que esto suceda, a 1/4 de 
la longitud de onda en el aire, 
del sonido emitido por el dia- 
pasón. 

Si un diapasón vibra, otro 
.diapasón idéntico al primero co- 
mienza a vibrar si se le coloca 
frente a aquél. 

Colocando un diapasón en 
vibración sobre una probeta y agregando agua a ésta (fig. 300), 
cuando el agua alcanza cierta altura se nota un refuerzo del sonido. 
Si se conoce la frecuencia del diapasón puede determinarse así, la 
velocidad del sonido en el aire. Cuando la columna de aire de la 



■ 








7 : 

1 

• 

■ 




. 




1 1 



m 

'4 





1 


. 







m 



^ 5 " 
* 6 

1 


, 1 



Fig. 299. 

— Resonancia. 


Fig. 300. — Resonancia. 



190 


E. Loedel 


probeta entra en resonancia la longitud de la columna de aire debe 
ser igual a 1/4 de la longitud de onda, pues sobre la superficie del 
agua existe un nodo y en la embocadura de la probeta un vientre. 

Ejemplo. — Un diapasón efectúa 425 vibraciones dobles por se- 
gundo. Entra en resonancia con una columna de aire de 20 cm. La 
longitud de onda será igual a 80 cm, por lo cual: 

m 

V = \ n = 0,8 x 425 = 340 . 

seg 

188. Escala musical. — Las frecuencias de los sonidos de la lla- 
mada escala natural mayor están dadas relativamente por los núme- 
ros siguientes: 


do 

re 

mi 

fa 

sol 

la 

si 

do 

1 

9/8 

5/4 

4/3 

3/2 

5/3 

15/8 

2 

24 

27 

30 

32 

36 

40 

45 

48 

Se ha definido 

al la 

normal 

o la 3 

por la 

nota 

emitida 


diapasón normal , que efectúa 435 vibraciones dobles por segundo. 
El do 3 corresponde entonces a la frecuencia: 

do 3 = 3/5 la 3 = 261 ; do* = 522;... 

Se llama intervalo musical entre dos sonidos a la relación entre 
la frecuencia mayor y menor. El intervalo de segunda, entre el re 
y el do, es 9/8; el de tercera 5/4; ... y la octava 2/1. 

189. Superposición de ondas. Fonógrafo. — La figura 301 
muestra la onda resultante blanca de dos ondas simples. Podemos- 
decir que el timbre de un sonido depende de la forma de la onda. 

Igualmente es posible 
analizar un sonido com- 
plejo descomponiéndolo 
en otros simples. 

Por dispositivos es- 
Fíg. 3oi. — Onda resultante. peciales pueden grabar- 

se los sonidos y luego 
reproducirlos mecánicamente. En esto consiste el fonógrafo inven- 
tado por Edison. Las vibraciones sonoras actúan sobre una mem- 
brana vinculada a una púa de metal que inscribe sobre un disco 
móvil una curva sinuosa. Luego, al pasar la púa por la senda tra- 




Física Elemental 


191 


zada obliga a la membrana a vibrar, reproduciendo el sonido 
primitivo. 

190. Efecto Doppler. — Si una fuente sonora se acerca a un 
observador, éste percibe un sonido algo más agudo del que perci- 
biría si la fuente estuviera inmóvil. Si la fuente se aleja el sonido 
parece más grave. De aquí que si una locomotora 
pasa silbando, en el momento en que cruza frente al 
observador y comienza a alejarse, el sonido del silbato 
parece haberse hecho más grave. En esto consiste el 
efecto Doppler que se comprueba fácilmente con el 
silbato de Mach (fig. 302). En el extremo de una 
regla se coloca un pito. Esta regla es giratoria y el 
eje de giro, hueco, comunica por medio de un tubo 
con el silbato. Cuando la regla gira velozmente, por 
la fuerza centrífuga, el aire expulsado hacia la peri- 
feria hace sonar el pito. Colocándose el observador 
en dirección perpendicular al plano de giro no per- 
cibe cambio alguno en la altura del sonido; pero si 
se coloca en el mismo plano de giro percibirá un 
sonido de altura variable debido a que la fuente sonora se acerca 
y aleja de él periódicamente. 

Para explicarnos el porqué de este curioso efecto, supondremos 
una locomotora que se acerca al observador (fig. 303) a razón de 
20 m/seg (72 km/hora). La frecuencia de su silbato sea igual a 
2448. La velocidad del sonido es igual a 340 m/seg. 



Fig. 302. — 



Fig. 303. — Efecto Doppler. 


Cuando la locomotora está en 1 emite una vibración que al cabo 
de 1 seg llegará al punto 3. En este momento la locomotora se 
encuentra en 2. Ha transcurrido 1 seg y las 2448 vibraciones 
habrán producido otras tantas ondas completas que se encuentran 
en el espacio comprendido entre 2 y 3. 



192 


E. Loedel 


La longitud de onda será entonces: 

320 

2448 

La frecuencia N’ que percibe el observador fijo, se halla divi- 
diendo la velocidad del sonido, 340 m/seg, por la longitud de onda: 

340 

N’ = X 2448 = 2601. 

320 

Si la locomotora se aleja, las 2448 ondas producidas en un 
segundo se encontrarán ahora en un espacio igual a 360 m; y la 
frecuencia percibida /V” sería: 

340 

N” = X 2448 = 2312. 

360 

El intervalo musical entre los dos sonidos, que se percibe al 

pasar la fuente sonora frente al observador, será: 

N’ 2601 9 

= = — (la segunda). 

N” 2312 8 



Fig. 304. — Efecto Doppler. 


Si el observador es el que se acerca a la fuente con la velocidad 
de 20 m/seg (fig. 304), su oído recibe en un segundo las ondas 
situadas en un espacio de 360 m. Como en 340 m hay 2448 ondas, 
en 360 habrá: 

360 

N\ = 2448 X = 2592. 


340 



Física Elemental 


193 


Si el observador se aleja de la fuente recibe en un segundo las 
ondas que hay en un espacio de 320 m, luego: 

320 

N” i = 2448 = 2304. 

340 

El intervalo es igual, al de antes: 

N* i 2592 9 

= = — (la segunda). 

N’\ 2304 8 

El cuadro siguiente resume todo lo dicho: 



Fuente móvil 

Observador móvil 

Frecuencia 

percibida 

Fórmula 

Frecuencia 

percibida 

Fórmula 



V 


r + v 

Se acerca . . 

2601 

II 

z> 

2592 

Ar 1= N o 



V — v 


V 



V 


V — v 

Se aleja . . . 

2312 

N” - N n 

2304 

% 

II 



V + v 


V 


Este efecto tiene particular importancia en óptica y sobre todo 
en sus aplicaciones astrofísicas. 

191. Figuras de Lissajous. — Dos movimientos vibratorios orto- 
gonales se componen dando lugar a curiosas curvas que se pueden 
obtener con el dispositivo de la 
figura 305, consistente en dos 
diapasones que oscilan en planos 
perpendiculares y en cuyas ra- 
mas se colocan pequeños espejos 
que reflejan la luz. Para enten- 
der la formación de estas figu- 
ras supongamos (fig. 306) que 
la regla AB se desplaza sobré la 
CD, perpendicular a ella, con 
movimiento vibratorio armónico. 

Si sobre la regla AB un punto P, se mueve también con movimiento 
vibratorio armónico, la trayectoria de P, composición de ambos mo- 





194 


E. Loedel 


vimientos, será, en general, complicada y dependerá de los períodos 
y de las posiciones iniciales de la regla AB y del punto P. La figura 

307 muestra algunas de esas curvas. 



1 . 


2 . 


Fie. 306. — Composición de 
dos movimientos vibratorios 
ortogonales. 


PROBLEMAS 

Hallar la longitud de onda en el aire del 
sonido emitido por un diapasón que efectúa 
200 vibraciones completas por segundo. 

V 340 

A = — = = 1,70 m. 

n 200 

Hallar la longitud de onda de un sonido 
que / forma una octava con el anterior. 

La frecuencia será doble y la longitud 
de onda la mitad: 

A = 0,85 m. 


3. ¿Qué longitud debe tener un tubo abierto para que su sonido 
fundamental sea igual al del problema anterior? 

A 

l — — = 42,5 cm. 

2 



Fig. 307. — ■ Curvas de Lissajous. 


A 

= — = 21,25 cm. 
4 


4 . ¿Y un tubo cerrado? 



Física Elemental 


195 


5. Una cuerda de 36 cm de longitud emite un do. ¿En cuánto debe 
acortarse, manteniendo constante la tensión, para que emita el 
re siguiente? 

Estando la frecuencia en razón inversa de la longitud, ten- 
drá que reducirse ésta a los 8/9 de la longitud primitiva. Luego 
la longitud será 32 cm. 

6. Una cuerda cargada con 1 Kgr emite una nota. ¿Con cuatro kilo- 
gramos, qué nota emitirá? Una nota de frecuencia doble de la 
anterior, la octava siguiente. 

7. ¿Qué longitud debe tener la caja de resonancia del la normal? 

\ 340 1 

l = — = X — = 0,195 m 20 cm. 

4 435 4 

8. Hallar la frecuencia del sonido emitido por una sirena de 20 
orificios, cuando da 50 vueltas por segundo. 

n = 20X50 = 1000 [1/seg]. 

9. ¿A qué distancia se encuentra una nube, habiendo transcurrido 
10 seg entre la percepción del relámpago y la del trueno? 

d = 340 X 10 — 3400 m. 

*10. Habiendo obtenido por el método de Kundt para la velocidad 
del sonido en una barra el valor V —3400 m/seg, siendo la 
densidad de la misma igual a 7,5 gramos /cm s hallar su módulo 
de elasticidad E sabiendo que vale la fórmula siguiente: 

r=s/í 

d 

cm 2 g Kgr 

E = V 2 d = Í340 000 ) 2 x 7,5 = 8847 . 

seg 2 cm 8 mm 2 » 

Pues, para pasar de las dinas a los kilogramos • peso se 
divide por 980000, debiéndose además dividir por 100 si se 
quiere expresar E por milímetros cuadrados. 



* CAPÍTULO XIV 


y 

/ TERMOMETRÍA. DILATACIÓN 

102. Noción de temperatura. — La sensación térmica que tra- 
ducimos con las palabras: caliente, templado, frío, nos da una noción 
primitiva de lo que se llama temperatura. La temperatura se con- 
vierte en magnitud física cuando se la puede medir. Ya hemos visto 
qué es y cómo se gradúa un termómetro. (Véase párrafos 4 y 5). 

La temperatura de un cuerpo es lo que indica un termómetro 
puesto en su contacto. Se observa, en efecto, que al poner un termó- 
metro en contacto con un cuerpo la columna 
termométrica varía; pero llega un momento 
en que permanece estacionaria. Si esto no ocu- 
rre es porque la temperatura del cuerpo es 
variable. 

193. Otras escalas termométricas. — Ade- 
más de la ya estudiada, que es la escala centí- 
grada, se utilizan otras. En la escala Fahren- 
heit se hace corresponder el grado 32 a la 
temperatura del hielo en fusión y el grado 212 
a la temperatura del agua en ebullición a la 
presión normal (760 mm de mercurio). El 
intervalo comprendido entre 32 y 212 se divi- 
de en 180 partes iguales. 

En la escala Réaumur corresponde 0 o al 
hielo en fusión y 80° al agua en ebullición, dividiéndose el inter- 
valo en 80 partes iguales. 

La figura 308 representa a las tres escalas termométricas. 

Si un termómetro con escala centígrada indica 20° C, por ser 
20° la quinta parte de 100°, en escala Réaumur se tendrá una indica- 
ción de 16 ° pues; 

V 20 16 1 



100 80 5 



Física Elemental 


197 


En la escala Fahrenheit la columna termométrica estará por arriba 
de 32° F en 1/5 de 180 que es 36 y el termómetro indicará: 

36 +32 = 68° F. 

Llamando C, R y F a las indicaciones de las tres escalas, se tendrá: 

C R F — 32 


de donde: 


100 8Ó 180 

C R F — 32 


• 5 4 9 

El 0 o F corresponde a 17°, 8 C bajo cero o sea a — 17°,8 C. 

194. Relación entre (Jos temperaturas. — En escala centígrada 
tenga un cuerpo la temperatura de 40° C y otro 20° C. La relación 
entre ambas temperaturas es: 

40 

— •= 2 . 

20 

Decimos entonces que una temperatura es doble de la otra si se 
miden ambas en escala centígrada. 

Midiendo estas temperaturas en es- 
cala Fahrenheit se obtendría: 

9 

F = _ x 40 + 32 = 104. 

5 

9 

F y — — X 20 + 32 = 68. • 

5 

F 104 26 

F 68 17 Eig. 309. - En la altura el origen 

e9 también arbitrario. 

Como se ve la relación es diferente. 

Esto se debe a que el cero Fahrenheit no corresponde con el cero 
de la escala centígrada. Igual cosa ocurre al relacionar las alturas 
de dos puntos (fig. 309). Esté uno de ellos a una altura de 2 m 




198 


E. Loedel 


con respecto al nivel de una mesa, otro a la, altura de 1 m. La rela- 
ción entre ambas alturas es: 

2 

— = 2 . 

1 

Si la mesa tiene una altura de 1 m con respecto al suelo el pri- 
mer punto se halla a 3 m de altura y el segundo a 2. La relación 
de las alturas es ahora 3/2. 

En muchas magnitudes físicas es necesario elegir arbitraria- 
mente el cero. En la medida del tiempo, se ha convenido en contarlo 
a partir del nacimiento de Cristo ; para medir un intervalo cualquiera 
de tiempo puede elegirse el cero arbitrariamente.' 

Concluimos de aquí, que a pesar de la arbitrariedad con que sé 
eligen los puntos fijos de las escalas termométricas, la temperatura 
es una magnitud física perfectamente determinable. Constituye el 
ejemplo típico de las magnitudes escalares. 

Se debe a Fahrenheit, el creador de la primera escala termomé- 
trica, en 1714, el haber convertido en magnitud medible lo que 
hasta entonces era una vaga noción subjetiva. Sólo así, ha sido posi- 
ble el estudio científico de los fenómenos térmicos. 

Advertencia. — La definición que hemos dado de temperatura 
de un cuerpo (lo que indica un termómetro puesto en su contacto) 
es la definición que da en su termodinámica, el célebre físico y 
matemático francés Henri Poincaré. De esa definición surge de 
inmediato que la temperatura es una magnitud física. Si no lo fuera 
sería absurdo operar algebraicamente con ella. Insistimos en esto 
porque en algunos textos se dice que la temperatura no es una mag- 
nitud física. Lo que no es magnitud es la sensación térmica , así 
como no lo es la altura o la intensidad de un sonido en cuanto a 
la impresión subjetiva que producen. 

195. Otras substancias termométricas. — El mercurio se soli- 
difica a — 39° C y entra en ebullición a 360° C. Por esta razón para 
medir temperaturas baias se utilizan termómetros de alcohol, que 
se colorea para hacer visible la columna termométrica. El termó- 
metro de alcohol puede servir para medir temperaturas hasta de 
unos 140° bajo cero. Para temperaturas altas se utilizan substancian 
sólidas. 

Los gases sirven para medir, como veremos, temperaturas altas 
y bajas. 



Física Elemental 


199 


Se verá más adelante que la temperatura definida por medio de 
un termómetro de mercurio no coincide en todos los puntos de la 
escala con la temperatura definida con otra substancia termométrica. 


/ 196. Termómetros de máxima y mínima. — En los termóme- 

tros destinados a medir la temperatura máxima que se ha producido 
en cierto intervalo de tiempo, se coloca sobre la co- ... 
lumna termométrica de mercurio un pequeño índice H || 

de esmalte que lleva un trocito de hierro en su inte- & i-;;' ' Vi ' 

rior. El índice roza suavemente contra las paredes f| f ^ 1 

del tubo. Al subir la temperatura el índice es arras- 
trado y al bajar se separa de la columna mercurial, 
indicando su posición la temperatura máxima alean- fá ir |t r 1 
zada. Con un imán se corre el índice hasta llevarlo 'm r 0 

nuevamente en contacto con él mercurio cuando so J|> í 

desea efectuar una nueva determinación. Los termóme 
tros clínicos son de máxima. La columna mercurial 
queda estacionada en la posición máxima alcanzada. 

Esto se logra merced a un estrechamiento existente mcú^Je - míxím-i 
entre el bulbo y el tubo capilar, lo que hace que al > mínima, 
bajar la temperatura la columna se rómpa. 

La figura 310 indica un termómetro que es al mismo tiempo 
de máxima y de mínima. El depósito A contiene alcohol, que al 
dilatarse hace bajar al mercurio de la rama Mí en tanto sube el 
de la rama Má. El índice de la ramaMá es entonces arrastrado por 
el mercurio; se desprenderá de él cuando la temperatura comience 

a descender. En cambio 


l i¿. 3ÍU. — Termo* 
metro Je máxima 
y mínima. 


.jLr'H a 

HtRIÍ ¿..j,. . .i 



' 

4^131 


en Mí el índice queda 
indicando la temperatura 


mínima. 

/. 


DILATACIÓN DE 
SÓLIDOS 




K¡g. 311. — Dilatación lineal. 197. Coeficiente de 

dilatación. — Sabemos 
ya que todos los cuerpos se dilatan por la acción del calor. Se trata 
ahora de medir esa dilatación. 


Una varilla de metal se encuentra fija por uno de sus extremos, 
presionando por el otro extremo sobre una palanca que acciona una 
aguja que recorre un cuadrante graduado (fig. 311). Esta varilla 
se encuentra en el interior de un tubo o camisa de latón. 



200 


E. Loedel 


Por la parte E se puede hacer entrar vapor de agua proveniente 
de una pequeña caldera C. El vapor sale por S. He aquí el resultado 
de una medida: 

El termómetro indica inicialmente 15°C. 

La aguja se encontraba en la división 5. 

El termómetro indica al final 100° C. 

La aguja se encuentra en la división 23. 

Se ha desplazado 18 divisiones. 

Previamente habíamos calibrado el aparato del modo siguiente: 
tomamos un trozo de vidrio cuyo espesor medimos con un palmer 
y lo colocamos entre la varilla y la palanca. El vidrio tenía un 
espesor de 1 mm y hacía desplazar la aguja en 15 divisiones. Sabe- 
mos entonces: 

15 divisiones corresponden a 1 mm. 

18 divisiones corresponden a 18/15 = 1,2 mm. 

La varilla experimentó un aumento de longitud igual a 1,2 mm = 
0,12 cm. El aumento relativo de longitud es igual al cociente entre 
el aumento absoluto y la longitud de la varilla a 0 o C. Como la 
longitud de ésta era igual a 60 cm, el aumento relativo a de lon- 
gitud, es * : 

0,12 cm 

a = = 0,002. 

60 cm 

Esto nos dice que la varilla aumentó en longitud en dos milé- 
simos de su longitud primitiva. Esta dilatación fué producida por 
una elevación de temperatura de 85° C, pues la temperatura inicial 
era de 15° C y la final de 100° C. 

Se llama coeficiente de dilatación lineal de una substancia al 
cociente entre el aumento relativo de longitud experimentado por 
una varilla de la misma y el aumento de temperatura que lo produjo. 

Llamemos X al coeficiente de dilatación de la varilla del ejemplo 
anterior. Por la definición será: 

0,002 p 1 

X = = 0,000023 

85° C L grado C 

Esto expresa que la varilla experimenta un aumento relativo de 
longitud de 23 millonésimos por grado C. 

* El error que se comete, en el C&90 de loa Bólidos, al dividir por la longitud inicial de 
la varilla, en el ejemplo a 15° C, en lugar de dividir por la longitud a O 9 C ea, aún en lea 
medidas de alta precisión, del todo inapreciable. 




Física Elemental 


201 


198. Fórmula de la dilatación lineal. — Llamemos l 0 a la lon- 
gitud de una varilla a 0°C y a la longitud de la misma cuando 
la temperatura es t°C. El aumento absoluto de longitud es: 

Aumento absoluto = U — lo • 


El aumento relativo a es igual al aumento absoluto dividido por 
la longitud a 0°C: 

lt — 'lo 

a — . 

lo 

La elevación de temperatura que produjo este aumento es t, por 
lo cual A. el coeficiente de dilatación será: 

o lt — lo 

X = — ; A = . 

t l 0 t 


Esta fórmula no es más que la expresión matemática de la defi- 
nición del coeficiente de dilatación lineal ; ella expresa el coeficiente 
medio entre 0 o C y t° C. 

De esa fórmula deducimos: 


lt — lo — A lot i o sea : lt — lo -f~ A lot > 

y sacando lo de factor común: 


lt — lo (1 -j- Ai). 


Ésta es la fórmula de la dilatación lineal. 

En el cuadro siguiente se consignan algunos valores de los coefi- 
cientes medios de dilatación entre 0 o C y 100° C. 


Substancia 

y r 1 1 

Substancia 

x\ 1 1 

L grado C J 

L grado C J 

Aluminio 

I 

0,0000238 

Plata 

0,0000197 

Cobre 

0,0000165 

Oro 

0,0000144 

Hierro 

0,000012 

Platino 

0,0000090 

Acero 

0,0000115 

Iridio 

0,0000065 

Acero “Invar” 

0,0000009 

Vidrio 

0,0000090 





202 


E. Loedel 


199. Dilatación cúbica. — La varilla que estamos considerando 
aumenta no sólo en longitud sino también en ancho y espesor. 

Al aumento relativo de volumen dividido por el aumento de 
temperatura, se le llama coeficiente de dilatación cúbica . 

El coeficiente de dilatación cúbica S es igual al triple del coefi- 
ciente de dilatación lineal A: 

8 = 3 A. 

Demostración. — Consideremos un cubo de arista lo a la tem- 
peratura de 0 o C. Su volumen V 0 será: 

V 0 = /o 3 - 

A la temperatura t la arista es lt y el volumen Vt tal que: 

V t = lt 3 . 

La definición del coeficiente de dilatación cúbica 8 se expresa así : 

Vt — Vo lt 3 — lo 3 

8= ; o sea: 8= . 

V 0 1 lo 3 1 

Teniendo en cuenta la fórmula de la dilatación lineal: 

lt = ¿o ( 1 "l - A t) , 

resulta : 

lo 3 (1 + Ai) 3 — lo 3 (1 + Aí) 3 — 1 

8 = = . 

l 0 a t t 

Desarrollando el cubo del numerador y simplificando obtenemos: 

8= 3 A + 3 A 2 t + A 3 í 2 . 
r 

Como A es siempre muy pequeño los términos en que aparece 
A 2 y A 3 son enteramente despreciables, con lo que: 

8 = 3 A. 

Consecuencias y aplicaciones. — En las vías férreas se dejan 
-espacios libres entre tramo y tramo porque de otro modo se defor- 
marían al dilatarse; uno de los extremos de los puentes metálicos 
descansa sobre rodillos para que se dilate libremente; aprovechando 
esta dilatación se construyen termómetros metálicos; se construyen 



Física Elemental 


203 


también péndulos con varillas de diferente coeficiente de dilatación 
para lograr que su longitud no varíe al variar la temperatura, lo 
que tiene aplicación en los relojes, etc. 

(/' DILATACIÓN DE LÍQUIDOS 

■J 

200. Dilatación aparente y real. — Á1 calentar un recipiente 
con un líquido y observar el cambio de nivel (véase fig. 2, pág. 2) 
lo que produce este cambio es la diferencia entre lo que se dilata 
el líquido y lo que se dilata el recipiente. 

Ésta es la llamada dilatación aparente. Conociendo el coeficiente 
de dilatación cúbica del recipiente puede hallarse su aumento de 
volumen. El aumento real de volumen del líquido es igual a la 
suma de su aumento aparente y el aumento de volumen del recipiente. 


Determinación del coeficiente absoluto de dilatación. — Los 
físicos Dulong y Petit idearon un ingenioso método para medir 
la dilatación absoluta del mercurio. Dos vasos A y B con mercurio 
comunican por medio de un tubo estrecho y horizontal. Uno de los 
vasos está en un recipiente 

i • l r WEM r*' i Ü 

con hielo en fusión, o sea a A | % 

0 o C. El otro envuelto en U , 

una cámara por donde cir- ¿ ||; r “““• 

culan vapores de agua a ' ^ | ||¡ 

100° C (fig. 312). El mer- ^ - | 

curio del vaso B será menos ^ - - - --fer. 

denso que el del vaso A ■tfHjlBHHMHÉ 
aumento de volumen 

que experimenta un cuerpo >•.«. .-> 12 . — M.-to.i., ,k d.iu,m S >■ p.-m. 

al ser calentado origina una 

disminución de la densidad. Llamando h 0 y h a las alturas alcan- 
zadas por el mercurio en A y B, siendo do y d las densidades respec- 
tivas, se tendrá: 

h do 




K¡g. 312. — M ó torio do Dulong y Priri. 


Consideremos una masa M de mercurio que ocupa el volumen 
Vo a 0 o C, y el volumen V a t° C. Es : 

M M 

do = ; d = — ; 

Vo V 



204 


E. Loedel 


de aquí, dividiendo: 

d 0 V 

d V Q 

/ 

Si el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es m se tiene: 

V d 0 

V = V 0 ( 1 + mt ) ; = 1 -f mt = — . 

V 0 d 

Por lo tanto: 

h 

— = 1 + mi - 
h o 

Si i = 100° C, como hemos supuesto: 

1 y h \ h ho 

m = I II; m — . 

100 ' ho ' 100 h 0 

Ejemplo. A 0 = 50 cm; h = 50,9 cm: 

0,9 ‘ r 1 

m = = 0,00018 

100 X 50 L grado C 

que es el coeficiente de dilatación absoluta del mercurio. El aparato 
que se ve en la figura y que sirve para medir diferencias de nivel 
es un catetómetro inventado por los físicos mencionados para efec- 
tuar esta medida. 

Una vez conocido el coeficiente de dilatación absoluta del mer- 
curio, podrá conocerse, midiendo su dilatación aparente, la dilatación 
real que ha experimentado el recipiente que lo contiene. 

Llenando a éste con otro líquido se podrá determinar la dilatación 
absoluta del mismo. El conocimiento del coeficiente de dilatación del 
mercurio tiene gran importancia. Cuando se lee una presión atmos- 
férica y la temperatura es de 15° C, se debe calcular cuál sería la 
altura si la temperatura fuera 0 o C. En esta corrección interviene la 
variación de densidad del mercurio y la dilatación de la escala 
metálica del barómetro. 

201. Dilatación del agua. — El agua se contrae . en lugar de 
dilatarse, cuando se la calienta entre 0 o C y 4 o C. A partir de la 



Física Elemental 


205 



temperatura de 4 o C, su volumen aumenta al aumentar la tempe- 
ratura. La fig. 313 da la variación del volumen en función de la 
temperatura. Según esto el agua adquiere su mayor densidad a la 
temperatura de 4 o C en que el volumen es mínimo. Introduciendo 
agua a 0 o C en un recipiente con dos 
termómetros (fig. 314) se constata que 
al irse calentando el agua, al principio 


Fig. 313. — Dilatación del agua. 


Fig. 314. 


el termómetro de abajo es el que indica temperaturas mayores, pues 
el agua más densa desciende. A partir de 4 o C es al contrario : el 
termómetro de arriba es el que indica mayor temperatura. 

COEFICIENTE DF. DILATACION DE LÍQUIDOS A 10» C 


Alcohol etílico . . . 

0,00110 

Aceite de oliva 

. . 0,00072 

Éter 

etílico 


0,00163 

Petróleo 

. . 0,00092 

Benceno . . . 


0,00124 

Mercurio 

. . 0,00018 




COEFICIENTE DE DILATACIÓN DEL AGUA 


Entre 

0° y 

1°C 

... —0,000059 

Entre 6 o y 7 o C ... 

+ 0.000039 

95 

1° y 

2°C 

... — 0,000041 

„ 7° y 8° C . . . 

+ 0,000053 

99 

2° y 

3°C 

... —0,000024 

„ 10° y 15° C ... 

+ 0,00012 

99 

3° y 

40C 

... — 0,000008 

„ 15° y 20° C ... 

+ 0,00018 

95 

4° y 

5° C 

... + 0,000008 

„ 20« y 250 c ... 

+ 0,00023 

59 

5 o y 

60 C 

... + 0,000024 




L DILATACIÓN DE GASES 

v' 

202. Leyes de Gay - Lussac. — Si se calienta un gas en la for- 
ma que muestra la figura 315 la presión se mantiene constante. 
Las variaciones de volumen se aprecian por el corrimiento del índice 
de mercurio colocado en el tubo horizontal que está abierto en su 
extremo. Gay - Lussac comprobó experimentalmente que el coeficiente 
de dilatación de los gases que se dilatan a presión constante es igual 
para todos ellos. A este coeficiente se le designa con la letra ar, y 
se ha encontrado que para el aire, oxígeno, hidrógeno, etc. (cual- 
quier gas) su valor es: 



206 


E. Loedel 



ar= = 0,00367 . 

273° C L grado C -* 

Esto quiere decir que si tenemos un litro de aire a 0 o C y a la 
presión de una atmósfera, a la temperatura de I o C tendremos: 


273° C 


Dilatación a volumen 
constante. — Con el aparato 
de la fig. 316, puede calen- 
tarse un gas manteniendo su 
volumen constante. Para eso 
debe elevarse el tubo T que 
contiene mercurio. El índice 
/, que debe estar en contacto 
con la superficie del mercurio del otro tubo, 
asegura la constancia del volumen del gas. Lo 
que se dilata el recipiente de vidrio, representa 
un insignificante aumento de volumen, que sólo se tiene en cuenta 
en medidas de precisión. 

Cuando la temperatura es igual a 0 o C, supongamos que la pre- 
sión es igual a una atmósfera. Se observa que a 1°C la presión es: 


Fig. 315. — Dilatación 
a presión constante. 


316. — Dilatación 
volumen constante 


1 atmósfera -J- 


atmósfera 


273 



Física Elemental 


207 


a 2 o C: 


1 

1 atmósfera -f- 2 X — — atmósfera; 

273 


y a 273° C: 

1 atmósfera + 273 X 


1 


273 


atmósfera = 2 atmósferas. 


Al coeficiente que mide el aumento de presión se le designa con 
la letra /?. Resulta entonces: 


1 

a = (3 = 

273 


grado C 


' Leyes de Gay-Lussac. — I a : Todos los gases tienen el mismo 
' ;// coeficiente de dilatación a presión constante (a). 

2 a : Todos los gases tienen el mismo coeficiente de dilatación a 
volumen constante (¡3). 

3*: El coeficiente de dilatación a presión constante es igual al 
coeficiente de dilatación a volumen constante (a = ¡3 = 1/273). 

En cuanto a los coe- 
ficientes se definen así : 

Se llama coeficiente 
de dilatación a presión 
constante, al cociente en- 
tre el aumento relativo 
de volumen y el aumen- 
to de temperatura, per- 
maneciendo constante la 
presión (a). 

Se llama coeficiente 
de dilatación a volumen 
constante, al cociente en- 
tre el aumento relativo 
de presión y el aumento 
de temperatura permaneciendo constante el volumen (/?) . 

La igualdad de los coeficientes a y f3 es consecuencia de la ley 
de Boyle y Mariotte como se comprende si se interpreta la fig. 317. 
En ella se supone que se tiene inicialmente en un cilindro con un 
émbolo un litro de gas a 0 o C y a la presión de una atmósfera. 



Pifdfacídn a ( ola raen 


< yttMitíuíe h fix yZr? 

ü Swí ni ÜBB jááQz&iés. asEflN 




Fig. 317. 



208 


E. Loedel 


Como a = 1/273, calentando el gas a presión constante hasta alcan- 
zar la temperatura de 273° C, se tendrán 2 litros a la presión de 
una atmósfera. Si suponemos ahora que comprimimos el gas a 
temperatura constante tendremos 1 litro a la presión de 2 atmós- 
feras y a la temperatura de 273° C. 

» 

203. Fórmulas de la dilatación de los gases. — Sea Vq el volu- 
men de un gas a 0 o C ; si la temperatura se hace igual a t° C, el 
volumen será V t, suponiendo constante la presión. Por la definición 
de a se tiene: 

Vt-V o 

a = ; de donde: Vt=Vo(l-\-at). 

Fot A presión constante = Pq 

Análogamente, si llamamos P 0 a la presión a 0 o C y Pt a la 
presión a /°C se tendrá por ser a = (3: 

P t = P o (1 “1” í) • 

A volumen constante = F 0 * 

204. Fórmula general de los gases. — Partamos de la última 
fórmula establecida. Tenemos: 

A la temperatura t : el volumen F 0 a la presión Pt. 

A la temperatura t: hagamos el volumen V ; la presión será P. 

Como la temperatura no ha variado valdrá la ley de Boyle y 
Mariotte : 

PV = P t V o. 

y reemplazando el valor de Pt'. 

PV = P oVo(l + at). 

En esta fórmula están contenidas las leyes de Gay-Lussac y la 
ley de Boyle y Mariotte. J j 

205. Termómetro a gas. — Los aparatos de las figuras 315 y 
316 representan termómetros de gas. La temperatura medida con un 
termómetro de gas coincide con las indicaciones de un termómetro 
de mercurio, sólo en los puntos fijos de la escala: 0 o C y 100° C. 
Para otras temperaturas las indicaciones de ambos termómetros di- 
fieren, aunque estas diferencias son en general pequeñas. Así por 
•ejemplo, un termómetro de mercurio de vidrio de Jena indica 



Física Elemental 


209 


^-30,28° C cuando un termómetro de gas indica — 30° C ; para 
250° C del termómetro de gas, el de mercurio indica 251,1° C. 

Un termómetro de gas con recipiente de cuarzo puede servir para 
medir temperaturas hasta de 1100° C y si el recipiente es de iridio 
puede llegarse hasta los 2000° C. 

/ 

2061 Gas perfecto. Temperatura absoluta. — Ningún gas real 
cumple con exactitud las leyes de Gay - Lussac y Boyle y Mariotte. 
En otras palabras: las indicaciones de un termómetro de hidrógeno 
no coinciden exactamente con las de otro termómetro de aire o nitró- 
geno, etc., aunque las diferencias son muy pequeñas. 

Se llama gas perfecto o ideal, aquél que cumple con exactitud 
las leyes de Gay - Lussac y Boyle y Mariotte. 

Los apartamientos de los gases reales a estas leyes, dan el modo 
de comportarse de los mismos. Las fórmulas que hemos establecido 
se refieren entonces a un gas perfecto. 

En la figura 318 se indica la variación del volumen con la 
temperatura y en la figura 319 la variación de la presión. Se ve 
en los gráficos que si la temperatura se hace igual a 273° C bajo 
cero el volumen o la presión se anulan. Si en las fórmulas: 

U f = F 0 (l + aí); Pt^Pod + at) 
se hace t = — 273° C, resulta en efecto, Vt = 0 y Pt — 0. 



Figa. 318 y 319. — Representación del volumen y la presión de nn gas perfecto 
en función de la temperatura. 


Esta temperatura de — 273° C se llama cero absoluto : 

Cero absoluto = — 273° C. 

La temperatura absoluta es la que se cuenta a partir del cero 
absoluto. Es igual a la temperatura centígrada más 273° C. 

Temperatura absoluta = temperatura centígrada -f- 273° C. 

T = t + 273° C. 



210 


E. Loedel 


Diremos así que el hielo funde a 273° absolutos y que el agua 
hierve a 373° absolutos a la presión normal. 

Introduzcamos en las fórmulas de los gases la temperatura abso- 
luta. La temperatura centígrada t que figura en aquéllas es: 

t = T — 273° C; 

luego: 

1 

l + aí =l_| (T — 273) = l + aT — l = aT. 

273 

Aquellas fórmulas se reducen a las siguientes: 

Vt = V 0 a T Pt — P 0 a T 

A presión constante A volumen constante 

PV = P 0 V 0 a T. 

Pueden enunciarse las leyes de Gay - Lussac diciendo que pre- 
sión y volumen son proporcionales a la temperatura absoluta. 

* 207. Ecuación general de estado de los gases. — Un litro de 
oxígeno pesa 16 veces más que un litro de hidrógeno en igualdad 
de condiciones de temperatura y presión. Ello se debe a que la 
molécula de oxígeno es 16 veces más pesada que la de hidrógeno, 
pues de acuerdo al principio establecido por Avogadro, volúmenes 
iguales de dos gases, a la misma temperatura y presión, tienen igual 
número de moléculas. 

Si en un litro de oxígeno hubieran 1000 moléculas, en un litro 
de hidrógeno habrían también 1000 moléculas. Al peso molecular 
del oxígeno se le atribuye el número 32, por lo cual el peso mole- 
cular del hidrógeno será igual a 2. 

En 32 gramos de oxígeno habrá un número de moléculas igual 
al número de moléculas contenidas en 2 gramos de hidrógeno. 

32 gramos de 0¡ ocupan a 0 o C y 760 mm de presión un volumen 
de 22,412 litros. 

2 gramos de H¡ a 0 o C y 760 mm de presión ocuparán también 
el mismo volumen. 

Al peso molecular de una substancia expresado en gramos se 
le llama molécula - gramo o Mol. 

La molécula gramo de cualquier substancia al estado de gas 
ocupa a 0 o C y 760 mm de presión el volumen de 22,412 litros. 

Volumen de 1 Mol gaseoso = 22,412 litros a 0 o C y 760 mm. 



Física Elemental 


211 


Veamos la expresión de la fórmula general de los gases aplicada 
a 1 Mol. Midamos la presión en atmósferas y el volumen en litros: 

P 0 = l; V o — 22,412. 

1 p litro X atm. 

P 0 V 0 a = 1 X 22,412 X = 0,082 

273 L grado C 

Esta constante es universal , es decir igual para todos los gases. 
Se la designa con la letra R. La ecuáción de los gases será: 

PV = RT. 

Esta ecuación está referida a 1 Mol, o sea a 2 gramos de hidró- 
geno, 32 de oxígeno, etc. 

Si en lugar de 32 gramos de oxígeno tuviéramos 64, a igualdad 
de presión y temperatura el volumen sería doble y debiéramos 
multiplicar a R por 2. En general, si nos referimos a n moles la 
ecuación será: 

PV = nRT. 

Ecuación general de estado de los gases ideales. 

El valor de n se halla dividiendo la masa del gas por el peso 
molecular del mismo. 

* Caso de mezcla de gases. — ¿Qué peso molecular tomaríamos 
para el aire? Muy simple: 1 litro de aire pesa 1,293 gramos; 22,412 
litros pesan: 

22,412 X 1,293 = 28,98 gramos. 

El aire se comporta entonces como un gas cuyo peso molecular 
fuera igual a 28,98, aproximadamente 29. De igual modo se procede 
para una mezcla cualquiera de gases de densidad conocida. 

El peso molecular atribuíble a la mezcla es igual al número que 
resulta de multiplicar el peso de un litro de la misma expresado en 
gramos, por 22,412. 



SOLUCIONES Y GASES 

208. Presión osmótica. — Si se disuelve un terrón de azúcar en 
agua, se observa que el azúcar disuelto tiende a ocupar el mayor 
espacio posible. Si se agrega agua, aumentando el volumen de la 
solución, las moléculas de azúcar ocuparán ahora un volumen ma- 



212 


E. Loedel 


yor. Esta expansibilidad de los cuerpos disueltos recuerda la pro- 
piedad análoga de los gases. Esta tendencia de las soluciones a 
diluirse, es producida por la llamada presión osmótica, de igual 
modo que un gas se expande si su presión es mayor que la presión 
exterior. 

La existencia de la presión osmótica se revela con el aparato de 
Dutrochet. El vaso con la solución se introduce en agua pura (fig. 
320). La parte inferior del vaso está cerrada por una membrana 
que puede ser pergamino, un trozo de vejiga, etc. Se 
observa entonces que el nivel del líquido sube en el 
tubo vertical hasta cierta altura, revelando que el agua 
pura atraviesa la membrana más ligero de lo que lo hace 
la solución. Al cabo de cierto tiempo el agua del vaso 
exterior se va azucarando y cuando la concentración 
en ambos vasos sea la misma se igualan nuevamente 
los niveles. Para medir la presión osmótica es nece- 
sario que la membrana m sea semipermeable : que deje 
pasar a las moléculas de agua y no a las de azúcar. 
Membranas semipermeables se obtienen de muchos mo- 
dos, y desempeñan un papel muy importante en fenó- 
menos biológicos. Uno de los procedimientos para obte- 
ner una membrana semipermeable es llenar un vaso 
de tierra porosa con una solución de sulfato de cobre, 
e introducirlo en otro vaso que contenga una solución 
de ferrocianuro de potasio. En los poros del vaso se 
forma un precipitado gelatinoso de ferrocianuro de cobre que cons- 
tituye la membrana semipermeable. 

Admitiendo que la membrana m es semipermeable la presión 
hidrostática de la columna h de solución, es igual a la presión que 
debiera haberse ejercido sobre la superficie de la misma para im- 
pedir la entrada del agua, es decir para impedir una mayor dilución. 
Esa presión es la presión osmótica. 

* Ley de van’t Hoff. — La presión osmótica de una solución 
diluida es igual a la presión que tendría una masa gaseosa igual a 
la masa de la substancia disuelta, que ocupara el volumen de la 
solución. El peso molecular del gas debe considerarse igual al peso 
molecular de la substancia disuelta. 

Ejemplo. — En un litro de solución se tienen disueltos 34,2 gra- 
mos de azúcar. La temperatura es igual a 27° C = 300° absolutos. 


porosa m 




Física Elemental 


213 


El peso molecular del azúcar es igual a 342 (Sacarosa C 12 H 22 
Oh) . La presión se calcula por la fórmula: 

PV = nRT; 

F = 1 litro; R = 0,082; T = 300; n = 0,1, 

34,2 

es decir, un décimo de molécula - gramo: = 0,1: 

342 

P = 0,1 X 0,082 X 300 = 2,46 atmósferas; 


o sea : t 

P = 2,46 X76 = 187 cm de mercurio. 


Experimentalmente se comprueban estos resultados con un dis- 
positivo como el de la figura 321. 


* Soluciones electrolíticas. — Si se di- 
suelve cloruro de sodio, sulfato de cobre, 
etc., en agua, la presión osmótica es siempre 
mayor que la calculada por la ley de van’t 
Hoff. Estas soluciones son buenas conducto- 
ras de la- electricidad. Se explica este com- 
portamiento admitiendo que parte de las mo- 
léculas se disocian. Entonces el factor n de 
la fórmula es mayor de lo que valdría si 
la molécula no se dividiera. Si todas las 
moléculas se disocian en dos partes hay que 
tomar un valor doble para n. 



PROBLEMAS 


Fig. 321. — Osmómetro. 


- 1. Hallar la temperatura Fahrenheit correspondiente a 37°C = C. 

F = 32 + 9/5 C = 98,6° F. 

2. Admitiendo que en el año la temperatura llega a variar en 
50° C , calcular la variación en longitud de una vía férrea de 
100 Km. 

A l = 0,000012 X 100 X 50 = 0,06 Km = 60 m. 

3. Con una regla de latón (A = 0,000019) perfectamente dividida 
en milímetros a 0 o C, se mide una longitud, arrojando esa me - 


214 


E. Loedel 


dida 770 mm estando la regla a 20° C. ¿Cuánto vale la lon- 
gitud medida? 

Como la regla se ha dilatado, entre división y división hay 
una distancia mayor de 1 mm. La distancia entre dos divisiones 
consecutivas es a 20° C : 

1 + 0,000019 X 20 = 1,00038. 

La longitud medida será: 

770 X 1,00038 = 770,3 mm. 

4. La medida anterior era la de una columna barométrica. ¿Cuánto 
indicaría el barómetro si su temperatura fuera de 0 o C en lugar 
de 20° C? 

Como las alturas están en razón inversa de las densidades: 

H 0 d V 0 1 770,3 

= — = — = ; Hq = =767,6 mm. 

770,3 d 0 V 1 + mt 1,0036 

5. ¿Cuál es la fórmula que permite hallar la altura barométrica 
a 0 o C, Ho, siendo H la altura leída a la temperatura t con una 
regla de coeficiente de dilatación \? 

De los problemas anteriores surge: 

1 + Aí 

H 0 = H . 

1 + mf 

6. Un gas ocupa un volumen de 50 cm 3 a la presión de 740 mm 
de mercurio y a la temperatura de 20° C. Hallar su volumen 
a 760 mm y a 0 o C. 

De la fórmula: PV = PoVo (l-\-at) deducimos: 

PV 740 X 50 

V 0 = = = 45,37 cm 8 . 

P 0 (l + «í) 760 (1 + 20 a) 

7. 3y2 gramos de oxígeno ocupan el volumen de 1 litro a la tem- 
peratura de 27° C. Hallar la presión. 

3 2 

P = — X 0,082 X 300 = 2,46 atm. 


32 



Física Elemental 


215 


8. Hallar la presión de dos gramos de hidrógeno que ocupan un 
volumen de 0,5 litros siendo la temperatura absoluta igual 
a 100 °. 

0,082 X 100 

P X 0,5 = 0,082 X 100 ; P = = 16,4 atm. 

0,5 


9. La presión del aire de un neumático de auto es de 45 libras 
por pulgada cuadrada a la temperatura de 27 0 C. Con el rodar 
del mismo la temperatura se eleva a 77° C. Hallar la presión. 
Las temperaturas absolutas son: 


273 + 27 = 300 ; 273 + 77 = 350. 

Considerando el volumen constante, por ser las presiones 
proporcionales a las temperaturas absolutas, se tendrá siendo 
p la presión buscada: 

p 350 i- libras 

— = ; p — 52,5 ■ 

45 300 Lp U lgada 2 



Como la presión atmosférica es aproximadamente igual a 
15 libras por pulgada cuadrada, las sobrepresiones, que es lo 
que se mide habitualmente, serían de 30 y 37,5 libras por pul- 
gada cuadrada. 

10. Se tiene 1 litro de aire a la temperatura de 273° C (=546° 
abs.). Hallar el aumento que experimentará el volumen al 
aumentar la temperatura en I o C permaneciendo constante la 

presión. 

Como los volúmenes son proporcionales a las temperaturas 
absolutas, el volumen del gas a 547° absolutos será: 

547 / 1 

V = 1 litro X — 1 litro X ( 1 H 

546 \ 546 

El aumento de volumen ha sido: 

1 

A V = litro. 

546 

Esto muestra que es incorrecto decir, como suele hacerse 
impropiamente, que “e/ coeficiente de dilatación es el aumento 
de volumen que experimenta la unidad de volumen, cuando la 
temperatura aumenta I o C” . 




CAPÍTULO XV 


CALORIMETRIA 

209. Cantidad de calor y temperatura. — Para hacer hervir un 
litro de agua no se gasta la misma cantidad de carbón que para 
hacer hervir 100 litros. En el segundo caso se dice que se ha em- 
pleado una cantidad de calor mayor que en el primero. 

La unidad de cantidad de calor es la caloría, igual a la cantidad 
de calor necesaria para elevar en I o C la temperatura de 1 gramo 
de agua. 

La Kilocaloría equivale a 1000 calorías ya que ella se define 
como la cantidad de calor necesaria para elevar en I o C la tem- 
peratura de un kilogramo de agua. 

Ejemplo. — Se tienen 250 gramos de agua 
a la temperatura de 15° C. Si se calienta esa 
cantidad de agua hasta que alcance la tem- 
peratura de 35° C se habrá empleado en el 
proceso de calentamiento una cantidad de 
calor igual a 250 X 20 = 5000 calorías = 5 
Kilocalorías, pues 35° C — 15° C = 20° C. 

En efecto: 

Al calentar 1 g de agua en I o C se em- 
, no . plea 1 cal. 

calorímetro. Al calentar 250 g de agua en 20° C se 

emplea 250 X 20 = 5000 cal. 

Cuando un cuerpo se enfría se dice que pierde calor. Si en el 
ejemplo anterior el agua hubiera pasado de la temperatura de 35° C 
a la temperatura de 15° C, habría “ perdido ” o mejor cedido a los 
cuerpos que la rodean 5000 calorías. 

210. Capacidad calorífica y calor específico. — La figura 322 
representa un vaso de latón que contiene agua y un termómetro T 
que mide su temperatura. 

Para fijar ideas supondremos tener 250 gramos de agua a la 
temperatura ambiente que en el momento de la experiencia es de 




Física Elemental 


21? 


15° C. Tomemos una pesa de hierro de 500 gramos y dejémosla 
unos minutos en el interior de una caldera que tiene agua hirviendo. 

La pesa de hierro adquirirá la temperatura del agua en ebulli- 
ción o sea 100° C. Llevemos ahora esta pesa caliente al vaso que 
contiene el termómetro y el agua a 15° C, vaso al cual llamaremos 
en adelante calorímetro. 

¿Qué ocurrirá? Se observa que no bien introducimos la pesa 
caliente, el termómetro comienza a subir. Claro, el agua del calorí- 
metro se calienta y la pesa se enfría hasta que ambos adquieran 
igual temperatura. Esta temperatura final supondremos que resulta 
ser igual a 30° C. ¿Qué cantidad de calor ganó el agua al pasar de 
15° C a 30° C? Sencillamente: 

250 (30 — 15) = 3750 calorías. 

Es lógico suponer que este calor ha sido tomado de la pesa de 
hierro cuya temperatura inicial era de 100° C y su temperatura final 
30° C. Admitiremos pues, que la pesa de hierro perdió al enfriarse 
una cantidad de calor igual a la ganada por el agua: 3750 calorías. 

Se llama capacidad calorífica K de un cuerpo al cociente entre 
la cantidad de calor Q que gana o pierde y el aumento o disminución 
de temperatura A t correspondiente. En el caso del ejemplo: 

Calor perdido = Q = 3750 caloría. 

Disminución de temp. = A t= 100° C — 30° C = 70 grado C. 

Q 3750 caloría 

Cap. calorífica = K = = . 

A t 70 grado C 

Efectuando la división: 



Esto nos dice que la pesa de hierro pierde 53,6 calorías al en- 
friarse en I o C o que gana 53,6 calorías al calentarse en I o C. 

Se llama calor específico de una substancia al cociente entre la 
capacidad calorífica de una porción de la misma y la masa de dicha 
porción. El calor específico c del hierro sería, teniendo en cuenta 
que la masa de la pesa utilizada era de 500 gramos: 

K 53,6 caloría/grado C 

c = — = — ; 

m 500 gramos 


213 


£. Loedel 


o sea: 

[ caloría -i 

I. 

gramo X grado C -I 

Esto significa que 1 gramo de hierro al enfriarse en I o C pierde 
0,107 calorías; o que al calentarse en I o C gana 0,107 calorías. 


Fórmula de la cantidad de calor. — Siendo, por la definición 
de capacidad calorífica: 


K = Q/At, resulta: Q = KAt. 


Por la definición de calor específico: 


c = K/m ; de donde: K = me. 

Llevando este valor de K a la fórmula que da el valor de Q 
obtenemos : 

Q = mcAt. 


/] La cantidad de calor que gana o pierde un cuerpo es igual al 
, producto de su masa por el calor específico de la substancia de que 
I está hecho y por el aumento o disminución de temperatura*. 

Cada substancia tiene un calor específico característico. Si hubié- 
ramos operado con una pesa de plomo de 500 gramos el agua del 
v calorímetro se habría calentado sólo en 5 o C. El calor absorbido 
por el agua del calorímetro habría sido: 


250 X 5 = 1250 calorías, 


pues la temperatura inicial era igual a 15° C y la final 20° C. La 
pesa pasó en cambio de la temperatura de 100° C a la temperatura 
de 20° C enfriándose en 80° C. Por lo tanto el calor específico del 
plomo será: 

Q 1250 caloría 

c = = ; ; 

mAt '...500 gramo X 80 grado C 


o sea: 

[ caloría -i 

. 

gramo X grado C J 

* Al alumno le bastará con recordar esta fórmala ya que en ella está implícitamente defi- 
nido el calor especifico. 



Física Elemental 


219 


Esto nos dice que bastan 3 centésimos de caloría para elevar en 
I o C la temperatura de 1 gramo de plomo. 

En cuanto al agua, su calor específico es igual a la unidad, de 
acuerdo a la definición de caloría. 

211. Precauciones en las medidas. — El calorímetro conviene 
que esté aislado para que no pierda calor por radiación. Se le 
apoya para ello sobre cuñas de corcho colocándosele 
en el interior de otro vaso (fig. 323). Una tapa gruesa 
de madera está perforada para colocar allí el termó- 
metro. Conviene además agitar el agua para unifor- 
mar la temperatura y con ese objeto se emplea un 
alambre que pasa por la tapa y que recibe el nom- 
bre de agitador. 

En los cálculos hay que tomar en cuenta además 
el calor absorbido por las paredes del calorímetro 
para lo cual debe conocerse de antemano el calor 
específico de la substancia de que aquéllas están 
hechas. El método que hemos explicado para la de- 
terminación del calor específico se conoce con el 
nombre de 'método de las mezclas. 

212. Fórmulas. — Sea m la masa del agua del calorímetro, t 
su temperatura inicial y T la final. La cantidad de calor ganada 
por el agua es: 

Qa = m (T — t), 

pues el calor específico del agua vale 1 cal/gramo X grado C. 

Llamemos /i a la masa del calorímetro, cuyo calor específico lo 
supondremos igual a c. El calorímetro pasa también, lo mismo que 
el agua, de la temperatura t a la T . El calor absorbido por la 
masa u será: 

Q c = iic (T — í)< 

El cuerpo de masa M se enfría de la temperatura inicial, t que 
en los ejemplos era de 100° C, hasta la temperatura final T. Siendo 
su calor específico C, el calor perdido por el cuerpo será: 

Q P = MC (t — T). 

Se supone que debe ser el calor perdido por el cuerpo igual al 
ganado por el agua y el calorímetro: 

Qp Qa~\~ Qci 



Fig. 323. — Calo- 
rimetro. 



220 


E. Loedel 


reemplazando y sacando en el segundo miembro a ( T — t ) como 
factor común resulta: 

MC(t — T) = (m + /ic) ( T — t ); 

de donde: 

(m + /ic) (T — t) 

C = . 

M (r — T) 

Apliquemos esta fórmula a los ejemplos anteriores sabiendo que 
el vaso calorimétrico es de latón, calor específico = 0,09, y de masa 
igual a 100 gramos: 

¡xc = 100 X 0,09 = 9. 

Todo pasa como si la masa de agua fuera de 259 gramos en 
lugar de 250. 

Diremos que el calorímetro incluyendo el agua, tiene una masa 
equivalente en agua de 259 gramos. He aquí en cuánto influye el 
no tomar en cuenta el calorímetro: 


Para el hierro 


Para el plomó 


í Sin corrección C = 0,107 
| Con corrección C = 0,111 

í Sin corrección C = 0,0312 * 
| Con corrección C = 0,0323 


213. Calor específico de líquidos. — Se coloca en el caloríme- 
tro el líquido a investigar introduciendo en él un cuerpo de calor 
específico conocido. Teniendo las demás letras el mismo significado 
que en el párrafo anterior resulta: 

MC (t — T ) = mx ( T — t) -f- ¡xc ( T — t ) ; 

de donde: 

MC ( t—T)—¡xc (T — t) 

x -- . 

m (T — t) 

214. Variación del calor específico con la temperatura. — 
v Experimentalmente se ha encontrado que el calor específico de los 

cuerpos varía al variar la temperatura. En general aumenta al aumen- 
tar ésta, variando en otros casos en forma irregular como pasa en 


* En el caso del plomo el valor real del calor especifico es el calculado sin efectuar la 
corrección, pues la temperatura final era 19^,8 C y tomamos 20° C para emplear números enteros. 



Física Elemental 


221 


el agua. En nuestra definición de caloría habíamos supuesto implí- 
citamente la constancia del calor específico del agua. Como eso no 
es así, se define la llamada caloría de 15 que es la cantidad de } 
calor necesaria para hacer pasar un gramo de agua de la tempe- 
ratura de 14,5° C a la temperatura de 15,5° C. 

También se emplea la caloría media, igual a la centésima parte 
del calor necesario para calentar 1 gramo de agua de 0 o C a 100° C. 
He aquí una tabla con los calores específicos del agua a diferentes 
temperaturas expresados en calorías de 15 sobre gramos X grados C. 


0 ° 

1,008 

150 

1,0000 

300 

0,9979 

50 ° 

0,9996 

10 ° 

1,0013 

20 ° 

0,999 

40 ° 

0,9982 

60 ° 

1,0017 


Se ve que las variaciones son muy pequeñas, y se toman en cuenta 
sólo en las medidas de gran precisión. 


215. Calor específico de gases. — Si se calienta un gramo de 
aire en un grado centígrado mantenien- 
do constante la presión, o sea dejando 
que aumente el volumen, se gastan 

0,2375 calorías. 

Este valor (dividido por un gramo 
y un grado centígrado) es el calor espe- 
cífico del aire a presión constante. En F¡ g . 324. — Determinación de Cp . 
cambio, si se eleva en un grado centí- 
grado la temperatura de un gramo de aire, manteniendo constante 
el volumen, se gastan 

0,1690 calorías, 

que por gramo y por grado C, es el valor del calor específico del 
aire a volumen constante. 

( c p = 0,2375 c p 

Aire j c„ — c* = 0,0685 — =1,4. 

\ c v = 0,1690 Cp 

Siempre, en todos los gases, el calor específico a presión cons- 
tante es mayor que el calor específico a volumen constante. 

El calor específico a presión constante se determina haciendo 
pasar una corriente de gas por un serpentín colocado en el interior 
de un calorímetro. El gas se calienta previamente haciéndolo pasar 
por otro serpentín sumergido en un baño (fig. 324). 




222 


E. Loedel 


Existen además procedimientos que permiten hallar el cociente 
entre el calor específico a presión constante y el calor específico 
a volumen constante. 


CALORÍAS 

CALORES ESPECÍFICOS A 18* C EXPRESADOS EN 

CHAMO X GRADO C 


Sólidos 

Líquidos 

Gases 

cp 

Cp 

Cv 

Aluminio 

. 0,214 

Alcohol etíl. . . . 

0,58 

Aire 

0,2375 

1,40 

Hierro 

. 0,111 

Benceno 

0,41 

Oxígeno . • - 

0,218 

1,40 

Cobre 

0,091 

Aceite de oliva 0,47 

Nitrógeno . 

0,249 

1,40 

Latón 

. 0,093 

Petróleo 

0,51 

Hidrógeno . 

3,41 

1,41 

Vidrio 

. 0,19 

Mercurio 

0,0333 

Helio 

1,25 

1,66 

Plomo 

. 0,031 

Agua 

0,999 

C0 2 

0,202 

1,30 


CALOR Y TRABAJO 

216. Equivalente mecánico del calor. — Constituye un hecho 
de la experiencia diaria que dos cuerpos que se frotan se calientan. 
Primitivamente se aprovechaba este efecto para encender fuego, 

frotando dos maderas secas. Si se 
hace girar un tubo de metal con 
éter entre dos piezas de madera 
(fig. 325) se observa que debido 
al roce el tubo se calienta hasta 
producir la vaporización del éter 
que hace saltar el tapón del tubo. 
Se ha realizado un trabajo, al fro- 
tar el tubo, y se ha obtenido 
cierta cantidad de calor. Parece que el trabajo realizado se ha trans- 
formado en calor. Luego, al saltar el tapón por haberse calentado 
el éter, parece que parte del calor se transformara en trabajo. ¿Será 
efectivamente así? La prueba de que esa transformación asombrosa 
de algo ( trabajo ) en otro algo (calor) en apariencia completamente 
distinto, ocurre en realidad, se puede obtener únicamente por medi- 
das cuantitativas. Se ha encontrado en efecto, que al producir calor 
por procedimientos mecánicos, cualesquiera sean ellos, se obtiene 





Física Elemental 


223 


siempre una kilocaloría por cada 427 kilográmetros de trabajo 
empleado. Podemos establecer entonces esta igualdad: 

1 Kilo - caloría = 427 Kgmts. 

Esta igualdad es el puente que vincula dos grandes ramas de la 
física: mecánica y calor. > 


217. Experimento de Joule. — Los experimentos llevados a cabo 
por Joule, a mediados del siglo pasado (de 1845 a 1850), para la 



medida del equivalente mecánico del calor, 
consistían esencialmente en lo siguiente. En 
el interior de un calorímetro (fig. 327) gi- 
raban unas aletas accionadas por unos pesos 
que caían en la forma que se ve en la figura. 
Las pesas caen con lentitud debido justamen- 
te al roce de las paletas móviles con el líquido. 
El trabajo de caída de las pesas es fácilmente 
medible, así como también la cantidad de 
calor que se produce. 

Ejemplo. — Las dos pesas que caen pesan 
en conjunto 17 Kgr. La altura de caída es 


James Prescott Joule 
(1818 - 1899). 


igual a 5m. El trabajo realizado es: 17 X 5 = 
85 kilográmetros. Se repite esta operación 10 


veces, elevando las pesas con la manivela que se ve en la figura. 
Cuando se efectúa esta operación se desconectan las paletas del 
cilindro, para que no giren. El trabajo total es entonces igual a 850 
Kgmts. Este trabajo produce en el calo- 
rímetro 2000 calorías, o 2 Kilocalorías. 

Es decir, que si el calorímetro tiene 
una capacidad calorífica igual a la de 
1 Kg de agua, la temperatura se ele- 
vará en 2 o C. Este experimento arro- 
jaría para el equivalente mecánico de 
la Kilocaloría el valor: 

850 Kgmts 

/ = = 425 . 



2 Kilocaloría 


Fig. 327. — Experimento de Joule. 


El promedio de muchas medidas arroja el valor que hemos men- 
cionado en el párrafo anterior. Hallemos ahora el equivalente caló- 
rico de un trabajo igual a un julio. 


224 


E. Loedel 


Como un Kgmt es igual a 9,8 julios se tiene: 

427 X 9,8 julios equivalen a 1000 calorías, de donde: 

1000 • caloría 

E = = 0,24 . 

427 X 9,8 julio 

* 218. Método de Roberto Mayer. — Hemos visto que el calor 
específico de un gas a presión constante es mayor que su calor 
específico a volumen constante. Se necesita más calor para calentar 
un gas a presión constante pues, cuando esto ocurre, aumenta el 
volumen del gas y se realiza en consecuencia un 

trabajo. 

Supongamos que tenemos en un recipiente un 
gramo de aire a 0 o C y a la presión de una atmós- 
fera (fig. 328). Elevamos la temperatura a 1°C 
manteniendo constante la presión. El émbolo subi- 
rá y se efectuará un trabajo. Calculemos primero 
cuanto vale este trabajo. 

Sabemos que 1000 cm 3 de aire tienen una masa 
de 1,293 gramos. En un gramo habrán: 

1000 

cm 3 , 

1,293 

a la temperatura de 0 o C. Elevando la temperatura en I o C, el aumen- 
to de volumen será: 

1000 1 

X cm 3 . 

1,293 273 

Supongamos que la sección del émbolo sea igual a 1 cm 2 . La 
altura H a que debe subir el émbolo será: 

1000 1 10 

X cm = m. 

1,293 273 1,293 X 273 

Este émbolo de 1 cm 2 de superficie sometido a la presión de una 
-atmósfera soporta una fuerza de 1,033 Kgr. El trabajo es entonces: 

1,033 X 10 

T = Kgmts. 

1,293 X 273 



Fie. 328. 



Física Elemental 


225 


¿De dónde ha salido este trabajo? Si hubiéramos calentado el 
gas a volumen constante el calor empleado habría sido igual a: 

0,1690 calorías. 

Calentándolo a presión constante se gastan 0,2375 calorías, de 
acuerdo a los datos del párrafo 215. La diferencia 

0,2375 — 0,1690 = 0,0685 calorías, 

es el calor convertido en trabajo. 

Entonces : 

0,0685 calorías equivalen a T Kgmts, 

T 

1 caloría equivale a — Kgmts 

0,0685 

y una Kilocaloría 1000 veces más. Reemplazando 

1033 X 10 

1 Kilocaloría = = 427 Kgmts. 

1,293 X 273 X 0,0685 

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 

219. Noticia histórica. — Si un prestidigitador “ transforma ” 
ante nuestros ojos agua en leche, pensamos en seguida en un vaso 
de doble fondo o en cualquier otro ardid. En 
situación análoga pensaban encontrarse ante la 
naturaleza los físicos de antaño. No ignora- 
ban el hecho de que dos cuerpos que se frotan 
se calientan, pero pensaban que la frotación, 
lo único que hacía, era poner en libertad el 
“ fluido calórico ” que se encontraba oculto en- 
tre las moléculas del cuerpo. El calor, para 
ellos, era un fluido sin peso, imponderable. 

Consideraban entonces que su creación era im- 
posible, tan imposible como consideramos nos- 
otros que lo es, el producir una lluvia de mo- 
nedas de oro con sólo frotar las manos. De 
aquí, que el trabajo del médico alemán Rober- Roberto Mayor (I8i4-i878). 
to Mayer, publicado en 1842, donde asegu- 
raba que el trabajo se transformaba en calor, no fuera compren- 
dido por los físicos de aquella época. No sólo no comprendieron el 
alcance del trabajo de Mayer, sino que, hasta se mofaron de él. 




226 


E . Loedel 


Estas burlas desesperaron a Mayer, al punto de que intentó suici- 
darse. Salvado de ese intento hubo de ser recluido en un manicomio 
por dos años. 

Esta historia rigurosamente auténtica es sumamente instructiva. 
No seamos tampoco muy severos al juzgar a los físicos contemporá- 
neos del médico de Heilbronn. Éste era un simple aficionado a la 
física, por lo cual no es de extrañarse que los físicos lo juzgaran 
como juzgamos nosotros al chico ingenuo, que en el teatro, , cree 
realmente en la creación de conejos por acción de la varita mágica. 

Cuando, otro simple aficionado a la física, el cervecero inglés 
James Prescott Joule, probó -experimentalmente que frotando un 
líquido se producía siempre la misma cantidad de calor con el mis- 
mo trabajo, los físicos que creían en el fluido calórico deben haber 
experimentado una conmoción intensa. Pensemos, en efecto, que 
en el calorímetro podemos poner agua, mercurio, alcohol, etc.; las 
paletas pueden ser de madera, de hierro, de bronce, en fin, de cual- 
quier substancia y en todos los casos aparece una kilocaloría por cada 
427 kilográmetros de trabajo! Los experimentos de Joule constitu- 
yen la partida de defunción de la teoría del fluido calórico. 

220. ¿Qué es el calor? — Debe admitirse lisa y llanamente el 
resultado de la experiencia: el trabajo se transforma en calor. 

El calor debe ser entonces una forma de la energía. Conocemos 
ya varios aspectos de la energía: cinética, potencial gravitatoria, 
potencial de un resorte tendido, etc. 

Un kilogramo de agua a 16° C tiene una energía de 427 kilográ- 
metros más que un kilogramo de agua a 15° C. Se admite que esta 
energía no es más que energía molecular. Las moléculas de agua 
a 16° C deben moverse con mayor velocidad que las moléculas de 
agua a 15° C. Esta es, en esencia, la teoría cinética del calor. 

221. Principio de conservación de la energía. — Considere- 
mos un laboratorio totalmente aislado del exterior. Por sus paredes 
no puede entrar ni salir calor, luz, corrientes eléctricas, etc. Dentro 
del laboratorio podemos hacer todos los experimentos que se nos 
ocurran. Cualesquiera sean ellos la energía total será siempre la 
misma. Podremos transformar trabajo en calor, producir luz, co- 
rrientes eléctricas, criar animales y plantas, producir toda suerte de 
reacciones: la energía total será siempre la misma. Luego: En un 
sistema aislado la energía se mantiene constante. Este es el enun- 
ciado del famoso principio de conservación de la energía. 



Física Elemental 


227 


PROPAGACIÓN DEL CALOR 

222. Conducción. — Si se coloca en el fuego el extremo de una 
barra de hierro, toda la barra se va calentando poco a poco. Éste 
es el fenómeno de la conducción del calor. Las moléculas del ma- 
terial de la parte que se calienta directamente comienzan a moverse 
con mayor velocidad. En sus choques 
con las moléculas vecinas les ceden a 
éstas parte de su energía cinética. El pa- 
saje de “calor” de un extremo al otro 
de la barra corresponde a un pasaje de 
energía. 

No todos los cuerpos conducen el ca- 
lor con la misma facilidad. Si se vierte 
agua en ebullición (fig. 330) en un reci- 
piente que tiene una serie de varillas de 
diferentes metales recubiertas de cera se observa que ésta se funde 
más rápidamente en unas varillas que en otras. 

Coeficiente de conductividad. — Sea una plancha de cierta 
substancia de paredes planas y paralelas (fig. 331). Una de las 
caras la mantenemos a una temperatura constante Ti y la otra a 
la temperatura T 2 . Podríamos tener constantemente una cara a la 
temperatura de 100° C poniéndola en contacto con vapores de agua 
en ebullición, y la otra a 0 o C estando en contacto con hielo en fusión. 
En este caso se observaría que el hielo se va fundiendo por el calor 

que pasa de la pared caliente a la fría. Vere- 
mos más adelante (pár. 226) que para fundir 
un gramo de hielo se necesitan 80 calorías. 
Pesando entonces el agua proveniente de la 
fusión se puede saber el calor que en cierta 
tiempo pasa de una a otra pared. Se ha encon- 
trado así que esa cantidad de calor Q está dada 
por la expresión: 

T i-T 2 


siendo t el tiempo y i un coeficiente que depende del material y 
que mide la conductividad calorífica de la substancia. La fórmula 
nos dice entonces que la cantidad de calor que pasa a través de 
un muro es proporcional a la superficie S de las paredes, a la dife- 


Q — kS 1; 

d 



Fig. 331. — Conductividad. 



228 


E. Loedel 


rencia de temperatura entre ambas y al tiempo y que está en razón 
inversa del espesor del muro. 

Despejando k resulta: 

Qd 

k = . 

S(Tx — T a )t 

Se han encontrado así los valores siguientes de A; en: 

caloría 


cm X seg X grado C 

Plata Cobre Aluminio Hierro Vidrio Carbón 

1,01 0,90 0,48 0,15 0,0023 0,0004 

El vidrio y el carbón son muy poco conductores del calor; la 
porcelana es muy mala conductora. Los cuerpos buenos conductores 
del calor lo son también de la electricidad. 

Por la conductividad de las telas metálicas se explica el hecho, 
que se pueda encender un gas por encima o por debajo de 1* tela 

sin que se propague la lia- , 

ma a la otra parte (figura 
332). Si se enciende el gal 
por arriba en lugar de pro 
pagarse el calor al gas que 
está debajo y encenderlo se 
propaga por toda la tela 
En esto se basa la lámpara 
de seguridad de Davy, que 
fué muy utilizada en las mi- 
nas de carbón para prote- 
ger a los obreros de las ex- 333.— 

plosiones que se producían La ^ a fl v a y ra <le 
en forma imprevista, al in- 
flamarse el gas llamado grisú. La llama de la lámpara se recubre 
con una tela metálica con lo cual se impide que se encienda el gas 
exterior. 

223. Convección. — Si se calienta un líquido o un gas ffig. 
334) por la parte inferior se constata fácilmente que se establecen 
dos corrientes: una ascendente de líquido más caliente (menos den- 



Fig. 332. — Telas metálicas. 





Física Elemental 


229 


so) y otra descendente de líquido más frío. El calor se propaga así 
a toda la masa del líquido. Esta propagación se efectúa con trans- 
porte de materia y se llama convección. En cambio si se tiene agua 
a 0 o C y se la calienta por debajo, entre 0 o C y 4 o C, se calienta 
sólo por conducción, pues en ese intervalo, la densidad del agua 
aumenta al aumentar la temperatura. Entre 0 o C y 4 o C convendría 
aplicar el fuego en la parte superior del recipiente. 

224. Radiación. — El calor que nos llega del Sol 
se propaga en el espacio en forma análoga a como lo 
hace la luz. Si acercamos la mano a una plancha ca- 
liente notamos que recibimos calor aun estando frío el 
aire del ambiente. Todos los cuerpos irradian calor lo 
que significa que puede pasar calor de un cuerpo ca- 
liente a otro frío, aun estando ambos en el vacío. La 
cantidad de calor que irradia un cuerpo depende de la 
naturaleza de su superficie y de «su temperatura. Se 
ha encontrado que dicha cantidad es proporcional a la cuarta potencia 
de la temperatura absoluta (ley de Stefan). En la calefacción de un 
ambiente, se aprovecha la radiación térmica. Los radiadores de las 
instalaciones comunes se colocan cerca del suelo para que todo el 
aire se caldee por convección. 



mm 

Fig. 334. — Con- 
vección. 


PROBLEMAS 

1. No se conoce el calor específico de ninguna substancia y no 
se tiene a mano dato alguno. ¿Cómo puede hallarse el calor 
específico de un calorímetro? 

Se toma una pesa de la misma substancia que el calorímetro. 
Se tiene así una sola incógnita. 

2. Sea la masa de la pesa M — 500 gramos; la del calorímetro 
ja = 200 gramos y la del agua m = 300 gramos; la temperatura 
inicial de la pesa 100° C, la del agua 20° C. Temperatura final 
30° C. Sabiendo que el calorímetro y la pesa son de la misma 
substancia hallar el calor específico C de la misma. Se tendrá: 


MC(r-T) = m(T — t) pC (T — í) J 



m 


E. Loedel 


de donde: 

m (T — t) r caloría 

C = = 0,09 

M (t — T) —fi(T — t ) L gramo X grado C J 

El resultado corresponde al latón. 

3. Con el calorímetro y la pesa anterior se determina el calor espe- 
cífico x de un líquido introduciendo en 300 gramos del mismo 
la pesa de 500 gramos inicialmente a 100° C. La temperatura 
inicial del líquido y el calorímetro es igual a 20° C, la final 
40° C. Aplicando la fórmula del párrafo 213 resulta: 

caloría 

* = 0,39 . 

gramo X grado C 

4. ¿Cuántas calorías se gastan en calentar 32 gramos de oxígeno 
de 0 o C a I o C manteniendo la presión constante e igual a una 
atmósfera? 

Q = mc p X I o C = 6,976 caloría. 

5. ¿Y si el volumen se hubiera mantenido constante? Por ser: 

Cp c p 6,976 

— = 1,4; c v = ; Q’ = = 4,983 calorías. 

c, 1,4 1,4 

6. ¿Qué cantidad de calor se ha empleado en el trabajo de dilatar 
al gas? 

Q” = Q — Q’ = 1,993 calorías. 

7. ¿Cuánto vale el trabajo efectuado en la dilatación del gas? 

Como se trata de 32 gramos de oxígeno, un Mol, ocupan a 
0 o C un volumen de 22,412 litros, o sea 22412 cm 3 . El aumento 
de volumen al aumentar la temperatura en I o C es: 

1 

22412 X = 82,09 cm 8 . 

273 

Un émbolo de 1 cm 2 tendría que elevarse 82 cm. Si el 
émbolo tuviera 2 cm 2 se elevaría a 41 cm. En el primer caso 



Física Elemental 


231 


la fuerza sería de 1,033 Kgr; en el segundo doble. En cual- 
quier caso el trabajo es el mismo. Ese trabajo será entonces: 

T = 1,033 Kgr X 0,8209 m = 0,848 Kgmts. 

8. Hallar , con los datos anteriores, el equivalente en trabajo de 
una kilocaloría. Se tiene : 

1,993 calorías = 0,848 Kgmts. 

1,993 kilocalorías = 848 Kgmts. 

848 

1 kilocaloría = = 425,5 Kgmts. 

1,993 



CAPÍTULO XVI 


CAMBIOS DE ESTADO 

225. Fusión y solidificación. — Sabemos ya, que se llama fusión 
al pasaje de un cuerpo del estado sólido al líquido por la acción del 
calor (pág. 2). Mencionamos el caso de la naftalina y del hielo. 
Aquélla funde a unos 80° C y el hielo a 0 o C. Sabemos también que 
mientras dura la fusión la temperatura no varía, siempre que se man- 
tenga constante lá presión. He aquí la temperatura de fusión de algu- 
nas substancias a la presión atmosférica. 

Aluminio Plomo Hierro Azufre rómbico Azufre monoclínico 
660° C 327 1530 113 119° C 

Platino Carbón Mercurio Hidrógeno Helio * 

1770° C 3800 —38,9 —259 — 272° C 

Las substancias que no son especies químicas, o sea que son 
mezclas no presentan un punto de fusión franco, pasan por un 
estado pastoso intermedio, como sucede con el vidrio. 

Influencia de la presión. — Si en un vaso con hielo y agua 
(fig. 335), hecho de vidrio con paredes resistentes, se aumenta la 
presión introduciendo el tornillo que se ve en la figu- 
ra, se puede leer en el termómetro la temperatura de 
fusión correspondiente a la presión que indica el ma- 
nómetro M. Se ha encontrado así que a la presión de 
13 atmósferas el hielo funde a — 0,1°C y a la pre- 
sión de 1000 atmósferas funde a — 8,5°C. 

En las substancias que como el hielo y el bismuto 
disminuyen de volumen al fundirse (el hielo flota en 
el agua) al aumentar la presión disminuye la tempe- 
ratura de fusión. El caso general es el inverso: 
en estado sólido el cuerpo ocupa menor volumen 
que en estado liquido; siendo así, la temperatura de fusión aumenta 
al aumentar la presión. 

El hecho de ser el hielo menos denso que el agua, hace posible 
la vida acuática en el seno de ríos y lagos, cuya superficie se hiela 



• A la presión de 25 atmósferas. 



Física Elemental 


23$ 


en las regiones frías. La capa de hielo formada impide el paso del 
calor del agua que está debajo al exterior. En esto tiene gran im- 
portancia el color blanco del hielo: si fuera 
negro irradiaría el calor más fácilmente. 

Rehielo. — Si se colocan en un molde tro- 
zos de hielo y se comprimen (fig. 336), en 
los puntos de contacto de las distintas piedras 
aumenta la presión y el hielo que estaba a 
0 o C se funde. Por esta razón toma la forma 
del molde del cual se le saca introduciéndolo 
en agua tibia. 

Por la disminución del punto de fusión 
con la presión se explica el experimento de 
la figura 337. en que un alambre puede atravesar una barra de hielo 

quedando ésta intacta. En los puntos 
situados debajo del alambre el hielo 
funde y le permite el paso; luego el 
agua se solidifica. 

Solidificación. — Es el pasaje del 
estado líquido al sólido. La tempera- 
tura de solidificación es igual a la 
Ki g . 337. de fusión. 

u Sobrefilsión. — Si se tiene agua pura y se la enfría lentamente, 
se observa que puede permanecer en estado líquido 
aún por debajo de 0 o C. ¡Basta la menor agitación para 
que el agua se solidifique y entonces la temperatura 
sube a 0 o C. Se puede poner de manifiesto el fenó- 
meno con la naftalina cu- 
yo punto de fusión es de 
79° C. Supongamos que 
tenemos naftalina líquida 
a 90° C (fig. 338). Deja- 
mos que se vaya enfriando 
lentamente y leemos la 
temperatura cada minuto. 

' i ii Fig. 338. — 

Fig. 339. Luando no se produce la Sobrefusián. 

sobrefusión el resultado de 

la experiencia es el de la figura 339. En cambio la gráfica de la 
figura 340 corresponde a la sobrefusión. 







234 


E. Loedel 


226. Calor de fusión. — Sea un calorímetro cuya masa equiva- 
lente en agua sea igual a 270 gramos. (Se trata de 260 gramos de 
agua y de un vaso de latón de 110 gramos; calor específico del 
latón = 0,09). Temperatura inicial, la del ambiente, igual a 20° C. 

Introducimos en el calorímetro un trozo de hielo de 30 gramos 
que hemos secado previamente con papel de filtro. Esperamos 

hasta que el hielo se funda totalmente 
y termine el descenso de temperatu- 
ra. La temperatura final sea igual a 
10° C. El descenso ha sido: 

20° C — 10° C = 10° C. 

El calorímetro entregó: 

270 X 10 = 2700 calorías. 

Este calor se empleó en fundir los 
30 gramos de hielo y en calentar el 
agua proveniente de la fusión de 0 o C a 10° C. El agua proveniente 
de la fusión son 30 gramos que para calentarse en 10° C necesitan: 

30 X 10 = 300 calorías. 

La diferencia: 

2700 — 300 = 2400 calorías, 


- te 

%• +sól. 




Fig. 340. 


se emplearon en fundir los 30 gramos de hielo. El cociente 

2400 caloría caloría 

/ = = 80 

30 gramo gramo 

es el calor de fusión» del hielo. Para fundir 1 gramo de hielo se 
necesitan 80 calorías. | Calor de fusión de una substancia es, pues, 
el cociente entre el calor necesario para fundir una porción de la 
misma y la masa de dicha porción. 

He aquí los calores de fusión de algunas substancias: 

Plomo Hierro Aluminio Agua Mercurio 

[ caloría - ! i 

i 

gramo J 

VAPORIZACIÓN 


227. Evaporación y ebullición. — Se entiende por vaporización 
«1 pasaje del estado líquido al de vapor. Cuando los vapores se 
desprenden sólo de la superficie del líquido se dice que éste se 



Física Elemental 


235 


evapora. Es el caso del agua de un patio recién lavado que se va 
secando poco a poco. Si en cambio los vapores se desprenden de 
todo ; 'el- seno del líquido, dando lugar a la formación de burbujas 
se dice que el líquido hierve o que está en ebullición. El pasaje 
inverso, del estado de vapor al estado líquido, recibe el nombre de 
condensación. Las gotas de rocío se producen por la 
condensación del vapor de agua de la atmósfera. 

228. Tensión de vapor. Vapores saturados. — 

Tomemos un tubo como el utilizado en el experimento 
de Torricelli. Echemos mercurio en su interior pero 
no lo llenemos totalmente. Dejamos un espacio de dos 
o tres centímetros que llenamos con éter, o con cual- 
quier otro líquido. Tapamos el tubo, lo invertimos y 
lo introducimos en una cubeta B con mercurio (fig. 

341). El resultado es extraordinario. La columna de 
mercurio tiene una altura sólo de 40 centímetros *. 

Los dos o tres centímetros de éter del tubo han hecho 
descender la columna barométrica en 36 centímetros 
de mercurio! Fijándonos atentamente veremos que el 
éter líquido que queda en el tubo, después de invertido, ocupa un 
volumen menor del inicial. Para explicarnos este resultado debemos 
admitir que parte del éter se ha vaporizado y que sus vapores ejer- 
cen una presión equivalente a la de una columna de mercurio de 

36 cm de altura, ya que: 76 — 40 = 36. 

Inclinando el tubo, observamos (fig. 342) 
que el volumen ocupado por el éter líquido 
se hace mayor al aumentar la inclinación. El 
nivel del mercurio se mantiene ^constante. Por 

de éter, llamada tensión del vapor, no depende 
del volumen. 

Si calentamos con un mechero encendido 
la parte del tubo que contiene al éter y sus 
vapores, observaremos que el mercurio baja o 
F¡g. 342. sea q Ue ] a tensión del vapor aumenta. 

Cuando un vapor se encuentra en contacto 
con su líquido se dice que está saturado. El experimento anterior 
puede repetirse con alcohol, benceno, etc. Las medidas conducen a 
las siguientes leyes: 

j La tensión de un vapor saturado no depende de su volumen. 


lo tanto la presión ejercida por los vapores 




Fig. 341. — v«- 
por saturada. 


* Esta altura depeDde de la temperatura en el momeoto de hacer el experimento. 


236 


E. Loedel 


La tensión de un vapor saturado aumenta al aumentar la fcm- 
peratura. 

La tensión de un vapor saturado, tiene, para cada líquido, un 
valor diferente que depende de la temperatura. 


En la tabla siguiente se dan las tensiones del vapor saturado del 
éter, benceno y agua a diferentes temperaturas. Dichas tensiones 
están expresadas en centímetros de mercurio. 



229. Vapores no saturados. — Sea un cilindro con un émbolo 
que contiene en A un líquido con su vapor saturado (fig. 343). Si 
subimos el émbolo ( B ) la presión se mantendrá constante siempre 
que no varíe la temperatura. Esta constancia de 
la presión en los vapores saturados se explica 
por la evaporación de parte del líquido a medida 
que aumenta el volumen. En (C) ya se ha eva- 
porado totalmente el líquido. El vapor deja de 
estar saturado. Si continuamos aumentando el 
volumen la presión disminuirá. 

En los vapores no saturados se cumple con 1 
bastante aproximación la ley de Boyle y Ma- 
riotte. Para experimentar con vapores no satu- 
rados basta repetir el experimento del párrafo 
precedente introduciendo en el tubo una canti- 
dad de líquido muy pequeña para que se vapo- 
rice por completo. 

< 

F'g- 343 . 230. '“Ebullición. — Un líquido entra en ebu- 

llición a aquella temperatura en que la tensión 
de su vapor ' saturado iguala a la presión exterior. Según esto, a 
la presión atmosférica de 76 cm de mercurio, y de acuerdo al 
cuadro del párrafo 228, las temperaturas de ebullición del éter, / 
del benceno y del agua, serán: 





Física Elemental 


237 


Si se disminuye la presión exterior la temperatura de ebullición 
disminuye. Agua relativamente fría puede hacerse hervir debajo de 
la campana de la máquina neumática (fig. 344). Si la presión en 
la campana fuera de sólo 4,1 cm de mercurio el agua herviría a la 
temperatura de 35° C. Si la temperatura fuera de 20° C, de acuerdo 
al cuadro de la página anterior para conseguir que el agua entre 
en ebullición debe ser la presión inferior a 1,7 cm de mercurio. 
En cambio si la presión aumenta, la temperatura de ebullición debe 
ser mayor. 

He aquí la temperatura de ebullición del agua a diferentes 
presiones: 


Presión en mm 
de Hg 

20 

100 

300 

600 

700 

760 

Temp. de ebulli- 
ción en 0 C . . 

22 

52 

76 

93,5 

97,7 

100 


Presión en atmós- 
feras 

2 

4 

8 





205 

Temp. de ebulli- 
ción en 0 C . . 

121 

144 

171 

180 

250 

275 

325 

374 


Si se toma un matraz (fig. 345), se hace hervir agua, se le 
lapa e invierte, el agua deja de hervir por la presión que sobre ella 

ejercen los vapores. Si se pro- 
cede ahora a mojar el matraz 
con agua fría, el agua comienza 
a hervir de nuevo. Se explica 
este experimento, debido a Fran- 
KLiN, porque el agua fría origi- 
na la disminución de la tensión 
de los vapores. 

Otro experimento interesante 
debido a Tyndall es el siguien- 
te: Un tubo de metal de unos 
dos metros de largo y suficiente- 
mente estrecho, abierto por su 
parte superior, comunica por esa 
parte con una amplia fuente que 
se llena de agua caliente (fig. 346). El tubo se calienta por debajo 
y como es largo y el agua se enfría por la parte superior, la tempe- 
ratura del agua será mayor abajo que arriba. El agua de la parte 
inferior del tubo soporta una presión mayor que la atmosférica. 




Fig. 345. — Expe- 
rimento de Fran- 
klin. 






238 


E. Loedel 


Si el tubo es de dos metros, como hemos supuesto, la presión será 
de unos 90 cm de mercurio. A esta presión el agua 
hierve recién a 105° C. Cuando alcanza esta tempe- 
ratura se desprende una notable masa de vapor que; 
sale violentamente por la fuente junto a un chorro 
de agua hirviente. Penetra luego agua algo más fría 
en el tubo y el fenómeno se repite periódicamente. 
Este experimento reproduce el fenómeno natural de 
los famosos geisers de lslandia. 

231. Destilación. Principio de la pared fría. — 
Si se tienen dos vasos A y B (fig. 347) con un mismo 
líquido a temperaturas diferentes, se observa que pasa 
constantemente vapor del vaso de mayor al de menor 
temperatura. En el vaso frío el vapor se condensa. 
Supongamos para fijar ideas, que el vaso A se en- 
r. B . cuentra a la temperatura ambiente que supondremos 

riment daif Tyn ' igual a 20° C, y el ¿’ a 0°C, lo que se logra si se 
le sumerge en un baño de hielo en fusión. Al cabo 
de cierto tiempo toda el agua se encontrará en B; la tensión de los 
vapores saturados es la que corresponde a la 
temperatura del recipiente frío. ¡ Éste es el 
llamado principio de la pared ffía enuncia- 
do por Watt. 

En esto se basan los aparatos de desti- 
lación (fig. 348). Los vapores del líquido 
pasan por un serpentín introducido en un Fig. 347. 

baño de agua fría en circulación. El líquido 

que se condensa en el serpentín se recoge en el recipiente R. Si se 

tiene una mezcla de líquidos, alcohol 
y agua, por ejemplo, se les puede se- 
parar por destilaciones sucesivas, pues 
el alcohol se vaporiza más rápidamen- 
te que el agua. 

232. Calor de vaporización. — El 
calor de vaporización de un líquido es 
el cociente entre la cantidad de calor 
necesaria para transformar en vapor 
cierta porción del mismo y la masa 
de dicha porción. El líquido y el vapor 
deben considerarse a la misma temperatura. Se ha encontrado que 






Física Elemental 


239 * 

el calor de vaporización del agua a 100° C es igual a 539 cal/gramo. 
Esto quiere decir que para convertir un gramo de agua que está a 
100° C en un gramo de vapor a 100° C se necesitan 539 calorías. 

De este calor parte se emplea en aumentar la energía cinética 
de las moléculas y parte en hacer que aumente el volumen, ya que 
el vapor ocupa un volumen mucho mayor que el líquido. Un gramo 
de agua ocupa un volumen de 1 cm 3 y 1 gramo de vapor a 100° C 
y a la presión de una atmósfera ocupa 1670 cm 3 . De aquellas 539 
calorías, 40 se emplean en trabajo de 
expansión. 

La determinación del calor de vapo- 
rización se efectúa haciendo que los va- 
de una 

caldera C se condensen en el interior 
de un calorímetro (fig. 349). 

El enorme valor del calor de vapo- 
rización del agua explica el “frío” que 
produce su evaporación. 

HIGROMETRÍA 

233. Estado higrométrico. — Se de- Fig. 349. — Calor de vaporización, 
signa con el nombre de estado higromé- 
trico H del aire en un momento dado, al cociente entre la masa de 
vapor de agua m contenida en cierto volumen de aire y la masa 
m’ de vapor, que debería tener aquel volumen para que el aire se 
encontrara saturado. Luego: 
m 

H = . 

m 

Supongamos que en cierto volumen de aire tenemos 50 gramos 
de vapor de agua y sabemos que si a esa temperatura hubiera en 
el mismo volumen 100 gramos, el vapor ya estaría saturado, es decir 
que comenzaría a formarse rocío. El estado higrométrico sería 
entonces : 

50 

H = = 0,5; o también: 50 %. 

100 

El cociente de las masas m y m’ es igual al cociente de las 
densidades d y cT del vapor realmente contenido y del vapor que- 
contendría el mismo volumen de aire si estuviera saturado. Admi- 


pores de líquido provenientes 




240 


E. Loedel 


tiendo que para los vapores no saturados vále la ley de Boyle y 
Mariotte, justo hasta el momento de la saturación, el cociente de 
las densidades será igual al cociente de las presiones. Luego: 

m d P 

ni d’ F 

Para determinar H, habrá que medir la tensión del vapor de 
agua P, contenido en el aire en un momento dado y dividir dicha 
presión por la tensión del vapor saturado correspondiente a la tem- 
peratura del momento. 

234. Higrómetro de Daniell. — Con este aparato (fig. 350) se 
mide en forma rápida y sencilla el estado higrométrico del aire. 

Las dos esferillas contienen en su interior éter. 
La que está recubierta por una tela se moja con 
éter en el momento de la medida. Ese éter se 
vaporiza y para hacerlo, necesita calor. Por 
esto el éter de la esfera recubierta se enfría. 
Siendo así, el éter de la esfera que tiene un 
anillo dorado comienza a destilar, por lo cual 
su temperatura también desciende, descenso que 
se aprecia con el termómetro situado en el 
interior de la misma. Debe seguirse atentamente 
ese descenso fijándose en el anillo dorado de 
la esfera de vidrio. Llega un momento en que 
r . ... . , el anillo y la esferilla de vidrio se empañan. 

Fig. 3d0. — Higrumetro de i • i i i 

Daniell. Se dice que ha sido alcanzado el punto de ro- 

cío. Supongamos que en ese momento el ter- 
mómetro del soporte indique 26 ° C, que es la temperatura ambiente. 
En cambio la temperatura del punto de rocío, indicada por el ter- 
mómetro interior, es igual a 18 ° C. 

Utilizando la tabla siguiente puede calcularse fácilmente H. 













Física Elemental 


241 


Esta tabla da la tensión del vapor saturado P en mm de mercurio 
«a diferentes temperaturas. En el ejemplo anterior la temperatura 
ambiente es igual a 26 0 C. La tensión que tendría que tener el vapor 
para que el aire estuviera saturado de humedad sería de acuerdo 
a la tabla de 25,0. Pero la tensión que tiene realmente es la que 
corresponde a la temperatura de rocío, igual a 18° C. Esta tensión 
-es de 15,4. Por lo tanto: 

15,4 

H = = 0,616 ~60 %. 

25,0 

235. Volatilización. — Algunas substancias sólidas, pasan direc- 
tamente de ese estado al de vapor. Al pasaje inverso se le llama 
sublimación. Se ha podido medir, en algunos casos, la tensión de 
los vapores de cuerpos sólidos. Para esto se introducen pequeños 
trozos de la substancia en el interior de la cámara barométrica. Se 
han encontrado así los valores siguientes para la tensión de vapor 
en mm de mercurio : 

Naftalina , a 0°C: 0,009; a 80° C: 6,4. 

Alcanfor , a 30° C: 0,25; a 70° C: 6,5. 

lodo, a 20° C: 0,25; a 80° C: 16; a 160° C: 412. 

Es posible que todos los cuerpos sólidos se volatilicen, o sea 
que desprendan moléculas de su superficie en cantidades muy pe- 
queñas. Así, por ejemplo, Moss dispuso en el extremo de un tubo 
horizontal privado de aire un trozo de azufre; al cabo de 25 años, 
sin haber movido el tubo, se encontraban en el otro extremo peque- 
ños cristales ortorrómbicos de azufre de un diámetro de dos .décimos 
de milímetro. A temperaturas muy altas, como las que se obtienen 
con el horno 1 eléctrico, el carbón y la sílice se volatilizan. 

El hielo se volatiliza con relativa facilidad y a temperaturas 
bajas. La tensión de los vapores de hielo a 0 o C es de 4,6 mm de 
mercurio ; a — 10° C es de 2 mm ya — 50° C es de 0,05 mm. 

PROBLEMAS 

1. Hallar el calor necesario para convertir un gramo de hielo a 
0 o C en un gramo de vapor de agua a 100° C. 

Para fundir el hielo se necesitan 80 calorías; para elevar 
la temperatura del agua de 0 o C a 100° C, se requieren 100 



242 


E. Loedel 


calorías; para vaporizar el agua a esta temperatura 539 calo- 
rías; luego: 

Q = 80 -f- 100 -f- 539 = 719 calorías. 

2. Se echa una piedra de hielo de 50 gramos en un vaso que con- 
tiene 200 gramos de agua a 28° C. Despreciando el enfriamiento 
de las paredes del vaso y supuesto el hielo inicialmente a 0 o C 
hallar la temperatura final. 

Se tendrá: 

50 X 80 + 50x = 200 (28 — x) ; * = 6,4°C, 

siendo x la temperatura buscada y 80 cal/gramo el calor de 
fusión del hielo. 

3 . 30 gramos de vapor de agua provenientes de agua en ebullición 
se condensan en el serpentín de un calorímetro cuya tempe- 
ratura final es de 25 0 C. ¿Cuántas calorías entregó el vapor 
de agua? 

Al condensarse entregó: 

30 X 539 = 16170 calorías; 

y al enfriarse el agua de condensación, de 100° C a 25° C: 

30 X 75 = 2250 calorías. 

En total el calor entregado es: 

16170 + 2250 = 18420 calorías. 

4. Si la temperatura inicial del calorímetro anterior era igual a 
15° C, ¿cuál es su masa equivalente en agua? 

M (25 — 15) = 18420 calorías; M = 1842 gramos. 

5. La temperatura ambiente es igual a 8 o C; la del punto de rocío 
6 o C. Hallar el estado higrométrico. Utilizando la tabla de la pá- 
gina 240 resulta: 

7.0 

H = = 0,875 = 87,5 %. 

8.0 



CAPITULO XVII 


VAPORES Y GASES 

236. Temperatura crítica. — A la presión de una atmósfera el 
agua hierve a 100° C. Para tener agua y vapor de agua a 100° C 
será necesario que la presión sea de una atmósfera. Si la presión 
fuera algo mayor todo el vapor se condensaría, y si fuera menor 
todo el líquido se convertiría en vapor. Análogamente, a 325° C la 
tensión del vapor de agua es igual a 120 atmósferas; si la presión 
exterior es algo mayor tenemos únicamente agua líquida y si es 
menor sólo vapor de agua. Para 374° C la tensión de los vapores 
es igual a 205 atmósferas. Para una temperatura algo mayor ya es 
imposible, por grande que sea la presión exterior, tener agua líquida. 
Es decir, que si tenemos vapor de agua a la temperatura de 380° C, 
aun cuando hiciéramos la presión exterior igual a un millón de 
atmósferas, no podríamos lograr la condensación de aquellos vapores. 

La temperatura de 374° C es la temperatura crítica del agua. 
Por encima de esa temperatura es imposible obtener agua líquida . 

Se llama temperatura crítica de una substancia a la mayor tem- 
peratura en que puede coexistir la misma en estado líquido y en 
estado de vapor, o lo que es lo mismo a aquella temperatura por 
encima de la cual el estado líquido es imposible. 

Un gas no es más que un vapor cuya temperatura es superior a 
la temperatura crítica. 

A las temperaturas de 

50’ C 100° C 200° C 370’ C, 

se tiene vapor de agua; 
y a las temperaturas de 

380’ C 400’ C 500’ C, 
se tiene “gas” de agua. 

A la presión correspondiente a la temperatura crítica, suponiendo 
que en ésta todavía coexisten los dos estados, líquido y vapor, se la 
denomina presión crítica. 



244 


E. Loedel 


He aquí la temperatura y la presión crítica de algunas substancias. 



Temp. crítica 

n 

Temp. de ebulli- 
ción a la presión 
de 1 atm. 

Mercurio 

1470° c 

— 

356,7° C 

Agua 

374 

205 atm. 

100 

Alcohol 

243 

63 „ 

78,3 

Éter 

194 

35 

34,6 

Anhídrido carbónico (C0 2 ) 

31 

72 „ 

— 78,5 

Oxígeno 

— 119 

50 „ 

— 183 

Nitrógeno 

— 147 

33 „ 

— 196 

Hidrógeno 

— 240 

13 „ 

— 253 

Helio 

— 268 

2,6 „ 

— 269 

Aire (sin C0 o ^ 

— 141 , 

37 „ 

— 193 


De acuerdo a estos datos, para licuar el oxígeno será necesario 
enfriarlo por debajo de 119° C bajo cero. Para tener oxígeno líquida 
a esta temperatura hace falta una presión de 50 atmósferas. A 

temperatura de — 183° C el oxígeno hierve a la presión 
atmosférica y a una temperatura más baja la tensión de 
los vapores se hace todavía menor. 

Todo esto prueba que entre el estado líquido y el 
gaseoso exisle una continuidad perfecta* 

237. Experimentos de Andrews. Isotermas del CO 2 . 
— Los resultados mencionados en el párrafo anterior 
fueron puestos de manifiesto por primera vez por An- 
drews en 1869. Este físico estudió la compresibilidad 
del anhídrido carbónico a diferentes temperaturas. Se va- 
lía del dispositivo indicado en la figura 351. En un reci- 
piente de cobre totalmente lleno de agua se introduce 
un tornillo que aumenta la presión. El gas a estudiarse 
se coloca en un tubo estrecho, resistente y bien cali- 
brado. Otro tubo con aire sirve de manómetro de aire 
comprimido. El aire y el gas están separados del agua por una 
pequeña porción de mercurio. Todo el aparato se coloca en un 
baño a temperatura constante. Se aumenta la presión poco a poco 
y se lee en cada caso el volumen ocupado por el gas o el vapor. 



Fie. 351. 






Física Elemental 


245 


Pueden representarse luego los resultados, en un sistema de coorde- 
nadas (fig. 352). Si el CO 2 se encuentra a la temperatura de 48° C 
su comportamiento es parecido al de los gases comunes, es decir 
que cumple la ley de Boyle y Ma- 
riotte con suficiente aproximación. 

En cambio obsérvese la isoterma 
de 21° C. La rama AB corresponde 
a un vapor no satufrado; en B co- 
mienza el vapor a condensarse y 
de B a C tenemos vapor saturado 
y líquido. En esta parte de la cur- 
va varía el volumen y la presión 
se mantiene constante. Al llegar a 
C todo el vapor se ha condensado; 
de C a D tenemos únicamente lí- 
quido. Por esta razón el volumen 
casi no varía aun aumentando mu- F¡ g . 352. - i a0 ierm afi dei co, 

cho la presión. 

La isoterma de 31° C, representada en blanco, no presenta 
ninguna discontinuidad: es la que corresponde a la temperatura 
ciítica. La continuidad entre el estado gaseoso y el líquido es bien 

manifiesta. Además, considérese 
que se puede pasar del estado de 
vapor no saturado o del estado ga- 
seoso, al estado líquido sin pasar 
por el estado de vapor saturado y 
en forma continua. Supongamos 
que la presión, el volumen y la 
temperatura de la substancia co- 
rrespondan en un momento dado 
el punto A (vapor no saturado) 
(fig. 253). Si la calentamos man- 
teniendo constante el volumen po- 
dremos llegar en forma continua 
al punto A’, pasando de una iso- 
terma a la siguiente. De A’ podría- 
mos llegar a D (estado líquido) 
siguiendo el camino A’D, es decir enfriando el gas y manteniendo 
la presión constante. Se pasa así del estado gaseoso al estado líquido 
en forma continua sin pasar por el estado de vapor. 



líquido y gaseoso. 




246 


E. Loedel 



Fig. 354. — Casca reales. 


238. Gases reales y gases ideales. — Ningún gas real cumple 
las leyes de Boyle y Mariotte y Gay - Lussac. Según la ley de 
Boyle y Mariotte a temperatura constante el producto de la presión 
P por el volumen V debiera ser constante. Si se representa en una 


gráfica, en el eje de las ordenadas el producto PV, y en el de las 
abscisas la presión P debiera obtenerse una recta paralela al eje 
de las abscisas. En la figura 354 se han indicado algunos de los 
resultados para diferentes gases. Se ve que ninguno de ellos cumple 

la ley de Boyle y Mariotte. Tampoco 
siguen los gases las leyes de Gay - Lus- 
sac: el coeficiente de dilatación varía 
con la temperatura y no tiene exacta- 
mente el mismo valor para todos los 



gases. 


Un gas real se acerca en su com- 
portamiento, tanto más a un gas ideal, 
cuanto mayor sea su temperatura con 
respecto a su temperatura crítica. 


Fig. 355. — Efecto Thomson • Joule. 


Efecto Thomson - Joule. — Ten- 
gamos en A (fig. 355) un gas comprimido. En el recipiente B se ha 
hecho el vacío. Ambos recipientes pueden comunicarse por medio 
de una llave y se encuentran en el interior de un calorímetro. Si se 
abre la llave el gas se expande sin producir trabajo exterior. 



Física Elemental 


247 


En los gases reales se observa que, en general, al expandirse sin 
producir trabajo, se enfrían. Se explica este enfriamiento porque las 
moléculas se alejan unas de otras al aumentar el volumen. Cuando 
están relativamente cerca se atraen entre sí con fuerzas que no son 
del todo despreciables. Para separarlas se necesita gastar un trabajo 
y para realizar este trabajo se requiere cierta cantidad de calor que 
se obtiene del propio gas produciendo el enfriamiento. En otras 
palabras la velocidad de las moléculas del gas disminuye algo cuan- 
do el gas se expande, aun sin producir trabajo exterior. 

En los gases comunes el enfriamiento producido por el efecto 
Thomson - Joule es sumamente pequeño y es necesario tomar pre- 
cauciones especiales para ponerlo de manifiesto. El hidrógeno a la 
temperatura ordinaria se calienta al expandirse en lugar de en- 
friarse. Pero por debajo de — 80° C se enfría al dilatarse como los 
otros gases. El efecto Thomson - Joule es nulo sólo para un gas ideal. 

239. Liquefacción de gases. Nieve carbónica. — Para licuar el 
anhídrido carbónico cuya temperatura crítica es igual a 31° C bas- 
tará comprimirlo a la temperatura ambiente, en el supuesto de que 
ésta no alcance a tener aquel valor. Sin necesidad de aumentar 
la presión puede obtenerse anhídrido carbónico líquido y aún sólido 
(nieve carbónica, hielo seco) enfriando 
el gas. Esto se realiza de un modo muy 
fácil. En el comercio se expende el 
anhídrido carbónico en cilindros de me- 
tal que contienen este “gas” a presión. 

Sería realmente un gas en los días de 
riguroso verano; en general en el cilin- 
dro se encuentra vapor saturado, en 
contacto con anhídrido carbónico líqui- 
do. La presión dependerá únicamente de 
la temperatura. A 10° C esta presión es de 44 atmósferas; a 20° C, 
55 atm y a 30° C, 71 atm. 

Si colocamos el cilindro como indica la figura 356 como para 
recoger el líquido, éste al pasar bruscamente de la presión de 50 
o 60 atmósferas, a la presión de una atmósfera, se vaporiza en 
parte. Esta vaporización requiere calor, por lo cual el resto del 
líquido se enfría hasta solidificarse. 

A la presión atmosférica la nieve carbónica se volatiliza a la 
temperatura de — 78,5° C, por lo cual un trozo de C0 2 sólido des- 
prende vapores sin pasar por el estado líquido: de aquí el nombre 
•de “ hielo seco ”, La densidad relativa al agua del “hielo seco” es 




248 


E. Loedel 


igual a 1,53 y su cqlor de vaporización igual a 142 calorías por gra- 
mo. Para convertir un gramo de nieve carbónica en vapor a 0 o C 
se necesitan unas 150 calorías: el calor de vaporización más el 
calor necesario para calentar el vapor. 

Siendo el calor de fusión del hielo común, igual a 80 calorías 
por gramo, se observa, que como refrigerante, la nieve carbónica 
tiene un rendimiento casi doble a igualdad de masa. Para licuar 
otros gases cuya temperatura crítica es muy baja, Linde ideó un 
aparato aprovechando el efecto Thomson - Joule. Se comprime un 
gas, se le refrigera en serpentines apropiados y luego se le hace 
expandir bruscamente. Así la temperatura baja. Con este gas algo 
enfriado se repite el proceso, lográndose así temperaturas inferiores 
a — 200° C. Actualmente se han logrado temperaturas muy próximas 
al cero absoluto por diversos medios. La temperatura del cero abso- 
luto es inalcanzable. Haría falta para lograrla gastar infinita ener- 
gía. Se han obtenido temperaturas inferiores a un grado absoluto. 

Experimentos con aire líquido. — En vasos Dewar que no son 
otra cosa que “termos” puede conservarse el aire líquido bastante 
tiempo (dos o tres días) pues esos vasos absorben en forma insigni- 
ficante el calor exterior. La temperatura del aire líquido en ebulli- 
ción a la presión atmosférica es de — 193° C ; no estando en ebu- 
llición es algo inferior. Introduciendo en aire líquido un trozo de 
carne, o una flor, se vuelven frágiles; el mercurio se solidifica pu- 
diéndose hacer un pequeño martillo de ese 
metal ; una hélice de alambre de plomo se 
hace elástica, etc., etc. 

MÁQUINAS TÉRMICAS 

240. Máquina a- vapor. — Una máqui- 
na que produce trabajo mecánico por la 
acción del calor es una máquina térmica. 
En ella se transforma calor en trabajo me- 
cánico. El modelo más antiguo de máquina 
térmica es la esfera de HerÓn de Alejandría, llamada eolipila 
(Puerta de Eolo). Al calentar el agua contenida en una esfera gira- 
toria (fig. 357) el vapor que se desprende por tubok acodados en 
sentido inverso, produce por reacción la rotación de "la misma. 

Un molino de viento es en realidad una máquina térmica que 
utiliza el calor del Sol, pues a causa de diferencias de temperatura 



Física Elemental 


249 


es que se originan las corrientes de aire. Lo mismo cabe decir con 
respecto a las turbinas hidráulicas que funcionan aprovechando una 
caída o corriente de agua. El calor del Sol es nuevamente la causa 
del movimiento del líquido. 

En las máquinas térmicas propia- 
mente dichas, se aprovecha el calor de 
un combustible cualquiera: carbón, pe- 
tróleo, nafta, etc. Un kilogramo de car- 
bón produce al quemarse, combinándose 
con el oxígeno, unas 8000 kilocalorías. 

Sólo una parte de este calor puede trans- 
formarse en trabajo. 

Una máquina a vapor consta, en 
esencia, de una caldera donde se genera 
vapor de agua a presión (fig. 359) y 
de un mecanismo que se pone en movi- 
miento por la acción de esa presión. 

Supongamos que la temperatura del 
agua de la caldera sea igual a 180° C. 

A esta temperatura la tensión del vapor 
es de 10 atmósferas. Si comunicamos la caldera alternativamente 
con una y otra cara de un émbolo que recorre un cilindro podremos 
producir desplazamientos del mismo. Abramos las llaves 1 y 4 y 
cerremos la 2 y la 3. Los tubos 3 y 4 comunican con la atmósfera. 



James Watt (1736 * 1H19). Inventor 
de la máquina a vapor de doble 
efecto. 



En este caso la diferencia de presión entre ambas caras del émbolo 
será de 9 atmósferas y se desplazará de izquierda a derecha. Como 
una atmósfera es igual a un kilogramo por centímetro cuadrado. 


250 


E. Loedel 


aproximadamente, si la superficie del émbolo fuera de 300 cm 2 , 
la fuerza que lo impulsa sería igual a: 

9 X 300 = 2700 Kgr. 

Si la longitud del recorrido del émbolo fuera igual a 0,5 m, el 
trabajo realizado en esta carrera sería: 

2700 X 0,5 = 1350 kilográmetros. 

Al llegar el émbolo al extremo de la derecha abrimos las llaves 
3 y 2 y cerramos la 1 y la 4. Ahora se moverá de derecha a izquier- 
da y obtendremos otros 1350 kilográmetros de trabajo. Supongamos 
que el émbolo realice en un segundo cuatro carreras: dos de izquier- 
da a derecha y otras dos de derecha a izquierda. 

El trabajo realizado en un segundo sería'. 

1350 X 4 = 5400 kilográmetros. 

La potencia W de la. máquina, cociente del trabajo y el tiempo, 
es entonces: 

5400 Kgmt Kgmt 5400 

W = = 5400 = H. P. = 72 H.P. 

1 seg seg 75 

Transformación del movimiento de vaivén en un movimiento 
circular. — Esto se logra, como en la máquina de coser a pedal o 
en la máquina del afilador, por medio de una biela y una manivela 

(fig. 360) unida a un volante 
que regulariza el movimiento. 

Caja de distribución. — En 
lugar de las supuestas llaves la 
entrada del vapor en el cilindro 
se regula por medio de una co- 
rredera accionada por una excén- 
trica fija al eje de giro de la 
máquina (fig. 361). 

Fig. 360. 

Ciclo. — Representemos en 
una gráfica la presión en función del volumen en uno de los dos 
compartimientos en que queda dividido el cilindro por el émbolo 
(fig. 362). El punto A corresponde al momento en que el émbolo 




Física Elemental 


251 


ocupa la posición extrema de la izquierda: el volumen del compar- 
timiento de la izquierda es mínimo y como se comunica en ese 
momento con la caldera la presión será de 10 atmósferas. Comienza 
a desplazarse el émbolo hacia la derecha, aumenta el volumen, 
pero como sigue en comunicación con la caldera la presión se man- 
tiene constante. El punto representativo va de A hacia B. 





V </e m'>‘o J, 


j¡ éjf'mffteA 


as 

Wwrri <wWW«i 

Wtmr; ■ - " 


Fig. 361. — Máquina a vapor. 



En B se comunica con el exterior y la presión desciende hasta 
el valor de una atmósfera, valor que conserva hasta llegar a D. 

Si llamamos P a la presión del vapor en la caldera, 5 a la su- 
perficie del émbolo y l a la carrera del mismo, la fuerza que actúa, 
digamos de izquierda a derecha es 
PS y el trabajo de esta fuerza en 
una carrera es: 


al volver se opone la presión P’ del 
exterior y el trabajo, negativo en este 
caso, será: 


Luego, el trabajo de un ciclo, co 
rrespondiente a un solo compartí 


miento es: 

T = ( P — F ) V, 


Fig. 362. — Ciclo. 


siendo V — SI, el aumento de volumen en toda la carrera. Se ve 
que este trabajo es igual numéricamente al área encerrada por el ciclo. 

Si se procediera en realidad en la forma que hemos supuesto, 
se derrocharía inútilmente mucha energía pues se hace comunicar 



252 


E. Loedel 


con el exterior vapor a 10 atmósferas de presión, que está todavía 
en condiciones de realizar trabajo. Para evitar esto se cierra la llave 
1 cuando el émbolo efectuó sólo 1/3 ó 1/4 de su carrera. A partir 
de ese momento el vapor empuja al émbolo y al aumentar el volu- 
men disminuye de presión. Se dice en- 
tonces que la máquina trabaja a expan- 
sión. Además no se espera al término 
de la carrera para abrir la llave 2; 
todo esto hace que el ciclo real sea 
parecido al representado en la figura 
363. El área encerrada por el ciclo da 
una medida del trabajo. Existen apa- 
ratos llamados indicadores con los cua- 
les se obtiene dibujado automáticamen- 
te el ciclo. Un pequeño manómetro M (fig. 364) se conecta a 
una de las partes del cilindro C. Este manómetro lleva en su ex- 
tremo un lápiz que se apoya sobre un tablero T que se mueve 
solidariamente con el pistón. 

/ 

V Condensador. — En las má- 
quinas fijas, el vapor ya utili- 
zado en el cilindro se dirige, no 
a la atmósfera libre, sino a un 
recipiente que contiene agua fría 
y del cual se ha extraído el aire. 

La presión que se opone al mo- 
vimiento del émbolo es ahora 
menor que la presión atmosféri- 
ca. Esta presión es la tensión del 
vapor de agua a la temperatura 
del condensador. 

El agua de éste se va calen- 
tando poco a poco; esta agua 
por medio de bombas o inyecto- 
res especiales vuelve a la cal- 
dera. 

Si el condensador llegara a tener una temperatura igual a la 
de la caldera la máquina dejaría de funcionar. 

Como el condensador es muy pesado, se prescinde de él en las 
locomotoras. 





Física Elemental 


253 


241. Motores a explosión. — La figura 365 muestra un esquema 
de un motor a explosión de cuatro tiempos. 

En el primer tiempo, admisión , el émbolo baja estando la vál- 
vula 1 abierta y la 2 cerrada. Por 1 entra entonces a la cámara 
de explosión una mezcla de nafta y aire 
formada en un órgano llamado carbu- 
rador, no representado en la figura. En 
el segundo tiempo, compresión , las vál- 
vulas 1 y 2 están cerradas y el émbolo 
sube, comprimiendo así a los gases del 
cilindro y de la cámara de explosión. 

Esta compresión origina un aumento de 
temperatura. Al comenzar el tercer tiem- 
po salta en la bujía una chispa que en- 
ciende la mezcla: se produce la explo- 
sión y la expansión de los gases. Du- 
rante este tiempo las válvulas 1 y 2 de- 
ben estar cerradas. Es en este tiempo 
únicamente, cuando se realiza trabajo. 

Finalmente en el cuarto tiempo, el ém- F ¡*. 365 . - Motor a expidió., 
bolo sube y estando la válvula 2 abierta, 




i' ig. L.U'rlJ Ctt JíMjIur 

de cuatro tiempos. 


expulsa a los gases al exterior. La 
figura 366 representa las variaciones 
de la presión y el volumen durante 
los cuatro tiempos. El trabajo reali- 
zado está medido por la diferencia de 
las dos áreas encerradas por la curva 
del ciclo. 

'Un motor de esta clase con un solo 
cilindro experimentaría cajnbiós brus- 
cos de velocidad. Si el motor es de 4 
cilindros se procura que todos ellos 
trabajen en tiempos distintos, para que 
por lo menos uno realice siempre un 
trabajo positivo. (Para poner en mar- 
cha un motor de esta clase hace falta 


un motor auxiliar de arranque, que en los automóviles es eléc- 


trico, accionado por la batería que suministra también la energía 


necesaria para el encendido.^ 


CAPÍTULO XVIII 


EL MOVIMIENTO CONTINUO 

242. Movimiento continuo de primera especie. — En todas 
las épocas ha habido inventores que pretendieron construir máqui- 
nas capaces de realizar un trabajo mecánico sin gasto alguno. Sería 
erróneo creer que un molino de viento constituye un movimiento 
continuo. Puede moverse continuamente, pues en los días de calma 
se le podría hacer funcionar con parte de la energía que él mismo 
ha producido en los días de viento, si se tuvo la precaución de alma- 
cenar esa energía en forma eléctrica, cargando acumuladores, o en 
cualquier otra forma. Lo mismo cabe decir de un aparato que apro- 
vechara una caída de agua. En uno y otro caso, estas máquinas 
utilizan en forma indirecta, como ya se ha dicho (240) la energía 
solar. 

Un movimiento continuo se realizaría con un aparato capaz de 
crear energía, es decir, producir trabajo sin tomar la energía de 
ninguna otra parte. 

Claro está, que si es cierto el principio de conservación de la 
energía, es imposible el funcionamiento de un aparato de esta clase. 
Pero, ¿cómo es que sabemos, que el principio de conservación de 
la energía es cierto? En realidad se ha adquirido ese conocimiento 
basándose en los fracasos de todos los inventores del movimiento 
continuo. Hombres de gran ingenio han querido resolver el proble- 
ma; los aparatos inventados parecía que debían funcionar; por lo 
menos así resultaba sobre el papel. Cuando esos aparatos se cons- 
truían no funcionaban. 

El químico Ostwald nos cuenta en su libro sobre la energía, de 
la desilusión que experimentó ante un fracaso de esta clase, y de 
lo mucho que aprendió al reflexionar sobre las causas del fracaso. 
Los resultados negativos de los fracasados inventores, han tenido su 
fruto: el principio de conservación de la energía. A continuación 
pondremos una serie de ejemplos, exponiendo primero la demostra- 
ción que hubiera dado el supuesto inventor antes de conocer el fraca- 
so. Más adelante daremos la explicación negativa, pero recomendamos 



Física Elemental 


255 


al lector como ejercicio útilísimo, el que trate de encontrar por su 
cuenta la causa del no funcionamiento de cada una de las máquinas 
propuestas. 

Máquinas basadas en el principio de Arquimedes. — Si se 
utiliza la fuerza del viento, ¿por qué no utilizar la de la gravedad 
que la tenemos tan a mano? ¿Por qué 
no construir un “ molino de gravedad ”? 

Pesos de plomo pueden dejarse caer des- 
de cierta altura y luego se les hace subir 
en un baño de mercurio, ya que el plomo 
flota en el mercurio. En la figura 367, A, 

B, C y D son conos de plomo fijos a 
un eje horizontal. En S se ve la sección, 
no circular, de uno de estos conos. La 
mitad de ellos, en la figura el C y el D, 
están en el interior de una caja con mer- 
curio. Válvulas especiales permiten el pa- 
so de los conos por la pared vertical sin 
que salga el mercurio de la caja. El cono D, por ejemplo, al salir 
se apoyaría con su borde afilado sobre unas láminas elásticas, se- 
parándolas y pasando al exterior. La en- 
trada de los conos a la caja se lograría 
en forma análoga. Admitiremos, pues, que 
la construcción de estas válvulas es posible. 
Supongamos que cada cono tenga un volu- 
men de 10 litros. El peso específico del plo- 
mo es 11, luego cada uno de ellos pesará 110 
kilogramos. Adentro del mercurio experimen- 
tan un empuje igual a 136 kilogramos pues 
13,6 es ol peso específico del mercurio. En 
resumen la fuerza que hace caer a los dos 
conos exteriores es igual a 220 Kgr y la que 
hace subir a los que están adentro: 2 (136 — 
110) =52 Kgr. Claro está que podemos 
aumentar el número de conos. Si no se apro- 
vechara “el trabajo que suministra’ el apa- 
rato, éste se movería con movimiento acele- 
rado. Otra variante del aparato anterior es la que indica la 'figura 
368. Sobre una correa se disponen varios pesos: la mitad de ellos 
en el aire, la otra mitad en un líquido. Una compuerta especial 
permite el paso de los pesos del exterior al interior del líquido.. 





256 


E. Loedel 




En el aparato de la figura 369 se encuentran fijos a una correa 
unos vasos con una pesa de plomo en su interior. Una de las bases 
de esos vasos cilindricos es rígida, la otra de goma. De este mo- 
do los vasos de la derecha ocupan constantemente mayor volumen 
que los de la izquierda, el empuje será en 
ellos mayor y el aparato parece que debería 
girar en el sentido de las flechas. 


Máquina basada en la capilaridad. — 
Sea un tubo capilar cuyo diámetro es tal, que 
en él el agua puede ascender hasta la altura 
de 20 centímetros (fig. 370). Cortémosle por 
debajo de este nivel. El agua que parece que 
debería salir por el tubo podría accionar una 
minúscula turbina. Éste es el experimento que 
tanto preocupó a Ostwald. 

Máquina basada en la variación de g 
con la latitud. — La aceleración g es en el 
Kig. 369. — parece que si. polo 983 cm/seg 2 ; en el Ecuador 978 cm/seg 2 . 

Un cuerpo que pesa en el polo 983 kilogramos 
pesa en el Ecuador sólo 978 kilogramos. Tomemos ese cuerpo y 
dejémosle caer en el polo desde una altura de 10 metros; obtendre- 
mos un trabajo de 9830 kilográmetros 
en el trayecto AB (fig. 371). Lo trans- 
portamos luego siguiendo el nivel del 
mar hasta el punto C del Ecuador. En 
este trayecto, el trabajo de la grave- 


Fig. 370. — E) aparato que Ostwald pensaba patentar. 


1 ¡g. 


J. i l . - ~ 1 . 1 apa 
gratule, pero 


dad es nulo, pues la fuerza es constantemente perpendicular al cami- 
no: No tenemos en cuenta las fuerzas del roce. Una vez en C eleva- 
mos el cuerpo a la altura de 10 metros hasta alcanzar el punto D; 
gastaremos un trabajo de 9780 kilográmetros. 



Física Elemental 


257 


Nos queda por lo tanto de beneficio: 

9830 — 9780 — 50 Kilográmetros. 

Luego, transportamos el cuerpo de D a A siguiendo una línea 
de nivel, a una altura de 10 metros sobre el nivel del mar. En este 
trayecto no gastaremos trabajo. Por lo tanto parece que una cadena 
sin fin dispuesta entre los puntos ABCD debiera girar en el sen- 
tido de las flechas. 

Demostraciones negativas. — Para calcular el trabajo de los 
aparatos basados en pesos que caen, y luego suben al penetrar en un 
líquido, consideraremos para simplificar el problema, un cilindro 
recto (fig. 372) de sección S y longitud l. Llamemos p al peso espe- 
cífico del cuerpo; su peso será Slp (volumen X peso específico). 
Al caer de C a D el trabajo que 
realiza es: 

7\ = Slp ( H — h ); 

al subir de A a B, siendo p’ el 
peso específico del líquido la 
fuerza será igual al empuje 5/p’ 
menos el peso Slp y el trabajo 
será: 

r 2 = {sip’— sip) (H—h). 

Al salir el cuerpo del seno f: £ . 372. — 1 Qué lástima! 

del líquido realiza también un 

trabajo positivo. La fuerza que lo hace salir es igual a la presión 
hidrostática en el nivel BC, igual a hp\ por la sección S. La fuerza 
es entonces Shp’. Si l es la longitud del cilindro el trabajo será: 

T z = Slh P \ 

Antes de seguir adelante sumemos estos tres trabajos positivos. 
Efectuando las operaciones se tiene: 

Ti + T 2 + Tz = Sl P ’H. 

Calculemos ahora el trabajo que necesitamos gastar para intro- 
ducir el cilindro en el líquido en el pasaje de D a A. Si este trabajo 
fuera un poquito menor que el anterior el aparato funcionaría; 
si fuera mayor, funcionaría también pero en sentido inverso. Bien, 




258 


E. Loedel 


ese trabajo es igual a la fuerza que ejerce la presión hidrostática 
Hr actuando sobre la sección S por el camino l; luego: 

r 4 = Hp’Sl; 

exactamente igual a la suma de los otros tres. Como este trabajo 

es negativo resulta: 

T i + 7’ 2 + 7 , , + 7 , 4 = 0. 

En cuanto al aparato que “funciona’^ por 
cambio de volumen, basta suponer un cilindro 
enchufado en otro; en la parte superior el 
cuerpo se achica y en la parte inferior, donde 
la presión es mayor, se debe agrandar (fi- 
gura 373). 

Digamos que es P el peso de los cilindros 
de sección 5 y longitud lo cuando tienen volu- 
imen mínimo. Si el peso específico del líquido 
Fíg. 373. — ¡ siempre algún es p j a fuerza con que caen es: 

inconveniente! r ^ 

p — siop, 

y el trabajo de caída: 

T x = (P — Sl 0 p) ( H — h ). 

Si l es la longitud correspondiente al volumen máximo, supo- 
niendo que entonces los cilindros flotan, 
el trabajo al subir será: 

T 2 =(SI p — P) (H — h). 

El trabajo positivo de la contracción 
en la parte superior es: 

Ts = Sph ( l — lo). 

La suma de estos tres trabajos es: 

Ti -J- T 2 “f* 7*3 — SpH (l lo) . F *e- 374 - — I E1 menisco culpable! 

El trabajo negativo de agrandar los cilindros en la parte in- 
ferior es: 

T 4 = SpH (l — lo). 

Nuevamente el trabajo total es nulo. 





Física Elemental 


259 


En cuanto al aparato basado en la capilaridad, no puede fun- 
cionar por la razón siguiente. Primeramente el líquido sube debido 
a la tensión superficial. La superficie del menisco se comporta como 
una goma elástica. Si cortamos el tubo lo único que ocurre es que 
varía la forma del menisco (fig. 374). Creer 
que el líquido ha de salir por el tubo capilar 
al cortarlo equivaldría a creer lo siguiente: 

El tubo T (fig. 375) está recubierto por una 
goma en su parte superior; por su parte infe- 
rior comunica por medio de un tubo flexible 
con un vaso V; el tubo está totalmente lleno 
de agua. Si se baja el vaso V la superficie 
de la goma se hace cóncava. Esta concavidad 
aumenta al aumentar la diferencia de nivel 
entre la goma y la superficie del agua del 
vaso. Podemos hacer que esa diferencia de 
nivel sea por ejemplo de 30 centímetros. 

Entonces decimos: la tensión de la goma con- Fig . 3 -s.- ¿ y sí pineh.mo* 
trarresta una presión de 30 centímetros de ,a goma? 

agua. Elevemos el vaso, la diferencia de nivel 

sea, ahora, de 10 centímetros. Podríamos decir, olvidándonos que 
ha variado la forma de la goma: si la goma contrarrestaba una 
presión de 30 centímetros ahora que la diferencia de nivel es 10 
cm nos queda un exceso de 20 cm. Con esto podríamos caer en la 

peregrina ocurrencia de pinchar la goma 
para ver salir de ella un chorro de agua 
hacia arriba. Esto, ni más ni menos, es 
lo que se pretende con el aparato basado 
en la capilaridad. Se prescindió en él de 
la forma del menisco y de la tensión su- 
perficial. 

Otra variante del aparato anterior es la 
que muestra la fig. 376. Se pretende que el 
líquido salga de la canilla, pero en ella la 
presión es menor que la atmosférica: el 
líquido no sale. Lo mismo ocurre si se abre 

ngi ü/u. — | raro uuicucí A 

mayor trabajo! una canilla en la parte lateral del tubo 

del experimento de Torricelli (fig. 377). 
El líquido no sale y si sale entra aire y se acabó el aparato! 

243. Fuerzas conservativas. — Antes de dar la demostración ne- 
gativa de la máquina basada en las variaciones de g, conviene que 





260 


E. Loedel 



Fig. 377. — ¿Lo patentamos? 


reflexionemos acerca de la causa íntima que hace que no funcione 

ningún “ molino de gravedad ”. ¿Qué diferen- 
cia hay entre la fuerza de gravedad y la fuerza 
del viento.? Si colocamos un plano perpendi- 
cular a la dirección del viento (fig. 378) se 
moverá de A hacia B y realizará un cierto 
trabajo. Al llegar a B lo podemos poner de 
canto y llevarlo hasta D; en este caso el tra- 
bajo será insignificante. En D lo ponemos nue- 
vamente en dirección perpendicular a la fuer- 
za y repetimos el ciclo cuantas veces que- 
ramos. Obtenemos un trabajo positivo. Si exis- 
tiera un cuerpo cuyo peso variara según su 
posición se podría construir un molino de 
gravedad. Sea el supuesto cuerpo una barra; 
si estando horizontal pesa 10 Kgr y vertical 5 Kgr procederíamos 
así: la dejamos caer des- 
de cierta altura en posi- 
ción horizontal ; luego la 
giramos 90° hasta colo- 
carla vertical y la eleva- 
mos hasta la altura ini- 
cial, etc. 

Pero no existen cuer- 
pos con estas raras pro- 
piedades. 

Tampoco existen subs- 
tancias opacas o semi- 

opacas a la acción gravitatoria ; pero sí existen para la acción del 
* viento (fig. 379). Si existiera una substancia 

opaca para la gravedad sería muy fácil cons- 
truir un molino gravitatorio. 

Llamaremos campo de fuerzas gravitatorio 
a la región del espacio donde se manifiestan 
las fuerzas de gravedad. Rodeando a la Tierra 
existe un campo gravitatorio ; es el campo gra- 
vitatorio terrestre que hace que los cuerpos 
pesen. El campo gravitatorio originado por 
Fig. 379. — Esto ai, funciona. el Sol es el que hace que la Tierra y los 

demás planetas tiendan a caer hacia el astro 
central. La propiedad fundamental del campo de fuerzas gravita- 





Fig. 378. — Con el viento ea otra cosa. 




Física Elemental 


261 


torio es la siguiente: El trabajo que realizan las fuerzas del campo 
sobre un cuerpo que recorre un camino cerrado es siempre cero. 

Esto equivale a decir que es imposible la construcción de un 
“ molino de gravedad ” pues en una máquina cualquiera, al cabo de 
un ciclo, cada una de sus partes volverá a la posición inicial y el 
trabajo será nulo. A un campo de fuerzas que tenga esta propiedad 
se le llama conservativo. 

244. Idea general de potencial. — Si en el campo gravitatorio 
solar, o en otro campo gravitatorio cualquiera, transportamos un 
cuerpo de un punto A a otro B siguiendo el camino 1 (fig. 380) 
gastaremos cierto trabajo. Si regresamos a A por el camino 2 el 
trabajo total de las fuerzas del campo será nulo. Fijemos ideas: 
supongamos que de A a B por 1 gastamos 1000 kilográmetros; en 
el trayecto de B a A recibiremos 1000 kilográmetros. Luego si vamos 
de A a B por el camino 2 gastaremos el mis- 
mo trabajo que yendo por 1. 

El trabajo gastado en un campo de fuer- 
zas conservativo depende sólo de la posición 
final e inicial y no depende del camino segui- 
do. Cuando esto se cumple se dice que el 
campo admite un potencial. Decir que un cam- 
po de fuerzas es conservativo, o que el trabajo 
en un camino cerrado cualquiera es nulo, o 
que el trabajo no depende del camino, son expresiones sinónimas . 

Veremos en su lugar que el campo eléctrico es también un campo 
de fuerzas que admite un potencial. 

En el caso del campo gravitatorio la diferencia de potencial 
entre dos puntos cualesquiera es, por definición, igual al cociente 
entre el trabajo gastado y la masa que se transporta. Si se trata de 
los puntos A y B, indicando la diferencia de potencial entre los 
mismos por Vb — Va, siendo T el trabajo de transportar de A a 
B la masa m se tiene: 



Fig. 380. — Potencial 
gravitatorio. 


T 

Vb — Va = — ; osea: T = m (Vb — Va). 

771 

Sobre la superficie de la Tierra, si la diferencia de altura entre 
dos puntos es h el trabajo vale mgh, y la diferencia de potencial 
gravitatorio entre esos puntos es: 

Vb — Va — gh. 



262 


E. Loedel 


245. Superficies de nivel en la Tierra. — En cuanto al caso de 
la figura 371, estamos en condiciones de asegurar que el trabajo a 
lo largo del camino A, B, C, D, A, debe ser cero. 

¿En dónde fallaba nuestro razonamiento? Habíamos supuesto 
que en el camino de regreso de D a A seguíamos una línea de nivel. 
Pero esto no es exacto. Si partimos de D y seguimos realmente una 
línea de nivel, es decir, si nos movemos siempre perpendicularmente 
a la fuerza llegaremos a un punto A’ situado por debajo de A 
(fig. 381). Luego los 50 kilográmetros que habíamos obtenido los 

tendremos que emplear en elevar el 
cuerpo de A’ a A. Si llamamos x a 
esta distancia deberá ser: 

983 Kgr X x = 50 Kgmts; 

de donde: 

50 

* = = 0,05 m = 5 cm. 

983 Kgr 

Si siguiéramos el camino de puntos 
para pasar de D, directamente a A, en 

Fig. 38i. — Líneas de nivel. * ese trayecto gastaríamos los 50 kilo- 
grámetros. 

Una superficie de nivel es aquélla en que no se gasta trabajo 
al transportar un cuerpo de uno a otro punto de la misma. Se la 
llama también superficie equipotencial. Si no se gasta trabajo es 
porque la fuerza actuará en todos los puntos perpendicularmente 
a la superficie. 

Luego, en un campo de fuerzas que admiten un potencial, la 
fuerza actúa perpendicularmente a las superficies equipotenciales 
o de nivel. La superficie del mar es, en el caso de la Tierra, una 
superficie equipotencial. Los caminos BC y DA’ están sobre dos 
superficies equipotenciales, el BC en una y el DA’ en otra. 

Pero estas superficies no son equidistantes. 

Sólo en el caso de una Tierra esférica y homogénea, que no 
girara, las superficies equipotenciales serían superficies esféricas 
concéntricas. 

Representando gráficamente diversas superficies de nivel, se 
advierte de inmediato que la fuerza es tanto mayor cuanto más 
próximas estén ellas. Si llamamos gp y gE a los valores de la 
aceleración de la gravedad en el polo y en el Ecuador, respectiva- 





Física Elemental 


263 


mente y hv y Ae la distancia en esos lugares entre dos superficies 
de nivel deberá cumplirse: 

gphp = gE^E, 

de acuerdo a lo visto en (244). 

246. Principio de conservación de la energía. — De acuerdo 
a lo que precede el enunciado concreto del principio de conserva- 
ción de la energía sería: 

El movimiento continuo de primera especie es imposible. 

MOVIMIENTO CONTINUO DE SEGUNDA ESPECIE 

247. Definición. — Podemos suponer que los inventores del mo- 
vimiento continuo de primera especie, desilusionados por sus reite- 
rados fracasos, adquirieron la noción de energía y, lo que es más 
importante, el concepto de la conservación de la misma, que hace 
del todo imposible sacar trabajo de la nada. Entonces pueden haber 
pensado lo siguiente: el movimiento continuo de primera especie 
es imposible, pero quizá sea posible construir una máquina que fun- 
cione aprovechando el calor del mar o el calor del aire. Esta má- 
quina no gastaría combustible y prácticamente sería tan ventajosa 
como el movimiento continuo de primera especie. Sería una máquina 
frigorífica que suministra trabajo sin gastar nada. Hagamos un 
pequeño cálculo: supongamos que con la supuesta máquina logramos 
extraer del mar por segundo 100 kil ocalorías. Con esto la tempera- 
tura del mar no variará en forma apreciable aunque funcionaran 
millones de estas máquinas. Una kilocaloría equivale a 427 kilográ- 
metros. Nuestra máquina produciría por segundo un trabajo de 
42 700 kilográmetros; tendría una potencia de unos 560 H. P. Su 
funcionamiento no estaría reñido con el principio de conservación 
de la energía. Esta máquina realizaría el movimiento continuo de 
segunda especie. 

En la máquina de vapor tenemos dos fuentes térmicas : una a 
temperatura alta, la fuente caliente, la caldera; la otra a tempera- 
tura inferior, la llamada fuente fría que puede ser la atmósfera o 
el condensador. Observamos en su lugar que el condensador se va 
calentando, y es tan indispensable calentar el agua de la caldera 
como enfriar la del condensador para que la máquina funcione. 
Observamos también que si la temperatura del condensador se hace 
igual a la de la caldera, la máquina deja de funcionar. 



264 


E. Loedel 


En los motores a explosión, al producirse ésta, la temperatura 
se eleva muchísimo: en la misma cámara de explosión está la fuente 
caliente y la atmósfera es la fuente fría. El aparato que realizara 
el movimiento continuo de segunda especie 
tendría que funcionar con una única fuente 
térmica. 

248. Principio de Carnot - Clausius o 
segundo principio de la termodinámica. 

— Sadi Carnot publicó en 1824 su célebre 
memoria titulada “Reflexiones acerca de 
la potencia motriz del fuego” donde hacía 
destacar la necesidad de la existencia de dos 
fuentes de calor a diferentes temperaturas 
para el funcionamiento de una máquina tér- 
mica. 

En 1850, Clausius estableció un princi- 
pio general, cuyo enunciado original era: Es 
absolutamente imposible hacer pasar calor de una fuente fría a otra 
caliente , sin que se produzcan al mismo tiempo otras variaciones. 

Este enunciado equivale, como puede demostrarse, al siguiente 
(enunciado de Plancic) : 

El movimiento continuo de segunda especie es imposible. 

Si se pudiera hacer pasar calor del mar a una caldera a tempe- 
ratura alta, sin producir otras variaciones, una máquina térmica 
funcionaría entre la caldera y el mar; en última instancia esta má- 
quina funcionaría con el calor del mar: sería un movimiento con- 
tinuo de segunda especie. Se ve así, la equivalencia entre el enun- 
ciado de Clausius y el de Planck. 

249. Consecuencias. — Es realmente extraordinaria la fecundi- 
dad del segundo principio aplicable a la totalidad de los fenómenos 
físicos y químicos. 

Daremos a continuación lin solo ejemplo. En un vaso tenemos una 
solución, que para fijar ideas supondremos de azúcar en agua. Las 
paredes del vaso son semipermeables (208). Si la tensión del vapor 
de agua de la solución en S’ (fig. 383) fuera igual a la tensión del 
vapor de agua pura cuya superficie es S, encerrando el osmómetro 
en una campana, el agua se evaporaría en forma continua en S’ y se 
condensaría en 5, pues esta última superficie se encuentra a una 
presión algo mayor que S’. El exceso de presión en S es igual al 



Carnot a loa 17 años tic 
edad. (1796 - 1832). 



Física Elemental 


265 


peso específico p del vapor de agua, por la diferencia de nivel H 
entre ambas superficies. Este movimiento circulatorio, de vapor de 
agua que desciende y solución que sube por el tubo, podría utili- 
zarse, con hélices apropiadas, para producir 
trabajo. En este caso la temperatura del apa- 
rato descendería. Pasaría calor de la atmósfera 
a él. Se tendría así un movimiento continuo 
de segunda especie. De la imposibilidad del 
mismo deducimos que la tensión de los vapo- 
res de agua de la solución en S’ debe ser me- 
nor que la tensión de los vapores de agua 
pura. Si llamamos P a la tensión de los vapo- 
res de agua pura y P’ a la tensión de la solu- 
ción, la diferencia P — P’ deberá ser igual 
a P H: 

P — F = P H. 

Fig. 383. — Proyecto de 

rri 111 • * / . movimiento continuo de 

Como H depende de la presión osmótica, segunda especie, 

hemos encontrado una relación cuantitativa 

entre la disminución de la tensión de los vapores de una solución, 
con respecto a la tensión del solvente puro, y la presión osmótica 
de la misma. 

250. Método termodinámico. — En el ejemplo anterior vimos 
que al disolver azúcar en agua, la tensión de los vapores de la 
solución se hace menor. Pudimos calcular hasta cuanto vale esa 
disminución y para hacerlo, no nos preocupamos en lo más mínimo 
acerca del mecanismo del fenómeno de la evaporación. 

Puede pensarse que si la tensión del vapor de agua disminuye 
cuando se disuelve en ella una substancia, ello se debe a la atracción 
que en la superficie ejercen las moléculas de la substancia disuelta 
sobre las moléculas del vapor. 

En el método termodinámico no se entra para nada al estudio 
del mecanismo íntimo de los fenómenos: Si se trata de calcular la 
llamada fuerza electromotriz de una pila eléctrica, se procede, al 
hacer el cálculo, a postular que las reacciones químicas, etc., en su 
interior, tendrán que efectuarse de modo que se cumplan los dos 
principios establecidos. En otras palabras, la pila funciona de tal 
modo que hace del todo imposible un movimiento continuo, de pri- 
mera o de segunda especie. Se observa que calculando así, se obtie> 
nen resultados concordantes con la experiencia. 




266 


E. Loedel 


251. Rendimiento máximo de una máquina térmica. — Ya sa- 
bemos que para que una máquina funcione hacen falta por lo menos 
dos fuentes de calor: una a temperatura alta T\ y otra a tempera- 
tura menor T 2 . Supongamos que la máquina, al cabo de un ciclo, 
saca 10 kilocalorías de la fuente caliente y efectúa un trabajo mecá- 
nico equivalente a 2 kilocalorías. El resto, 8 kilocalorías, pasan 
sencillamente a la fuente fría sin ser utilizadas. El rendimiento 
sería en este caso: 

2 1 

r = — = — = 0,2 = 20 %. 

10 5 

El rendimiento es por definición igual a la relación entre el 
calor transformado en trabajo y el calor extraído a la fuente caliente. 
Este rendimiento no podrá ser nunca igual a la unidad, pues si lo 
fuera se tendría un móvil perpetuo de segunda especie. Carnot 
demostró que si las temperaturas absolutas de las fuentes entre las 
cuales funciona la máquina son Ti y 7’ 2 , y una máquina perfecta 
funciona entre las mismas extrayendo al cabo de un ciclo el calor 
@i a la fuente caliente y entrega el calor Q 2 a la fuente fría, deberá 
cumplirse: 

Qi T x 



Ejemplo. — Sea 7\ = 546° absolutos (273° C) y T 2 = 273° abso- 
lutos (0 o C) ; si @i = 10 kilocalorías, Q 2 tendrá que ser igual a 5 
kilocalorías. Esto, repetimos, en el caso de una máquina perfecta, 
o ideal, que llamaremos máquina de Carnot. 

El rendimiento será: 

@i — @2 

r = . 

Y como de la proporción anterior: 

@i — @2 T 1 - — T 2 

Qi T \ 

resulta para el rendimiento de la máquina de Carnot: 

Ti — T 2 

r = . 

Ti 



Física Elemental 


á 


267 


En el ejemplo anterior el rendimiento máximo sería igual a 
1/2. A este rendimiento se le llama también rendimiento teórico. 
El rendimiento de las máquinas reales es siempre inferior al teórico. 

252. Temperatura termodinámica. — La temperatura definida 
por medio de un termómetro de mercurio, no coincide con la tempe- 
ratura definida por un termómetro de hidrógeno, o de cualquier 
otra substancia. Las temperaturas de diversos termómetros, con dis- 
tintas substancias termomé tricas, coinciden solamente en los puntos 
fijos de la escala adoptada. El segundo principio de la termodiná- 
mica permite definir la temperatura, independientemente del com- 
portamiento de substancia alguna. A la temperatura definida así por 
lord Kelvin se la llama temperatura termodinámica. 

La relación [1] del párrafo anterior se refiere a las tempera- 
turas termodinámicas. Se demuestra que la temperatura termodiná- 
mica coincide con la temperatura absoluta que indicaría un termó- 
metro de gas perfecto. 

De la temperatura ordinaria que indica un termómetro de mer- 
curio, por ejemplo, se puede pasar al conocimiento de la tempera- 
tura termodinámica por medio del cálculo. Hace falta conocer para 
esto ciertas constantes físicas de la substancia termométrica. En 
resumen, la temperatura t definida por un termómetro cualquiera, 
es una función perfectamente determinable de la temperatura ter- 
modinámica T. La temperatura absoluta indicada por un termó- 
metro de hidrógeno, puede considerarse en la práctica, que coincide 
con la temperatura termodinámica, ya que las diferencias entre 
ambas son muy pequeñas. 

253. La entropía. — Sabemos que una kilocaloría equivale a 427 
kilográmetros. Consideremos dos fuentes de calor, una a 100° C y 
otra a 0°C: agua en ebullición y hielo fundente a la presión nor- 
mal. Entre ambas fuentes puede funcionar una máquina térmica. 
Ésta extrae calor de la fuente caliente, transporta una parte a la 
fuente fría y convierte la diferencia en trabajo. Supongamos que 
la máquina saca en cada ciclo 5 calorías a la fuente caliente, con- 
vierte en trabajo 1 y entrega 4 a la fuente fría. Estas cuatro calorías 
de la fuente fría ya no podrán ser utilizadas por la máquina. Del 
punto de vista de la utilización vale más una caloría en la fuente 
caliente que una caloría en la fuente fría, aun cuando representen 
¿mbas la misma cantidad de energía. 

Al pasar calor de los cuerpos calientes a los fríos, por conduc- 
ción, radiación, etc., la energía se mantiene constante, pero la posi- 



268 


E. Loedel 


bilidad de poder transformar esa energía en trabajo disminuye 
siempre. 

Un ingeniero diría: Qué me importa a mí que la energía de una 
caloría de la fuente caliente sea exactamente igual a la energía de 
una caloría de la fuente fría, si de esta última caloría yo no puedo 
aprovechar en trabajo absolutamente nada. Para mí, continúa, tiene 
más valor la energía calorífica cuanto mayor sea la temperatura. 
Me conviene por eso, construir mi máquina, de modo que transporte 
a la fuente fría el mínimo posible de calor. Debo tratar que no pase 
calor de una a la otra ni por conducción ni por radiación. 

Para tener una idea, no sólo de la energía calorífica, sino del 
valor de la misma, introdujo Clausius el concepto de entropía. 

Por definición, el aumento de la entropía de una fuente térmica 
es igual al cociente entre el aumento de su cantidad de calor y su 
temperatura absoluta. Si se aumenta en una caloría la cantidad de 
calor de una fuente cuya temperatura absoluta es igual a 500° C, 
el aumento s de su entropía será: 

1 r caloría - 

s — 

500 L grado C - 

Si en lugar de agregar, le sacamos calor, la entropía disminuirá. 
Supongamos que de esa fuente a 500° absolutos pasa por conduc- 
ción una caloría a otra fuente a 250° absolutos. En la primera la 
entropía disminuyó en 1/500; en la segunda aumentó en 1/250; el 

aumento total de entropía, considerando el conjunto de las dos 

fuentes es: 

1 1 1 

5 = . 

250 500 500 

Se comprende que al pasar el calor por conducción de una fuente 
caliente a otra fría la entropía aumenta. 

En la producción de calor por rozamiento la entropía aumenta 
también; si el calor producido es Q y la temperatura absoluta es 
T el aumento será: Q/T. 

Si de una fuente caliente a la temperatura absoluta 7\ una má- 
quina saca el calor y entrega a una fuente fría a la temperatura 
T 2 el calor Q 2 , el aumento de la entropía será: 

Qz Qi 




Física Elemental 


269 


La diferencia de calor — Q 2 es lo que la máquina ha trans- 
formado en trabajo. 

Una máquina perfecta, en la cual no hubiera transporte de calor 
por conducción ni radiación, en fin, la máquina de Carnot, límite 
ideal inalcanzable en la práctica, haría que la entropía de todo 
el sistema no variara, o sea: 

Q2 Qi 

= 0; 

T 2 T x 

y de aquí obtenemos nuevamente [1] del parágrafo 251. 

En todos los procesos que se cumplen en la naturaleza, produc- 
ción de calor por roce, conducción y radiación térmica, etc., la 
entropía aumenta. 

En un proceso cualquiera la energía inicial es igual a la final, 
pero la entropía ha aumentado algo. Si un péndulo oscila sin roce 
alguno, la energía y la entropía se mantienen constantes, pero no 
bien exista el más mínimo rozamiento, que es el caso real, la entro- 
pía aumenta. El aumento incesante de la entropía da una medida de 
la desvalorización o degradación de la energía, en cuanto a la posi- 
bilidad de transformar la misma, en trabajo mecánico. 

¿Qué pasaría con la entropía si se pudiera construir un móvil 
perpetuo de segunda especie? Simplemente, si extrajéramos calor 
de una única fuente y lo transformáramos en trabajo, la entropía 
disminuiría. 

La imposibilidad del movimiento continuo de segunda especie 
SE traduce ahora del modo siguiente: 

La entropía de un sistema aislado debe aumentar; en el. caso 
límite ( ausencia de roce, conducción de calor, etc.), permanece, 
cuando mucho, constante, pero es absolutamente imposible hacer 
que la entropía disminuya. 

254. Reversibilidad. - — Cae una piedra ; su energía cinética se 
transforma en calor al chocar aquélla contra el suelo; la energía 
total no ha variado, pero la entropía aumentó. Este proceso es irre- 
versible, es decir es imposible hacer que el calor producido por el 
choque se transforme en trabajo haciendo que la piedra vuelva a 
su posición inicial, quedando todo lo demás como estaba antes. 
Un péndulo que oscila sin roce constituye un fenómeno reversible: 
no hay producción de calor y la entropía permanece constante. Tal 



270 


E. Loedel 


es lo que parece ocurrir en el movimiento de los planetas, aun 
cuando el más mínimo roce producido por el polvo cósmico, urano- 
litos, etc., hace que esos movimientos no sean del todo reversibles. 
La máquina de Carnot, con la cual la entropía no variaba, debe 
consistir en un proceso reversible. En resumen, el aumento de la 
entropía hace que se distinga el estado final del estado inicial de 
un sistema. El segundo principio de la termodinámica o principio 
del aumento de la entropía es algo así como una flecha indicadora 
en el tiempo : el pasado corresponde a valores más pequeños de la 
entropía, el futuro a valores más grandes. Si se supone que este 
principio es aplicable a todo el Universo, la entropía mediría la 
edad del mismo. Cuando esa magnitud alcance su valor máximo ya 
no será posible que se efectúe cambio alguno. A ese supuesto estado 
final de quietud se le ha llamado la muerte del Universo. Por má? 
que el principio del aumento de la entropía se verifica constante 
mente, es dudoso que tenga sentido extender su validez al Universo 
entero. 


PROBLEMAS 

1. Sobre un camino horizontal un ciclista, un corredor y un cami- 
nante recorren igual trayecto. ¿Cuál de los tres efectúa más 
trabajo en contra de la fuerza de gravedad? 

Un examen superficial del asunto haría pensar que en los 
tres casos el trabajo es cero. Pero mientras el centro de gra- 



Fig. 384. — Trabajo en el salto, la marcha y la carrera. 


vedad del ciclista sigue una trayectoria horizontal o casi hori- 
zontal (fig. 384) en el caso del corredor dicha trayectoria es 
una sucesión de arcos de parábola. Si el corredor pesara 60 
Kgr y se elevara en cada salto 10 cm el trabajo por salto sería 
de 6 kilográmetros. Al caer no recupera ese trabajo que se 
convierte en calor. Por eso al saltar, el trabajo mecánico que 
se realiza es bien apreciable: se transforma en calor y los pies 
se calientan. Al caminar, el centro de gravedad también sube 




Física Elemental 


271 


y baja, pero en forma casi inapreciable. En consecuencia el 
corredor es el que efectúa el mayor trabajo y el ciclista el menor. 

2. ¿En cuánto aumenta la entropía cuando se funden 100 gramos 
de hielo utilizando el calor proveniente de agua en ebullición 
a la presión normal? 

El calor de fusión del hielo es 80 cal/gramos. Se han trans- 
portado 8000 calorías. La temperatura absoluta de la fuente 
caliente es 373°, de la fuente fría 273. La entropía de la fuente 
caliente disminuye , porque se saca calor, en: 

8000 

373 

la entropía de la fuente fría aumenta en: 

8000 

» 273 

El aumento total es: 

8000 8000 caloría 

= 7,86 . 

273 373 grado C 

3. ¿Cuánto valdría el rendimiento de una máquina de Carnot que- 
funcionara entre las fuentes anteriores? 

373 — 273 

r = = 0,27. 

373 

4. ¿Cuánto valdrá el rendimiento de una máquina real que fun- 
ciona entre esas fuentes? 

Tendrá que ser menor que 0,27. En las mejores máquinas 
reales su rendimiento es inferior a la mitad del rendimiento 
teórico. 

5. Una máquina real funciona entre las fuentes anteriores. Su ren- 
dimiento es 0,1; su potencia 11,38. H. P. ¿Cuánto aumenta la 
entropía por segundo? 



272 


E. Loedel 


El trabajo realizado por segundo es 853,5 kilográmetros. 
Como 427 kilográmetros equivalen a una kilocaloría, la diferen- 
cia Q i — Q 2 será: 

853,5 

Q 1 — Q 2 = — 2 kilocalorías. 

427 

Además, por la definición de rendimiento: 

Qi — (?2 

= 0,1 ; (?i = 20 Kcal ; Q 2 = 18 Kcal. 

Qi 

El aumento de la entropía por segundo es: 

18 20 Kilocaloría 

= 0,0123 . 


273 373 


grado C 



CAPÍTULO XIX 


PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 

TEORÍA CINÉTICA MOLECULAR 

255. El cálculo de probabilidades. — Ya Galileo se ocupó de 
los juegos de azar al resolver un problema que le plantearon acerca 
del juego con tres dados. Pascal y Fermat dieron el método a 
seguir para calcular las probabilidades en diversos casos; Santiago 
Bernoulli, Gauss, Laplace, etc., dieron más tarde los fundamentos 
del cálculo de probabilidades. 

Éste se aplica no sólo en las cuestiones relativas a los juegos 
de azar, que es de donde ha surgido, sino también en los cálculos 
de seguros de todas clases; en los del presupuesto de una nación 
y en los más modestos del presupuesto casero. En biología, es de 
aplicación constante en la rama llamada biometría, y en lo que se 
refiere a la física se aplica en la teoría cinética de los gases, en la 
constitución de los átomos, en los fenómenos de radiactividad y 
transmutación de la materia. Para los físicos actuales, las ondas que 
constituyen la luz no son más que “ ondas de probabilidad ” . 

Cuando en una simple experiencia hallamos el término medio de 
varias observaciones, estamos aplicando el cálculo de probabilida- 
des; y en la prodigiosa exactitud de las observaciones astronómicas 
modernas se aplica el mismo cálculo para hallar en cada caso el 
“error probable ” de cierta cantidad. 

256. ¿Cara o ceca? * — Si lanzamos una moneda al aire y 
apostamos a que sale cara la probabilidad de acertar es igual a un 
medio, pues se llama probabilidad, al cociente entre el número de 
casos favorables y el de casos igualmente posibles. 

Lancemos ahora la moneda dos veces y veamos todos los casos 
posibles. Si indicamos con el número 1 cuando sale cara y con el 
número 2 cuando sale ceca estos casos serán: 

11 ; 12 ; 21 ; 22 . 

Esto significa que puede salir dos veces cara (11), o la pri- 
mera vez cara y la segunda ceca (12) ; o primero ceca y luego cara 

• La palabra “ceca” ea ud argentinismo; en el Uruguay Be habla de “sol o número”; en 
el Perú de “cara o sello 91 ; en otras partes de “cara o cruz ”, etc. En las monedas coloniales 
se imprimía del otro lado de “los caros ” la “ceca”» palabra de origen árabe que significa easa 
donde se acuña moneda. 



274 


E. Loedel 


(21) o finalmente las dos veces ceca. Los casos posibles son cuatro 
y entonces la probabilidad de que salga cara las dos veces será 1/4; 
de que salga ceca las dos veces también 1/4, y de que salga una 



Fig. 385. — Los cuatro casos igualmente posibles en dos tiradas. 


vez cara y otra ceca, en cualquier orden, 2/4. Escribamos en orden 
estos resultados: 

1/4; 2/4; 1/4. 


Consideremos ahora que 

lanzamos la moneda 3 

veces. 

Los casos 

posibles son 8 = 2 3 : 

ni; 

112; 

122; 

222. 




121 

212 





211 

221 



Probabilidades : 

1/8 

3/8 

3/8 

1/8. 


A continuación se 

: contempla el caso 

de 4 tiradas: 



lili; 

1112; 

1122; 

1222; 

2222. 



1121 

1212 

2122 




1211 

1221 

2212 




2111 

2112 

2221 





2121 






2211 



Probabilidades : 

1/16 

4/16 

6/16 

4/16 

1/16. 


Vemos ya que en cuatro tiradas, la probabilidad de salir la 
mitad de las veces cara y la otra mitad ceca , en cualquier orden, 
no es un medio, sino 6/16. 

¿Cómo pasamos de este caso al de 5? El caso anterior da todas 
las posibilidades de las 4 primeras tiradas que son 16. 

La quinta tirada podrá ser cara o ceca y tendremos 32 casos 
posibles. Supongamos en efecto que las cuatro primeras tiradas 
hayan sido 1112; la quinta podrá ser 1 ó 2, luego: 


'1112 1 


1112 


\ 


1112 2 



Física Elemental 


275 


De estos 32 casos igualmente posibles, tenemos 1 caso para cinco 
caras; cinco casos cuatro caras y una ceca; 10 casos 3 caras y 2 
cecas, etc. Veamos porqué resultan 10 casos en que salen 3 caras 
y 2 cecas. Estos 10 casos provienen de los cuatro casos: 


1112 , 1121 , 1211 , 

cuando después de ellos sale ceca (2) : 

1112 2 , 1121 2 , 1211 2 , 

y de los seis casos: 

1122 , 1212 , 1221 , 2112 , 

cuando después de ellos sale cara (1) : 

1122 1 , 1212 1 , 1221 1 , 2112 1 , 


2111 , 

2111 2 , 

2121, 2211, 

2121 1 , 2211 1 . 


Por lo tanto si escribimos los numeradores de las probabilida- 
des para el caso de 4 tiradas obtenemos los numeradores de la? 
probabilidades para el caso de 5 con sólo sumar los números con- 
secutivos y así sucesivamente: 



Este cuadro numérico no es otra cosa que el famoso triángulo 
de Tartaclia con el cual se calculan los coeficientes de las poten- 
cias de un binomio, y que también sirve, cosa asombrosa, para saber 
lo que pasa cuando se tira una moneda! 

Consideremos el caso de una serie de diez tiradas. El número 
de casos posibles es 2 10 = 1024. La probabilidad de\que salgan 10 
caras es: 

1 

P 10 = = 0,0009766; 


1024 



276 


E. Loedel 


las probabilidades de que salga 9 veces cara y una vez ceca, u ocho 
caras y dos cecas, etc., son: 

10 45 

P 9 = = 0,009766 ; P 8 = = 0,04395 ; . . . 

1024 1024 

La probabilidad máxima corresponde al caso de 5 caras y 5 cecas: 

252 

P 5 = = 0,2461. 

1024 

La probabilidad máxima es, en este caso, menor que 1/4. La 
figura 386 representa gráficamente las probabilidades de obtener 
en 10 tiradas, cero, una, dos, etc. veces cara. La línea blanca une 

los distintos puntos. 


257. Otros ejemplos. Fre- 
cuencia. — En el caso de un da- 
do la probabilidad de que salga 


un punto determinado, digamos 
el as, es 1/6. La probabilidad 
contraria 5/6. 

En la ruleta se trata de 37 sectores numerados de cero a 36; 
la probabilidad de que salga un número determinado es igual a 
1/37. De esos números, 18 son “colorados” y 18 “negros”. El cero 
“no tiene color”. La probabilidad de que salga negro es entonces 
18/37. Si se apuesta a dos números (semipleno) la probabilidad 
de acertar es 2/37. Si se apuesta a 4 números (cuadro) 4/37, etc. 

Se llama frecuencia absoluta de un acontecimiento el número de 
veces que el mismo se produce en una serie determinada de pruebas. 

Frecuencia relativa es el cociente entre el número de casos que 
se han producido y el número total de pruebas. Cuando el número 
de pruebas es muy grande, la frecuencia relativa es igual a la proba- 





Física Elemental 


277 


bilidad del acontecimiento. Si se tira un dado 6000 veces se observa 
(si el dado es “bueno”) que el as sale un número de veces cercano 
a 1000. Se puede calcular que existe una probabilidad igual a 1/2 
para que el as salga un número de veces que difiera de 1000 en 
más o en menos 21. >. 

Es decir que si se 
efectúan muchas se- 
ries de 6000 tiradas 
cada una, en la mi- 
tad dé ellas el as 
saldrá un número 
de veces compren- 
dido entre 979 y 
1021; la otra mi- 
tad de las veces la 
diferencia entre el 
número de veces que sale el as y el número 1000 será mayor que 
21 en valor absoluto. En el cuadro siguiente se consignan los resul- 
tados a esperarse en series de pruebas de 60; 6000; 600 000, et& 
tiradas. 


Series de 

60 

6000 

600 000 

60 000 000 

Frecuencia 

10 

1000 

100000 

10 000 000 

Apartamientos 

± 2 

± 21 

± 212 

± 2125 


Según este cuadro existe una probabilidad de 1/2 para que en 
una serie de 60 tiradas tengamos un apartamiento igual o menor 
que 2 y por lo tanto la probabilidad es de 1/2 para que el aparta- 
miento sea mayor que 2. Si en 60 tiradas el as sale 13 veces en 
lugar de 10 ello no es motivo de que nos asombremos o de que 
pensemos que el dado es “falso”. Otra cosa sería si en 6000 tiradas 
el as saliera 1300 veces. Se ve en el cuadro que los apartamientos 
absolutos son tanto mayores cuanto mayor es el número de pruebas; 


pero los apartamientos 

relativos : 


2 

21 

212 

5 

> 

; etc. 

60 

6000 

600000 

van siendo cada vez menores. 



El ejemplo precedente es un caso particular del célebre teorema 
de Bernoulli; los cálculos se efectúan con fórmulas matemáticas 
especiales. 



278 


E. Loedel 


258. Esperanza matemática. — Se llama así, al producto de la 
probabilidad por el valor del premio que se espera recibir. Si se 
apuesta $ 1 a que las dos últimas cifras del premio mayor de la 
lotería formarán el número 15, y el premio que se espera es $ 80, 
como la probabilidad es 1/100, la esperanza matemática será: 

1 

E = 80 = $ 0,80. 

100 

Un juego se dice que es equitativo si la esperanza matemática 
es igual a la unidad. En el ejemplo que precede, uno de los juga- 
dores tiene una ventaja del 20 % con respecto al otro. En el caso 
de la ruleta la esperanza matemática correspondiente a un peso 
apostado en cualquier forma y en cualquier momento es\ 

36 

— = $ 0,973. 

37 

La ventaja del banquero es ahora de 2,7 %. Consecuencia inme- 
diata del teorema de Bernoulli es la siguiente: En cualquier juego 
en que la esperanza matemática es menor que la unidad es absoluta- 
mente seguro que en un número de pruebas suficientemente prolon- 
gado se debe perder. Es más aún: todos los procedimientos de juego 
son equivalentes y conducen “a la larga” a igual pérdida por uni- 
dad apostada. 

Tan imposible es la existencia de un procedimiento para ganar 
en un juego de azar, como la realización del movimiento continuo. 

Todo el cálculo de probabilidades puede desarrollarse en base 
a esta proposición. 

Los jugadores suelen creer en la existencia de martingalas; pien- 
san por ejemplo que si ha salido en la ruleta diez veces consecu- 
tivas el rojo, el negro tiene una mayor probabilidad de salir y 
esto es absolutamente falso. “La ruleta no tiene memoria”. Se pro- 
ducen en igual número, series de 10 rojos seguidos de un negro, 
que series de 11 rojos. 

259. Estadística. — Elegiremos un ejemplo que interesa profun- 
damente a los estudiantes. Damos a continuación las calificaciones 
obtenidas por un grupo de 1000 alumnos en determinado examen: 

Calificaciones 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Número de alumnos 8 15 56 96 149 175 176 148 95 57 25 



Física Elemental 


275 


La figura 389 representa gráficamente estos resultados, habiendo 
tomado en el eje de las ordena- 
das el número de alumnos y en 
el de las abscisas las califica- 
ciones. Se obtiene, uniendo los 
puntos, una curva muy parecida 
a la de la figura 386. 

Ésta es la llamada curva de 
Gauss, o de campana debido a 
su forma. Si en un tablero incli- 
nado (fig. 390) con muchos cla- 
vos se dejan caer municiones, 
éstas al chocar contra los clavos 
seguirán trayectorias muy capri- 
chosas. Es absolutamente impo- 
sible, en la práctica, prever en 
qué casillero caerá una determi- Fig. 389. — ¡Cuidado con la región sombreada! 
nada munición. Se observa que 

ellas se distribuyen en los casilleros 
de acuerdo a la curva de Gauss. 

Si en una colectividad, digamos de 
10 000 personas de la misma edad, se 
las clasifica por su estatura, o por su 

se obtiene una distribución análoga, 
Ocurre con frecuencia que la curva 
obtenida es más complicada (fig. 391). 
En el caso de la figura la curva obte- 
nida, blanca, se puede considerar como 
la suma de dos curvas normales de 
Gauss. Esto prueba que se trata de dos 
clases diferentes de individuos mezclados; 
en el caso de una colectividad humana re- 
velaría ese hecho la existencia de dos 
razas. 

Lo que los estudiantes llaman mesas exa- 
minadoras “buenas” o “malas” podría some- 
terse a control por estudios estadísticos. El 
grado de exigencia de determinada mesa 
podría ser medido. En el ejército francés, 

Quételet puso de manifiesto en 1844, la 
existencia de un fraude por medio de estudios estadísticos. 



peso, o por su capacidad torácica, etc.. 



Fig. 390. — Tablero de Callón. 




280 


E. Loedel 


Clasificó por su estatura un grupo de 100 000 conscriptos y encontró que 
para los de talla superior a 1,60 m los resultados estaban en perfecto acuerdo 
con el cálculo, es decir que se distribuían según una curva normal de Gauss. 
En cambio, los de estatüra inferior a 1,57 m que debían ser, según el cálculo, 
unos 26300, resultaban ser 28600. Un exceso de 2300 individuos demasiado 
bajo9* y según la ley jurídica se exceptuaban del servicio militar los que no 
alcanzaban la estatura de 1S7 La clase de conscriptos comprendida entre 
1,57 y 1,60 comprendía, en cambio, un número de individuos menor que el 
teórico. 

Quedaba pues de manifiesto que individuos de 1,58 y 1,59 m de estatura 
habían sido clasificados fraudulentamente como de talla inferior a 1,57 para 
exceptuarlos del servicio. 

En la figura 392 se han representado 2 curvas de Gauss diferentes. 
Ambas podrían representar los resultados de una misma medida: 
la 1 con un instrumento menos preciso que la 2. Para poder repre- 
sentar estas curvas es necesario efec- 
tuar muchas observaciones. La abscisa 
del máximo es el valor más probable 
de la magnitud medida. Estas curvas se 
llaman curvas de errores y a pesar del 
enunciado paradójico, “ el cálculo de 
errores ” es de mucha importancia en 
todas las mediciones de gran precisión. 

Un juego para determinar 7 r. — Puede determinarse el valor 
de 7r estadísticamente. Tiremos cierto número de veces sobre las 
tablas de ancho D de un piso una regla de longitud l. Esta regla 
(fig. 393) cortará a las juntas de las tablas un número variable 
de veces. Si por casualidad cae sobre una tabla tomando una direc- 
ción paralela a la misma el número de cortes será en ese caso igual 
a cero. Hallemos ahora el término medio del número de cortes 
sumando los cortes de cada prueba y dividiendo por el número de 
pruebas. Sea ese término medio igual a N . Se obtiene el valor de 
7r con la fórmula: 

21 

TT = . 

ND 

Ejemplo. — Sea D = 6 cm; 1 = 21 cm. Efectuamos 10 pruebas 
que arrojan el resultado siguiente: 



Fig. 392. — Dos curvas de Gauss. 


413211334 1. 


Física Elemental 


281 


Esto significa que en la primer tirada el número de cortes fué 
igual a 4, en la segunda 1, etc. Como la suma es 23 el término 
medio N es 2,3. Se obtiene para ir el valor: 

2 X 21 

7T = = 3,0. 

2,3 X 6 

La precisión en la determinación de ir aumenta con el número 
de pruebas y está limitada por la precisión con que se miden l y D. 

Demostración. — El término medio N de cortes, será tanto 
mayor cuanto mayor sea la longitud de la regla con respecto al 
ancho de las tablas. Indicando con 
k una constante, por ahora indeter- 
minada, podremos estableoer: 

l 

N = k — . [1] 

D 


ser arqueada o quebrada en muchas 
partes, pues puede considerarse a la 
• misma como suma de segmentos muy 
pequeños. Siendo así, la fórmula an- 

. 11 » i »i lig. 393. — Delcrminación de 7Í • 

tenor puede aplicarse a un hilo o 

alambre de cualquier forma. Apliquémosla entonces a un anillo cir- 
cular de diámetro exactamente igual al ancho de las tablas. La 
longitud del anillo es nD. El anillo en todos los casos efectuará 2 
cortes, o sea N será igual a 2. Tendremos así: 

irD 2 

2 = k , y de aquí : k == — . 

D 7T 

Reemplazando este valor de k en la [1] obtenemos: 

2 l 

N = . 

7 r D 

De .esta fórmula se obtiene la que habíamos establecido al co- 
mienzo. Valores bastante aproximados de ir se obtienen en pocas 


Este término medio no depende 
de la forma de la varilla que puede 




282 


E. Loedel 


tiradas dejando caer sobre un papel milimetrado un polígono cual- 
quiera de cartón de perímetro conocido. 

TEORÍA CINÉTICA MOLECULAR 

260. Teoría cinética de los gases. — Daniel Bernoulli pro- 
puso una sugestiva hipótesis para explicar el comportamiento de 
los gases en lo que a presión y temperatura se refiere. Llama en 
efecto la atención que la presión de cualquier gas (aire, oxígeno, 
helio, etc.), se haga doble si el volumen se reduce a la mitad (ley 
de Boyle). Parece entonces que no influyen para nada en los gases, 
fuerzas de acción entre las moléculas. Si la presión de un gas y su 
expansibilidad proviniera de un efecto de repulsión molecular, cabría 
esperar que cada gas se comportara de modo dife- 
rente. En los sólidos, cada uno de ellos tiene un mó- 
dulo o coeficiente de compresión diferente. Lo mismo 
ocurre con el variar de la temperatura: el coeficiente 
de dilatación es el mismo para todos los gases (leyes 
de Gay-Lussac). Supone entonces Bernoulli que las 
moléculas de los gases pueden considerarse como esfe- 
ras elásticas de diámetro muy pequeño con respecto a 
las distancias medias que las separan. 

Debe ser así, desde el momento que podemos redu- 
cir cientos de veces el volumen de un gas. Estas molé- 
culas estarían en constante movimiento, chocando unas 
con las otras continuamente. Sus trayectorias deben 
ser sumamente complicadas. Sería una vana preten- 
sión el querer calcular el recorrido de cada una de 
ellas. Todo lo que puede hacerse es aplicar los mé- 
todos estadísticos. Los choques de estas moléculas contra las paredes 
del recipiente que las contiene producen la presión. En el caso de 
la presión atmosférica sabemos que ella es igual a un kilogramo 
por centímetro cuadrado. La fuerza de un kilogramo sobre cada 
centímetro cuadrado, provendría del efecto del choque de miles de 
millones de moléculas por segundo sobre aquella superficie. 

Si reducimos el volumen de un gas a la mitad (fig. 394) man- 
teniendo constante la temperatura, se comprende, sin cálculo, que 
en término medio el número de choques por cm 2 será el doble y 
por consiguiente la presión se duplicará. Para explicar el compor- 
tamiento de los gases con la temperatura basta con suponer que al 
aumentar ésta debe aumentar la velocidad de sus moléculas. La 
energía cinética de cada molécula es igual a 1/2 mv 2 ; la suma de 



Fig. 394. 



Física Elemental 


283 


las energías cinéticas moleculares, da la energía cinética molecular 
del gas. Esta energía cinética debe ser proporcional a la tempera- 
tura absoluta. Se explican así las leyes de Gay - Lussac. 

Distribución de velocidades. — El físico inglés James Clerk 
Maxwell (1831-1879) aplicó el cálculo de probabilidades al su- 
puesto movimiento de las moléculas de un gas. Supongamos una 
gran mesa de billar con una cantidad muy grande de bolas perfecta- 
mente elásticas que se mueven sin rozamiento. Éste es el caso de 
los gases, pues el rozamiento es la transformación de trabajo en 
energía molecular. En el movimiento de las moléculas de un gas 
no habría rozamiento. En un momento dado las esferas del billar 
tendrán: unas, velocidades grandes, otras, pequeñas. Si seguimos 
una esfera determinada observaremos que su velocidad varía en 
cada choque, en dirección y magnitud. ¿Cuál es la distribución más 
probable de las velocidades en cuanto a magnitud? 

Si designamos por 1 el valor de la velocidad más probable, y se 
trata de un conjunto de 10 000 esferas, su distribución será de acuerdo 
al cálculo de probabilidades: 


Entre 0-0,1 0,8 - 0,9 0,9-1 1,0 - 1,1 1,1 - 1,2 1,9 -2,0 2,9-3 

Número de esferas 8 790 825 825 794 192 3 


De las 10 000 esferas tenemos solamente 8 con velocidad inferior 
a un décimo de la velocidad más probable, 192 con una velocidad 
comprendida entre 1,9 y 2,0 de la velo- 
cidad correspondiente a la probabilidad 
máxima, y sólo 3 cuya velocidad co- 
rresponde al intervalo 2,9 — 3. 

La curva de la figura 395 consigna 
gráficamente estos resultados que han 
sido calculados de acuerdo a una fór- 
mula dada por Maxwell y que se co- 
noce con el nombre de ley de distribu- 
ción de las velocidades. 

En cuanto al valor absoluto de la Fig. 395. — Ley de Maxwell, 

velocidad puede calcularse en forma 

sencilla. Se han calculado para la temperatura de 0 o C los siguientes 
valores en metros por segundo: 

Hidrógeno Nitrógeno Oxígeno Anhídrido carbónico 
1840 492 460 392 m/seg. 




284 


E. Loedel 


Estas velocidades son las que debieran tener las moléculas si 
sus velocidades fueran iguales, para que la energía cinética total 
coincidiera con la energía cinética del gas cuyas moléculas se mue- 
ven, como hemos dicho, a diferentes ve- 
locidades. 

Obsérvese que las moléculas de hidró- 
geno se mueven con una velocidad cuatro 
veces mayor que las del oxígeno, de modo 
que la energía cinética resulta en ambas 
igual. Lo mismo ocurre para cualquier 
gas: la energía cinética media molecular 
es igual para todos los gases, siempre que 
estén a la misma temperatura. 

El movimiento browniano. — La agi- 
tación molecular se pone de manifiesto 
en forma directa por el movimiento de 
pequeñas partículas en suspensión en el seno de un líquido. Este 
movimiento fué descubierto por el botánico Brown en 1828. Tam- 
bién puede ser observado el movimiento de pequeñísimas partículas 
en suspensión en 
el seno del aire o 
de otro gas cual- 
quiera. Se utiliza 
para ello el ultra- 
microscopio que 
no es más que un 
microscopio co- 
mún en que la so- 
lución a observar- 
se se ilumina per- 
pendicul armen te 
al eje del instru- 
mento (fig. 396). 

En estas condicio- 
nes cada partícu- 
la difunde la luz 
y se ve, en el cam- 
po del microscopio, como un punto luminoso sobre fondo obscuro. 
En el ultramicroscopio se utiliza el efecto que hace que podamos 
seguir el trayecto de un haz de luz en una pieza obscura por la luz 



Fig. 397. — Movimiento browniano. 




Física Elemental 


285 


que difunden las partículas del polvo suspendido en el aire. En la 
figura 397 se han indicado los trayectos de tres partículas de mástic 
de radio igual a medio micrón. Los puntos indican las posiciones 
ocupadas por las partículas en intervalos de tiempo de 30 en 30 
segundos. El lado de cada cuadradiko es de 3 micrones. En realidad 
la trayectoria de la partícula es mucho más complicada pues entre 
un punto y otro sigue también una línea en zig - zag. 

El movimiento de estas partículas revela el movimiento de las 
moléculas. Éstas chocan contra aquéllas en todas direcciones, pero 
sería una casualidad muy grande que los efectos de estos choques 
■ se anularan. Dada la pequeñez de cada partícula, en un momento dado 
el número de choques será mayor de un lado que de otro, expli- 
cándose así su movimiento. 

m 

¿Cómo se cuentan las moléculas? — Aplicando el cálculo esta- 
dístico al movimiento browniano puede conocerse el número de mo- 
léculas contenidas en determinado volumen de un líquido o un gas. 
Existen otros procedimientos basados en efectos completamente 
distintos y todos ellos dan siempre valores concordantes. Este núme- 
ro resulta ser fantásticamente grande. En un centímetro cúbico de 
aire, o cualquier otro gas, a 0 o C y a la presión normal ese número es: 

N = 2,7 X 10 19 . 

En los vacíos más elevados que pueden alcanzarse con la téc- 
nica moderna el número de moléculas que todavía quedan por centí- 
metro cúbico es del orden de los cuatro o cinco millones! 

Existen también varios métodos para determinar el diámetro de 
las moléculas supuestas esféricas; uno de ellos basado en los apar- 
tamientos del gas con respecto a la ley de Boyle y Mariotte cuando 
la presión es muy grande. 

Conociendo ese diámetro se puede calcular el recorrido medio 
de una molécula entre dos choques consecutivos y, como se conoce 
la velocidad, el número de choques por segundo. Se han obtenido 
así los resultados siguientes: 



Diámetro en cm 8 

Recorrido medio 
en micrones 

Número de choques 
por segundo 

Hidrógeno 

3,33 

3,47 

0,18 

0,10 

Presión ñor 

9250 X 10 6 
4780 X 10« 
mal y 0 o C. 

Nitrógeno 








286 


E. Loedel 


Una molécula de hidrógeno experimenta unos diez mil millones 
de choques por segundo! 

Aun en un vacío “bueno” las moléculas chocan constantemente 
unas con otras siguiendo trayectorias en zig - zag. En los llamados 

vacíos moleculares el recorrido li- 
bre es del orden de magnitud de 
las dimensiones del recipiente (fig. 
398). Las mpléculas van directa- 
mente de una pared a la otra. 

Oscilaciones moleculares en 
los sólidos. — Las moléculas de 
un cuerpo sólido pueden asimilar- 
se a pequeñísimos diapasones. Os- 
cilan alrededor de una posición de 
equilibrio efectuando millones de 
millones de oscilaciones por segundo. Al aumentar la tempera- 
tura, aumenta la amplitud de las oscilaciones. Con estos supuestos 
se explica el comportamiento de los cuerpos sólidos bajo la acción 
del calor. Para explicar las variaciones que experimenta el calor 
específico con la temperatura debe admitirse además que la energía 
varía en forma discontinua, como si exis- 
tieran átomos o cuantos de energía. 

261. La ruleta y el movimiento con- 
tinuo. — Hemos dicho (258) que es abso- 
lutamente imposible la existencia de un 
método que permita ganar a la ruleta. En 
otra parte afirmamos también la imposibi- 
lidad del movimiento continuo de segunda 
especie (248). Esta última imposibilidad 
proviene de que el calor pasa de un cuerpo 
caliente a otro frío pero no inversamente. 

Se trata de un proceso irreversible (254). 

Consideremos el conjunto de jugadores 
de todos los casinos del mundo: el dinero 
pasa constantemente de sus manos a las 
manos de los banqueros. Aquí también tene- 
mos en término medio un proceso irrever- 
sible. Lo que en el calor es la diferencia de temperatura es en el 
juego la desventaja del apostador con respecto a la banca. 

Veamos otro ejemplo en que la irreversibilidad es nada más que 
consecuencia del azar. Sea un balón con dos tubos (figs. 399 y 



Fig. 399. 



Fig. 398. — Vacío común y vacío molecular. 


Física Elemental 


287 


400). Ponemos en cada tubo 10 bolillas: en uno blancas y en el 
otro negras. Luego invertimos el balón, lo agitamos y lo damos vuelta 
de modo que en cada tubo vuelvan a haber 10 bolillas. 

La probabilidad de que, por puro azar, vuelvan a colocarse las 
bolillas blancas a la derecha y las negras a la izquierda es: 

1 

p = . 

184756 

Se puede calcular, que sería necesario repetir la operación unas 
127500 veces para tener una probabilidad igual a 1/2 de que ello 
ocurra. Si en lugar de 10 bolillas en cada tubo, suponemos 500, 
la probabilidad de que vuelvan a la distri- 
bución inicial sería igual a la que tendría un 
analfabeto de componer la siguiente frase 
de H. Poincaré, apretando al azar las teclas 
de una máquina de escribir: 

“ El porqué los resultados del cálculo de 
probabilidades son aplicables a experiencias 
del mundo real, es una cuestión que los ma- 
temáticos creen que es asunto de física y los 
físicos un teorema de matemáticas ” *. 

Consideremos ahora dos balones con aire, 
uno a 0 o G y el otro a 100° C. El volumen 
de cada uno de ellos sea igual a un litro. 

Los mezclamos y obtenemos dos litros a la 
temperatura de 50° C. F >e- 400. — Irreversibilidad. 

En el aire a 0 o C la velocidad media de 
las moléculas es de 450 metros por segundo y en el aire a 100° C 
es de 530 m/seg. En el aire frío tenemos también millones de molé- 
culas cuya velocidad es superior a 500, 600, 700, etc. m/seg; y 
en el aire caliente existen también millones de moléculas con velo- 
cidad muy inferior a la velocidad media. Al mezclar ambos litros 
de aire la velocidad media va a ser ahora de 490 m/seg que corres- 
ponde a la temperatura de 50° C. Podríamos preguntarnos: ¿Qué 
probabilidad existe de que por puro azar vuelvan los gases a la 
distribución inicial? Esta probabilidad es comparable a la que ten- 
dría el escritor del ejemplo anterior de componer todas las obras 
existentes en la biblioteca Nacional. 

• Hemos supuesto, al efectuar el cálculo, una máquina con 30 teclas; resulta que deben 
apretarse 202 teclas en un orden predeterminado. Si no se cuentan los espacios, la frase debiera- 
ser alizo más larsa. 




288 


E. Loedel 


¿Por qué el calor pasa de los cuerpos calientes a los fríos y no 
inversamente? Porque aquel pasaje es muchísimo más probable que 
este último. Si se mezcla polvo de arroz con polvo de carbón ten- 
dremos finalmente un polvo de apariencia gris, de color tanto más 
uniforme cuanto más mezclemos. La imposibilidad del pasaje del 
calor de un cuerpo frío a otro más caliente es la misma que hace 
imposible el separar por simple agitación, el polvo negro del blanco. 

La razón que hace imposible la creación de un móvil perpetuo 
de segunda especie, es la misma que hace imposible la existencia 
de un método para ganar a la ruleta : asunto de probabilidades. 

Esta interpretación estadística del segundo principio de la ter- 
modinámica se debe al físico Boltzmann (1844-1906). Él estable- 
ció una vinculación entre dos conceptos que parecían pertenecer a 
mundos completamente diferentes y concretó su pensamiento en una 
fórmula sencilla y a la vez extraña: 

S = k log P; 

donde S es la entropía (253) de un sistema gaseoso, P la probabi- 
lidad del mismo y k una constante universal. El misterioso y cons- 
tante aumento de la entropía está originado por el aumento de la 
probabilidad. La entropía, es proporcional al logaritmo de la pro- 
babilidad! * 

Con esta interpretación del segundo principio se ve que es posi- 
ble, que en algunos casos, pase calor, en un momento dado, de 
un cuerpo frío a otro algo más caliente; son las fluctuaciones que 
se deben producir de acuerdo al mismo cálculo de probabilidades. 
Sea una habitación a 20° C ; en ella el aire está quieto, es decir no 
existe ningún movimiento de conjunto. Si pudiéramos medir la tem- 
peratura en un determinado punto de la habitación, digamos en un 
micrón cúbico, debiéramos observar variaciones constantes de la 
misma, aumentos y disminuciones. Estas fluctuaciones que prevé el 
cálculo de probabilidades son las que originan el movimiento brow- 
niano y las que hacen también que la banca pierda en la ruleta de 
vez en cuando. 

El “Demonio” de Maxwell. Macro y microfísicos. — Cuando 
Maxwell formuló la ley de distribución de las velocidades molecu- 
lares de un gas, se objetó a la misma lo siguiente. Sean dos com- 
partimientos que contienen inicialmente un mismo gas a la misma 


* Prescindimos en este enunciado de una constante aditiva. 



Física Elemental 


289 


temperatura (fig. 401). Ambos comunican por una ventana peque- 
ñísima que permite el pasaje de las moléculas una por vez. Esta 
ventana puede abrirse y cerrarse y el encargado de esta operación 
es un ser de facultades extraordinarias que puede ver y apreciar 
la velocidad que lleva cada molécula. Si observa que una molécula 
del compartimiento de la izquierda dotada de gran velocidad se acerca 
a la ventana, abre a ésta en el preciso 
momento y la molécula veloz pasa al 
compartimiento de la derecha. De este 
modo, cerrando y abriendo la ventana 
oportunamente, el supuesto demonio lo- 
gra que las moléculas más veloces pasen 
al compartimiento de la derecha y las 
más lentas al de la izquierda. Si la tem- 
peratura inicial de ambos compartimien- 
tos era de 20° C podrá lograr al cabo de 
cierto tiempo que la temperatura en el 
compartimiento de la derecha sea, por Fig. 401. — “Demonio** de Maxwell, 
ejemplo, de 40° C y en el de la izquier- 
da de 0 o C. Es decir, que ese demonio consigue que pase calor de 
una fuente fría a otra caliente, con lo cual bastaría contratar demo- 
nios de esa clase, para realizar el movimiento continuo de segunda 
especie. 

Se cuenta que Maxwell contestó a esa objeción diciendo que él 
hacía física para hombres y no para demonios. Pero, ¿no sería 
posible construir una pared con orificios pequeñísimos provistos de 
algo así como válvulas hechas de pestañas sutilísimas que permi- 
tieran el pasaje de las moléculas en un solo sentido? Si en lugar 
de moléculas se tratara de esferas de tamaño relativamente grande, 
como municiones o esferas de billar, sería fácil la construcción de 
un tabique de esa clase. Tratándose de moléculas, las válvulas tienen 
que estar hechas con otras moléculas y los demonios capaces de 
construir semejantes paredes tendrían que poder tomar a los átomos 
con pinzas de modo análogo a como los tipógrafos lo hacen con las 
letras dispuestas en casilleros especiales. Se desprende de aquí que 
el segundo principio de la termodinámica es válido solamente, como 
lo ha hecho notar Planck, para macrofísicos, que operan siempre 
con billones de moléculas, aun en el caso en que experimenten con 
pequeñísimas porciones de materia. Para microfísicos el principio 
no sería válido, pues operando éstos con un pequeño número de 
moléculas el cálculo de probabilidades ya no es aplicable. 





290 


E. Loedel 


PROBLEMAS 

1. Hallar la probabilidad de sacar “as” dos veces consecutivas 
tirando un dado . 

P = 1/6 X 1/6 = 1/36. 

2. Hallar la probabilidad de que la suma de los puntos de dos 
dados sea igual a cinco. 

Esta suma puede obtenerse de cuatro modos diferentes: 
1—4; 2 — 3; 3 — 2; 4 — 1; 

y siendo el número de casos posibles 6 2 = 36 la probabilidad 
es 4/36 = 1/9. 


3. Hallar las probabilidades para que la suma de los puntos de 
dos dados sea igual a 2; 3; ... 12. 

Razonando como en el caso precedente se obtiene: 

Suma: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12. • 


12345654321 

Probabilidad: — ; — ;• — ¿ — ; — ; — ; — ; — ; — ; — ; — . 

36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 


4. Hallar la probabilidad que existe de que no salga el 6 tirando 
un dado 10 veces. 

Esta probabilidad será: 

/ 5 v° 

^ — J = 0,1615. 

5. Hallar el número n de veces que deben tirarse dos dados , para 
que la probabilidad de que salgan dos ases sea igual a nueve 

décimos. 

La probabilidad de que salgan dos ases es 1/36; la proba- 
bilidad contraria 35/36. La probabilidad de que no salgan los 
dos ases en n veces es: 




Física Elemental 


291 


y se quiere que esta probabilidad (la contraria) sea de un 

décimo. 



de donde, tomando logaritmos: 

1 

n = = 82. 

log 36 — log 35 


6. Calcular la probabilidad de los ejemplos del párrafo 261. 

Los casos posibles son las permutaciones de 20 objetos 
(20!); de éstas, las permutaciones de las 10 bolillas blancas 
(10!) y de las 10 negras dan lugar a situa- 
ciones iguales, luego: \ 

10 ! 10 ! 

P = . 

20! 

Para el caso de las mil bolillas, 500 blan- 
cas y 500 negras la probabilidad sería: 

500! 500! 

P= . 

1000! 

Es prácticamente imposible, pues llevaría 
mucho tiempo de trabajo, hacer estos cálculos 
en la forma habitual. Se emplea la fórmula 
encontrada en 1730 por el matemático inglés 
James Stirling aplicable a valores grandes de 

ni = n n e~ n yj 2. -nn; 

donde e es el número 2,71828... base de los logaritmos natu- 
rales;. Resulta así que la probabilidad en el caso de las 1000 
bolillas es de uno contra 

2,703 X 10 299 

o sea un número de 300 cifras! 




292 


E. Loedel 


7. En una bolsa tenemos las 28 letras del abecedario. ¿Cuál es la 
probabilidad de extraer en orden las letras de la palabra Sol? 

111 
P = — X — X — . 

28 27 26 

8. Se tienen dos balones, el de arriba con hidrógeno y el de abajo 
con anhídrido carbónico (fig. 402). A pesar de la mayor den- 
sidad de este último al comunicarlos entre sí se mezclan íntima- 
mente. Es el fenómeno de difusión. 

Explíquelo el alumno basándose en la teoría cinética de 
los gases. 

9. Suponiendo sólo 10 moléculas en cada balón, hallar la proba- 
bilidad de que el hidrógeno se separe del anhídrido carbónico. 

Esta probabilidad es igual al doble de la calculada en el 
problema 6 ya que se pueden separar de dos modos: el hidró- 
geno en el balón de arriba o en el de abajo. 

10. ¿Es reversible el fenómeno de difusión? 

R . : No. Dígase porqué. 



CAPÍTULO XX 


ÓPTICA. REFLEXIÓN DE LA LUZ 

262. Propagación rectilínea de la luz. — Cuando verificamos 
si el canto de una regla es recto colocándola delante del ojo (lig. 
403), estamos aprovechando el conocimiento de que la luz se pro- 
paga en línea recta, j Si un agrimensor desea medir el ángulo BAC 
(fig. 404) coloca en 'A un anteojo y en B y en C miras apropiadas. 



Ki|». 403. Sig. 404. 


Supone, en su medida, que la luz va de B a A y de C a A, donde él 
la recibe, en línea recta. Procediendo así encuentra que los resul- 
tados de sus mediciones están de acuerdo a los previstos por la 
geometría de Euclides; por ejemplo, que la suma de los ángulos 
de un triángulo cualquiera formado por rayos de luz, vale dos rectos. 

Sombra. — La propagación rectilí- 
nea de la luz se pone de manifiesto 
por la sombra arrojada por un cuerpo 
opaco (fig. 405). Si el foco luminoso 
(fig. 406) tiene cierta extensión, se 
produce, entre la plena luz y la plena Fig. 405. — Sombra, 

sombra una zona intermedia llamada 

penumbra. A los puntos de esta zona llega luz sólo de una parte del 
cuerpo luminoso. La zona de sombra está delimitada por las tangen- 
tes exteriores comunes al foco de luz y al cuerpo opaco; la de 
penumbra por las tangentes interiores. 




294 


E. Loedel 


•En las salas de cirugía se utilizan lámparas muy extensas para 
evitar que las manos del cirujano proyecten sombra. 

263. Velocidad de propagación. — Se ha logrado medir en for- 
ma directa, por diversos métodos, la velocidad de la luz. Ésta resulta 
ser, en el vacío, igual a trescientos mil kilómetros por segundo. Se 

designa a este valor con la letra 
c y es una de las constantes más 
importantes de toda la física: 

c = 300 000 Km/seg. 

Este valor es casi igual a la 
velocidad de propagación de la 
luz en el aire. Que la luz se pro- 
paga en el vacío, lo prueba el 
hecho de que recibimos luz del 
Sol y de las estrellas más remotas, 
así como también el hecho de que 
podemos ver Los objetos colocados en el interior de una campana 
de vidrio de la cual hemos extraído el aire. 

La circunferencia dél ecuador terrestre es aproximadamente igual 
a 40 000 Km: Un rayo de luz que pudiera dar vueltas alrededor 
de la Tierra, daría, en un segundo, 
siete vueltas y media, (fig. 407), pues 
300 000/40 000 = 7,5. 

En un diez milésimo de segundo un 
rayo de luz recorre un espacio de 30 
kilómetros! Luego, para poder medir 
esta velocidad será necesario poder me- 
dir fracciones de tiempo sumamente pe- 
queñas. Daremos a continuación el prin- 
cipio de estas medidas. 

Método de Galileo. — Galileo pro- 
puso el siguiente método: Dos observa- fíe- 407. — En 1 se g 7,5 vueltas! 
dores A y B con sendas linternas iguales 

se colocan a cierta distancia uno del otro (fig. 408). Estas linternas 
están provistas de pantallas. En un momento dado el observador 
A desobtura su linterna; B tiene la consigna de hacer lo propio 
apenas percibe la luz que partió de A. Supongamos que fuera posi- 
ble que ambos observadores estuvieran separados por una distancia 
de 300 000 Km. El observador^ A abre su linterna a las 12 h en 





Física Elemental 


295 


punto de la noche; la señal llegará a B a las 12 h y un segundo; 
en este momento B abre su linterna y la señal luminosa será perci- 
bida por A a las 12 h y dos segundos. 

En resumen, ha transcurrido un tiempo de dos segundos entre el 
instante en que A abrió su linterna y el instante en que percibió 
la luz de B. Claro está que con 
este método podría determinarse 
la velocidad de la luz, sólo en 
el caso de que fuera mucho me- 
nor de lo que realmente es. 

Método de Roemer ( 1644 - 
1710). — Supongamos que un Fi g . 408 . — Métcdo de G«nieo. 

faro (fig. 409) se eclipsa perió- 
dicamente y que un observador fijo en O percibe estos eclipses 
cada noche justo a las 24 horas, o lo que es lo mismo a la hora 
cero. El observador emprende ahora un viaje fantástico a través 
del espacio alejándose del faro. Si recibe la señal del eclipse estando 
en 1, su reloj no indicará ya la hora cero sino algo más. Si la dis- 
tancia 01 fuera igual a 300 000 kilómetros, su reloj indicaría las 
0 h 1 seg. Cuando llegue a P, si la distancia OP fuera igual a 
300 000 000 de kilómetros percibiría el eclipse al marcar su reloj 
cero hora 1000 seg, o sea 0 h 16 m 40 seg. Es posible que nuestro 
observador piense, al observar este atraso, que el aparato de relo- 
jería del faro marcha mal. Emprende entonces el viaje de regreso 
y constata que el momento del eclipse se va adelantando. Cuando 
llega al punto de partida O vuelve a percibir los eclipses, nueva- 
mente a la hora cero. Ese viajé fantástico lo realizamos todos los 
.años llevados por la Tierra en su movimiento alrededor del Sol y 

los eclipses periódicos del faro, 
están producidos por la más 
cercana de las nueve lunas o 
satélites del planeta Júpiter 
(fig. 410). Este satélite penetra 
en el cono de sombra que pro- 
yecta Júpiter, o sea se eclipsa, 
cada 42 horas y media aproximadamente. Si calculamos de acuerdo 
a esto el momento en que se percibirá determinado eclipse, cons- 
tatamos que en una parte del año, cuando la Tierra se aleja de 
Júpiter, el eclipse se produce después de la hora calculada. Estos 
atrasos llegan a totalizar unos mil segundos en el momento en que 



Fig. 409. — Un viaje fantástico. 




296 


E. Loedel 



la Tierra dista más de Júpiter. Como el diámetro de la órbita terres- 
tre es igual a 300 000 000 
Km obtenemos así para 
la velocidad de la luz el 
valor: 


c = 300 000 Km/seg. 


Fig. 410. — Método de Roemer. 


Este cálculo fué efec- 
tuado por el astrónomo 
dinamarqués Roemer en 
1676 utilizando observa- 


ciones anteriores efectuadas por Cassini. 

Método de Fizeau. — En 1849 mi- 
dió Fizeau por primera vez en forma 
directa el tiempo empleado por la luz 
en recorrer cierta distancia que en sus 
experimentos era de unos 34 kilómetros. 
Un haz de luz (fig. 412), sale de L y 
se refleja en un vidrio V semiazogado. 
o sea un vidrio que en parte refleja la 
luz y en parte la deja pasar. El haz 
luminoso llega a un espejo E colocado 
a gran distancia de V. El espejo E está 
colocado normalmente al rayo VE por 
lo cual se refleja sobre sí mismo, y 
llega al observador después de atravesar 
la lámina V. Entre V y E se coloca una 
rueda dentada R cuyos dientes tienen 



H. L. Fizeau (1819 - 1896). 


dientes 


igual ancho que los 
vanos. Esta rueda pue- 
de hacerse girar a di- 
versas velpcidades por 
medio de un aparato 
de relojería. Suponga- 
mos que la rueda tén- 
ga 500 dientes y 500 
vanos. Si está en re- 
poso y el rayo de luz 
pasa por entre dos 
el observador percibe en forma continua la luz de L. Si la 



Fig. 412. — Método de Fizeau. 



Física Elemental 


297 


rueda gira, pasan por los vanos destellos de luz; si la velocidad de 
giro es pequeña el destello que pasó por A (fig. 413) encuentra en 
su regreso a la rueda casi en la misma posición y el observador 
percibe luz. Si se aumenta poco a poco la velocidad de la rueda, 
llega un momento en que el observador no percibe luz alguna. La luz 
se eclipsa cuando el tiempo empleado por ella en ir de R a E y 
volver de E a R es igual al empleado por un diente en ocupar exac- 
tamente el lugar de un vano. 

Supongamos entre R y E una distancia de 15 kilómetros; el 
recorrido de ida y vuelta será igual a 30 kilómetros. Cuando la 
rueda, que tiene 500 dientes y 
500 vanos gira a razón de 10 
vueltas por segundo la luz se 
eclipsa. ¿Qué tiempo tarda un 
diente en ocupar el lugar de un 
vano? Como entre dientes y va- 
nos son 1000, y la rueda da 10 
vueltas por segundo, ese tiempo 
es igual a 1/10 000 de segundo. 

Este tiempo es también igual al que emplea la luz en recorrer los 
30 kilómetros de ida y vuelta. Por lo tanto la velocidad será: 

30 Km 

c = = 300 000 Km/seg. 

0,0001 seg 

En el caso supuesto la luz que pasaba por A encontraba a su 
regreso al diente B, la que pasaba por C encontraba a D, etc. Si la 
velocidad de la rueda se hace doble, vuelve a percibirse la luz en 
su máximo pues entonces toda la luz que pasa por A encuentra en 
su regreso la abertura C, etc. 

Si el número de dientes es n, entre vanos y dientes tenemos 2 n, 
y si la rueda da N vueltas por segundo el tiempo t que tarda un 
diente en ocupar la posición que antes tenía ún vano será: 

1 

t = . 

2Nn 



Si la distancia entre las dos estaciones (entre R y E) es d, la 
velocidad c será: 

1 

c — 2d — = 4 dNn. 


2 Nn 



298 


E. Loedel 


Además del método mencionado para medir c, existen otros. 
Algunos se basan en observaciones astronómicas. Todos los métodos 
arrojan para c, aproximadamente, el mismo valor, que es el men- 
cionado más arriba. 

FOTOMETRÍA 

264. Intensidad luminosa. — La iluminación que produce en 
una habitación una lámpara eléctrica poderosa es mucho mayor que 
la que produciría la luz de un fósforo colocado en el lugar de 
aquélla. Si adoptáramos como unidad de medida de intensidad lumi- 
nosa la intensidad de la luz de un fósforo y supiéramos que hacen 
falta 100 de éstos para producir una iluminación igual a la de la 
lámpara, diríamos que la intensidad de ésta es 100, 

Unidades de intensidad. — 

En el congreso de electricistas 
celebrado en París en 1884 se 
convino en adoptar la unidad 
propuesta por Violle. Esta uni- 
dad, llamada violle, es la inten- 
sidad de luz, emitida normal- 
mente a la superficie, por un 
centímetro cuadrado de platino Fig. 415. — Hefner. 
en fusión. La temperatura es 
aproximadamente igual a 1700° C. Se la realiza en la práctica en 
la forma que indica la figura 414, en que la tapa del crisol tiene 
una abertura de un centímetro cuadrado. En el congreso de 1889 
se resolvió adoptar como unidad práctica de intensidad la bujía 
decimal, igual a la vigésima parte del violle. Se emplea además, por 
ser muy cómoda, la lámpara Hefner - Altenecic (fig. 415). Esta 
lámpara quema acetato de amilo; la mecha maciza tiene 8 mm de 
diámetro y, cuando la llama tiene una altura de 40 mm, su intensi- 
dad luminosa, llamada hefner, es igual a 0,885 bujías decimales. 

265. Iluminación en función de la distancia. — Todo el mun- 
do sabe que a medida que un foco luminoso se aleja de una super- 
ficie, ésta aparece menos iluminada. Sea / un foco luminoso y P 
una pantalla situada a un metro de distancia del mismo «( fig- 416). 
Consideremos en la pantalla un cuadrado de un centímetro de lado 
de tal modo que la pirámide de vértice en el foco luminoso sea 
recta. Alejemos la pantalla a 2 metros. El haz luminoso que antes 





Física Elemental 


299 


iluminaba una superficie de un centímetro cuadrado ilumina ahora 
una superficie de cuatro centímetros cuadrados. Si la distancia es 
triple, la superficie iluminada por el mismo haz es nueve veces 
mayor y la iluminación 


a 


la 


novena 



será igual 
parte. 

De aquí que la inten- 
sidad de iluminación que 
produce un foco sobre 
una superficie colocada 
normalmente a los rayos, 
esté en razón inversa del 
cuadrado de la distancia 
que separa al foco de la 
superficie. El razonamien- 
to que precede es válido si la luz se propaga en un medio absoluta- 
mente transparente, en que no se produzca absorción de luz. El aire, 
cuando las distancias no son muy grandes, y siempre que no haya ne- 
blina, se comporta de tal modo que puede despreciarse la absorción. 

Si el foco luminoso tiene la intensidad I, la intensidad de ilu- 
minación L que produce sobre una superficie normal a los rayos 
y a la distancia d es: 

I 


Fig. 416. — Iluminación y distancia. 


L = 


■ d- 



Dependencia del ángulo. — Consideremos un haz de luz for- 
mado ppr rayos paralelos (fig 417). 


Fig. 417. 


Fig. 418. — Ley del coseno. 


En este caso la iluminación en AB o en A’B’ será la misma; no 
variará aun cuando varíe la distancia. Pero si inclinamos la super- 
ficie AB en un ángulo a (fig. 418) la superficie iluminada por el 


'■/ 



300 


E. Loedel 


mismo haz luminoso será ahora mayor y en consecuencia la inten- 
sidad de iluminación menor. Llamemos 5o a la superficie iluminada 
cuando la pantalla está colocada normalmente a los rayos, y 5 
cuando la normal n a la misma forma con los rayos el ángulo a. 
Si es Lo la iluminación que recibe en el primer caso' y L en el 
segundo, estas iluminaciones deben estar entre sí en razón inversa 

de las superficies iluminadas: 

L So 

Lo S ' 

Por otra parte, se ve en la figura que: 
5o = 5 eos a-, 

de donde: 

L — Lq COS a. 



Esta fórmula nos dice que la iluminación que recibe una super- 
ficie es proporcional al coseno del ángulo que los rayos forman 
con la normal a la misma. * 

Podemos expresar en una única fórmula la dependencia de la 
iluminación con la distancia y el ángulo. La iluminación L pro- 
ducida por el foco de in- 
tensidad / (fig. 419) será: 

I 

L — — eos a. 

d 2 

266. Fotómetros. — El 
fotómetro de Rumford 
consiste simplemente (fig. 

420), en una pantalla so- 
bre la cual los dos focos í'ig. 420 . — Fotómetro de Rumford. 

cuyas intensidades desean 

compararse proyectan la sombra de una varilla. La parte de la pantalla 
donde cae la sombra 1 está iluminada por el foco 2, y la sombra 2 por 
el foco 1. Cuando ambas sombras aparezcan con igualtinte, las ilumi- 
naciones de los focos 1 y 2 sobre la pantalla serán iguales. Esto es: 

h ' h . h d 2 





o sea: 


[ 1 ] 



Física Elemental 


301 


Las intensidades de dos focos que producen sobre una pantalla 
igual iluminación, incidiendo la luz normalmente, son proporcio- 
nales a los cuadrados de 
sus distancias a la misma. 

Si d 2 fuera igual al doble 
de di, la intensidad I 2 se- 
ría igual a cuatro veces la 

El fotómetro de Bun- 
SEN (fig. 422) consiste en 
una lámina de papel con 
una mancha de grasa. La 
parte manchada aparece 
más clara que el resto del 
papel si se la mira por transparencia (fig. 423) y más obscura si 
se la mira por reflexión (fig. 424). Es curioso que papel grasa 

sea más transparente que 
papel solo. De aquí re- 
sulta que si la pantalla 
está igualmente ilumina- 
da de ambos lados, la 
mancha desaparece. Se 
mueven entonces los fo- 
cos a comparar hasta que 
esto suceda y la relación 
entre sus intensidades se 
obtiene por la [1]. La figura 425 muestra un dispositivo con el 
cual puede comprobarse la ley del coseno. 



intensidad /i (fig. 421) 



i 

' wi 


Fig. 421. — Cuatro bujías en “equilibrio** con una. 



Fig. 423. — Mancha clara. 


Fig. 424. — Mancha oscura. 


Unidades de iluminación.- — Se utiliza como unidad de ilumi- 
nación el lux o bujía - metro que es la iluminación que recibe una 


302 


E. Loedel 



pantalla colocada normalmente a los rayos, a un metro de distancia 
de una bujía decimal. La intensidad de la luz emitida por un foco 
luminoso varía con la dirección. En la técnica de la iluminación 

^ esta variación se tiene muy en 


REFLEXIÓN DE LA LUZ 



s 267. Leyes de la reflexión. 
— Una superficie pulida consti- 
tuye un espejo. Un rayo de luz 
que incide sobre un punto de la 
misma, punto de incidencia I 
(fig. 426), se refleja. Ángulo de 


incidencia i, es el formado por el rayo 
incidente y la normal a la superficie en 
el punto de incidencia. El ángulo de re- 
flexión r es el formado por el rayo refle- 
jado y la normal. Experimentalmente se 
encuentra que: 

El rayo incidente, el rayo reflejado 
y la normal a la superficie reflectora 
en el punto de incidencia, están en el 
mismo plano. El ángulo de incidencia 

es igual al 


Ves 


exion 


<j i = <)r. 

Pueden verificarse estas leyes colo- 
cando un espejito en el centro de un 
disco giratorio (fig. 427). La luz de 
una linterna se hace pasar por una 
ranura delimitando así el rayo inci- 
dente. Girando el disco se constata la 
igualdad de los ángulos de incidencia 
y reflexión. Además se ve que ambos 
rayos están en el plano del disco que 
F¡g. 427. es normal al plano del espejo. 

268. Difusión de la luz. — Si incide un haz de luz sobre una 
superficie despulida o mate, la luz se difunde, o sea, salen rayos 
de luz en todas direcciones (fig. 428). 



Física Elemental 


303 


Este fenómeno de difusión se explica por reflexión de la luz en 
entrantes y salientes de la superficie áspera. Debido a este fenó- 
meno es que un objeto iluminado puede verse 
desde cualquier dirección. Las letras que el 
lector ve en este momento, las percibe aun- 
que mueva la cabeza desde cualquier ángulo 
y cualquiera sea la posición del foco luminoso. 

Las partículas del papel difunden entonces la 
luz en todas direcciones. En este fenómeno se 

! • i • -» • . Fig. 428. — Difusión. 

basa la iluminación artificial indirecta. 



269. Espejos planos. — Del 
lante del espejo salen rayos de 



Fig. 429. — Espejo plano. 


punto P (fig. 429) colocado de- 
luz en todas direcciones. La luz de 
n P puede ser propia o luz difun- 
dida; eso no importa. 

Consideremos de los rayos 
que salen de P el rayo 1 normal 
al espejo; se reflejará sobre sí 
mismo según 1’. El rayo 2 se 
refleja según 2’. Las prolonga- 
ciones de 1’ y 2’ se cortan del 
otro lado del espejo en un punto 
P\ Los dos triángulos rectán- 
gulos en / y con un cateto co- 
mún son iguales por ser el ángu- 
lo a igual al /?. En efecto: el 


ángulo a vale 90° — i y el igual al y por opuesto por el vértice. 


será igual a 90° — r : 

a — 90° — z" ; P — y — 90° — r ; 

y como por las leyes de la reflexión 
i=r, resulta: 

a — (i. 

Resulta entonces: 



PJ = P’l. 


Fig. 430. — Imagen de un punto. 


El punto P\ intersección de cual- 
quier rayo reflejado con el normal al espejo se encuentra detrás del 
espejo y a igual distancia de éste que el punto P. El punto P por lo 
tanto es el punto simétrico de P con respecto al plano del espejo. 



304 


E. Loedel 


Resulta así, que de un haz de rayos que salen de P y se reflejan 
en el espejo se obtiene un haz de rayos divergentes (fig. 430) cuyo 

punto de divergencia está en P\ 



Fig. 431. — Imagen virtual. 


Para el observador que recibe es - 
tos rayos, todo pasa como si ellos 
provinieran realmente de P\ El 
punto P* es la imagen virtual 
del punto P. 

Como para cada punto de un 
objeto vale lo mismo, se explica 
así la formación de imágenes en 


los espejos planos (figura 
431). 

Campo de un espejo. 
— La imagen V de la lám- 
para L (fig. 432), puede 
observarse sólo desde cierta 
región del espacio llamada 
campo del espejo. En la fi- 
gura el campo de U es la 
región que aparece más cla- 



n g . 433. — Espejos en ángulo recto. 



ra. £■! campo de un espejo para un 
punto imagen U se delimita proyec- 
tando desde U el borde del espejo. 


Espejos en ángulo. — Observando 
detenidamente la figura 433, se explica 
porqué con dos espejos en ángulo rec- 
to se ven tres imágenes. Una de ellas, 
la P 3 , proviene de dos reflexiones. La 
figura 434 muestra las siete imágenes 
de una escuadra colocada entre dos 
espejos que forman un ángulo de 
45°. El número n de imágenes que 
se producen entre dos espejos que 


íorman un ángulo de a grados es: 


360 

1 . 


n = 


a 



Física El emental 


305 



El kaleidoscopio no es más que dos espejos planos en ángulo 
entre los cuales se colocan trozos de vidrio o papel coloreado, 
resultando de la multiplicidad de imágenes, una figura simétrica 
que cambia constantemente al variar las posiciones de los trozos. 

Espejos paralelos. — Un objeto 
colocado entre dos espejos parale- 
los da lugar a un número infinito 


Fig. 434. — Espejos en ángulo. 


r'ig. 435. — Espejos paralelos. 


de imágenes (fig. 435). Por la absorción que experimenta la luz en 
las sucesivas reflexiones las imágenes son cada vez menos brillantes. 

ESPEJOS ESFÉRICOS 


270. Espejos cóncavos. — Un casquete de superficie esférica 
pulido por su parte interior constituye un espejo esférico cóncavo. 
Si está pulido por su parte exterior el espejo es convexo. Se llama 



Fig 436. — Espejo esférico. Ejes. Fig. 437. — Sección principal. 


eje principal de un espejo esférico cóncavo o convexo, a la recta 
determinada por el centro C de la superficie esférica y el centro o 



306 


E. Loedel 


vértice V del casquete (figs. 436 y 437). Cualquiera otra recta que 
pase por C es un eje secundario. 


Sección principal. — Es la intersección del casquete esférico 
con un plano cualquiera que pasa por el eje principal. La figura 



*437 representa una sección 
principal. Al ángulo forma- 
do por un radio marginal 
y el eje principal se le de- 
nomina abertura del espejo. 
Es el valor, mayor del án- 
gulo a. 

Si se hacen incidir sobre 


un espejo cóncavo rayos pa- 
ralelos al eje principal, se 
observa (fig. 438) que si 
el espejo es de pequeña aber- 
tura todos los rayos refleja- 
dos se cortan en un punto F 
del eje llamado foco principal. El foco principal se encuentra en el 
punto medio del segmento CV. A la distancia FV, igual a la mitad 
del radio de curvatura del espejo se la llama distancia focal. 


Fig. 438. — Foco principal. 


mmm m m 


. / / 




: 1 US 

V Á;-' í : 


Demostración. — Sea el rayo AI (fig. 439) paralelo al eje 
principal. Por el punto de incidencia trazamos un plano tangente a 
la superficie esférica que corta al 
eje principal en el punto V’. La nor- 
mal al espejo en I es el radio IC. 

El rayo reflejado lo construimos 
tomando el ángulo r igual al i. Este 
rayo corta al eje principal en el 
punto F. El triángulo CIF es isósce- 
les por ser el ángulo en C igual al 
i por alternos internos entre parale- 
las. Deducimos así que: 




CF = FI. 





Fig. 439. — Foco principal. 

El triángulo V’IF es también isós- 
celes pues el ángulo en I es igual a 90° — r; y el ángulo en V’ es 
igual al ángulo a por correspondientes, siendo a = 90° — i. 

De aquí: 


FV’= FI. 



Física Elemental 


30? 




Fig. 441. — Foco secundario. 


Fig. 442. — Plano focal. 


De esta igualdad y la anterior deducimos: 


CF = FV’. ' 


Si el espejo tiene pequeña abertura el punto V 9 difiere muy 
poco del punto V, resultando así que el foco principal se encuentra 
en el punto medio del radio. Cuando el 
espejo tiene gran abertura, los rayos re- 
flejados provenientes de rayos paralelos 
al eje principal se cortan sobre una su- 
perficie característica llamada cáustica de 
reflexión (fig. 440). 


Fig. 440. — Cáustica. 


Focos secundarios. — Si los rayos pa- 
ralelos lo son a un eje secundario, los 
rayos reflejados se cortan en un punto 
F 1 llamado foco secundario (fig. 441). 

Los focos secundarios se encuentran 
sobre una superficie esférica de centro en C y radio igual a la 
mitad del radio del espejo. 

Al plano perpendicular al eje principal en el foco principal 
9e le llama plano focal (fig. 442). Cuando los ejes secundarios 
forman ángulos pequeños con el eje principal, y el espejo es de 
pequeña abertura, los focos secundarios pueden considerarse si- 
tuados en el plano focal. . 


271. Formación de imágenes. — La imagen del filamento de 
una lámpara incandescente o de una bujía cualquiera puede reco- 
gerse en una pantalla en la forma que muestra la figura 443. A 
cada posición de la lámpara, es decir del objeto, corresponde una 
posición bien determinada de la pantalla en que la imagen se 



308 


E. Loedel 


recoge nítidamente. Experimental y teóricamente se encuentra que 
La inversa de la distancia del objeto al espejo más la inversa de la 
distancia de la imagen al espejo es igual a la inversa de la distan- 
cia focal. 

Si x e y son las distan- 
cias del objeto y de la ima- 
gen al espejo respectiva- 
mente, siendo / la distancia 
focal, se tiene: 

1 1 1 

7 + > ' 

Ejemplo. — Si el radio 
del espejo es igual a un 
f¡?. 443 . — imagen rc«i. metro, / = 50 cm. Colocan- 

do la lámpara a 75 cm del 
espejo, la pantalla deberá distar del mismo en 150 cm para que 
la imagen aparezca nítida, pues: 

111 

75 + 150 50 


Determinación geométrica de la posición de la imagen. — 
Para hallar la imagen del objeto 



Fig. 444. — Formación de Imágenes. Fig. 445. — Imagen virtual. 


AB (fig. 444) consi Je ramos, de los rayos que parten de A, uno 
paralelo al eje principal y otro que pase por el centro. El primero 
se refleja pasando por el foco y el segundo se reflejará sobre sí 
mismo por incidir normalmente al espejo. La intersección de ambos 




Física Elemental 


309 


rayos da la imagen A’ del punto A. La imagen B’ del punto B se 
encuentra sobre el eje principal, y si AB es perpendicular al eje, 
A’B ’ también será normal al mismo. 

Si el objeto se encuentra entre el foco y el espejo, la imagen 
es virtual (fig. 445), pues los rayos reflejados son ahora divergentes. 

* Demostración de la 
fórmula. — En P’ se halla 
la imagen de P (fig. 446). 

El ángulo a exterior del 
triángulo P’IC es igual a: 

a = (3 -j- r. 

El ángulo /?, exterior 
del triángulo PIC es: 

P = y + *; 

restando miembro a miem- 
bro y teniendo en cuenta 
que i es igual a r, resulta: 

a — P = P — y; o sea: a -j- y = 2 /?. [1] 

Tracemos una tangente en el vértice V del espejo (fig. 447). 
Prolonguemos las rectas Pl, CI y P’I que cortan a la tangente en 

puntos distantes de V en ai, a<¡ 
y a$, respectivamente. \ 

Se tendrá: 

O 3 a 2 a l 

tg a=—; tg p =—; tg y — — ; 

y 2f x 

pues el radio R del espejo es 
igual a 2 /. Si el espejo es de 
pequeña abertura los ángulos 
a, P y y son pequeños y pueden 
tomarse sus valores en radianes, 
en lugA de las tangentes. Cuan- 



Fig. 447. 



Fig. 446. — Fórmula de loa espejos esféricos. 


d \ — 02 03 — 0> 


do esto ocurre se tendrá: 



310 


E. Loedel 


de donde : 

a a a 

a = — ; /? = — ; y = — . 

y 2f x 

Sustituyendo en la [1] y dividiendo por a resulta: 

111 

x y f 

Esta expresión se conoce con el nombre de fórmula de los focos 
conjugados. La razón de esta denominación es que, imagen y objeto 
son permutables: si se coloca el objeto donde está la imagen apare- 
cerá ésta en el lugar que antes 
ocupaba el objeto. 


Fig. 4-18. — F,«pejo convexo. Fig. 449. — Imagen virtual. 

Espejos esféricos convexos. — En éstos, el foco principal F es 
virtual (fig. 448). La imagen de un objeto es siempre virtual y más 
pequeña (fig. 449). 

La fórmula de los espejos convexos es la misma que la de los 
espejos cóncavos. 

272. Imagen de un objeto infinitamente lejano. — Este caso 
tiene particular importancia por sus aplicaciones a los telescopios. 
Los rayos de luz que provienen de cada uno de Los puntos de un 
objeto muy distante pueden considerarse paralelos. Los rayos que 
parten de un punto del borde superior del Sol son paralelos entre 
sí: también lo son los que parten de un punto del borde inferior 
del mismo astro. Pero ambos haces forman entre sí cierto ángulo. 
Al ángulo formado por dos visuales dirigidas a los extremos de un 





Física Elemental 


311 


diámetro del Sol se le llama diámetro aparente del mismo. El diámetro 
aparente del Sol y el de la Luna es, término medio, igual a unos 
32’. Si colocamos 
frente a estos astros 
un espejo cóncavo 
obtendremos en el 
o focal del mis- 
mo un pequeño círcu- 
lo (fig. 450). El ta- 
maño a de la imagen 
depende exclusiva- Fig. 450. 

mente de la distan- 
cia focal del espejo / y del diámetro aparente S del astro: 

a 

— ~ tg 8; a = f tg S. 

/ 

En la figura, CS indica la dirección desde el centro del espejo 
al borde superior del Sol y Cl al borde inferior. Los rayos para- 
lelos a IC se cortan en /’. 




PROBLEMAS 


1 . Una lámpara de Hefner situada a 50 cm de un fotómetro pro- 
duce igual iluminación que cierta lámpara colocada a 3 m. 



Fig. 451. 


Hallar la. intensidad de ésta: 
I ,300 x 2 

H ' 50 / 

/ = 36 bujías hefner; 
o sea: 

/ = 0,885 X 36 = 31,86 bujías 
decimales. 


2. La lámpara anterior dista 2 m del punto A de una mesa (fig. 
451), los rayos forman con la normal un ángulo de 60°. Hallar 
la iluminación en A. 

I . 31,86 1 

L — — eos a = ^ 4 lux. 


4 2 


312 


E. Loedel 


3. Hallar la iluminación en el punto P donde los rayos caen nor- 
malmente. Se supone que la lámpara tiene igual intensidad en 
todas direcciones. 

Como d = 2 sen 30° = 1 m, 

L = 31,86 lux. 

4. Hallar la distancia focal de un espejo cóncavo en que para 
x = 2 m, y = 1 m. 

1 .1 1 3 1 2 

— = — 1 — = ; / = — ni. 

/ 2 1 2 m 3 

5. Siendo f = 50 cm, hallar y, si x = 40 cm. 

fx 2000 

y = = = — 200 cm. 

x — f 40—50 

6. En un telescopio la distancia focal del espejo es de 5 m. Hallar 
el diámetro de la imagen de la Luna dada por el mismo en el 
plano focal, suponiendo un diámetro aparente de 30’. 

a = / tg 8 = 4,36 cm. 



CAPÍTULO XXI 


REFRACCIÓN DE LA LUZ 


273. Leyes de la refracción. — Si un haz de luz incide sobre 
la superficie de separación de dos medios, agua y aire, por ejemplo, 
en parte se refleja y en parte penetra al otro medio (fig. 452). 
Ésta es la luz refractada. Se observa que el rayo luminoso al pasar 



Fig. 452. — Reflexión y refracción. 



Fig. 453. — Incidencia normal: la 
1 uz no se desvía. 


de un medio a otro se desvía en forma brusca, cambiando de direc- 
ción justo en la superficie de separación. Si el rayo de luz pasa de 
un medio a otro siguiendo la dirección de la normal a la superficie 
de separación no experimenta desviación 
alguna (fig. 453). 

Si IN es la normal a la superficie de 
separación AB entre los dos medios, al 
ángulo i (fig. 454) se le llama ángulo 
de incidencia y al r ángulo de refrac- 
ción. 

Snellius (1591 - 1626) estableció 
experimentalmente las siguientes leyes: 

El rayo incidente, el refractado y la normal están en un mis- 
mo plano. 

El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo 
de refracción es una constante que depende únicamente de la natu- 




314 


E. Loedel 


raleza de los dos medios. A esta constante se la llama índice de 
refracción del segundo medio con respecto al primero y se la desig- 
na con la letra n. Se tiene pues: 

sen i 


sen r 



Figs. 455 y 456 — El índice de refracción del agua con respecto 
al aire es igual a 4/3. 


Para el agua, con respecto al aire, el índice de refracción vale 
1,3 aproximadamente 4/3. Para el vidrio ordinario, este índice, con 


gay 


y' ■■ ~ V 

. 


* /• í 

' ; Af re- , 

X Vidrio 4 


I 




8f 


- I 

I| 

ifl 


V. 


vémr\ 


% 

\ 


-- »>** ..'“m 4 

\ I; *•/ • n"'S'-I 

‘ ' / ' í .* ' ' / \ ^ •••'•* 

gfe ■■I ■■ 


f v > ( | *< 

*ffi — M 





Figs. 457 y 458. — El índice de refracción del vidrio con respecto 
al aire ea 3/2. 


respecto al aire, es 1,5 o sea 3/2. Las figuras 455 y 456 muestran 
el significado de esta constante para el agua y el aire y las 457 y 
458 para el vidrio con respecto también al aire. 

Verificación experimental. — Un semicilindro de vidrio se fija 
en el centro de un disco graduado (fig. 459). La luz proveniente de 



Física Elemental 


315 



una linterna se refracta sobre la pared plana del vidrio y es fácil 
leer en cada caso los ángulos de incidencia y refracción. La forma 
semicilíndrica se adopta para que el rayo de luz, al pasar del vidrio 
al aire, no se desvíe, pues, 
siguiendo la dirección de 
un radio, incidirá normal- 
mente a la superficie de 
separación. 

La fig. 460 muestra el 
misino dispositivo adapta- 
do para verificar la ley en 
el caso de líquidos y me- 
dir al mismo tiempo sus 
índices de refracción. De- 
bido al fenómeno que esta- 
mos estudiando una regla 
parece quebrada si parte 

de ella se introduce en F¡ B . «9. — Verificación experimental. 

el agua (fig. 461) y los 


objetos sumergidos parecen encontrarse a mayor altura (fig. 462). 



274. Velocidad de la luz e índice de refracción. — El holandés 
Christian Huyghens (o Huygens, en latín Hugenius) (1629-1695) 

considerando que la luz se propa- 
gaba en forma de ondas, pudo ex- 
plicar el fenómeno de refracción 
admitiendo que el cociente éntrelas 


Fig. 460. — Refracción en líquidos. 


Fig. 461. — Parece quebrado. 


velocidades de propagación de la luz en dos medios diferentes es igual 
al índice de refracción de uno de los medios con respecto al otro. 




’f'fa'ñ 


Consideremos el caso del aire 


sen r ó v agua 

Según esto, la velocidad de la luz en el agua debe ser igual a 
225000 Km/seg ya que en el aire es igual a 300 000 Km/seg. Este 
Ihhbbhhhhhmmhmbi resul tado teórico pudo 

verificado recien en 
1850 por Foucault, el 
cual, por medio de un 
ingenioso dispositivo con- 
siguió medir la velocidad 
de la luz en diferentes 
líquidos. 


moneda M t invisible desde O, se hace 
al echar agua en el recipiente de 
paredes opacas. 


índice de refracción absoluto. — - Es el índice de refracción de 
una substancia con respecto al vacío. Si la velocidad de la luz en 
el vacío es c el índice de refracción absoluto del aire será: 


n aire = 

V aire 

El índice absoluto del 


n agua = 

V agua 

dividiendo ordenadamente : 
n agua V airi 


n agua = n aire . 

D T/ í.hristiun iluvgcns (1629 • 1695). 

V agua 

Como el cociente de las velocidades de la luz en el aire y el 
agua es el índice n, relativo del agua con respecto al aire, se tiene: 

n agua = n aire X n. 

El índice de refracción absoluto se obtiene multiplicando el ín- 
dice de refracción relativo al aire por el índice de refracción abso- 
luto del aire. 


Física Elemental 


317 



El índice absoluto del aire es: 

n aire = 1,0003. 

Como este valor difiere de la unidad sólo en 3 diez milésimos, 
los índices relativos al aire son casi iguales a los índices absolutos. 
Así los consideraremos 
en lo que sigue. 

Principio de Fermat. 

— Supongamos que EE 
(fig. 464) sea una pa- 
red vertical vista desde 
arriba. Se efectúa una ra-' 
ra competición deportiva 
consistente en lo siguiente: Los corredores parten de A y deben 
llegar a B después de haber tocado la pared en un punto cualquiera. 
Uno de ellos elige él camino AF\B; otro el AP 2 B, etc. Entre esos 
corredores existe uno, aficionado a la geometría, que se pregunta: 
*“¿De todas las trayectorias posibles, cuál será la más corta?”. Des- 
cubre de inmediato que la trayectoria más corta, o sea la más con- 
veniente, es la indicada en blanco en la figura. Para arribar a esta 

conclusión consideró el punto B ’ simétrico de B con respecto al 
plano EE\ Vió en seguida que el trayecto AP\B es igual al AP\B ’ 

pues PiB es igual a PiB’ dado que los trián- 

gulos HBP\ y HB’P i son iguales. Entonces 
dijo: el trayecto más conveniente, es aquél en 
qué el punto P esté sobre la recta AB ’ pues 
la menor distancia entre dos puntos corres- 
ponde al segmento rectilíneo que ellos de- 
terminan. 

Continuando en su razonamiento vió que 
el ángulo 1 es igual al 2 por opuesto por el 
vértice, siendo también el 1 igual al 3 por 
ser iguales los triángulos HBP y HB’P. Luego 
los ángulos 2 y 3 son iguales. El ángulo 2 es 
el complemento del ángulo de incidencia; el 
3 es el complemento del ángulo de reflexión. Concluimos de aquí, 
que el trayecto más conveniente, en el cual se empleará un tiempo 
mínimo, es -aquél, en que el ángulo de incidencia sea igual al ángulo 
de reflexión. 



,'¿¿L 


Pierre de Fermat. 
(1601 • 1665 ). 



318 


E. Loedel 


Sea ahora esta otra competencia deportiva: MM’ es el borde de 
una pileta de natación (fig. 466). Los competidores salen de A y 
deben llegar a B; el recorrido se efectúa en parte corriendo y en 
parte nadando. ¿Cuál es el trayecto más conveniente? Si la velo- 
cidad con que corre determinado corredor es vi y la velocidad con 

que nada es v 2 puede demostrarse 
que el trayecto en que ese corre- 
dor empleará un tiempo mínimo , 
es aquél en que se cumpla : 



sen i 


sen r 


Vi 


que no es más que la ley de la 
refracción de la luz! 

Las leyes de la reflexión y 
refracción de la luz, pueden con- 
siderarse entonces como consecuen- 
cias de una ley más amplia que 
podría enunciarse así : El camino 
que sigue la luz , es aquél en que emplea un tiempo mínimo. Este 
es el enunciado del famoso principio de Fermat, célebre matemático 
francés del siglo XVII. 


275. Reflexión total. — Al pasar la luz del aire al agua el rayo 
refractado se acerca a la normal, pero si pasa del agua al aire se 
aleja de la normal (fig. 467). Ahora el ángulo de incidencia es 




el que antes era ángulo de refracción y el de refracción corresponde 
al ángulo de incidencia cuando la luz seguía el camino inverso. 
Se tendrá pues: 

sen i 1 


n 

I 

I 


sen t 



Física Elemental 


319* 


Como el ángulo de refracción es ahora mayor que el de inci- 
dencia llegará un momento en que a determinado ángulo de inci- 
dencia corresponda un ángulo de refracción de 90° (fig. 468). Este 
ángulo de incidencia, al cual correspon- 
de un ángulo de refracción de 90° se le 
llama ángulo límite. Llamándole l se 
tiene : 

sen / 1 1 

— — — ; /sen l — — ; 

sen 90° n V n ' Fig - 469 - “ Rcflex!,3n total - 

ya que el seno de 90° es la unidad. El ángulo límite para el agua es: 

3 

sen l = — ; / — 48 o . 

4 




Para el vidrio: 

2 

sen l — — ; Z 22:41°. 

3 

Cuando el ángulo de incidencia es superior al ángulo límite se 
produce el fenómeno de reflexión total (fig. 469), es decir la luz 

no pasa ya al otro medio y 


Fig. 470. — Reflexión total. 


Fig. 471. — Prisma de reflexión total. 


se refleja totalmente. El mismo semicilindro de vidrio que nos sir- 
vió para verificar las leyes de la refracción puede ser utilizado 
(fig. 470) para medir el ángulo límite y observar el fenómeno de 



320 


E. Loedel 


la reflexión total. En un prisma de vidrio de sección triangular 
como el representado en la figura 471, el rayo 1 que penetra nor- 
malmente a una de las caras se refleja totalmente siguiendo la direc- 



Fig. 472. — Reflexión total en una 
capa de aire caliente. 


ción 2, pues incide en la cara interior 
bajo un ángulo de 45°, que es superior 
al ángulo límite (41°). 

276. Espejismo. — Las substancias 
más densas tienen en general un índice 
de refracción mayor. De aquí que el 
aire, en contacto con el asfalto caliente 


de las calles, en los días de verano, tenga un índice de refracción 
menor que el aire de las capas superiores. Debido a esto, cuando 


un rayo de luz (fig. 
472) incide sobre una 
de estas capas de aire 
menos densas que las 
de arriba (la parte 
más clara de la figu- 
ra) bajo un ángulo de 
incidencia próximo a 



los 90° se reflejará 
totalmente si aquel 


Fig. 473. — Espejismo. 


ángulo de incidencia es superior al ángulo límite. Por eso estas 
capas de aire se comportan como espejos dando la apariencia 



Fig. 474. — Medio limitado por planos 
paralelos 


de que la calle está mojada. Los 
viajeros del desierto, en busca de 
agua, deben haber experimentado, a 
causa de este fenómeno, no pocas 
desilusiones. En la fig. 473 se ha in- 
dicado el trayecto de un rayo de luz, 
que se aleja de la normal al refrac- 
tarse, pues se supone que las capas 
de aire de más arriba son las más 
densas, hasta que finalmente en una 
de las capas se produce la reflexión 
total. 


277. Lámina de caras paralelas. — Un haz de luz (fig. 474) 
que atraviesa un medio limitado por caras paralelas como una lámi- 
na o placa de vidrio experimenta dos desviaciones: una al entrar 
y otra al salir. Se tiene de acuerdo a la figura 475, siendo n el 




índice de refracción de la lámina con respecto al aire, que es el 
medió que se supone por debajo y por arriba de la misma: 


Si las caras son paralelas, las nor- 
males N y N’ también lo son: de aquí 
que los ángulos a y ¡3 sean iguales. 
Como de las fórmulas anteriores se 
tiene : 


Fig. 475. — El rayo emergente ee 
paralelo al incidente. 


resulta que el ángulo de incidencia i es igual al ángulo de emer- 
gencia e, desde cfue: 

sen i = sen e, 

siendo i ye ángulos menores de 90°. 

Se deduce entonces que el rayo emergente es paralelo al inci- 
dente. El rayo experimenta sólo un desplazamiento lateral. Si la 
lámina es delgada puede considerarse que un rayo de luz la atra- 
viesa sin experimentar des- 
plazamiento alguno. 

En los espejos de cristal 

creciéntésj que se deben a re- 
H§ flexiones sucesivas de la luz 
2 entre los planos paralelos de 
II > . \ las caras del vidrio. 


Fig. 476. — Espejo azogado. i\“I xaCClUQ 6U. Cl 

prisma. — Un medio trans- 
parente limitado por caras planas que forman cierto ángulo cons- 
tituye un prisma óptico (fig. 477). Arista del prisma es la inter- 
sección de los planos de las caras. Sección principal es la inter- 
sección del prisma por un plano perpendicular a la arista. Á1 



322 


E . Loedel 


ángulo de las caras se le llama ángulo refringente. En la figura 478 
se ha representado una sección principal de un prisma. El ángulo 

en A es el ángulo refrin- 
gente. 

Consideremos que un ra- 
yo de luz R incida sobre un 
punto I de la cara del pris- 
ma. Trazamos en 1 la nor- 
mal N a la cara y determi- 
namos el ángulo i de inci- 
dencia. Supondremos que el 
Fi g . 477. — Prisma. plano RIN coincide con el 

plano de una sección prin- 
cipal. El rayo penetrará en el prisma y se acercará a la normal, 
habiéndose indicado en la figura con a al ángulo de refracción: 

sen i 

— n; sen i = n sen a. 

sen a 

Este rayo interior incide en el punto E de la otra cara con un 
ángulo sale del prisma alejándose de la normal N’ con la cual 
forma el ángulo de emergencia 
e , tal que: 

sen ¡3 1 


sen e n 

sen e = n sen (3, [2] 

pues suponemos que el prisma 
está en el aire o sea que el me- 
dio en que se propaga el rayo 
incidente es igual al medio en 
que se propaga el rayo emer- 
gente. 

Si el prisma no se hubiera 
encontrado en el trayecto del 
rayo R éste .hubiera seguido la dirección RR’. A causa del prisma 
se desvió dos veces hacia la base BC del mismo, siguiendo final- 
mente la dirección EE\ Al ángulo S formado por el rayo incidente 
RI y el emergente EE’ se le llama ángulo de desviación. 



Fig. 478. — Trayecto de la luz en el prisma. 


[ 1 ] 




Física Elemental 


323 


Este ángulo es igual al 1 más el 2 por ser exterior del trián- 
gulo OIE : 

S = <J,l + <j2; 


además es: 


<) 1 = i — a ; <)2 = e — ¡3 


por lo que: 


8 = i — a-\-e — /?; S = ¿4-e — (a-\-¡3). 


[3] 


Se ve en la figura que el ángulo 3 formado por las normales 
N y N’ a las caras es igual a a -f- (3. Pero este ángulo 3 es igual al 
ángulo A, refringente del prisma, pues ambos tienen sus lados per- 
pendiculares. De modo que es: 


a + (3 = A 
y substituyendo en la [3] 

8 = i -f- e — A. 


[4] 


[5] 



Fig. 479. 


El ángulo de desviación es igual al 
de incidencia más el de emergencia me- 
nos el ángulo refringente del prisma. 


279. Prisma de ángulo refringente 
pequeño. — Este caso (fig. 479) tiene 
particular importancia para el estudio 
de las lentes. Consideraremos además 

que el ángulo de incidencia es pequeño de tal modo que en la [1] 
y la [2] pueden substituirse los senos por los ángulos medidos 
en radianes. 

i = na; e — n (3. 

Substituyendo estos valores en la [5] se tiene: 

8 = na~\-nf3 — A; S = n(a-\-f3) — A; 
de aquí, por la [4] : 

8 = nA — A; 8 = A (n — 1). . [6] 


Para un prisma de ángulo refringente pequeño, cuando el rayo 
incidente se aparta poco de la normal, el ángulo de desviación es 
igual al ángulo refringente por el índice de refracción menos uno . 



324 


E. Loedel 




280. Desviación mínima. — Supongamos que un rayo o haz de 
luz de una linterna (fig. 480) incide sobre un punto P de una pan- 
talla cuando no se interpone el prisma en su camino. Si se coloca 

el prisma el rayo incidirá 


sobre otros puntos tales co- 
mo el 1, el 2, etc. Esto de- 
penderá de la posición del 
prisma. 

Se ve en la figura que 
al rayo 2 corresponde una 
desviación mayor que al 
1. Girando el prisma se 
observa que para una de- 
terminada posición del mis- 
mo el punto P ’ alcanzado 
en la pantalla por el rayo 
emergente se encuentra a 
una distancia ‘mínima de 
P. El ángulo de desviación 
es entonces mínimo. Es imposible hacer que la luz que atraviesa 
el prisma incida sobre la pantalla en un punto comprendido entre 
P y P\ Se demuestra teóricamente y se comprueba en forma expe- 
rimental que esta desviación mínima se 
produce cuando el ángulo de incidencia 
es igual al ángulo de emergencia: 


Fig. 480. — Desviación mínima. 


8 = 8 m si i — e. 


Aquí S m es el ángulo de desviación 
mínima. Para la desviación mínima la 
[5] se convierte en: 


8 m — 2 i — A ,■ i — (8 ni — p A ) : 2. 


Si los ángulos de incidencia y emer- 
gencia son iguales, por la [1] y la [2], 
resulta : 

a = fS 


Fig. 481. — Goniómetro. 


lo que se comprende también intuitiva- 
mente por razones de simetría. Se tendrá entonces, ya que según 
[4] a + P = A: 

2 a — A ; a — A/2. 



Física Elemental 


325 


Se encuentra así, aplicando la [1], para el índice n de refrac- 
ción del prisma: 

sen [ (S OT -j- A) :2] 


sen (A/2) 


Ejemplo. — Se ha medido el ángulo refringente A y la desvia- 
ción mínima S m resultando: A = 60°; 8 m = 40°. 

sen 50° 0,766 

n = = = 1,53. 

sen 30° 0,500 

Las medidas se llevan a cabo con un gonió- 
metro (fig. 481), que consiste en un limbo gra 
duado en cuyo centro existe una plataforma gira 
toria sobre la que se coloca el prisma. 

Para medir el índice de refracción de los líqui- 
dos se construyen prismas huecos de vidrio cuyas 



paredes están formadas por láminas de caras para- 
lelas (fig. 482). 


Fig. 482. — Prisma 
Lueco. 


281. índice de refracción, color y longitud de onda. — Si es 
luz blanca la que atraviesa el prisma se observa que el haz emer- 
gente está formado por una 
sucesión de colores. Vere- 
mos más adelante que la 
luz blanca es una mezcla 
de otros colores simples. 
Cada uno de éstos tiene 
un índice de refracción 

determinado. Al color ro- 
jo corresponde el índice 
de refracción menor y el 
mayor al violeta en el 

orden siguiente: 

Color: Rojo Anaranjado Amarillo Verde Azul Añil Violeta 

n = 1,501 1,514 1,515 1,519 1,521 1,527 1,531 

Estos valores del índice de refracción se refieren al vidrio 
común. Veremos más adelante que la luz consiste en un proceso 
ondulatorio. Cada color se caracteriza por su longitud de onda , 
como la altura de un sonido. A los sonidos graves corresponde una 




326 


E. Loedel 


longitud de onda grande; a los agudos, pequeña. Al color rojo 
corresponde mayor longitud de onda que al violeta. Esta longitud 
de onda de cada color se puede medir con asombrosa precisión. 
Como la longitud de onda es muy pequeña, se conviene medirla 

O O 

en una unidad especial llamada Angstrom (A). Un angstrom es 
igual a la décima parte de un milimicrón; un milimicrón es la milé- 
sima de un micrón, y un micrón es una milésima de milímetro. 
Resulta así que un angstrom es la cienmillonésima parte de un 
centímetro : 

1 A = 10 -8 cm. 

Luz de longitud de onda de 8000 angstrom produce la sensación de 
color rojo oscuro, y de 6 500 angstrom la del rojo claro. Para 4000 
angstrom la sensación de color es la del violeta (fig. 483) . 

En el cuadro siguiente se comparan las ondas sonoras con las 
ondas luminosas: 


SONIDO 


OÑDAS LONGITUDINALES 

Se propagan en el aire y en cual- 
quier medio elástico. 

Longitudes de onda en el aire com- 
prendidas entre 20 metros y 20 mi- 
límetros. 

Velocidad = 340 m/seg 
(en el aire). 


LUZ 


ONDAS TRANSVERSALES 

Se propagan en el vacío y en cual- 
quier medio transparente. 

Longitudes de onda en el vacío (o 

O 

en el aire ) , comprendidas entre 8 000 A 
y 4000 Á. 

Velocidad = 300 000 Km/seg 
(en el vacío). 


PROBLEMAS 

1. Hallar la velocidad de la luz en el interior de un vidrio de índice 
de refracción igual a 1,5. 

c 300000 

V = — = = 200 000 Km/seg. 

/» 1,5 

2. Se han medido los siguientes ángulos de incidencia y refracción 
para el agua con un círculo dividido sólo en grados, en que 
los minutos se aprecian a ojo, obteniéndose los valores del cua- 
dro siguiente; 





Física Elemental 


327 


r 

i 

log sen i 

i 

long sen r 

log n 

n 

10’ 

13’ 30’ 

9,3682 

9,2397 

0,1285 

1,344 

20’ 

27’ 





30’ 

42’ 





40’ 

59’ 





45’ 

70’30’ 






Complétese este cuadro y hállese el valor medio de n, que* 
debe resultar igual a 1,335. La columna log n se obtiene por 
diferencia: 

log n = log sen i — log sen r. 






CAPÍTULO XXII 


LENTES. INSTRUMENTOS DE ÓPTICA. 
DISPERSIÓN DE LA LUZ 


282. Definiciones. — Un medio refringente limitado por caras 
esféricas constituye una lente. Una de las caras puede ser plana. Una 

cara plana puede considerarse 
como un casquete esférico de 
radio infinito. 

Un plano que corte a la 
lente pasando por los centros 
de curvatura de las caras de- 
termina una sección principal. 
En la figura 484 se ha repre- 
sentado la sección principal de 
una lente biconvexa siendo Ci 
y C 2 los centros de las esferas 
a las cuales pertenecen las su- 
perficies de la lente. Eje principal de una lente es la recta que une 
los centros de curvatura de la misma. El espesor de una lente es el 

segmento de eje principal compren- 




Fig. 485. — Lentes convergentes. 


Fig. 486. — Lentes divergentes. 


dido entre las caras. Decir que una lente es delgada significa que 
el espesor es pequeño en comparación con cualquiera de los radios 



Física Elemental 


329 1 


de curvatura de las caras. Las lentes se clasifican en convergentes 
(fig. 485) y divergentes (fig. 486). Las convergentes son más grue- 
sas en el centro que en los bordes, las divergentes al contrario. 

Las lentes convergentes 
ser biconvexas (1), 
nvexas (2) y menis- 
co convergentes (3). 

Las divergentes : bicónca- 
vas, plano - cóncavas y menis- 
co divergentes. 

Foco principal. — Al in- 
cidir sobre una lente conver- Fig. 487. — Foco principal real, 

gente un haz de rayos para- 
lelos al eje principal se observa (fig. 487) que después de atravesar 
la lente se cortan en un punto F del eje llamado foco principal. 

Si la lente es divergente (fig. 488) el foco principal de la misma 
es virtual y se encuentra en el punto de intersección de las prolon- 
gaciones de los rayos emergentes que provenían de rayos incidentes 
paralelos al eje principal. Claro está que una lente tiene dos focos 
según que la luz vaya en uno u otro sentido (fig. 489). 





tuado sobre el eje principal que tiene la propiedad de que los rayos 
de luz que pasan por él atraviesan la lente sin desviarse. Este punto 
se llama centro óptico de la lente. 

En lentes biconvexas o bicóncavas de caras de igual curvatura,, 
el centro óptico se encuentra en el punto central de la lente. 


330 


E. Loedel 


En las plano • cóncavas o plano - convexas se encuentra en la 
intersección del eje principal con la cara curva (fig. 490). Se deter- 
mina la posición del centro óptico del modo siguiente. Desde el 
centro C\ de una de las caras (fig. 491) se traza un radio cualquiera 
C\l\ y desde C 2 otro radio C 2 / 2 paralelo al anterior. La intersección 



Fig. 490. — Centro óptico. 


Fig. 491. — Centro óptico O . 


de la recta /i/ 2 con el eje principal determina el punto O que es el 
centro óptico. 

Para comprender el porqué de esta construcción geométrica tra- 
cemos por / 1 e / 2 los planos tangentes a las caras, ai y a 2 . Estos 
planos son normales respectivamente a los radios C\I\ y C 2 / 2 que 
por construcción eran paralelos. Los planos ai y a 2 serán entonces 
paralelos. Un rayo que en el interior de la lente siga la dirección 
/i/ 2 , para lo cual pasará por el centro óptico, atravesará un medio 
de caras paralelas, por lo cual no se desviará, y como la lente es 
delgada, no se desplazará (277). 

Falta probar aún que se obtiene el 
mismo punto O cualquiera sea el radio 
CJí elegido. Se ve en la figura que 
los triángulos sombreados son seme- 
jantes, por lo cual siendo Ri y R 2 los 
radios de curvatura de ambas caras 
se tiene: 



Fig. 492. — Centro óptico O. 


OC 2 


Ri 


relación que determina la posición del punto O. En la figura 492 
se ha determinado el centro óptico de una lente menisco convergente. 
La construcción anterior no puede efectuarse en una lente plano con- 
vexa o plano cóncava, pero en ellas se ve que todo rayo que pasa 
por la intersección de la cara curva con el eje principal atraviesa 
un medio de caras paralelas (fig. 490). 


Física Elemental 


331 


283. Marcha de los rayos en el interior de una lente. — Sea 
el rayo R que incide en el punto I (fig. 493). Tracemos en / el 
plano a tangente a la cara de la lente, 
que será perpendicular al radio C 2 /. 

Este radio determina la normal N en 
-el punto de incidencia. En el interior 
de la lente el rayo se acercará a la 
normal e incidirá sobre el punto E 
de la otra cara. C^E determina la nor- 
mal N’ en ese punto. El plano ¡3 tan- 
gente en £ a la otra cara de la lente 
forma con el plano a un cierto ángulo 
A. El rayo R se ha desviado como si 
hubiera atravesado un prisma cuyas 
caras son los planos a y ¡3. Como en Fi s- 493 - — Como en e i prisma, 
un prisma los rayos se desvían acer- 
cándose hacia la base se comprende porqué una lente más gruesa en 
el centro que en los bordes es convergente. Esta lente puede consi- 




derarse como una sucesión de prismas de ángulo refrin- 
gente variable (fig. 494) cuyas bases están dirigidas 
hacia el eje principal. 

En cambio en las lentes divergentes ocurre lo con- 
trario (fig. 495). 

284. Formación de imágenes. — Sea la lente con- 
vergente (fig. 496) de centro óptico O cuyos focos 
son fyF. Ambos focos equidistan siem- 
pre del centro óptico. Para hallar la 
imagen de un punto A de un objeto AB 
procedemos así: trazamos desde A un 
rayo paralelo al eje principal que pa- 
sará por el foco F’ después de atravesar 
la lente; luego consideramos un rayo 
que salga de A y pase por el centro 
óptico (eje secundario ). Este rayo no 
se desviará; la intersección de los rayos 
que atravesaron la lente se produce en 
el punto A\ imagen real del punto A. 

Si el objeto (fig. 497) se encuentra F¡ g . 495 . 



éntre el foco y la lente la imagen es 
-rírtual. En las lentes divergentes las imágenes son siempre virtua- 
les (íig. 498). 





332 


E. Loedel 



285. Fórmula de los focos conjugados. — Se demuestra que 
a las lentes (fig. 499) vale la misma fórmula que para los espe- 
jos esféricos: 


^ -A || siendo x la distancia ^del 

Fig. 496. — imagen reai. cia focal, ella depende en 

las lentes, del índice de 
refracción n y de los radios de curvatura de las caras. Si estos radios 
son R\ y R 2 vale la fórmula si- 

Siente: KHMRSN 


Ejemplo: Sea una lente de 
vidrio de índice de refracción 1,5. 
La lente es biconvexa y los radios 
de curvatura son iguales: 



Fig. 498. — Lente divergente: 
imagen virtual. 


Ri — 7? 2 — R • 

Resulta entonces: 

1 , 1 1 x 2 1 

—=0.5 ( 1 — ) =0,5.—=—; 

/ \R R/ R R 

/ = *. 

En esa lente los focos coinciden 
>n los centros de curvatura ¿ .o 


mismo ocurre si la lente es bicóncava. 


Física Elemental 


333 


En las lentes plano - cóncavas o plano - convexas uno de los ra- 
dios es infinito y si el radio de la cara curva es R se tiene para ellas: 

1 1 

— = ( n — 1) — • 

/ R 

En las lentes menisco convergentes o menisco divergentes debe 
tomarse la diferencia entre los valores de 1/Ri y l/Rs- 



* 286. Demostra- 
ción. — Si la lente es 
delgada puede reem- 
plazarse por un plano 
que pase por el cen- 
tro óptico (fig. 500) 
y perpendicular al eje 
principal. Sea un pun- 
to P situado sobre el Fig. 499. — Fórmula de las lentes, 

eje principal a la dis- 
tancia x del centro óptico. Consideremos un rayo PI que al salir 
de la lente lo hace en la dirección IP’ y llamemos y a la distancia OP * . 
Se ve en la figura que el ángulo 8 exterior del triángulo PIP’ es: 


8 — 81 -j- 82. 


Además, la porción de prisma atravesada por el rayo en I tiene 
un ángulo refringente A igual al ángulo de las normales a las caras 



Fig. 500. — Fórmula de las lentes. 


en / o sea el ángulo A es igual al formado por los radios C-J y 
Co I. Podemos aplicar la fórmula del párrafo 279, de donde: 

Si +8 2 = (n— \)A; 



334 


E . Loedel 


pero se ve en la figura que el ángulo A es exterior del triángulo- 
C\IC 2 , por lo cual: 

A —— o,\ -(- 02Í 

de donde: 

81 + 82= ( n — 1) (01 + 02)» 

Llamando h a la distancia OI se tiene: 

h h h h 

tg Si = — ; tg S 2 = — ; tgOi = — ; tgo 2 = — , 

x y Rí R 2 

siendo R\ — CiO y R 2 = C 2 0 los radios de curvatura de las caras,, 
pues estamos considerando lentes delgadas. Si los ángulos que pre- 
ceden son pequeños pueden sustituirse las tangentes por los ángulos 
resultando así: 


h h / h h \ 

1 = (n 1 ) ( 1 ); 

x y ^ R\ R 2 ' 

que dividiendo por h da la fórmula: 



El hecho de eliminarse h significa que todos los rayos que salen 
de un punto P se encuentran luego de atravesar la lente en un punto 
P\ conjugado de P. 

Si x es infinito los rayos que salen de P son paralelos al eje 
principal y entonces el valor de y no es otro que la distancia focal: 


1 

— = {ti — 1 ) 

f 




Observemos que la fórmula es válida únicamente para ángulos 
pequeños, o sea para rayos que se llaman centrales. Sólo en estas 
condiciones a un punto objeto corresponde un único punto imagen. 


287. Convergencia. Lentes adosadas. — Se llama convergencia- 
de una lente al valor inverso de su distancia focal /: 


c = 1 //. 




Si la distancia focal se mide en metros la convergencia queda 
expresada en dioptrías. Siendo la distancia focal de 1 m, la conver- 
gencia es de una dioptría; si / — 2 m, la convergencia es de 1/2 
dioptría, etc. Si una lente divergente tiene una distancia focal de 
1 m, su convergencia es negativa e igual a una 
dioptría. ' \ í 

Si se tienen dos lentes delgadas adosadas (fig. \ 

501) se comportan como una única lente cuya conver- 
gencia es igual a la suma algebraica de las conver- I 1 
cencías de cada una de las lentes: 


Se puede aprovechar esta relación para medir la 
distancia focal de una lente divergente. 


Ejemplo: Sea la lente convergente 1 (fig. 502) que estando 
el objeto a 40 cm da una imagen del mismo también a 40 cm. 

En este caso, de la fór- 

- — 40 cm— • milla I 


Lente de 3 dioptrías 


■/ÓOcr.1 


La lente tiene una con 
vergencia C\ igual a: 


l>i = = b dioptrías. ' ? 

0 ? 20 m - l.( — 

Fig. 503. — Superposición de lentes. 

Le adosamos la lente 2 

(figura 503) y obtenemos: x = y = 100 centímetros. 



336 


E. Loedel 


La convergencia del sistema es: 

1 

C = = 2 dioptrías. 

0,50 m 


Debe ser: 

C = Ci + C 2 ; 2 = 5 + C 2 . 

C 2 = 2 — 5 = — 3 dioptrías. 

La distancia focal de esta lente divergente es: 

1 1 

f 2 = — = m = — 33 cm. 

C 2 3 

Defectos de las lentes. — Cuando los rayos no son centrales, la 
imagen dada por una lente no es nítida, produciéndose además de- 
formaciones. Por otra parte, como veremos más adelante, la luz 
blanca es una superposición de luces de diversos colores que tienen 

diferente índice de refracción. De 
aquí resulta que los contornos de 
la imagen de un objeto ilumina- 
do con luz blanca aparecen colo- 

plando lentes de diferentes clases 
de vidrio y de curvaturas distin- 
tas se consigue evitar, en parte, 
los defectos anteriores, que se de- 
signan con los nombres de abe- 
rración de esfericidad y aberra- 
ción cromática. 

* 288. Lentes gruesas. — Ha- 
gamos (fig. 504) la misma cons- 
trucción que hicimos para deter- 
minar el centro óptico en las lentes delgadas. Determinamos así la 
recta / 1 / 2 que corta al eje principal en el centro óptico O. Para 
que el rayo luminoso siga, en el interior de la lente, el camino 


reados perdiendo nitidez. Acó- 



Fig. 504. — Lente gruesa. 



Física Elemental 


337 


Íi01\ debe incidir en el punto / 2 de tal modo que forme con la 
normal «2 un ángulo de incidencia i tal que 

sen i 

= n. 

sen r 

Por la construcción hecha queda determinado el ángulo r. Cono- 
ciendo el índice de refracción de la lente puede determinarse el 
ángulo i. Una vez hecho esto prolongamos el rayo incidente hasta 
que corte al eje principal en un punto /Vi. El rayo emergente deter- 
mina el punto /V 2 . 

Estos puntos /Vi y /V 2 reciben el nombre de puntos nodales.- 

Cualquier rayo (que no forme un ángulo muy grande con el eje 
principal) que al incidir sobre la lente se dirige hacia el punto nodal 
correspondiente Ni, emerge siguiendo la misma dirección y de tal 
modo que su prolongación pasa por el otro punto nodal N 2 . 

En lo que precede hemos supuesto que el medio en que se pro- 
pagan los rayos incidentes, es el mismo medio refringen te en que 
se propagan los rayos emergentes. Éste es el caso de una lente de 
vidrio situada en el aire. Otra cosa sería si una de las caras de la 
lente estuviera en el 
aire y la otra en el 
agua u otro medio. 

Formación de 
imágenes. — Siendo 
A'i y /V 2 1 os puntos 
nodales de una len- 
te, trazamos por ellos 
los planos 7ri y 7r 2 , 
perpendiculares al 
eje principal (figura 
505). Éstos son los 
planos principales. Si se trata de hallar la imagen del punto A, con- 
sideramos un rayo que sale de A paralelo al eje principal. Este 
rayo incidente prolongado, corta a los planos principales en los 
puntos Px y P 2 . Se puede demostrar que el rayo emergente corres- 
pondiente a este rayo, pasa por el foco F como si partiera de P 2 . 
Además, al rayo AN\ corresponde un rayo emergente (/V 2 ^’) para- 
lelo al incidente y cuya prolongación pasa por /V 2 . La intersección 
de estos rayos da la imagen A ’ del punto A. 





EL OJO Y LOS INSTRUMENTOS ÓPTICOS 


289. El ojo desde el punto de vista óptico y la cámara foto- 
gráfica. — Una cámara fotográfica (fig. 506) consta de una lente 


(objetivo) que produce del objeto a fotografiar una imagen sobre 
una placa sensible a la luz. Para que esta imagen sea nítida la lente 

se acerca o se aleja de la placa según que el 
objeto esté distante o cercano. Para fotografiar 
/ objetos muy lejanos la máquina se “ enfoca al 

infinito ” coincidiendo entonces el plano focal del 
■Bmkí ■ JgSgSff objetivo con el plano de la placa. Delante del 
objetivo se encuentra un diafragma (fig. 507) 
que puede abrirse o cerrarse a voluntad. Con este 
’ J diafragma se regula la cantidad de luz que llega 

Fig. 507. — Diafragma. a la placa, disminuyendo su diámetro si el objeto 
es muy luminoso. 

El sistema óptico del ojo es enteramente análogo. La luz que 
atraviesa la córnea (fig. 508) pasa a través de la pupila que hace 
las veces de diafragma, variando 
el diámetro de la misma en vir- 
tud de un acto reflejo, de acuer- ! : ff/ 

do a la luz que recibe el ojo \'V“ 


Diafragma 


Humor 

vitreo 


Wq**i 

Hv&Ct 3 , 


Fig. 508. — Corte esquemático del ojo 


Física Elemental 


339 


Ojo. En el ojo normal, llamado emétrope, las imágenes de los objetos 
lejanos se producen nítidamente sobre la retina sin que para ello el 
ojo deba efectuar esfuerzo alguno. El ojo se halla entonces enfocado 
o acomodado al infinito. Dadas las reducidas 
dimensiones del ojo, un objeto situado a más 
de 15 metros del observador puede conside- 
rarse en el infinito. Esto significa que si se 
re nítidamente una estrella, también se puede 
ver nítidamente al mismo tiempo un objeto 
situado a 15 ó 20 m de distancia. 

Para distancias menores el ojo debe ser 
acomodado. En las máquinas fotográficas ya 
vimos que esta acomodación se realiza sepa- 
rando el objetivo de la placa. En el ojo, varía , 
en el proceso de acomodación, la curvatura 
del cristalino, haciéndose más 'convergente 
cuando el objeto se acerca. 

Si la distancia es menor de unos 20 centímetros ya la acomoda- 
ción del ojo es dificultosa. Esa distancia de 20 centímetros sería la 
distancia mínima de visión nítida. Esta distancia mínima de visión 
neta varía de una a otra persona oscilando entre 10 y 30 centímetros. 

Ojo miope e hipermétrope. — 
En el ojo miope la imagen de un 
objeto lejano se produce antes de la 
retina (fig. 510). El sistema óptico 
del ojo es demasiado convergente. 
Se corrige este defecto, entonces, 
con una lente divergente. 

En el ojo hipermétrope, sucede 

retina por ser el sistema óptico del 
ojo poco convergente. Se corrige 
este defecto con una lente conver- 
gente. 

Astigmatismo. — Este defecto 
es de lo más común; el 90 % de 
las personas tienen astigmatismo en mayor o menor grado. En un 
ojo astigmático la convergencia óptica del mismo es variable en los 
distintos planos meridianos. Sea por ejemplo el ojo de la figura 


lo contrario (fig. 511) ; la imagen 
se produciría nítida detrás de la 




Kig. 509. — La pupila 
varía de diámetro. 


340 


E. Lo EDEL 


512 emétrope o normal en el plano vertical ee, e hipermétrope en, 
el plano horizontal hh. De una cruz lejana VH , se formará en este 
ojo, nítidamente sobre la retina, la imagen del travesaño vertical y 



Fig. 511. — La hipermetropia se Fig. 512. — El astigmatiemo ae corrige 

corrige con lentea convergentes. ccn lentea cilindricas. 

detrás de la retina la imagen del travesaño horizontal. Se corrige 
este defecto con una lente cilindrica convergente de eje horizontal. 
Si el ojo es emétrope en el plano vertical y miope en el horizon- 
tal mm (fig. 513) se corregirá el defecto con 
una lente cilindrica divergente de eje horizontal. 

Además del astigmatismo recto de los ejem- 
plos anteriores existe el astigmatismo oblicuo 
(fig. 514), que se corrige girando convenien- 
temente el eje de la lente cilindrica. 

Si el ojo es miope y astigmático se corrige 
por la superposición de 
dos lentes: una esférica 
y otra cilindrica. Para 
esto basta un solo cris- 
tal en que una de las 
caras se talla en forma 
cilindrica y la otra en 
Fig. 513. — Astigmatismo. forma esférica. Lo mis- 
mo cabe decir con res- 
pecto a un ojo hipermétrope y astigmático. El astigmatismo se debe 
a la variación de los radios de curvatura de la córnea en los distin- 
tos planos meridianos del ojo. » 





Física Elemental 


341 


Presbicia. — Con la edad, las partes del ojo pierden la facultad 
de acomodación. Un ojo présbite se parecería a una máquina fotOr 
gráfica que ha quedado trabada, enfocada al infinito. Con ella se 
podrían sacar fotografías sólo de objetos lejanos. Para fotografiar 
objetos cercanos, si no es posible destrabar la máquina, habría que 
agregar frente al objetivo una lente de convergencia apropiada según 
la distancia del objeto. Por esta razón los présbites necesitan lentes 
convergentes para leer. 

Puede una persona miope convertirse en présbite; en ese casa 
usará lentes divergentes para la observación de objetos lejanos y 
convergentes para mirar de cerca. 

Daltonismo. — El gran químico inglés Dalton solía presentarse 
en el laboratorio con una media roja y otra verde. Su ayudante le 
advirtió de lo que creyó era una simple distracción de sabio. Pero 
Dalton afirmaba que ambas medias eran del mismo color. Se ha 
dado por esta circunstancia el nombre de daltonismo al defecto que 
consiste en no distinguir el rojo del verde. En realidad los que pade- 
cen de ese defecto aprecian como del mismo color el rojo, el anaran- 
jado, el amarillo y el verde. Sería muy peligroso que un maquinista 
de trenes padeciera de daltonismo. 

290. Poder separador del ojo. — Si nos alejamos de una regla 
graduada en milímetros, a una distancia de unos tres metros de la 
regla se deja de percibir la separación entre las divisiones*. 

Un milímetro, a la distancia de 3 m se ve bajo un ángulo algo 
mayor de 1\ Por esto se dice que el poder separador del ojo es de 1.’ 

A la distancia de 1 500 m el ojo no puede separar dos objetos 
distantes en menos de 50 cm. 

El poder separador del ojo de- 
fundamentalmente del diá- 
metro de la pupila ; cuanto más 
dilatada está ésta, mayor es el 
separador. Mirando a tra- 
vés de un orificio hecho sobre una 
tarjeta con un alfiler (fig. 515), 
cualquiera puede comprobar que 
el poder separador del ojo dismi- 
nuye. Si el orificio es de 1 mm de diámetro, a través de él no pueden 
verse separados puntos que disten angularmente en menos de 4’. 

• Esto sin tomar en cuenta el espesor de laa líneas; mejor sería dibujar líneas de an mi- 
límetro de espesor, separadas por ana distancia de un milímetro entre borde y borde. 






342 


E. Loedel 


Se entiende por agudeza visual V al valor inverso del ángulo 
mínimo bajo el cual se ven separados dos puntos luminosos: 

1 

V = —. 

a 

Si a se mide en minutos de ángulo, la agudeza visual es igual a la 
unidad para a = IV 

La teoría ondulatoria de la luz explica este límite en el poder 
separador del ojo. La imagen de un “punto” luminoso es, de acuerdo 
a la teoría, no otro punto, sino un pequeño círculo brillante. Dos 
puntos luminosos próximos, y como tales pueden considerarse dos 
estrellas separadas por pequeña distancia angular, dan origen en la 
retina, a dos pequeños círculos brillantes. Si las superficies de estos, 
círculos se superponen, no podrán verse los puntos separados. 

Si a es el ángulo que mide el poder separador, siendo A la Ion 
gitud de onda, D el diámetro de la pupila y n el índice de refracción 
del humor vitreo, se tiene, de acuerdo a la teoría ondulatoria de la luz : 

a A 

sen — = 1,22 . 

2 nD 

Para D = 4 mm, tomando A = 0,0006 mm (luz amarilla para 
la cual el ojo tiene el máximo de sensibilidad), y siendo « = 4/3, 
resulta: 


a = 56” ~1\ 

Se ve, de acuerdo a esto, que en lo que al poder separador del 
ojo se refiere, el papel desempeñado por la distribución en la retina 
de las células sensibles a la luz, es secundario; contrariamente a la 
opinión sustentada al respecto por algunos biólogos. En una máqui- 
na fotográfica, el poder separador de la misma depende de la aber- 
tura del diafragma. La diferencia, a este respecto, entre la cámara 
fotográfica y el ojo, consiste en que en el interioi de aquélla hay 
aire, en tanto que en el interior del ojo se encuentra el humor vitreo. 
Si se quiere que en una fotografía aparezcan muchos detalles (gran 
poder separador), conviene abrir el diafragma al máximo, debiendo 
entonces reducir el tiempo de exposición. La fórmula que da ei 
poder separador del ojo se aplicó igualmente a otros instrumentos 
ópticos: cámara fotográfica y telescopios. 



Física Elemental 


. 34 3 

. Percepción del relieve. — Las dos imágenes que de un mismo 
objeto da cada uno de los dos ojos son diferentes (fig. 516). Debido 
a esto percibimos los objetos con relieve. Si se tpman de un mismo 
objeto dos fotografías con dos máquinas fotográficas 
cuyos objetivos disten entre sí como un ojo del otro, 
observando aquellas fotografías con un aparato espe- 
cial, llamado estereoscopio, se percibe una única ima- 
gen en relieve. Para esto el ojo derecho debe ob- 
servar la fotografía tomada por el objetivo de 
la derecha y el ojo izquierdo por el objetivo de 
la izquierda. 

291. Lupa o lente de aumento. — Si se coloca 
un objeto AB entre el foco y la lente (fig. 517), la 
imagen virtual A’B’ es mayor. 

Si el objeto AB se observa a simple vista, se le 
verá bajo un ángulo a cuando esté colocado del ojo 
a la distancia mínima d de visión neta. A simple 
vista no es posible verlo bajo un ángulo mayor, pues 
si se le acercara más al ojo, éste no podría acomodarse. 

Observando el objeto con una lupa, supongamos 
que se le ve bajo un ángulo /?. El aumento de la lupa es entonces: 

P 

(a = — . 

a 

Ejemplo: Un objeto colocado a la distancia de 20 cih del ojo, 
que para el observador considerado es la distancia mínima de visión 

nítida, se ve bajo un 
ángulo de 1’. Con 
una lupa se ve el 
mismo objeto bajo 
un ángulo de 4’. El 
aumento es igual 1 a 
4. El diámetro re- 
sulta amplificado 
cuatro veces; la su- 
perficie diez y seis 
veces. 

* Cálculo del au- 
mento. — Si el objeto se encuentra a la distancia x de la lente, 
y suponemos que el ojo del observador está aplicado a la misma. 




Fig. 516. 

Visión binocular. 


344 


E. Loedel 


que es el caso más ventajoso, considerando al ojo en el centro 
óptico de la lente distará del objeto en x y lo verá bajo el 
ángulo 

¡3 = <) AOB = <3A’0B\ 

El ángulo bajo el cual se ve un objeto, llamado diámetro aparente, 
está en razón inversa de su distancia, por fo cual, 

¡3 d 

” • 
a x 



Ésta es la fórmula general del aumento. Sea / la distancia focal 

de la lente; variemos x hasta 

. .. . , . que la imagen A’B’ se forme a 

una distancia y igual a la dis- 
; ; tancia mínima de visión neta. 

> La fórmula de las lentes 


Fig. 51B. — Microscopio, 


X y f 

se convierte en: 

1 1 1 

x d f 

El signo menos corresponde 
al caso de la imagen virtual. Re- 
sulta entonces para el valor de 
x que hace que la imagen se pro- 
duzca a la distancia mínima d: 


y el aumento será 

1 

a = d — 

x 


lid 
=d(-+— > =-+i, 

/ d I 



Física Elemental 


345 


o lo que es lo mismo 

d + f 

a = . 

f 

Éste es el aumento óptimo. Si / — 5 cm, y d = 25 cm, a = 6. 

292. Microscopio. — El objetivo Ob (fig. 518), da del ob- 
jeto iluminado por la luz que refleja un espejo apropiado una 
imagen real, invertida y amplificada en A , B > . El ocular Oc, o lupa, 
( da de A’B’ una imagen virtual en A^B”. El objeto debe distar del 
objetivo en algo más que la distancia focal de éste y la imagen A*B 
debe caer entre el ocular y el foco del 
mismo. 

En realidad, en los buenos microscopios, 
tanto el objetivo como el ocular están forma- 
dos por combinaciones de 
lentes (287). (Fig. 519). 

Poder separador de 
un microscopio. — En el 
eje óptico del microscopio 
(fig. 520) se encuentra el 
objeto a observarse. Sea 

a el ángulo formado por Fig. 519. — Objetivo, 
este eje y los rayos útiles 

que inciden sobre el borde del objetivo. Se llama 
abertura numérica del objetivo al duplo del seno 
del ángulo a: 

a = 2 sen a. 

Se demuestra que la distancia mínima d, a que pueden estar dos 
puntos para verse separados, es igual a la longitud de onda A. de 
la luz utilizada sobre la abertura numérica: 

X 

d = . 

2 sen a 

Objetivos de inmersión. — La abertura numérica que hemos defi- 
nido corresponde al caso en que la preparación a observarse se encuen- 



Fig. S20. — Abertura. 




346 


E. Loedel 



tre en el aire. Si se coloca entre el objetivo y la preparación una gota 
de aceite de cedro (índice de refracción 1,51), la abertura numé- 
rica es n veces mayor si n 
es el índice de refracción 
del medio. La distancia 
mínima d es entonces: 


2 n sen a 

Del poder separador 

Fig. 521. — - Igual aumento y diferente de un microscopio depen- 

poder separador. j i j . ii *1 

den los detalles que con el 
pueden verse. Es absolutamente inútil un microscopio de gran aumento 
si su poder separador es 
débil. Si se amplia una * — 

fotografía un millón de ve- / / \ • & 

ces, no aparecerán por HEZE|~5^5596|3^' ; ' .* rrj,; ru- 

ello detalles que no esta- 
ban en el original. Claro 

está, que a mayor poder : j 

separador debe emplear- 

6 j . Fig. 522. — Anteojo astronómico. 

se mayor aumento, hasta 

lograr ver bajo un ángulo de un minuto por lo menos ( poder sepa- 
ra ^ OT del ojo), la distancia mínima que separa 
Ü Ü¡ el instrumento. La figura 521 muestra una pre- 

Í jt.| paracion vista con dos microscopios de igual au- 
mentó y diferente poder separador. 


í • .... U/llitl/M/l/l/i 1JU liUUl U L/iJi L 111 UVy Jkl U U11U yj 1 V/ 

*■ . ; tií pwi . . 1 -J-l 

I I || paracion vista con dos microscopios de igual au- 

mentó y diferente poder separador. 

f ¡| | 1 293. Anteojo astronómico. — De un objeto 

i l 1 ¿i . | muy lejano (fig. 522), el objetivo Ob da una ima- 

I i f ] gen real e invertida en el plano focal del mismo, 

j ¡ Esta imagen se observa con una lupa u ocular Oc. 

\j : V’ij ,1 El anteojo precedente es un refractor. En los re- 

tí ' J : / lectores (fig. 523), el objetivo es un espejo cónca- 

II S • ... __r- í__ / • _ _\ t _ í 


gíf “ \ || . vo esférico (mejor parabólico). La imagen de un 

t í *| ; astro se formáría en el plano focal P del espejo, 

RMNfflNLuJfc* pero se forma en P’ frente al ocular Oc por la 
Fig. 523. — Telescopio interposición de un pequeño espejo plano E, incli- 
«iieuor. nado a 45° con respecto al eje del anteojo. El au- 

mento de un telescopio es igual, como es fácil probar, al cociente 
entre la distancia focal del objetivo y la distancia focal del ocular. 


Física Elemental 


347 


La potencia de un anteojo astronómico depende fundamentalmente 
del diámetro del objetivo. El objetivo constituye la llamada pupila de 
entrada del instrumento. Debe procurarse que toda la luz que pene- 
tra por la pupila de entrada, penetre luego al ojo del observador. 
Para esto el diámetro de la llamada pupila de salida debe ser menor 
que el diámetro de la pupila del ojo. La pupila de salida no es más 
que la imagen del objetivo dada 
por el ocular. 

Si consideramos que la pupila 
del ojo tiene 5 mm de diámetro, 
observando a simple vista una 
estrella llega a la retina la luz 
comprendida en un cilindro de 
base circular de diámetro igual 
a 5 mm. Observando la misma 
estrella con un objetivo de diá- 
metro diez veces mayor recibí- Kis - 521. — Anteojo de Guineo. 

remos cien veces más de luz, pues 

la superficie de un círculo es proporcional al cuadrado del diámetro. 

El telescopio más grande en uso actualmente tiene un objetivo 
de 2,50 m de diámetro *. 

294. Anteojo terrestre. — Con un anteojo astronómico las imá- 
genes aparecen invertidas, con respecto al objeto. Para evitar esto en 

los anteojos destinados a usos te- 

E1 anteojo de Galileo es más 
simple aún. En él el ocular es 
una lente divergente que se co- 
loca entre el objetivo y la ima- 
gen A’B ’ que éste hubiera dado 
no estando el ocular (fig. 524). 

En 1 os anteojos prismáticos 
la imagen se invierte haciendo 
que los rayos se reflejen en las 
caras de dos prismas de reflexión total (fig. 525), cuyas aristas están 
dispuestas perpendicularmenté. El prisma 1 invierte la imagen en el 
sentido vertical y el 2 en sentido horizontal, o sea, de derecha a 
izquierda. La longitud de estos anteojos es pequeña, pues es más 
o menos la tercera parte de la distancia focal del objetivo. 


rrestres, Se invierte con una lente 
!a imagen dada por el objetivo. 




* Para más detalles, consúltese: Loedel - De Loca, Cosmografía. Editorial Estrada. 



348 


E. Lo ED E L 


295. Máquina fotográfica. — Ya nos hemos ocupado en el pá- 
rrafo 289 de la máquina propiamente dicha. Los objetivos fotográ- 
ficos están formados en realidad por combinaciones de lentes, para 
lograr así que el campo sea grande y que, a pesar de apartarse, en 
consecuencia. los rayos luminosos bastante del eje principal, las imá- 
genes no se deformen. La figura 526 representa 
un objetivo fotográfico; los hay de muchas 
clases. 

La placa o película sensible está recubierta 
por una emulsión de bromuro de plata .en gela- 
tina. Por la acción de reveladores especiales 
(hidroquinona, pirogalol, etc.), se logra re- 
ducir el bromuro de plata en las partes que 
han sido atacadas por la luz. Se deposita así, 
en las partes que han sido iluminadas, una 
capa opaca de plata finamente pulverizada. 
A este negativo se le fija disolviendo el bromuro de plata no redu- 
cido en una solución de “hiposulfito de soda” *, se le lava en agua y 
se deja secar. De este negativo se sacan luego copias positivas sobre 
papel sensibilizado por una capa de gelatina con una sal de plata. 



F'g- 526. — Objetivo fo- 
tográfico formado por 
la combinarlo n de cinco 
lentes, lográndose asi au- 
mentar el campo y re- 
ducir los errores de 
cromatismo. 


Linterna de proyección. Cinematografía. — En la linterna de 
proyección (fig. 527), se coloca el objeto fuertemente iluminado, a 
una distancia conveniente del objetivo de la máquina, para que su 
imagen se produzca nítida sobre una pantalla. Al proyectar sobre 
ésta, sucesivamente, fotografías instantáneas tomadas sobre un film, 
de un cuerpo en movimiento, se tiene la reproducción del mismo. 



Fig. 527. — Linterna de proyección. 


Para esto el número de fotografías tomadas por segundo debe ser 
superior a diez, pues las imágenes persisten en la retina durante un 
tiempo que es, aproximadamente, igual a un décimo de segundo. 
Para que se tenga la sensación del movimiento de un cuerpo, es 
necesario que al proyectarse sobre la pantalla una imagen, no haya 


* El nombre correcto es tiosulfato de sodio. 


Física Elemental 


349 


desaparecido aún la impresión de la imagen anterior. Cada cuadrito 
del film permanece en reposo, frente al objetivo, durante un brevísimo 
tiempo y al pasar de ese cuadro al siguiente, un obturador impide 
que la luz llegue a la pantalla. Esto debe ser así, tanto al tomar 
el film como al proyectarlo. 

La persistencia de las imágenes en la retina se prueba de infini- 
dad de modos; uno de ellos es hacer girar rápidamente en una pieza 
oscura un carbón encendido. Si el carbón diera cinco vueltas por 
segundo se vería girar un arco luminoso de unos 180°. 

DISPERSIÓN DE LA LUZ 

296. Naturaleza de la luz blanca. - — He aquí cómo Newton 
describe uno de sus célebres experimentos (fig. 528) : 

“En el año 1666 conseguí hacer un prisma triangular de 
vidrio con el fin de emplearlo en el estudio del notable 
fenómeno de los colores. Con dicho objeto, habiendo obscu - 



Kig. 528. — Doscomposici ó n He la luz blanca. 


recido mi pieza y hecho un pequeño orificio en las persianas 
de la ventana para dejar entrar una cantidad conveniente 
de luz solar , coloqué mi prisma en la proximidad de la 
abertura, de modo tal que la luz refractada en el mismo se 
proyectaba sobre la pared opuesta. Resultó desde el prin- 
cipio un entretenimiento muy agradable el ver así producido 
un haz de luz de vividos e intensos colores ” *. 

El experimento puede repetirse con la luz proveniente de una 
lámpara de arco o con una potente lamparilla eléctrica. A esta suce- 

• Cita tomada de Einstein e Infeld, “La física, aventura del pensamiento" . Traducción de 
R. Oriol cid. Editorial Losada. 


350 


E. Loedel 


sión de colores se la llama espectro luminoso, y Newton distinguió 
en el mismo los siete colores siguientes: 

Rojo; anaranjado; amarillo; verde; azul; añil; violeta. 

¿Estaban estos colores en la luz blanca o se transforma ella en 
el interior del prisma en luz coloreada? 

Todos los hechos experimentales conducen a la necesidad de admi- 
tir que la luz blan- 
ca no es otra cosa 
que una mezcla de 
aquellos colores. 
En efecto: operan- 
do con prismas de 
vidrio de distinta 
naturaleza, o con 
prismas de cuarzo, 
o con un prisma 
hueco lleno de di- 
ferentes líquidos se obtienen siempre, más o menos separados, los 
mismos colores. Estos colores son, por otra parte, los que se observan 
en el fenómeno notable del arco iris. Aquí los prismas están reempla- 
zados por gotas de agua, en el interior de las cuales se descompone 
la luz solar. La prueba definitiva de que es efectivamente así, se 
obtiene recomponiendo la luz blanca mezclando los haces colorea- 
dos del espectro. Esta recomposición puede llevarse a cabo de 
muchos modos: cón dos prismas dispuestos como muestra la figu- 
ra 529 ; con una 
lente convergente 
(fig. 530) ; con una 
serie de espejos que 
se inclinan conve- 
nientemente hasta 
lograr que en una 
pantalla se super- 
pongan los distin- 
tos haces de luz; 
o también con el 
llamado disco de Newton (fig. 531), que al hacerlo girar con ra- 
pidez produce la sensación correspondiente al color blanco, debido 
a la persistencia de las imágenes en la retina. 

Colores complementarios. — Se obtiene también la sensación 
de blanco, mezclando rojo con verde ; anaranjado con azul. 




Física Elemental 


351 


amarillo con violeta. Colores que reunidos dan el blanco fueron 
llamados por Newton complementarios. Cualquier color tiene otro 
que le es complementario; este otro co- 
lor estará formado por la superposición 
de los colores del espectro que a aquél 
le faltaban. Los colores complementarios 
pueden ser entonces simples o compuestos. 

Colores de los cuerpos. — Un cuer- 
po impresiona como de color blanco cuan- 
do refleja en igual proporción los distin- 
tos colores del espectro. En cambio, si 
absorbe la luz de todos los colores apare- 
cerá negro. Si un cuerpo refleja en mayor 
proporción el rojo aparecerá de este color, 
etc. En los cuerpos transparentes el color 
depende de la proporción de luz de dife- 
rentes colores que dejan pasar. 


247. Espectros de emisión.- — El es- 
pectro de la luz emitida por un cuerpo 
incandescente es lo que se llama espectro 
de emisión del cuerpo. Para observar ní- 
tidamente estos espectros de emisión debe 

producirse lo que se llam? un espectro puro. La luz a estudiarse ilu- 
mina una ranura R (fig. 532). practicada en una pantalla. De esta 



Fig. 531. — Disco de ÍMewiun. 



Fig. 532. — Espectro de emisión. 


ranura la lente L proyecta una imagen real sobre otra pantalla en R \ 
Si se intercala ahora el prisma se obtendrá sobre la misma panta- 


352 


E. Loedel 


lia el espectro puro de la luz. Si ésta fuera luz roja homogénea , se 
obtendría una única raya roja que sería la imagen de la ranura colo- 
reada en rojo. Si la luz consistiera en una mezcla de luz homogénea 
roja y luz homogénea azul , se obtendrían sobre la pantalla dos imá- 
genes de la ranura, o sea, dos rayas, una roja y la otra azul. 

Si la ranura se ilumina con un cuerpo sólido o líquido incan- 
descente, se obtiene un espectro continuo. En cambio, si se trata de 
vapores metálicos incandescentes o gases, el espectro de emisión 
es discontinuo, formado por líneas brillantes separadas por espacios 
obscuros. Cuando la luz utilizada es débil, no puede proyectarse su 



Fig. 533. — Esquema de espectroscopio y aspecto de un espectro de lineas. 


espectro. Pero si se le recoge sobre una placa fotográfica sensible, 
ésta se impresiona dando el lugar exacto de las “rayas o líneas del 
espectro de emisión” del cuerpo. Se tiene así lo que se llama un 
espectrógrafo. Para la observación directa se usan los espectrosco- 
pios (fig. 533). La ranura R se encuentra en el plano focal de una 
lente L\. De este modo el haz de luz paralela que sale de L\ se 
refrácta en el prisma, y la lente L 2 produce un espectro puro sobre 
su plano focal. Desde O se observa ese espectro con una lupa u 
ocular. Para individualizar la posición de las líneas espectrales, 
con otra luz se ilumina una escala E hecha sobre vidrio esmeri- 
lado. Esta escala se encuentra en el plano focal de una lente L 3 . 


Física Elemental 


353 


La luz de la escala después de atravesar esta lente se refleja en una 
de las caras del prisma de tal modo, que el observador ve desde O 
el espectro de la luz superpuesto a la escala. La figura 534 repre- 
senta un espectroscopio. 

Los espectros de emisión dependen de la naturaleza química 
de la substancia.. Colocando una sal de 
sodio en la llama de un mechero de 
Bunsen o en el cráter de uno de los car- 
bones de una lámpara de arco aparece 
una línea amarilla brillante. Esta línea 
es característica de los átomos de sodio. 

Su presencia en un espectro puede ser- 
virnos para reconocer cantidades de ese 
elemento realmente insignificantes. Algo 
análogo ocurre con los demás elemen- 
tos. En esto se basa el análisis espectral, 
método descubierto por Kirchhoff y 
Bunsen en 1859. El propio Bunsen descubrió por este procedimiento 
el rubidio y el cesio. 



Kig. 534. — Espectroscopio. 


Espectros de bandas. — -La luz que origina los. espec- 
tros de líneas proviene de los átomos ; las moléculas dan 
lugar a espectros mucho más complicados llamados de ban- 
das. Estas bandas dan la impresión de pequeñas porciones 
de espectros continuos, pero observadas con espectrógrafos 
poderosos (de gran poder resolutivo o separador), se com- 
prueba que están formadas por muchas líneas muy juntas. 
Debe, pues, distinguirse entre el espectro del H 2 (molécula), 
y del hidrógeno atómico (H) ; del N 2 y del N, etc. Para 
observar los espectros de los gases, se utilizan tubos de vi- 
drio que contienen a los mismos a baja presión. El tubo 
se ilumina por una descarga eléctrica (fig. 535). 


Fig. 535. 


298. Espectros de absorción. — Si se interpone en el 
camino que recorre la luz, proveniente de una fuente que da un 
espectro continuo, el arco, por ejemplo, una substancia más o me- 
nos transparente, se observa que aparecen en el espectro algunas 
regiones obscuras. Se tiene el espectro de absorción de la substancia, 
el cual nos dice para qué radiaciones es aquélla opaca. Si se inter- 
pone en el trayecto de la luz, la llama de un mechero de Bunsen 


354 


E. Loedel 


que quema una sal de sodio (fig. 536), se observa en el espectro 
una raya negra, justo en el lugar correspondiente a la línea de 



r ' i i» . 536. — Espectro «Ir* absorción de vapores de sodio. 


emisión del sodio. Esto prueba que Los vapores de sodio son opacos 
o absorben la luz que ellos son capaces de emitir. Esto es de vali- 
dez general. Los espectros de absorción pueden ser de líneas, ban- 
das o continuos en parte. 

Espectro solar. — Produciendo un espectro puro con la luz 
del Sol se observan líneas obscuras llamadas líneas de Fraunhofer 



Fig. 537. — Espectros ópticos. 


por ser este autor quien las estudió detenidamente en 1815. Estas 
líneas o rayas de absorción se producen por los gases que rodean 








Física Elemental 


355 


al Sol. Fraunhofer designó las líneas más intensas con las letras 
del abecedario a partir del rojo: A, B. C, D . . . , H, K, intercalando 
a. veces letras minúsculas para designar otras rayas. La línea D en 
el amarillo, corresponde al sodio, lo que prueba que este elemento 
existe en el Sol. 

El número de líneas de absorción del espectro solar es muy 
grande. 

La figura 537 reproduce el espectro de la luz solar; el espectro 
de líneas provenientes del átomo de hidrógeno; el espectro de ban- 
das de emisión de la molécula de .nitrógeno (N 2 ) y finalmente el 
espectro de bandas de absorción de la Sangre. 

; '¿i 

299. Extensión del espectro. Lentes acromáticas. — Para el 
agua, el índice de refracción de la luz correspondiente a la línea A 
de Fraunhofer (roja) es: 

nA = 1,3290. 


Para la línea H (violeta) es: 


/ih = 1,3435 ; nH — n\ = 0,0145. 

La diferencia entre estos valores da una idea acerca de la exten- 
sión que puede tener un espectro formado con un prisma hueco lleno 
de agua. Tratándose de sulfuro de carbono el espectro es mucho más 
extenso pues: /ih — tia = 0,0914. 

El vidrio Crown (pesado) tiene un índice de refracción para la 
línea E casi igual a 1,62; lo mismo ocurre en el vidrio 
Flint (liviano) pero el poder dispersivo de estas dos cla- 
ses de vidrio es muy diferente como se aprecia en el cua- 
dro que sigue: 



n e 


Crown 1,6185 

Flint 1,6145 


nH — n \ 

0,0211 

0,0418 



Fig. 538. — Prisma acromático. 


Fig. 539. 
Lente 
acromática 


De acuerdo a esto tomemos 
dos prismas, uno de Crown de 
ángulo refringente de 10° y otro 
de Flint de ángulo igual a 5 o 
(fig. 538). La luz se desviará acer- 
cándose hacia la base del prisma de Crown, pero no se descompondrá 
pues si bien el prisma de Flint tiene un ángulo refringente mitad 
del otro, su poder dispersivo es el doble y la luz roja y violeta se 
desviarán lo mismo. En esto se basa la fabricación de lentes aero- 


356 


E. Loedel 


máticas (fig. 539) con las cuales se puede lograr que coincidan los 
focos principales correspondientes a la luz roja y violeta. Consisten 
en dos lentes adosadas, una convergente y otra divergente, de vidrios 
de diferente poder dispersivo. Si dos prismas, uno de Crown y otro 
de Flint tienen igual ángulo refringente la luz no se desvía pero se 

descompone (figu- 
ra 540 ) . Se obtie- 
nen así los prismas 
llamados de visión 
directa. 


300. Radiacio- 
nes infrarrojas y 
ultravioletas. - — 
El ojo humano es 

Ha. 'i4d. - i'ri-mu .i. visinn Hirorhi. sensible sólo a una 

pequeña parte de 

las radiaciones emitidas por los cuerpos: las comprendidas entre el 
rojo y el violeta, que constituyen el espectro visible. Un cuerpo cuando 
se calienta emite también radiaciones térmicas situadas más allá del 
rojo en la parte invisible del espectro. Se estudian estas radiaciones 
con termómetros muy sensibles (bolómetros) o pilas termoeléctricas. 
Gomo el vidrio es opaco a gran parte de estas radiaciones los espec- 
troscopios a utilizarse para su estudio deben tener prismas y lentes 
hechos de substancias especiales transparentes para las radiaciones 




Fig. 541. — Espectro* obtenidos ron una red de difracció n. 


estudiadas. Dentro de ciertas regiones puede utilizarse un prisma de 
sal gema. También es posible utilizar espectrógrafos con placas espe- 
ciales sensibilizadas para las radiaciones infrarrojas. 

Algo análogo ocurre en la región opuesta del espectro. Con una 
óptica de cuarzo se revelan los rayos ultravioletas que impresionan 




Física Elemental 


357 


las placas fotográficas, excitan la fluorescencia de ciertas substan- 
cias, etc. Una lámpara de vapores de mercurio excitada eléctrica- 
mente produce radiaciones ultravioletas muy intensas. Estos rayos 
tienen también aplicaciones terapéuticas. 

Espectros de redes. — No sólo con prismas pueden producirse 
espectros ópticos. La figura 541 muestra los espectros que se obtie- 
nen con una red de difracción. Aquí el color rojo es el que más se 
desvía. Sobre las redes de difracción trataremos en el capítulo 
siguiente. 


PROBLEMAS 

1. La distancia focal del objetivo de una máquina fotográfica es 
igual a 20 cm. La máquina está enfocada al infinito. Calcular 
en cuánto debe correrse la placa para sacar una fotografía 
de un objeto situado a 1 m de distancia. 

Siendo x = 100 cm y / = 20 cm obtenemos para y: 

111 11 1 4 1 

y f x y 20 100 100 cm 

y = 100/4 = 25 cm. 

Debe correrse en 5 cm. 

2. La máquina anterior tiene el objetivo fijo. Calcular la conver- 
gencia de una lente suplementaria que adosándose al objetivo 
permita sacar la fotografía del objeto distante en un metro. 

La distancia focal F del objetivo con la lente suplementa- 
ria será tal que: 

111 1116 

F x y’ F 100 20 100 

Llamando /’ a la distancia focal de la lente suplementaria 
se tendrá: 

111 1116 11 
F f /’ ’ f F f 100 20 100 

/’ = 100 cm. 



358 


E. Loedel 


Debe agregarse una lente de una dioptría. Este resultado 
podía hí&erse previsto sin cálculo. 

3 . Hallar las distancias focales para luz roja y violeta de una 
lente biconvexa de caras iguales y radio de curvatura igual a 
100 cm. La lente es de Crown para el cual: 

n rojo = 1,61; n violeta = 1,63. 

Aplicando la fórmula establecida: 

1 2 1,22 100 

— = 0,61 = ; f T — = 82 cm. 

fr 100 100 1,22 

1 2 1,26 100 

— = 0,63 = ; /„ = = 79 cm. 

f v 100 100 1,26 

4 . Lo mismo para una lente plano - cóncava de Flint cuya cara 
curva tiene un radio de 100 *m. 

Para el Flint se tiene: 

n rojo = 1,60; n violeta = 1,64. 


1 

1 

0,60 


100 


— 

-—0,60 

9 

fr = 


= — 167 cm. 

fr 

100 

100 

0,60 


1 

1 

0,64 


100 


— 

-—0,64 

9 

fv = 


= — 156 cm. 

U 

100 

100 

0,64 



5. Lo mismo para ambas lentes superpuestas. 


1 

1,22 

0,60 

0,62 


100 


= 

— 

- - 

9 

F r = 


= 161 cm. 

F r 

100 

100 

100 


0,62 


1 

1,26 

0,64 

0,62 


100 


= 

— 

= 

9 

F v = 


= 161 cm. 

F v 

100 

100 

100 


0,62 



Tenemos así una lente acromática. 



CAPÍTULO XXIII 


NATURALEZA DE LA LUZ 

* 

301. ¿Qué es la luz? — Newton suponía que la luz estaba for- 
mada de corpúsculos pequeñísimos que al chocar contra la retina 
provocaban la sensación luminosa. A cada color podría correspon- 
der un tamaño diferente del corpúsculo. Por inercia, éstos se propa- 
gaban en línea recta en el vacío y la reflexión de la luz se explicaba 
en forma análoga al choque de una esfera elástica contra una pared 
lisa. La refracción la explicaba Newton por la diferencia de atrac- 
ción que debían experimentar los supuestos corpúsculos al pasar de 
un medio a otro. De esta explicación resultaba que la luz debía pro- 
pagarse con mayor velocidad en los medios más refringentes. En el 
agua debía ser mayor que en el aire. Ya hemos visto que sucede todo 
lo contrario (274). Huygens, contemporáneo de Newton, creía en 
cambio que la luz se propagaba en forma de ondas. Como la luz se 
propaga en el vacío se suponía que 
estas ondas tuvieran su asiento en un 
hipotético medio, el éter. Éste sería 
una substancia sutilísima que llenaría 
el espacio por completo, llenando tam- 
bién los intersticios entre los átomos 
de la materia común. 

Principio de Huygens. — Para ex- 
plicar los fenómenos ópticos con su 
teoría, Huygens sentó el siguiente prin- 
cipio: Todo punto alcanzado por una 
onda se convierte en centro de emisión 

v , Fig. 542. — Principio de Huygens. 

de nuevas ondas. 

Sea F el centro de donde parten ondas (fig. 542). Si se trata de 
ondas luminosas, en F se encontraría el foco de luz. Al cabo de 
cierto tiempo todos los puntos de una esfera de centro en F se con- 
vierten en nuevos centros de emisión de ondas. Trazando esferas 
de igual radio de centro en estos puntos, tendremos así los puntos 
que se encuentran en vibración un instante después. Trazando otrá 
esfera tangente a estas esferas parciales tendremos la nueva supera 
ficie de onda y así sucesivamente. 



360 


E. Loedel 


Explicación de la refracción. — Sea PQ (fig. 543) una porción 
de plano, cuyos puntos son alcanzados por una onda al mismo tiem- 
po. Se trata de una onda 
plana, como si la luz provi- 
niera de un foco muy lejano, 
ya que una pequeña porción 
de superficie esférica puede 
considerarse como plana. 
Estos puntos de PQ conver- 
tidos en centros de emisión 
de ondas hacen que al cabo 
de cierto tiempo estén en vi- 
bración los puntos de P’Q\ 
etc. La dirección de propa- 
gación de la onda es enton- 
ces normal al plano de la 
misma. Sea SS’ la superfi- 
cie de separación de dos me- 
dios: aire y vidrio por ejemplo. Cuando el punto A es alcanzado 
por la onda el punto B hace que está vibrando un tiempo igual al 
que empleó la luz en ir de B’ a A. Si en el vidrio la luz se propa- 
gara con igual velocidad que en el aire, para hallar la superficie 
de la onda de centro en B bastaría trazar con este centro una esfera 
de radio igual a B’A. Admitiendo que en el vidrio la velocidad de 
la luz es igual a 2/3 de la velocidad en el aire trazaremos por B 
una esfera de radio igual a 2/3 de B’A. Lo mismo haremos para 
cualquier punto de SS’ comprendido entre A y B. Esta construcción es 
para saber qué puntos del segundo medio comienzan a vibrar en el 
instante en que A es alcanzado por la onda. Si trazamos desde A 
el plano tangente AT a la esfera de centro B (que será también tan- 
gente a todas las esferas de centros comprendidos entre B y A) esta 
superficie AT será la superficie de onda de la luz refractada. Si 
unimos B con el punto T de tangencia, tenemos la dirección según 
la cual se propaga la onda refractada. Se ve en la figura 543 que: 

B’A = AB sen i; BT = AB sen r. 



Dividiendo miembro a miembro estas igualdades y permutando 
los miembros: 

sen i B’A 


sen r BT 


Física Elemental 


361 


VA y BT son caminos recorridos por la luz en el mismo tiempo 
pero en medios diferentes. Estos caminos deberán ser proporciona- 
les a las velocidades de propagación en ambos medios por lo que: 

sen i Vi 

= = constante, 

sen r Vo 



Fig. 544. — Interferencia. 

que es la expresión de la ley de la refracción de la luz. En forma 
análoga se explica la reflexión. 

302. Interferencia. — Si se practican dos pequeños orificios en 
una pantalla iluminada (fig. 544) y se recibe la luz que sale de los 



Fig. 545. — Interferencia con un espejo. 


mismos sobre otra pantalla, se observan sobre ésta franjas muy jun- 
tas alternativamente brillantes y obscuras. Si los orificios están situa- 
dos verticalmente las franjas de interferencia son horizontales. La 
superposición de la luz que sale de A y B produce entonces, en cier- 
tas regiones, obscuridad. Si la luz es homogénea, monocromática, las 


362 


E. Lo ED E L 


franjas son brillantes y obscuras; pero si la luz es blanca aparecen 
franjas coloreadas. Este mismo fenómeno puede observarse colocan- 
do debajo de una ranura (figura 
545) fuertemente iluminada un 
espejo negro (para que tenga 
una sola superficie reflectora). 
El plano del espejo debe colo- 
carse muy junto y paralelo a 
la ranura. Se observa así, que 
la superposición sobre la panta- 
lla de la luz que llega a ella 
directamente de la ranura, con 
la luz reflejada por el espejo 
produce franjas de interferencia. 
Éstas pueden lograrse también 
con el biprisma de Fkesnel con- 
sistente en dos prismas iguales unidos por sus bases (fig. 546) y de 
ángulo refringente muy pe- 
queño. La luz de un foco 
F (una ranura iluminada 
por una linterna) que atra- 
viesa el prisma superior, 
se propaga como si pro- 
viniera de la imagen vir- 
tual F x de F. La luz que 
atraviesa el prisma infe- 
rior se comporta como si 
proviniera de F 2 . Tenemos 
así dos focos F\ y Fo idén- 
ticos por ser imágenes del 
mismo foco F. En la parte 
del espacio donde se su- 
perponen los haces de luz 
de F\ y F 2 se obtienen 
franjas de interferencia 
coloreadas si la luz de F 
es blanca. Con dos espe- 
jos planos que forman un 
ángulo muy obtuso, que 
difiera poco de 180° (fig. 547) se obtienen también franjas de inter- 
ferencia por la superposición de la luz que parece provenir de las 



■* ^ si v * Mi*? > ,<-■ 

' H s w i f 


■ 

• \ ' * ■ 'V ■ Wí 

... 





Física Elemental 


363 

imágenes virtuales Fi y F 2 de F. La imagen F\ está producida por 
el espejo E±; la F 2 por el otro espejo. 

Explicación de los fenómenos de interferencia. — Sólo la teo- 
ría ondulatoria de la luz puede explicar estos fenómenos. Si consi- 
deramos un pqjito P de una pantalla, situa- 
do sobre la perpendicular trazada en el pun- 
to medio del segmento F i F 2 , siendo F i y 
F 2 dos focos idénticos (fig. 549) el punto 
P se encontrará iluminado, pues las ondas 
que llegan a él están en concordancia de 
fase; esto quiere decir que no se atrasa una 
con respecto a la otra. Lo mismo que ocu- 
rre en P ocurre sobre los puntos de una 
recta perpendicular al plano de la figura 
que pasa por P. Tendremos en esa región 
una franja luminosa. 

Sea ahora otro punto P\ (fig. 550) si- 
tuado más cerca de F\ que de F 2 . Si la 
diferencia P r F 2 — PiFi es igual 
a media longitud de onda, la 
onda que parte de F 2 llega a 
Pi atrasada con respecto a la 
que partió de F\ en media lon- 
gitud de onda. Ambas ondas es- 
tán en oposición de fase y se 
anulan, dando lugar a una fran- 
ja obscura. Para otro punto P 2 
en que la diferencia P 2 F 2 — P\F\ 
fuera igual a una longitud de 
onda tendríamos nuevamente luz. 
Se explica así la aparición de 
las franjas. 

Experimentalmente se com- 
prueba que las franjas están más 
separadas cuando se opera con 
Hr. 550. — Interferencia. luZ roja, presentándose mucho 

más juntas si la luz es violeta. 
Esto prueba que la longitud de onda correspondiente a las radia- 
ciones rojas es mayor que la longitud de onda de las radiaciones 
violetas. Si se opera con luz blanca aparecen franjas coloreadas por- 
que en los lugares donde se anula determinado color se refuerza otro. 






364 


E. Loedel 


Se explica asi la coloración de láminas delgadas como las de 
las pompas de jabón. La luz reflejada en una de las caras (fig. 
551) interfiere con la reflejada en la otra. Justamente para estudiar 



Fig. 551. — Interferencia en láminas delgadas. 


este fenómeno, y ver la dependen- 
cia entre el color y el espesor de 
la lámina, Newton construyó arti- 
ficialmente una lámina de aire de 
espesor variable. Esta lámina de 
aire es la comprendida entre un 


vidrio plano y la cara convexa de una lente plano convexa (fig. 
552). La interferencia de la luz reflejada por la cara curva de la 
lente con la luz reflejada por el vidrio plano produce, cuando la 
luz incidente es blanca, hermosos anillos coloreados. (Véase lámi- 


na I). Los colores de una capa delgada de petróleo que flota en 
el agua se explican en esta forma. 

Los fenómenos de interferencia per- 
miten medir la longitud de onda de la 
luz, obteniéndose para el rojo un valor 
cercano a los 7000 angstrom y para el 
violeta 4000 angstrom. Recordemos que 



un angstrom es un cienmillonésimo de fí k . 552. - Anillos de Newton. 


centímetro. 


La luz que es capaz de interferir se llama coherente . Si los dos 
orificios de la pantalla de la figura 544 estuvieran iluminados por 
dos focos, aunque ellos fueran idénticos, no se producirían las fran- 
. jas de interferencia. Es necesario que la luz provenga de un mismo 

átomo para que interfiera, para que 
exista concordancia de fase. 

303. Difracción. — Newton no era 
partidario de la teoría ondulatoria en 
virtud del fenómeno de la propagación 
rectilínea de la luz. Las ondas sonoras 
(fig. 553) no producen prácticamente 
“sombras”. Un observador situad j en 
A percibe el sonido que se produce en 
Fig. 553. — Difracción de ondas sonoras. C aunque la pared no transmita Jas 

ondas. Esto se explica en virtud del 
mismo principio de Huygens: el punto P se convierte en centro de 
emisión de nuevas ondas. “Si la luz consistiera en ondas, bordearía 
los obstáculos y no se propagaría en línea recta”; así argumentaba 



Física Elemental 


365 


Newton. Se descubrió muy posteriormente que la luz también es 
capaz de bordear los obstáculos apartándose de la propagación en 
línea recta: éste es el fenómeno de la difracción. La diferencia con 
las ondas sonoras consiste, en lo que al fenómeno de difracción se 
refiere, en la enorme desproporción entre las longitudes de onda del 



Fig. 554. — Aparece luz en el centro de la sombra que proyecta el alambre. 


sonido y la luz. La longitud de onda del sonido es del orden de los 
metros, la de la luz del orden de los micrones: un millón de veces 
más pequeña. 

Teniendo en cuenta esto, se explica, y esa explicación se debe a 
Fresnel, que la luz se propague, en primera aproximación, en línea 
recta. Colocando delante de una ranura iluminada por una linterna 
(fig. 554) un alambre delgado paralelo a la misma, se observa una 



franja de luz en el centro de la zona geométrica de sombra y varias 
franjas alternativamente brillantes y obscuras a ambos lados, debido 
a fenómenos de interferencia. 

Si se hace pasar un haz de luz a través de dos estrechas rariuras 
paralelas, se observa que al ir cerrando más y más la segunda de 



366 


E. Loedel 


ellas (fig. 555) la franja luminosa de la pantalla se ensancha f 
En los contornos aparecen líneas de interferencia alternativamente 

brillantes y obscuras. 

304. Redes de difracción. Medida de la 
longitud de onda. — Los fenómenos de difrac- 
ción se presentan en forma particularmente sim- 
ple en las redes de difracción. Éstas consisten en 
una lámina de vidrio de caras paralelas en la 
que se graban, con una punta de diamante, trazos 
paralelos y equidistantes (fig. 556). De este mo- 
do pueden construirse redes que tengan de mil 
a cinco mil trazos por centímetro. Las divisiones 
se llevan a cabo con una máquina de dividir (fie. 

Fig. 556. — Red de , ^ ... . ' ° 

difracción. 557). supongamos que el tornillo tenga un paso 

de hélice igual a un milímetro. Por cada centesi- 
mo de vuelta acusado en el tambor T, la pieza P avanza de izquier- 
da a derecha, o en sentido inverso, 
un centésimo de milímetro. Esta pie- 
zá lleva en su extremo la punta de 
diamante que se puede hacer apoyar 
contra la lámina de vidrio. Si estando 
fijo el tambor T , se levanta la pieza 
que sostiene a la lámina de vidrio f ig. 557. — Máquina de divitlii. 

para que roce con el diamante, y se 

le imprime a la misma un movimiento de traslación perpendicular 
al pl ano del estilete y el eje del tornillo, quedará marcado un trazo. 





Para esto la lámina se desliza 
sobre correderas especiales no 
representadas en el esquema. 
El trazo siguiente se marca des- 
pués de haber girado el tam- 
bor graduado, etc. 

Hemos visto ya (pág. 356, 
figura 541), que iluminando 
una ranura R y produciendo 
con una lente L una imagen de 
la misma en la pantalla P, si 


Fig. 558. — Red de difracción. se intercala luego en el trayecto 

de la luz la red, se observan 


sobre la pantalla, si la luz es blanca, hermosos espectros de difrac- 
ción dispuestos simétricamente a uno y otro lado de la parte cen- 



Física Elemental 


367 


tral. Si la luz es homogénea, monocromática, lo que se observa son 
imágenes múltiples de la ranura en ese color dispuestas a uno y 
otro lado de la imagen central. Esto puede servirnos para medir la 
longitud de onda de la luz con gran precisión. Sea (fig. 558) un 
corte de la red sobre la cual incide luz de longitud de onda A. 
Supondremos que los rayos incidentes son paralelos y normales a 
la red. La superficie de onda SS’ es entonces paralela al plano de 
la red. Todos los puntos de ésta 
se convierten al llegar la onda 
en centros de emisión de nuevas 
ondas. La luz pasa por las par- 
tes no rayadas de la placa, re- 
presentadas en blanco o sea por 
AB U A l B>, etc. Consideremos 
una dirección cualquiera tal co- 
mo la AD. Para que en esta di- 
rección la luz que proviene de 
ABi se refuerce con la proveniente de A\B 2 , con la de A 2 Bs, etc., 
bastará que la diferencia de marcha o camino entre AD y A 1 D 1 sea 
igual a una longitud de onda. Trazando desde Ai la perpendicular 
AiC a la dirección AD, si AC es igual a A, la onda que parte según 
AD se reforzará con la que sigue el camino A\D\; la que provenga 
del centro de AB\ se reforzará con la del centro de A\B 2 , etc. Luego, 

en la dirección AD tendremos luz si 
AC = A. Llamemos a la distancia AB\ ~f- 
B\Ai = a, constante de la red. El trián- 
gulo rectángulo ACA\ da: 

A 

A — a sen a ; o sea : sen a — — . 

a 

En la dirección que se cumpla la últi- 
ma relación habrá refuerzo de luz. Tam- 
Fi g . 560. — Red de difracción. bién se tiene luz, evidentemente, en la 

dirección inicial AI pues según esa direc- 
ción no existe diferencia alguna de marcha entre las ondas que 
pasan por las distintas aberturas de la red. Para otra dirección AD * 
en que la diferencia de marcha AC (fig. 559) fuera igual a 2 A. 
se tendrá también luz: 

2 A 

AC — a sen a ; sen a = . 

a 




Fig. 559. — tiea ae difracción. 



368 


E. Loedel 


La figura 560 muestra la red R y las direcciones cero, 1 y 1’, 
2 y 2’, etc., correspondientes a los ángulos cero, a, a, etc., en que 
la luz se refuerza. 

Las fórmulas anteriores muestran que la dirección en que se re- 
fuerza la luz forma un ángulo con la dirección inicial, tanto mayor 

cuanto mayor sea la longitud 
de onda. De aquí que la luz roja 
se desvíe más que la violeta. Por 
eso los espectros de difracción 
muestran el aspecto de la figura 
541. Se comprende qUe, cono- 
ciendo la co'nstante de la red y 
Fig. 561. — Medida de la longitud de onda. determinando a, se pueda medir 

X con mucha precisión. Las me- 
didas se llevan a cabo con un goniómetro (fig. 561). En el poder 
separador de una red influye el número total de trazos de la mis- 
ma. Cuando este número es grande, entre el espectro de orden cero 
y el de primer orden queda un espacio absolutamente obscuro. 

POLARIZACIÓN DE LA LUZ 

305. Luz polarizada rectilíneamente. — Los fenómenos de po- 
larización muestran que las ondas que producen la luz son trans- 
versales (pág. 182). Tomemos dos láminas de turmalina , que es un 
cristal del sistema hexago- 
nal, talladas paralelamen 
te a cierta dirección que 
llamaremos eje principal. 

Cuando los ejes de am- 
bas láminas son paralelos 
la luz pasa a través de las 
mismas (fig. 562), pero 
cuando aquéllas están cru- 
zadas formando los ejes 
un ángulo de 90° la luz 
no pasa (fig. 563). 

Esto puede explicarse únicamente admitiendo que las ondas son 
transversales. En un rayo de luz natural — no polarizado — la luz 
vibraría en todos los planos que pasan por el rayo (fig. 564). Al 
incidir este rayo sobre una lámina de turmalina, ésta se comporta 
como una reja (fig. 565) que deja pasar únicamente las vibraciones 



Fig. 562. — La lámina Atí es en esta posición 
transparente. 





paralelas a los barrotes. El rayo de luz que atravesó la pi 
placa de turmalina se encuentra ya polarizado rectilíneamente 
sus vibraciones se efectúan 
en un solo plano. Si el 
eje de la segunda placa de 
turmalina es paralelo al 
de la primera la luz pa- 
sará, y si es perpendicular 
no podrá pasar (figs. 562 
y 563). 






306. Doble refracción 
— Todos los cristales, ex- 
cepto los del sistema regu- 
lar, ofrecen el fenómeno de la doble refracción. En el espato de 
Islandia (calcita) este fenómeno se observa muy bien (fig. 566). 

Í Sea un rayo de luz natural 
(fig. 567) que incide nor- 
malmente sobre la super- 
ficie de un cristal de espa- 
? || to de Islandia. Se observa 
*' que del cristal salen dos 
rayos: uno llamado ordi- 
nario y otro extraordinario. 
El primero cumple con las 
segundo no. Ambos rayos deter- 
plano que es el llamado plano 
le la sección principal. Si se 
tace girar el cristal alrededor 


Fig. 563. — La lámina AB es en esta posición opaca! 




Fig- 565. — La cuerda oscila paral* 
lamente a los barrotes. 


Doble refracción. 


del rayo ordinario como eje, se observa que el rayo extraordinario 
gira alrededor del ordinario. Ambos rayos, ordinario y extraordi- 
nario, están polarizados rectilíneamente. Para probarlo basta colo- 


370 


E. Loedel 


car una lámina de turmalina en el trayecto de los mismos (fig. 

568). Se observa así que los planos de 
vibración de ambos rayos son perpen- 
diculares entre sí. Las vibraciones del 
rayo extraordinario se efectúan en el 
plano de la sección principal, las del 
ordinario en un plano normal. 

En los cristales de un eje (uniáxi- 
Fíg. 56?. — Rayos ordinario y eos), como el espato de Islandia, existe 

extraordinario. una ú n j ca dirección en el interior del 

cristal según la cual no se produce el 
fenómeno de la doble refracción. Esa dirección es la del eje óptico. 



La placa de la figura 569 ta- 
llada perpendicularmente al eje 
óptico, no ofrece el fenómeno 
de la doble refracción, si inci- 
de sobre ella un rayo de luz 
perpendicular a la misma. En 
el espato de Islandia el eje 
óptico sigue la dirección de una 
recta (fig. 570) que se aparta 
igualmente de las 3 aristas que 
forman ángulos obtusos (de 
102°). Los ángulos agudos de 
las caras valen, por lo tanto, 
78 grados. 



Fig. 568. — Los rayos ordinario y extraordinario 
están polarizados rectilíneamente. 



307. Prisma de Nicol. — Sea ABCD la sección de un cristal de 
espato de Islandia (fig. 571). Un rayo R da origen a otros dos: el E 

y el O, ambos polarizados. El rayo R no incide 

R —HMM- ME HraMB 11. 

ahora normalmente a 
la cara AD, obser- 

' J t ■\/'~‘ ' V l' l 

vandose en este caso fia /\ " 

, j. 

que es el rayo ordi- 
nario el que mas se 
desvía. Para que sal- 
— ga del cristal un so- 

" lo rayo, el E, se pro- 
Fjg. 569. cede así : se corta el Fig. 570. 

cristal según un pla- 
no AC de inclinación conveniente y se pegan luego las dos porcio- 



Física Elemental 


371 


nes con bálsamo de Canadá. Se elige la inclinación de AC de modo 
que el rayo ordinario se refleje totalmente para lo cual deberá inci- 
dir sobre el bálsamo de Canadá con un ángulo superior al ángulo 
límite. Este rayo ordinario es absor- 
bido luego, por la armadura pin- 
tada interiormente de negro, que so- 
porta al cristal. Con dos prismas 
de Nicol pueden efectuarse los ex- 
perimentos que hemos mencionado 
con las láminas de turmalina. En 
éstas el rayo ordinario era absor- 
bido por la lámina, qüe se comporta así como un Nicol natural. El 
inconveniente de las láminas de turmalina es su coloración verdosa. 

* 308. Explicación de la doble re- 
fracción. — Fué Huygens el que dió las 
leyes de la doble refracción. Supuso que 
si un punto del interior de un cristal se 
convierte en centro de vibración, se pro- 
pagan en el seno del mismo dos super- 
ficies de onda (fig. 572a) : una esférica 
de centro en el punto y la otra que tie- 
ne la forma de un elipsoide de revolu- 
ción. La superficie de onda esférica corresponde al rayo ordinario, 
la del elipsoide al extraordinario. Los puntos de tangencia de esfera 
y elipsoide determinan la dirección del eje 
óptico. En esa dirección no se producirá doble 
refracción, porque el rayo ordinario se pro- 
paga con igual velocidad que el extraordina- 
rio. En otra dirección cualquiera tal como OB, 
la Velocidad de la luz del rayo extraordinario 
es mayor que la velocidad del ordinario. En 
esta dirección tenemos entonces diferentes ín- 
dices de refracción para ambos rayos. En la 
dirección normal al eje la diferencia entre 
los índices de refracción de ambos rayos es 
máxima. 

En el espato de Islandia se tiene en esa dirección 


ari 


' 




t \ ím - • Wmm /&vl 




> : 


Fig. 572 6. — Superficies 
de onda. 



Fig. 572 a. — Superficies de onda- 



no = 1,66; 


nE = 1,49. 



372 


E. Loedel 


Claro está que corresponde el índice menor a la velocidad 
mayor (274). 

En el cuarzo, en cambio, las superficies de onda son las indicadas 

en la figura 572 b, resultando para él : 

no = 1;54; nE = 1,55. 

A los cristales que se comportan co- 
mo el espato de Islandia, se les llama 
negativos; a los que se comportan como 

Fig. 573. - Polarización por el CUarZO, pOSÍtivOS. 

reflexión. 

309. Polarización por reflexión. — 
Si un haz de luz natural incide sobre la superficie de un espejo de 
vidrio negro, se observa que cuando el ángulo de incidencia alcanza 
cierto valor f el rayo reflejado está 
totalmente polarizado (fig. 573). Las 
vibraciones del rayo reflejado se efec- 
túan paralelamente a la superficie del 
espejo. El ángulo <p de incidencia , para 
el cual el rayo reflejado está total- 
mente polarizado, es tal, que su tan- 
gente trigonométrica debe ser igual al 
indice de refracción n de la substancia que forma el espejo : 

tg <p = n. 

Ésta es la ley de Brewster. 

Para el vidrio común este ángulo de polarización vale unos 55°. 

Si sobre un vidrio incide (fig. 574) un 
rayo de luz polarizado, bajo un ángulo de 
incidencia igual al ángulo de polarización, 
y si las vibraciones del rayo incidente están 
contenidas en el plano de incidencia, la luz 
no se refleja. 

* 310. Ley de Malus. — Sea ABCD (fig. 
575) una lámina de turmalina. Incida en O 
normalmente a la misma un rayo de luz recti- 
líneamente polarizada. 

Admitamos que si el plano de vibración 
de la luz incidente coincide con OP i la luz atraviesa la lámina to- 
talmente. En ese caso, si la luz vibrara en el plano OP 2 no podría 



' "y í 

Í>T^> «P i ■' > ‘ 

■ >- 1 » t h, : .4 







Fig. 574. — La luz no se refleja! 



Física Elemental 


373 


pasar. Cuando la luz vibra en el plano OP, ¿qué parte de ella puede 
pasar? Esta vibración en el plano OP, de amplitud igual a OP, pue- 
de descomponerse en otras dos vibraciones normales de amplitudes 
OP\ y OP 2 - Luego, pasará a través de la placa luz cuya intensidad 
corresponda a la amplitud OP\. La energía de un movimiento vibra- 
torio armónico es proporcional al cuadrado de la amplitud, por lo 
cual si llamamos / o a la intensidad de la luz incidente sobre el punto 
O y de amplitud OP, siendo / la intensidad de la luz que pasa, se 
tendrá : 

I OP x 2 
lo OP 2 ’ 


y como: 
resulta : 


OPi = OP eos a, 
/ = / o eos 2 a, 


que es la expresión de la ley de Malus. Puede verificarse esta ley 
con un fotómetro y un pris- 
ma de Nicol, provisto de 
un círculo graduado. 

no de polarización. Sa- 
carimetría. — Tomemos 
(fig. 576) dos nícoles, uno 
fijo y otro girable provis- 
to de un limbo graduado. 

Si los nícoles están cruza- 
dos no se percibe luz. Se 
supone que se ilumina con luz monocromática, por ejemplo, luz de 
sodio. Si se interpone entre los nícoles, en el trayecto de la luz, 
estando cruzados, una lámina de cuarzo tallada perpendicularmente 
al eje óptico (no se produce doble refracción), se observa que la 
luz reaparece. Si la lámina tiene un milímetro de espesor, para lo- 
grar que la luz se extinga nuevamente debe girarse el nicol ana- 
lizador unos 22°. Con una lámina de dos milímetros de espesor 
la giración es doble: 44°. Algunas substancias hacen girar el plano 
de polarización a la derecha (dextrógiras), otras a la izquierda 
(levógiras). Para la luz violeta, la rotación del plano de polariza- 
ción de una lámina de cuarzo es para un espesor de 1 mm igual a 
51°. A menor longitud de onda mayor ángulo de giro. A causa de 


311. Rotación del pía 




374 


E. Loedel 


esto, si la luz utilizada es blanca, al girar uno de los nícoles se 
anulan algunos de los colores de aquélla, observándose así, hermosas 
coloraciones. 

Existen también substancias que en solución hacen girar el 
plano de polarización a la derecha o a la izquierda. El caso típico 
es el del azúcar. 

Si se disuelven 75 gramos de azúcar puro en un litro de agua 
y se coloca la solución en un tubo de 20 cm de largo se observa 
que el plano de vibración de la luz amarilla de sodio gira 10°. A 
una concentración doble corresponde un ángulo de giro también 
doble. En esto se basan los sacarímetros, aparatos destinados a 
medir la proporción de azúcar puro de un azúcar bruto. Suponga- 
mos que en el tubo de 20 cm de longitud colocamos una solución 
que contiene 150 gramos de azúcar ordinario por litro. El ángulo 
de giro sería para un azúcar puro igual a 20°. Si el ángulo obser- 
vado fuera de 15°, la riqueza en azúcar de la muestra empleada 
sería igual a 75 %. 

Para explicar este comportamiento de las substancias activas, 
debe suponerse una asimetría en las moléculas de la misma. Éstas 
se comportan como especie de hélices o tornillos torsionados hacia 
la derecha o hacia la izquierda. Esta asimetría, desde el punto de 
vista de la constitución de la molécula, significa que en los com- 
puestos orgánicos activos, las cuatro valencias de algunos átomos 
de carbono, están unidas con átomos o radicales diferentes. 

Observación. — Cuando se dice que el plano de vibración gira 
hacia la derecha se quiere decir que un observador que recibiera al 
haz luminoso, vería girar al plano de vibración en el sentido de 
giro de las agujas de un reloj. 




1. Anillos de Newton con luz amarilla y blanca. — 2. Espectros de difrac- 
ción. — 3. Espectro de prisma. — 4. Espectro de red. — 5. Franjas de inter- 
ferencia con luz azul, amarilla y roja. — 6. Franjas de interferencia con luz 
blanca. — 7. Cristal uniáxico y cristal biáxico observados con luz polarizada. 




CAPÍTULO XXIV 


MAGNETISMO 

312. Imanes naturales y artificiales. — Existe en la naturaleza 
una piedra conocida en mineralogía con el nombre de magnetita 
(Fe 3 O 4 ) que tiene la propiedad de atraer al hierro. Colocando la 
piedra entre limaduras de hierro (fig. 577) se observa que éstas son 
atraídas en algunos puntos de ella más que en otros. Si se frota con- 
tra esa piedra, que consti- 
tuye un imán natural , en 
forma conveniente, una 
aguja de acero, ésta se 
imanta. Se tiene así un 
imán artificial. Estos ima- 
nes artificiales son los que 
se emplean exclusivamente 
en el estudio del magnetis- 
mo. Por medio de una co- 
rriente eléctrica se pueden 
producir también imanes artificiales, como veremos más adelante. 
Si se tiene una aguja imantada que pueda girar en un plano hori- 
zontal (alrededor de un eje vertical) se observa que uno de sus 
•extremos se dirige siempre, aproximadamente, hacia el Norte y el 
otro al Sur. A la parte del imán que se dirige hacia el Norte se le 
llama polo norte, a la otra, polo sur del imán (fig. 578). 


Fig. 578. — Aguja Fig. 579. — P 0 I 09 de un imán, 

magnética. 





En los polos es donde se manifiesta con 'mayor intensidad la 
fuerza de atracción. Colocando una aguja o barra imantada entre 
limaduras de hierro, es en los extremos donde más se acumulan 
aquéllas (fig. 579). 



376 


E. Loedel 


Acción entre los polos. — Acercando al polo norte de un imán 
el polo norte de otro imán, se observa que se repelen. Lo mismo 
acontece entre dos polos sur. En cambio polos de distinto nombre 
se atraen (fig. 580). Estas fuerzas de atracción o repulsión se ma- 
nifiestan a través de todos los medios (fig. 

581). La pantalla interpuesta entre la aguja 

y el imán puede ser de 
vidrio, cobre, madera, 
etc. Siendo la pantalla 
de hierro se nota que 
la fuerza disminuye al 
aumentar el espesor de Fig - S8 ?- ~ Acclón 

Fig. 580. — Repulsión r a través de una pantalla de 

y atracción. la placa. cualquier material. 

Magnetismo inducido. — La atracción que cualquiera de los 
dos polos de un imán ejerce sobre un trozo de hierro dulce, se explica 
(fig. 582) admitiendo que el trozo de hierro 
se imanta por influencia, formándose frente 
al polo del imán inductor un polo de nom- 
bre contrario. Esta transmisión del magne- 
tismo se manifiesta en la llamada “cadena 
magnética” (fig. 583). Cuan- 
do se separa el trozo de hie- 
rro en contacto con el imán 
inductor, la cadena se rompe. 

Imán cortado. — La zo- 
na de un imán en forma de 
barra que separa el polo 
norte del polo sur es la lla- 
mada zona neutra. Podría- 
mos tener la ocurrencia de 
cortar un imán por la zona 
neutra para separar ambos 
polos (fig. 584). Haciendo 
el experimento, para lo cual 
puede utilizarse una aguja de acero como las Fig. 583. — Cadena magnética, 
empleadas para tejer, se observa que se obtie- 
ne después del corte dos imanes ‘más pequeños , cada uno de ellos 
con dos polos. Si continuamos cortando cada uno de éstos se obser- 
vará lo mismo. Este curioso fenómeno es comparable solamente con 
la división celular: un imán cortado en dos da lugar, no a dos me- 







Física Elemental 


377 


dios imanes, sino a dos imanes completos más pequeños. Es algo 
tan raro como si se cortara una naranja y se obtuvieran después 
del corte, dos naranjitas. Es' imposible separar el polo norte del 
sur; no puede lograrse un polo mag- 
nético norte o sur aislado. 


Imanes moleculares. — Para expli- 
car los fenómenos precedentes y otros, 
debemos admitir que las mismas molé- r\ g . 584. — imán cortado 

culas del hierro son, o se comportan 

como si fueran, pequeños imanes. En una barra de hierro desiman- 
tada (fig. 585) los imanes moleculares, representados por flechas, 
estarían completamente desordenados. En cada porción de la super- 
ficie de la barra que se considere, habrá igual número de polos norte 

que sur. En cambio, si estos imanes se orde- 
nan (parte inferior de la figura), la barra 
estaría imantada. En el acero, podemos ima- 
ginar que los imanes elementales encuentran 
cierta resistencia para girar. Es como si pusié- 
ramos muchas pequeñas agujas magnéticas en 
un baño de gelatina. Por medio de imanes 
poderosos, podríamos orientar esas agujas que 
quedarían luego dispuestas en forma paralela. 
En cambio el hierro dulce se comporta como 
una porción de agujas colocadas en un medio 
que no les ofrece resistencia para girar. De aquí que el hierro dulce 
se imante fácilmente por influencia, perdiendo su imantación al 
cesar la acción del imán inductor. Se dice por eso que el. acero 
tiene gran fuerza coercitiva siendo ésta en el hierro dulce, pequeña. 

Imantación por frotamiento. Ar- 
maduras. — Se explica fácilmente con 
la teoría molecular el porqué para iman- 
tar una barra de acero utilizando un 
imán debe frotarse siempre en el mis- 
mo sentido (fig. 586). Frotando la ba- 
rra AB en la forma que indica la figura 
se formará en B un polo sur y en A 
uno norte. Si se frota un anillo de acero en la forma que indica 
la figura 587, el anillo se imanta sin que aparezcan polos. Esta iman- 
tación no se revela, pues el anillo no atrae a las limaduras de hierro. 



Fig. 586. — Imantación por 
frotamiento. 




378 


E. Loedel 


Pero, si se le corta y abre en la forma que indica la figura apare- 
cerán polos en el corte. Los polos aparecen en la superficie de sepa- 
ración de dos medios. 

En una barra imantada, los polos 
de los extremos de la misma tienden 
a desimantarla ya que por su acción, 
los imanes moleculares del centro de 
la misma tienden a girar 180° (figu- 
ra 588). Para evitar esta acción des- 
magnetizante de los polos se guardan 
los imanes con armaduras de hierro 
dulce en la forma que muestra la 
figura 589. Se logra así anular, casi. 



la acción de los polos. 

313. Ley de Coulomb. — Sfe puede 
medir la fuerza de atracción o de re- 
pulsión entre los polos de dos imanes 
con una instalación como la indicada Fig. 588. — - Acción desmagnetizante. 

en la figura 590. 



Si a la distancia de 1 centímetro 
entre los polos la fuerza es de 1 gra- 
mo, a la distancia de 2 centímetros la 
fuerza es sólo de 1/4 de gramo. La 
fuerza varía en razón inversa al cua- 
drado de la distancia que separa am- 
bos polos. 

Además, si se tienen dos imanes de 
igual longitud y se les coloca adosan- 
do los polos del mismo nombre (norte 
con norte y sur con sur) la fuer- 
za F que ejercen sobre un polo 
de otro imán (fig. 591) es igual 
a la suma de las fuerzas F i y 
F 2 que ejercían cada uno de los 
imanes actuando por separado y 
estando a la misma distancia. 

Se deduce de aquí, que la 
fuerza que actúa entre dos po- 
los magnéticos es proporcional a 
algo que depende de los mismos polos y que se denomina masa 
magnética. Si se considera entonces que m es la masa magnética 



Fig. 590. — Balanza magnética. 



Física Elemental 


379 


de un polo de un imán y ttí la masa magnética de un polo de otro 
imán, la fuerza de atracción o de repulsión entre los mismos es, 
en el aire, 

mm 



siendo d la distancia que separa ambos polos. 

Ésta es la expresión de la ley de Coulomb cuyo enunciado es: 
la fuerza de atracción o repulsión entre dos polos magnéticos es pro- 
porcional a la masa de los mis- 
mos y está en razón inversa del 
cuadrado de la distancia que 
los separa. 

Para la comprobación ex- 
perimental de la ley, los ima- 
nes a usarse deben ser largos Fi s- 591 - — Masa magnética, 

para que no influyan mayor- 
mente las acciones de los polos situados en los otros extremos de 
los imanes. 

Masa magnética. — En la expresión matemática de la ley de 
Coulomb hemos considerado igual a la unidad a la constante de 
proporcionalidad. Esto quiere decir que hemos definido implícita- 
mente a la unidad de masa magnética. Considerando dos polos de 
masas iguales ( m — m ’) situados a la distancia de un centímetro, 
si la fuerza con que se atraen o repelen (según sean las masas de 
distinto o del mismo nombre) es igual a una dina, diremos que 
aquellas masas magnéticas son iguales a la unidad C. G. S. Por lo 
tanto: unidad C. G. S. de masa magnética , es aquélla que atrae o 
repele a otra igual colocada a la distancia de un centímetro con la 
fuerza de una dina. En cualquier imán, la masa magnética norte, 
es igual, en valor absoluto, a la masa magnética sur. 

314. Campo magnético. — Toda región del espacio en la que 
se manifiesten acciones magnéticas es asiento de lo que se llama un 
campo magnético. Si una aguja imantada se orienta de norte a sur 
es por la acción de lo que se llama campo magnético terrestre. En 
las cercanías de un imán existe un campo magnético originado por 
dicho imán. 

Estudiemos el campo magnético de un imán en forma de barra 
(fig. 592). Para esto consideremos las posiciones que toma, en dis- 
tintas regiones del campo, una pequeña aguja imantada. El polo 




380 


E. Loedel 


norte de esta aguja es repelido por el polo norte del imán con la 
fuerza Fj, en tanto cjue es atraído por el polo sur con la fuerza F%. 
La resultante de estas fuerzas es F, El eje de la aguja magnética 
se colocará entonces paralelo a F. Limaduras de hierro hacen las 

veces de pequeñas agujas mag- 
néticas. Dispersando sobre una 



• ;V Vv ;; | | > $ v 


' * ' X V ■ X-£ * i ? Krf'ÉM 

■'X' sA' 


Fig. 592. — Campo magnético. 


r°y 1 i 

Fig. 593. — Espectro magnético de una 
harn i man tarín. 


pantalla de papel, colocada sobre un imán, limaduras de hierro, 
y dando un pequeño golpe a la pantalla para facilitar la orienta- 
ción de las limaduras, éstas se colocan como muestran las íiguias 
593, 594 y 595, que representan diversos espectros magnéticos 

Las curvas que se forman señalan a las 
llamadas líneas de fuerza del campo mag- 
nético. Precisando, se conviene en llamar 
línea de fuerza del campo magnético a la 
trayectoria que 
seguiría en el 
mismo una ma- 
sa magnética 
norte, aislada, 
y concentrada 
en un punto. 

Además es ne- 
cesario supo- 
ner que la su- 
puesta masa 

magnética no tiene inercia para que siga en cada caso la dirección 
de la fuerza magnética que obra sobre ella. Si la masa magnética 
considerada tuviera una masa mecánica, no podría, por inercia, 
>qpmbiar instantáneamente de dirección en cada punto, es decir que 
no coincidiría la dirección del camino recorrido con Ja dirección 
de la fuerza. 




Fig. 594. — Espectro magnético 
de un solo polo. 



Física Elemental 


381 


Por lo dicho, la tangente a una línea de fuerza en un punto da 
la dirección de la fuerza que en ese punto se ejercería sobre una 
masa magnética colocada en él. 

Intensidad de campo magnético en un punto es igual al co- 
ciente entre la fuerza que se ejercería sobre una masa magnética 
norte supuesta en el punto y dicha masa magnética. 

La unidad de intensidad C. G. S. de campo magnético es el 
gauss. Se dice que el campo magnético en un punto es igual a un 
gauss cuando la fuerza ejercida sobre la masa magnética unidad, 
colocada en ese punto , es igual a una dina. Si la intensidad del 
campo en un lugar es H y colocamos allí la masa magnética m, 
siendo la fuerza F se tendrá: 

F 

H = — ; F = mH. 

m 

A pocos centímetros de distancia de los polos de un imán común 
la intensidad del campo magnético es de unas decenas de gauss. 

> 

MAGNETISMO TERRESTRE 


315. Campo magnético terrestre. — Hemos dicho ya que una 
aguja magnética se orienta siguiendo aproximadamente la dirección 


norte - sur. Esto prueba que la 
Tierra se comporta como un gran 
imán (fig. 596). En las proxi- 
midades del Polo Norte se en- 
cuentra el polo sur magnético. 
Las coordenadas geográficas de 
los polos magnéticos son aproxi- 
madamente las siguientes: 

Polo norte: latitud, 73° Sur; 
longitud, 156° Este. 

Polo sur: latitud, 72° Norte; 
longitud, 96° Oeste. 



Fig. 596. — La Tierra es un gran imán con el 
polo norte cercano al Polo Sur geográfico. 


Declinación e inclinación magnética. — Si tenemos una aguja 
imantada (fig. 597a) suspendida de su centro de gravedad se colo- 
cará siguiendo la dirección de las líneas de fuerza del campo mag- 
nético terrestre. 



382 


E. Loedel 


Al ángulo formado por estas líneas de fuerza, o sea, por el eje 
de la aguja, con un plano horizontal se le llama inclinación magné- 
tica. En Buenos Aires la inclinación magnética es actualmente de 

unos 30° colocándose el 
polo norte de la aguja 
hacia arriba. 

Al plano determina- 
do por la vertical del 
lugar y la dirección de 
las líneas de fuerza del 
campo magnético terres- 
c . ... ... .. tre en ese lugar, se le 

magnética. llama meridiano mag- 

nético. Al ángulo die- 
dro formado por el meridiano magnético v t .. 

. 1 1 11 rig. 597 o. — Declinación magnética. 

el geográfico se le llama declinación mag- Brújula, 

nética. Este ángulo (fig. 597 b ) resulta igual 

al formado por el eje magnético de una aguja que gira en un plano 
horizontal con la meridiana (línea Norte -Sur) del lugar. La decli- 
nación magnética en Buenos Aires es en la actualidad igual a 2 o , 
colocándose el polo norte hacia el Este. TanloJa declinación como 
la inclinación magnética de un lugar varían en el transcurso del 
tiempo. Influyen en estas variaciones múl- 
tiples factores, predominando la actividad 
solar. 

La figura 598 representa un aparato con 
el cual puede medirse la inclinación magné- 
tica. Para esto el círculo vertical debe colo- 
carse en el plano del meridiano magnético. 

Para medir la declinación hace falta deter- 
minar por medidas astronómicas la posición 
del meridiano del lugar. 

Los puntos de la Tierra en que la incli- 
nación magnética es cero están situados so- 
bre una curva no plana que se llama ecuador 
magnético. El ecuador magnético se aparta 
en algunos puntos en más de 15° del ecua- 
dor geográfico. 

Componente horizontal. — Representemos por el vector OC 
(fig. 599) a la intensidad del campo magnético en un punto O. 
Descompongamos este vector en uno horizontal OH y en otro ver- 



Fig. 598. — Brújula de decli- 
nación e inclinación. 






Física Elemental 


383 


tical OV. El ángulo HOC es igual a la inclinación magnética. El 
vector OH es la componente horizontal del magnetismo terrestre 
en el punto O. Esta componente horizontal H es igual a la inten- 
sidad del campo C por el coseno de la inclinación: 

H = C eos i. 

Experimentalmente se determina, como veremos, la componente 
H ; conociendo el ángulo i puede calcularse el valor de C. El va- 
lor de // en Buenos Aires es igual a 
0,23 gauss. 

316. Determinación de H y del 
momento magnético de un imán. — 

Las flechas blancas de la figura 600 
representan la dirección y el sentido de 
las componentes horizontales del mag- 
netismo terrestre en cierta región. Tra- 
tándose de extensiones pequeñas este 
campo será uniforme : líneas de fuerza 
paralelas e intensidad constante. Coloquemos en el campo un imán 
en forma de barra que pueda girar alrededor de un eje vertical que 

pasa por O. Si dejáramos al imán moverse libremente se colocaría 

paralelamente a las líneas de fuerza. Pero obliguémoslo por la 

acción de un resorte a 
permanecer perpendicu- 
lar a las líneas de fuerza. 

Sobre el polo norte 

del imán actuará una 
fuerza igual a mH ; sobre 
el polo sur otra fuerza 

igual a — mH. Estas dos 
fuerzas iguales, paralelas 
y opuestas constituyen 
una cupla. Esto es así, ya que en cualquier imán la masa magnética 
norte es igual a la masa magnética sur. Si estas masas no fueran 
iguales las fuerzas que actuarían sobre ambos polos de un imán, 
colocado en un campo magnético, producirían además de una rota- 
ción una traslación. Como en ningún caso se ha observado esta tras- 
lación de un imán colocado en un campo magnético uniforme debe 
concluirse que la masa magnética norte es igual a la masa mag- 
nética sur. 





384 


E. LO EDEL 


Si los puntos de aplicación de las fuerzas mH y — mH están 
separados por la distancia l, el momento de la cupla que tiende a 
hacer girar la barra es: 

Momento mecánico = mHl. 

Al producto mi, de la masa magnética m de uno de los polos 
por la distancia 1 que separa al polo norte del sur, supuestos ambos 
concentrados en puntos geométricos, se le llama momento magné- 
tico del imán. Siendo M el momento magnético se tendrá por ser 
M = mi: 

Momento mecánico = MH. 

Si el resorte de la figura que equilibra a la cupla, ejerce una 
fuerza F, siendo a la distancia entre esta fuerza y el punto de giro 
O, el momento mecánico de la misma será Fa. Estando la barra en 
equilibrio deberá ser: 

MH = Fa. 

El segundo miembro de esta fórmula es conocido, pues se puede 
medir F y a. Pero del primer miembro no conocemos ni M ni H. 
Como tenemos dos incógnitas necesitamos otra ecuación. Para esto 
tomamos una pequeña aguja imantada que deslizamos a lo largo de 
la mesa de trabajo en la dirección de la barra hasta que su eje se 
coloque formando un ángulo de 45° con la dirección de las líneas 
de fuerza del campo magnético horizontal. Cuando esto suceda, 
la intensidad del campo magnético originado por la barra imantada 
en el lugar que ocupa la aguja será igual a H. 

Llamando d a la distancia entre el centro de la barra y la aguja, 
el polo norte de la barra dista de ella en: 

1 l 

d ; y el polo sur en: d - 1 . 

2 2 

La intensidad del campo magnético originado por ambos polos 
de la barra en el lugar ocupado por la aguja es, de acuerdo a la 
ley de Coulomb: 


m 


m 


(d — l/2) 2 (d + l/ 2) 2 



Física Elemental 


385 


Efectuando las operaciones y considerando que l es pequeña con 
respecto a d, resulta para la expresión del campo, que sabemos debe 
ser igual a H : 

2 mi 

H = . 

d 3 

Como mi es igual a M se tiene: 

M d 3 

H 2 

Conociendo el producto MH y el cociente M/H pueden deter- 
minarse M y H. 

El método expuesto se debe a Gauss. En cuanto al producto MH 
se le determina con mayor precisión por métodos dinámicos, mi- 
diendo el tiempo de oscilación de la barra en el campo magnético. 

Se tiene, pues, un método para determinar simultáneamente la 
componente horizontal del magnetismo terrestre y el momento mag- 
nético de un imán en forma de barra. 

COMPORTAMIENTO DE LAS SUBSTANCIAS 
EN UN CAMPO MAGNÉTICO 



Fig. 601. 


317. Cuerpos ferromagnéticos. — Un trozo de hierro es atraído 
fuertemente por un imán; aunque con menor fuerza, también son 
atraídos el níquel, el cobalto y algunos 
compuestos de hierro. Estos materiales 
que se comportan en forma parecida al 
hierro se llaman ferromagnéticos. Consi- 
deremos una barra de un material ferro- 
magnético colocada entre los polos de 
un imán inductor (fig. 601). La barra 
se imantará por influencia, disponiéndose los polos en la forma que 
indica la figura. Esta barra imantada tendrá cierto momento mag- 
nético M. 

Se llama intensidad de imantación de una barra o imantación 
específica media, al cociente entre el momento magnético de la mis- 
ma y su volumen : 

M 

/ = . 


V 



386 


E. Loedel 


Si esta barra se imanta por la acción de un campo inductor // ir 
se llama susceptibilidad magnética del material , al cociente entre, la 
imantación específica y el campo inductor Hj. 


Susceptibilidad = k = 


I 


Hi 


Este campo inductor recibe el nombre de fuerza magnetizante. 
No debe creerse que el campo inductor Hi sea igual al campo pri- 
mitivo H o. En la orientación de los imanes elementales del material, 
influye no sólo el campo primitivo // 0 , donde colocamos la barra, 
sino también el campo magnético de la misma barra. Si ésta es muy 

larga y delgada, la acción de los 
de la misma, situados en los extremos, 
es despreciable. Sólo en ese caso, el cam- 
po inductor se confunde con el primi- 
tivo. Se supone la barra o el alambre 
colocado en la dirección de las líneas 
de fuerza del campo primitivo. 

La figura 602 representa la imanta- 
ción de un hierro dulce en función de 
la fuerza magnetizante Hi. Si la suscep- 
tibilidad del material fuera constante, 
debería obtenerse una recta. Para cierto 
valor del cajnpo, H s , la imantación no 
aumenta más: se ha alcanzado la satu- 
ración, que corresponde a cuando los 
imanes moleculares están todos dispues- 
tos paralelamente. Podemos caracterizar 
los materiales ferr omagnéticos, diciendo 
que en ellos la susceptibilidad magnética es positiva y depende del 
campo inductor. 

El cobalto tiene susceptibilidad máxima igual a 14 en un campo 
de 25 gauss; el níquel alcanza su mayor susceptibilidad, igual a 24, 
en un campo de unos 10 gauss; y el hierro dulce llega a tener una 
susceptibilidad igual a 250 en un campo de 650 gauss. Estos, datos 
se resumen en el cuadro siguiente: 


SUBSTANCIA 

CAMPO 

SUSCEPTIBILIDAD 

MAXIMA 

Cobalto 

25 gauss 

14 

Níquel 

10 „ 

24 

Hierro 

650 „ 

250 




Fíg. 602. — Imantación del hierro. 






Física Elemental 


387 


318. Cuerpos paramagnéticos y diamagnéticos. — Faraday 
descubrió, operando con potentes electroimanes, que un campo mag- 
nético intenso actúa sobre todas las substan- 
cias. Si los polos del electroimán terminan en 
punta (fig. 603), suspendiendo entre los mis- 
mos pequeñas barritas de diferentes substan- 
cias, se observa que en algunos casos éstas se 
disponen paralelamente a las líneas de fuerza 
(a) y en otros perpendicularmente a ellas (b). 

En el primer caso (a) se dice que la subs- 
tancia es paramagnética; en el segundo (b) 
que es diamagnética. 

Platino, paladio, sodio, potasio, etc., son 
paramagnéticos. 

El bismuto en cambio es diamagnético. Una esferá de bismuto 
es repelida por un polo de un electroimán en el instante en que 

éste se excita por una corriente eléctrica. 

Los materiales paramagnéticos se imantan 
en un campo en la misma forma que los ferro- 
magnéticos. La diferencia consiste en que la 
susceptibilidad magnética es muy pequeña en 
las substancias paramagnéticas y además esta 
susceptibilidad no depende del campo. 

La figura 604 muestra cómo se dispone un 
líquido para o diamagnético colocado entre los 
polos de un fuerte electroimán. 

La figura 605 muestra la repulsión que 
experimentan los gases de una llama, que se comportan diamagné- 
ticamente. En los materiales diamagnéticos la susceptibilidad mag- 
nética es negativa. 

Resumiendo, siendo k la susceptibilidad : 

F err omagnetismo : i>0 y depende del campo. 

Paramagnetismo: k^> 0 y no depende del campo. 

Diamagnetismo: k <C 0 y no depende del campo. 

319. Influencia de la temperatura. — En 
los materiales ferromagnéticos se observa, si se 
aumenta la temperatura, que cuando ésta alcanza 
cierto valor dejan de ser atraídos por un imán, 
es decir que pierden sus propiedades magnéticas. 

Esa temperatura para la cual la susceptibilidad magnética disminuye 
bruscamente se llama temperatura de Curie. Para el hierro la tem- 




Fig. 604. — Caso de líquidos. 




388 


E. Loedel 


peratura de Curie es de unos 750° C, para el níquel 350° C y para 
el cobalto 1 100° C. 

Si se suspende una barrita de níquel entre los polos de un elec- 
troimán en la forma indicada en la figura 606 se constata que al 
ser calentada con un mechero llega un 
momento en que de golpe deja de ser 
orientada por el campo magnético. 

Se constata además que en todos los 
materiales la susceptibilidad magnética 
depende de la temperatura, disminuyen- 
do aquélla al aumentar ésta. 

PROBLEMAS 

1. Dos polos de dos imanes iguales dis- 
tantes en 10 cm se repelen con una 
fuerza de 64 dinas. Hallar la masa 
magnética de los mismos. 

m = d V F = 80 unidades C. G. S. 

2. Considerando que la distancia entre 
los polos de uno de los imanes an- 
teriores es de 20 cm calcular su momento magnético. 

M = mi = 1 600 unidades C. G. S. 

3. Siendo la componente horizontal H = 0,2 gauss, calcular el 
momento mecánico de la cupla que actúa sobre el imán ante- 
rior cuando se le coloca perpendicularmente a las líneas de 

fuerza. 

J/l = MH = 320 dinas X centímetro. 

r 

4. Hallar la imantación media del imán anterior suponiendo que 
tiene una sección de 1 cm 2 y 25 cm de longitud. 

M 

I = — = 64 unidades C. G. S. 

V 

5. Se han obtenido (párrafo 316) los siguientes valores : 

F = 500 dinas ; a = 5 cm ; d = 50 cm. 



Física Elemental 


389 


Hallar M y H. 

Se tiene: 

MH = Fa; 


M d» 
H 2* 


Multiplicando estas igualdades: 


Fad 3 

M 2 — ; 

2 

y dividiéndolas: 

2 Fa 


d 9 


M = 



9 


2 



Substituyendo los valores numéricos: 

H = 0,2 gauss; Ai = 12 500 unidades C. G. S. 


6. El imán del problema anterior tiene una longitud de 20 cm 
y una sección de 5 cm*. Hallar su imantación media. 

M 

I = — = 125 unidades C.G. S. 

V 


7. Hallar el momento magnético que adquiere un alambre de ní- 
quel de 50 cm de longitud y 0,04 cm * de sección, colocado en 
un campo de 10 gauss, paralelamente a las líneas de fuerza. 

El campo inductor Hi es en este caso igual al campo pri- 
mitivo H o = 10 gauss. La susceptibilidad es igual a 24. por 
lo que: 

I = kHi = 240 unidades C. G. S. 

Como el volumen es de 2 cm 3 : 

M = VI = 480 unidades C. G. S. 

8. Hallar las masas magnéticas de los polos del alambre anterior, 
supuestas en los extremos (1 = 50 cm). 

M = mi; 


m = M/l = 9,6 unidades C. G. S. 



CAPÍTULO XXV 


ELECTROESTÁTICA 


320. Electrización por frotamiento. — Ya los antiguos griegos 
conocían la curiosa propiedad del ámbar (en griego electrón) que 
al ser frotado atrae a los cuerpos livianos, tales como barbas de 
pluma, trozos de papel, etc. 


Todos los cuerpos se electrizan por frotamiento. — Esto puede 
comprobarse con el péndulo eléctrico (fig. 607) consistente en una 
pequeña esferita de médula de saúco sus- 
pendida por un hiío de seda. El soporte 
es mejor que sea de vidrio o de alguna 
otra substancia “aisladora” . Frotando una 
barra de vidrio, ebonita, azufre, lacre, etc., 
con un paño de lana, se observa que al 
acercar la barra al péndulo éste es prime- 
ramente atraído. Debe procurarse en los 
experimentos que estas substancias estén 
secas para lo cual deben colocarse pre- 
viamente en el interior de una estufa. Si 

se trata de un metal debe sostenerse el mismo con un mango de 
ebonita o vidrio (substancias aisladoras). 



Fig. 607. — Péndulo eléctrico. 


Atracción y repulsión. — La esferita del péndulo atraída por la 
barra de vidrio frotada es repelida luego, después del contacto. Lo 
mismo acontece si se hace el experimento con una barra de ebonita. 

321. Las dos electricidades. — Para explicar los fenómenos que 
preceden y otros, se admite lo siguiente: 

En todos los cuerpos existen íntimamente mezcladas dos clases 
de electricidad o sea dos fluidos eléctricos. Un cuerpo que no ma- 
nifiesta acciones eléctricas se dice que está en estado neutro', en él 
los dos fluidos están mezclados y en igual . cantidad. Estas electri- 
cidades o fluidos eléctricos reciben los nombres de electricidad posir 
tiva y negativa. 



Física Elemental 


m 

En algunos cuerpos estos fluidos eléctricos se mueven con toda • 
facilidad: son cuerpos conductores. Los metales, el aire húmedo, etc., 
son buenos conductores. En cambio, vidrio, ebonita, porcelana, etc., 
son aisladores. Algunos cuerpos, como la madera seca, se compor- 
tan como semiconductores. 

Estos flúidos eléctricos se comportan del 
modo siguiente: Electricidades de igual nom- 
bre se repelen, de distinto nombre se atraen. 

Al frotar una barra de vidrio con un trozo 
de lana el vidrio se electriza. A la electricidad 
que adquiere el vidrio se conviene en llamarla 
positiva. La que adquiere la ebonita negativa. 

Se explica esto admitiendo que al frotar el 
vidrio pasa parte de su electricidad negativa 
a la lana o electricidad positiva de la lana 
al vidrio. De aquí que dos cuerpos frotados se 
carguen con electricidades de nombre contra- 
rio. Para verificar esto, el trozo de lana que 
se utiliza para frotar, debe tenerse con un 
mango aislador. 

Recapitulación y explicación de los experimentos de atrac- 
ción y repulsión. — Frotando vidrio o ebonita el péndulo es atraído. 
Se explica esta atracción porque las dos electricidades de la esfe- 
rilla pendular se disponen como muestra la figura 608. La electri- 
cidad positiva del vidrio atrae a la negativa de la esferilla y rechaza 
a la positiva. Estando así más cerca electricidades de diferente nom- 
bre debe haber atracción. Si la esferilla toca al vidrió se carga por 

contacto con electricidad 
positiva y entonces es re- 
pelida por el vidrio. Si es- 
tando cargada con electri- 
cidad positiva se acerca 
una barra de ebonita que 
ha sido frotada, ésta la 

Fig. 609. — Repulsión y atracción eléctrica. atrae. DoS péndulos eleC- 

tríeos cargados con electri- 
cidades del mismo nombre (fig. 609) se repelen. En cambio carga- 
dos con electricidades de distinto nombre se atraen. 

• 322. Electroscopio. — Consiste este sencillo aparato (fig. 610) 
en una esferilla de metal unida a unas hojuelas muy delgadas de 




Fig. 608. — Atracción 
eléctrica. 



392 


E. Loedel 


oro por una varilla también de metal. Esta varilla atraviesa un tapón 
de ebonita que aísla el metal del resto de la caja. Las hojuelas re- 
corren un cuadrante graduado. Si se toca el electroscopio con una 
barra de vidrio electrizada las hojuelas se cargarán ambas positiva- 
mente y se separarán formando cierto ángulo. 

Lo mismo acontece si se le carga con electri- 
cidad negativa. 

Si estando el electroscopio cargado se toca 
la esferilla con la mano las hojas caen. 

Esto revela que el cuerpo humano es buen 
conductor de la electricidad que pasa del elec- 
troscopio a tierra a través del cuerpo. Lo mis- 
mo ocurre si se le une a tierra con una cadena 
metálica y también con una regla de madera, 
aunque esté seca. En cambio tocando el elec- 
troscopio con una varilla de porcelana, vidrio, 
ebonita, etc., no se descarga. En el aire húme- 
do se descarga rápidamente lo que prueba que ese medio es buen 
conductor de la electricidad. 

323. Máquina electroestática de frotamiento. — Si se hace girar 
un disco de vidrio (fig. 611) entre dos almohadillas contra las cua- 
les frota, el vidrio se cargará positivamente. Esta electricidad posi- 
tiva “se recoge” por medio de unos peines metálicos que comuni- 
can con una esfera metálica y aislada 
por un soporte de vidrio. La esfera se 
carga con electricidad positiva. 

Los peines o colectores se comportan 
como si absorbieran la electricidad del 
vidrio sin tocarlo. Esto se debe a un 
efecto de las puntas que estudiaremos 
más adelante. 

324. Influencia eléctrica. — Con só- 
lo acercar la barra de vidrio frotada al 
electroscopio las hojas de éste divergen 
(fig. 612 I) pues, por influencia, la 
electricidad negativa del electroscopio, 
atraída por la positiva del vidrio se acumula en la esferilla en tanto 
que las hojas se cargan positivamente. Si tocamos ahora el electros- 
copio (II) sin retirar la barra de vidrio observaremos que las hojas 
caen. Si dejamos de tocar el electroscopio y no retiramos la barra 




Fig. olO. — Electroscopio. 



Física Elemental 


393 



de vidrio, permaneciendo ésta a la misma distancia (III) las hojas 
siguen caídas. Si retiramos ahora la barra de vidrio el electroscopio 
(IV) queda cargado con electricidad negativa. Se ha cargado por 

\ . 


Fig. 612. — Modo de cargar ud electroscopio por influencia. 



influencia. Cuando en II tocamos con la mano el electroscopio, se 
va a tierra parte de la electricidad positiva pues siendo ésta repe- 
lida por la electricidad del vidrio tiende a alejarse lo más posible. 
En el electroscopio queda entonces un exceso de electricidad nega- 
tiva que se manifestará en las hojuelas apenas aleje- 
mos la barra de vidrio. Si hubiéramos operado con 
una barra de ebonita, el electroscopio se hubiera car- 
gado por influencia con electricidad positiva. Si un 
electroscopio está cargado positivamente, al acercar 


Fig. 613. — 
Influencia eléctrica. 


Fig. 614. — Las cargas inducidas pueden separarse. 

/ 


una barra de vidrio frotada aumenta la divergencia de las hojas 
y disminuye si se acerca una barra de ebonita. Si se tiene un cilin- 
dro metálico en un soporte aislador (fig. 613) por la influencia de 



394 


E. Loedel 



una carga eléctrica se distribuyen las cargas en el mismt> en la for- 
ma que muestra la figura. En la parte central el cilindro perma- 
nece en estado neutro. Con dos semicilindros metálicos (fig. 614) 

pueden separarse las cargas 

®S ' producidas por in t 


\ fluencia , 





Fig. 616. — - La electricidad reside A , , 

i r- • i i i r ig. 61 i. — No se transporta nada, 

en la superficie de los conductores. b K 



oon una esferita metálica provista de un mango aislador (fig. 616). 
A esta esferita se la llama plano de prueba pues puede utilizarse 


también un pequeño disco metálico. Si 
llevamos luego el plano de prueba al 
electroscopio las hojas de éste se abri- 
rán. Hemos transportado así, con el 
plano de prueba, cierta carga eléctrica 
desde la esfera al electroscopio. Si 
hubiéramos tocado la esfera metálica 



en el interior (fig. 617) no habríamos F¡g. ais. 

transportado carga alguna. Se explica 

-eíta distribución de la electricidad en la superficie exterior de 
los conductores teniendo en cuenta que electricidades de igu'al 
nombre se repelen. Estando la esfera cargada y repeliéndose estas 



Física Elemental 


395 


cargas mutuamente tenderán a ubicarse eñ la parte exterior del 
conductor. 

Se explica así, que si se recubre una esfera metálica cargada con 
dos semiesferas también metálicas pase toda la electricidad de la 
primera a las últimas. 

326. Densidad eléctrica. — Si se tiene un conductor cargado, 
de la forma que muestra la figura 619, y se transportan con^ un 
plano de prueba cargas eléctri- 
cas a un electroscopio, se encuen- 
tra que las hojuelas divergen más 
cuando el plano de prueba se 
puso en contacto con las partes 
del conductor de mayor curva- 
tura. El plano de prueba toma 
más electricidad al ponerse en 
contacto con la 1 punta. Densidad 
eléctrica en un punto de un con- f¡ s . 6iy. — Densidad eléctrica 

ductor es el cociente entre la car- 
ga eléctrica contenida en una pequeña superficie que rodea a ese 
punto y dicha superficie. Llamando s a la densidad eléctrica y siendo 
e la carga eléctrica contenida en la superficie S se tiene por definición: 

e 

9 = — . 

S 

Si se conviene en representar la densidad eléctrica en cada punto 
de un conductor por un segmento rectilíneo perpendicular a la super- 
ficie del mismo y de longitud 
proporcional a la densidad eléc- 
trica, uniendo los extremos de 
esos segmentos, se obtiene para 
determinado oonductor una idea 
acerca de cómo se distribuye en 
él la electricidad (fig. 620). /. 

327. Acción de las puntas. 
Pararrayos. — Como la densi- 
dad eléctrica en las puntas es muy grande, el aire en contacto con 
«lias se electriza y es repelido lo que se revela acercando una bujía 
«ncendida (fig. 621). A causa de esto, por reacción, gira el llamado 



Kig. 620. — Densidad eléctrica. 



396 


E. Loedel 


molinete eléctrico cuando se le conecta con una máquina eléctrica 
(fig. 622). En el vacío el molinete no funciona. 
Brevemente se dice que ‘7a electricidad se escapa 
por las puntas ”. Esto tiene su aplicación en los 
pararrayos inventados por Franklin. Una nube 
con carga eléctrica origina por influencia en el 
suelo cargas de nombre contrario, (fig. 624). La 
atracción entre estas cargas puede llegar a ser 
tan grande como para hacer que salte entre las 

Fig. 621. — Viento . b M ,. 

"eléctrico”. mismas una chispa eléctrica de enormes dimensio- 
nes análogas a las pequeñas chispas que se pro- 
ducen con una máquina eléctrica. Los relámpagos son descargas 
eléctricas entre nubes: en estas descargas se “re- 
combinan ” las dos electricidades. Una descarga 
eléctrica entre una nube y el suelo constituye la 
“ caída de un rayó” (fig. 624). En el edificio 
que se piensa proteger contra la caída de los 
rayos se colocan una o varias barras metálicas 
terminadas en punta y unidas por un conductor 
al suelo (fig. 625). De este modo, la electrici- 
dad que se escapa por las puntas del pararrayo 
tiende a neutralizar la electricidad de la nube. 

En caso de producirse la descarga eléctrica, la 
electricidad correrá por el conductor hasta tierra sin dañar el edificio. 

Si se coloca un cuerpo metálico 
con puntas (fig. 626) frente a otro 
cargado, la electricidad de éste atrae 
a la de nombre contrario y rechaza 
a la de igual nombre. La electricidad 
atraída se escapa por las puntas y 
neutraliza a la del conductor que es- 
taba cargado. Queda así el cuerpo - 
con puntas cargado eléctricamente co- 
mo si hubiera absorbido la electrici- 
dad del cuerpo inductor. Éste es el 
llamado “ poder absorbente de las pun- 
tas ” ya mencionado al explicar la má- 
quina eléctrica. 

328. Relación entre la carga inductora y la inducida. — Co- 
nectando un cilindro hueco aislado (fig. 627) con un electroscopio 





Física Elemental 


397 


pueden efectuarse los experimentos siguientes: I) Se introduce en 
el interior del cilindro una esfera cargada que, para fijar ideas, 
supondremos con carga positiva. Si la esfera toca las paredes inte- 
riores del cilindro el elec- 
troscopio se carga positi- 
vamente y sus hojuelas al- 
canzan, digamos, la divi- 
sión 10. Al sacar la esfera 
se constata que se encuen- 
tra en estado neutro, como 
es natural, pues toda su 
carga ha pasado al cilin- 
dro y al electroscopio. 

II) Introducimos la es- 
fera cargada en el cilin- 
dro, inicialmente descarga- 
do, sin tocarlo. La esfera 
tiene la misma carga de antes. El electroscopio se carga también 
positivamente hasta la división 10. Si se retira la esfera vuelven 
el cilindro y el electroscopio al estado neutro. 

III) Estando la esfera en el interior del cilindro comunicamos 
éste con tierra tocándolo simplemente con la mano. 
En el momento de tocar, las hojas caen. La electrici- 
dad positiva se ha ido a tierra. Las hojas siguen caídas 
mientras la esfera cargada está en el interior del 
cilindro. Al sacar la esfera del interior (IV) las ho- 
jas del electroscopio se 
abren, quedando éste y 
el cilindro cargado nega- 
tivamente. Las hojuelas 
llegan otra vez hasta la 
división 10. Esto prueba 
que cuando el cuerpo in- 
ducido rodea por com- 
pleto al inductor la car- 
ga eléctrica inducida es 
igual y de signo contra- 
rio a la carga inductora . 

Si con mangos aisladores apropiados se frotan dos cuerpos en 
el interior del cilindro precedente, llamado de Faraday, no se obser- 
va en el electroscopio la más mínima desviación. 




Fig. 625. — 
Pararrayo. 



Fig. 624. — Descaigas eléctricas atmosféricas. 



Fig. 627. — Cilindro de Faraday. 

retira del interior del cilindro uno de los cuerpos. Esto prueba que 
durante el frotamiento la electricidad no se crea: pasa simplemente 

de un cuerpo frotado al otro. La elec- 
tricidad se comporta entonces como una 
verdadera substancia : no se crea ni se 

destruye. 

Caja de Faraday. — En el interior 
de una caja o jaula metálica las accio- 
nes eléctricas ejercidas desde el exterior 
no se manifiestan (fig. 628). Auaque 
la caja se conecte con una máquina eléc- 
trica poderosa los electroscopios aislados en su interior no acusan 
carga alguna. Aprovechando esta propiedad los edificios con para- 
rrayos se unen a tierra por varios conductores 
que forman una especie de jaula de Faraday 
de protección (fig. 629). 

MÁQUINAS ELÉCTRICAS DE INFLUENCIA 

329. Electróforo de Volta. — Un disco de 
ebonita (fig. 630) apoyado en otro metálico 
y otro disco de latón con un mango aislador 
constituyen el electróforo de Volta que es la 

- J • fl • . • i 7i r . I ig. 629. — Pararrayo y 

maqurna de iniluencia mas simple. Al trotar jaui* de F*r*da y . 
la ebonita con un paño de lana se carga nega- 
tivamente. Colocando sobre ella (fig. 631) el disco de latón la 
electricidad positiva de éste irá hacia la parte inferior y la nega- 
tiva hacia arriba. Si se toca ahora el disco con la mano (parte infe- 

I 




Fig. 62S. — Jaula de Faraday. 



Física Elemental 


399' 


rior de la figura) la electricidad negativa de él se irá a tierra y 
quedará cargado positivamente. Esta carga puede utilizarse para 
cargar electroscopios, esferas metálicas, etc. La operación puede re- 
petirse cuantas veces se quiera pues con ello no se disminuve la- 



Fig. 630. — Electróforo. 


Fig. 631. — Electróforo. 


carga del disco de ehonita. Ésta se conserva mejor con el disco metá- 
lico de abajo, pues en él aparecen por influencia cargas positivas y 
las negativas se van a tierra. Las cargas positivas del disco metá- 
lico de abajo retienen la carga 
negativa de la ebonita. 

La energía que suministra La 
máquina proviene del trabajo 
mecánico que se efectúa al sepa- 
rar el disco de latón cargado po- 
sitivamente del disco de ebonita, 
con carga negativa, que lo atrae. 

330. Máquina de Wimshurst. 

— Sean dos cilindros coaxiales 
de vidrio que giran con igual 
velocidad angular en sentido 
opuesto (fig. 632). Estos cilin- 
dros llevan unas piezas metálicas salientes que rozan contra 
unas escobillas o pinceles metálicos E, que comunican dos a dos 
entre sí con varillas metálicas. Supongamos que el “ sector ” metá- 
lico 1 tenga una carga positiva. Cuando esta carga pase frente a la 
escobilla Ei atraérá a la electricidad negativa de la misma y recha- 
zará a la positiva. Los sectores metálicos se cargarán negativamente 




400 


E. Loedel 


al rozar con E\ y positivamente al rozar con E 2 . Frente a la esco- 
billa E 3 que roza con el cilindro interior pasan los sectores del cilin- 
dro exterior cargados negativamente porque han pasado por E\. 
Estas cargas negativas atraen la electricidad positiva de E 3 y los sec- 
tores metálicos que rozan con E s 
se cargarán positivamente. En cam- 
bio los sectores que rozan con E\ 
se cargan negativamente. 

Los peines que comunican con 
la esfera -f- recogen entonces la 
electricidad positiva y los que co- 
munican con la esfera — la negativa. 

La carga inicial, necesaria para 
el funcionamiento de la máquina, 
se produce por roce con las mismas 
escobillas. En caso necesario puede 
cargarse algún sector con una ba- 
rra de vidrio frotada. En realidad 
la máquina consiste, no en cilin- 
dros, sino en discos (fig. 633). Substituimos en la explicación éstos 
por aquéllos para facilitar la representación. De aquí que llamára- 
mos sectores a las piezas metálicas. 

LEY DE COULOMB. CAMPO. POTENCIAL 

331. Ley de Coulomb. — En 1788 formuló Coulomb ( 1736 - 
1806) la ley fundamental de la electroestática que estableció en 
base a medidas experimentales llevadas a cabo con la balanza de 
torsión inventada por él (fig. 634). La torsión de un hilo delgado 
puede servir para medir fuerzas pequeñas. Estableció de este modo 
que: La fuerza de atracción o de repulsión entre dos cargas eléc- 
tricas, es directamente proporcional a las cargas y está en razón 
inversa del cuadrado de la distancia que las separa. 

Tratándose de esferas las cargas se comportan como si estuvie- 
ran concentradas en el centro de las mismas. Llamando e y e a 
las cargas eléctricas y d a la distancia que las separa (fig. 635) 
la fuerza F, si ambas esferas están en el aire, está expresada así: 

ee’ 

F = . 

d 2 



Fig. 633. — Máquina de Wimshurst. 


(Ley de Coulomb) 



Física Elemental 


401 


En esta fórmula hemos supuesto igual a la unidad la constante 
de proporcionalidad por lo cual queda definida implícitamente la 
unidad de carga eléctrica. 

En el sistema C. G. S. la unidad electr oestática de carga eléctrica 
es aquélla que rechaza a otra carga igual colocada a la distancia 

de un centímetro con la fuerza de 
una dina. 

De acuerdo a esto si e = 100 
y e’ = 1 000 unidades C. G. S., 


Fig. 635. — Ley de Coulomb. 

siendo la distancia igual a 20 cm la fuerza será: 

100 X 1 000 

F = = 250 dinas. 

400 

Notación. — La unidad electroestática C. G. S. de carga eléctrica 
no tiene un nombre especial lo que hace engorroso la escritura 
abreviada de la misma. 

Se acostumbra a escribir así: 




NOMBRE COMPLETO NOTACIÓN 

Unidad electroestática C. G. S. de u. e. e. G G. S. de carga. 
carga eléctrica. 

Nosotros preferiremos en lo que sigue la notación siguiente: 

NOMBRE COMPLETO NOTACIÓN 

Unidad cegesimal electroestática de u. c. e. e. — carga. 
carga eléctrica. 









402 


E. Loedel 


Culombio. — En el sistema práctico de unidades eléctricas se 
adopta como unidad de cantidad de electricidad el coulomb o culom- 
bio que es igual a tres mil millones de unidades electr oestáticas 

C. G. S .: 

. 1 Culombio = 3 X 10 9 u. c. e. e. — carga. 

Esta unidad práctica se utiliza en las medidas de la corriente 
eléctrica. En electr oestática resulta una cantidad de electricidad fabu- 
losamente grande. Calculemos para darnos cuenta de ello la fuerza 
de atracción o repulsión entre dos cargas de un culombio separadas 
por una distancia de un kilómetro (igual a 10 5 cm) : 

3 X 10 9 X 3 X 10 9 

F = = 9 X 10 8 dinas = 918 Kgr. 

( 10 5 ) 2 

332. Campo eléctrico. — Una región del espacio en la cual se 
ejerzan acciones eléctricas es un campo eléctrico. 

Intensidad de campo eléctrico en un punto es igual al cociente 
entre la fuerza que en ese punto se ejercería sobre una carga eléc- 
trica positiva colocada en él y dicha carga eléctrica. 

Si en un punto se ejerce la fuerza F sobre la carga eléctrica e 
la intensidad £ del campo eléctrico será: 

F 

£ — — , de donde : F = £ e. 

e 

La intensidad del campo eléctrico en un punto es un vector cuyo 
sentido coincide, por la definición, con el sentido de la fuerza que 

actuaría en ese punto sobre una carga 
positiva. 

Líneas de fuerza. — Una línea de 
fuerza de un campo eléctrico sería 
la trayectoria que seguiría una car- 
ga eléctrica positiva, concentrada en 
un punto y sin inercia, situada en el 
campo. Esta definición es análoga a 
la de las líneas de fuerza de un cam- 
po magnético. 

Las líneas de fuerza (fig. 636) nacen en las cargas positivas y 
mueren o terminan en las negativas. 




Física Elemental 


403 



Esta representación del campo por medio de líneas de fuerza 
ayuda a comprender mejor los fenómenos eléctricos. Los experi- 
mentos del párrafo 328 se comprenden 
de inmediato. La carga inducida, cuan- 
do el cuerpo inducido rodea al induc- 
tor debe ser igual a la carga inductora 
pues las líneas de fuerza del cuerpo in- 
ductor terminan (o nacen) todas en el 
inducido. La carga inducida en la caja 
de la figura 637 debe ser negativa e f¡ 8 . 637. 

igual a las cargas positivas del interior. 

Estas líneas de fuerza del campo eléctrico deben imaginarse pomo 
especie de hilos elásticos que tienden a contraerse. Dos placas con 
electricidades de nombre contrario se atraen en forma 
parecida a como se atraerían si estuvieran unidas por 
resortes estirados (fig. 638). Para separar las placas 
se gastará un trabajo en ambos casos. 

Dos cuerpos con electricidades del mismo nombre, 
se repelen también por la contracción de las líneas de 
fuerza (fig. 637). 



Fig. 638. 


333. Potencial eléctrico. — Si se acerca a un cuer- 
po con carga positiva (fig. 639) otro cuerpo cargado 
también positivamente, tendrá que efectuarse cierto 
trabajo. 

Si se lleva la carga e de A hasta B por el camino 
1 o por el 2, etc. t el trabajo es siempre el mismo. (Véase 
párrafo 244). 

Se llama diferencia de potencial entre dos puntos de un campo 
eléctrico al cociente entre el trabajo que se realiza para transportar 
entre los mismos a una carga eléctrica 
y el valor de dicha carga. Si la carga 
transportada es e y . el trabajo es T la 
diferencia de potencial Fb — Fa será: 


Vb — Va = — , de donde: 



Fig. 639. — Potencial. 


T = e (Vb — Fa) = Trabajo eléctrico. 

Unidades. — Se dice que entre dos puntos de un campo eléctrico 
existe la unidad cegesimal electr oestática de diferencia de potencia^ 



404 


E. Loedel 


cuando se gasta el trabajo de un ergio para transportar entre los 
mismos la unidad cegesimal electr oestática de carga eléctrica. 

A la unidad práctica de diferencia de potencial se la llama volt 
o voltio. Entre dos puntos de un campo eléctrico existe la diferencia 
de potencial de un voltio , cuando para transportar entre los mismos 
un culombio se gasta el trabajo de un julio. 

De la definición de diferencia de potencial y de la definición 
del voltio obtenemos: 

1 } ulio 

1 voltio = . 

1 culombio 


En cambio la unidad cegesimal electroestática de diferencia de 
potencial es: 

1 ergio 

1 u. c. e. e. — potencial = . 

1 u. c. e. e. — carga 

Se tiene entonces (ya que 1 julio = 10 7 erg y 1 culombio = 
S X 10 9 u. c. e. e. — carga) : 


1 voltio = 


10 7 erg 


3 X 10 9 u. c. e. e. — carga 


1 

1 voltio = u. c. e. e. — potencial. 

300 


De modo que 300 voltios constituyen una unidad electroestática 
C. G. S. de diferencia de potencial. 


334. Potencial cero. — En un campo eléctrico las cargas eléc- 
tricas positivas se mueven, o tienden a moverse, de los potenciales 
altos a los bajos. Con las cargas negativas ocurre lo contrario (fig. 
640). En esta figura la curva blanca representa el potencial origi- 
nado por la carga central en función de la distancia. Hasta ahora 
habíamos hablado de diferencia de potencial. Para poder hablar del 
potencial de un punto es necesario definir el potencial cero. Lo mis- 
mo ocurre con la diferencia de altura entre dos puntos. Para hablar 
de la altura de un punto es necesario elegir un nivel cero. En geo- 
grafía este nivel cero es el del mar. Si se tiene un único cuerpo car- 
gado, aislado en el espacio, el campo eléctrico que él genera, se 



Física Elemental 


405 


extiende, teóricamente, hasta el infinito. En el infinito la intensidad 
del campo sería nula. 

Puede considerarse el potencial en el iltfinito igual a cero. De 
este modo, el potencial en un punto de un campo eléctrico, es igual 
al cociente entre el trabajo que se gastaría para transportar cierta 
carga desde el infinito hasta ese punto y el valor de dicha carga. 
Esto parece excesivamente teórico. El 
alumno estará pensando quizá, en có- 
mo harán los físicos para medir el po- 
tencial, si para ello tienen que hacer 
un viaje hasta el infinito. En el pá- 
rrafo que sigue verá la razón de la 

335. Potencial proveniente de 
una única carga. — La carga de la 
esfera fija de la figura 641 origina un Fi s- 61Q - — p°«encui. 

campo eléctrico. Para fijar ideas su- 
pondremos que esa carga es positiva y la designaremos por e. Otra 
carga e positiva se transporta dél punto 1 al 2. Calculemos el trabajo 
que debemos efectuar en contra de las fuerzas del campo. 

La fuerza F i en el punto 1 es: 

e e e e 

F i = ; y en 2: F 2 — . 

ri 2 r 2 2 

La fuerza media entre F i y F 2 la calcularemos dé modo que inter- 
venga por igual en la fórmula la distancia inicial y final. En lugar 

de figurar en el denominador r! X r± 
como aparece en F i, o r 2 X r 2 , como 
aparece en F 2 , haremos figurar X r 2 . 
Tendremos así para ese valor medio 
de la fuerza: 

e e 

F = . 

Fig. 641. — Potencial de una 
única carga. 

Esta fuerza es mayor que F\ y me- 
nor que F 2 . El trabajo, fuerza por camino, será: 

e e 

T = (ri — r 2 ) 



definición precedente 



r i r 2 


406 


E. Loedel 


* T = e ( ). 

r 2 r i 

Comparando esta fórmula con la del trabajo eléctrico (parágrafo 
333) se ve que la expresión entre paréntesis es la diferencia de po- * 
tencial entre los puntos 2 y 1. Hagamos ahora, en el papel , el viaje 
hasta el infinito de que hablábamos en el párrafo precedente. 

Si ri es infinito, e/r\ es igual a cero. El potencial V 2 en el 
punto 2, será el cociente entre el trabajo T y la carga e que se 
supone transportada desde el infinito hasta dicho punto: 

T e 

V 2 = —, V 2 = -. 
e r 2 

En general, a la distancia r de una única carga e el potencial 
vale : 

e 

F = — . 

r 


336. Potencial de un conductor. — Como en un conductor las 


cargas eléctricas se mueven libremente, si la electricidad se encuen- 
tra en él en equilibrio, el potencial deberá ser el mismo en todos 



Fig. 642. — En un cuerpo car- 
gado el potencial ea igual 
en todas partea. 


sus puntos. 

Conectando un electroscopio con 
cualauier punto de un conductor . inte- 



Fig. 643. — Nivel igual, profundidad diferente: 
Potencial igual, densidad eléctrica distinta. 


rior o exterior (fig. 642) las hojas divergen siempre lo mismo, 
cualquiera sea la forma del conductor. 

No debe confundirse el potencial con la densidad eléctrica. En 
el recipiente de fondo irregular de la figura 643, sacaríamos con 
una pipeta más agua de B que de A. La presión en el fondo de B 



Física Elemental 


407 


es también mayor que en A pero el nivel, si el líquido está en equi- 
librio, es igual en todos los puntos. Si se une con un sifón el vaso 
de forma irregular con una probeta el nivel de ésta llegará a igualar 
el nivel del agua del vaso. Cuando se une un conductor con una 
cadenilla al electroscopio, la divergencia de las hojas da una medida 
del potencial del conductor y el resultado es el mismo cualquiera 
sea el punto de contacto de la cadena. El plano de prueba en cam- 
bio, desempeña el papel de la pipeta. 


El potencial de la Tierra. — En la práctica se miden siem- 
pre diferencias de potencial. Cualquier cuerpo que conservara cons- 
tante su potencial podría servir de origen. El potencial de la Tierra 
es constante y se adopta como potencial cero. La constancia del 
potencial de la Tierra proviene de su enorme tamaño como com- 
prenderemos mejor cuando sepamos lo que es capacidad eléctrica. 


CAPACIDAD Y ENERGÍA ELÉCTRICA 



337. Capacidad de un conductor. — Sea una esfera cargada 
(fig. 644). Con un plano de prueba cargamos un conductor unido a 
un electroscopio. Observaremos que al aumentar la carga en el con- 
ductor (repitiendo la operación del transporte de electricidad) las 
hojas del electroscopio divergen más y más. Esto muestra que el 
potencial del conductor aumenta al aumentar su carga. Si en este 

* experimento utilizamos otra 



Fig. 644. — La esferilla más pequeña adquiere 
mayor potencial. 


Fig. 645. — En el vaso más 
estrecho sube el agua a 
mayor altura. 


esfera más pequeña, notaremos que en ella el potencial es mayor 
a igualdad de carga eléctrica. 

Sean dos vasos cilindricos A y B de diferente sección (fig. 645). 
Cada uno de ellos comunica con un tubo graduado (electroscopio). 
Si echamos un litro de agua en cada uno de ellos y observamos que 


408 


E. Loedel 


el nivel en B es mayor que en A diremos que el vaso A tiene mayor 
capacidad que el B. Por esta razón se define: 

Capacidad eléctrica C de un conductor , es el cociente entre la 
carga eléctrica e suministrada y el potencial adquirido V : 

e 

C = — . 

V 

338. Capacidad de una esfera. Unidades. — Si se tiene una 
esfera conductora aislada y única (en cuya cercanía no se encuen- 
tren otros cuerpos) si su carga es e, se comporta como si toda esta 
carga estuviera concentrada en el centro. Por esta razón el potencial 
del campo eléctrico originado por la esfera cargada, a la distancia 
r del centro de la misma es, como vimos (335) : 


e 


V = —. 


r 


Si la esfera tiene un radio R, el potencial sobre su misma super 
ficie, será: 


V 



y de aquí: 



Por la definición de capacidad resulta entonces para la esfera: 

C = R. 


La capacidad de una esfera es igual a su radio. 

En el sistema C.G.S. la unidad de capacidad es la de una esfera 
de radio igual a un centímetro. Esto significa, que una esfera de un 
centímetro de radio, con la unidad electr oestática C. G. S. de carga, 
adquiere la unidad electroestática C. G. S. de potencial. Esta unidad 
de potencial vale como vimos 300 voltios. 


Unidad práctica. — La unidad práctica de capacidad es el fara- 
dio. Un conductor tiene la capacidad de un faradio cuando cargado 
con un culombio adquiere el potencial de un voltio. 

Veamos la relación entre el faradio y la unidad cegesimal elec- 
troestática de capacidad. 

1 culombio 


1 faradio = 


1 voltio 



Física Elemental 


409 


3 X 10 9 u. c. e. e. — carga 

1 faradio = ; 

1/300 u. c. e. e. — potencial 

de aquí: 

1 faradio = 9 X 10 11 u. c. e. e. — capacidad. 

Para que una esfera aislada tuviera la capacidad de un faradio 
su radio tendría que ser igual a 9 X 10 11 centímetros = 9 000 000 
kilómetros. El faradio es, pues, 
una unidad sumamente grande. 

Por esta razón se emplea el mi- 
cro faradio igual a la millonési- 


faradio. 

Variación de la capacidad , 

j j C* Fig. — El potencial disminuye acercando 

Q6 11H conductor. ^1 SC CLCCT • un conductor unido a tierra. 

ca a un conductor otro conduc- 
tor unido a tierra (la mano por ejemplo), (fig. 646) sin llegar 
a tocarlo, se observa que el potencial disminuye. 

Si el potencial disminuye la capacidad aumenta, ya que la carga 
no varía. Al acercar a un conductor, otro, unido a tierra, el conduc- 
tor se comporta como lo haría un vaso de goma que se ensanchara. 
El efecto es notable si se substituye la esferilla del electroscopio por 

un disco metálico y se aproxi- 
ma al mismo otro disco unido 
a tierra. 

En este principio se basan 
los condensadores, destinados a 
almacenar cantidades de elec- 
tricidad, relativamente grandes, 
con potenciales relativamente 
pequeños. 

Fig. 647. — Condensador. 339. Condensadores. — El 

efecto precedente se explica en 
forma sencilla del modo siguiente. Sea un disco con cierta carga 
positiva y cierto potencial (fig. 647). Acerquemos a él otro disco 
unido a tierra. En este último aparecerán por influencia cargas nega- 
tivas; las positivas se van a tierra. El potencial en el disco unido 



ma parte del faradio. Una esfera 
de nueve kilómetros de radio 
tiene la capacidad de un micro- 



410 


E. Loedel 


al electroscopio tendrá que disminuir por la presencia de esas car- 
gas negativas. Cuanto más próximos estén los discos menor será el 
potencial y mayor en consecuencia la capacidad. Para lograr el 
potencial que teníamos antes de acercar el disco unido a tierra ten- 
dremos que aumentar la carga. 

Botellas de Leyden. — Condensadores 
muy cómodos se obtienen recubriendo un 
vaso de vidrio con papel de estaño por su 
parte interior y exterior (fig. 648). En el 
interior la armadura metálica comunica con 
un gancho que se puede unir a la máquina 
eléctrica mientras se une a tierra la arma- 
dura externa. 

El condensador se descarga uniendo las 
dos armaduras por medio de una varilla 
metálica provista de un mango aislador. Se observa que en la des- 
carga se produce una chispa. Si se descarga un condensador tocando 
la armadura externa con una mano y la interior con la otra se expe- 
rimenta una fuerte conmoción. 

El nombre de botellas de Leyden. proviene de que en esa 
ciudad holandesa, descubrió el efecto de las mismas en 1746 VAN 
Musschenbroeic, al pretender electrizar el agua contenida en un 
vaso que sostenía con una mano. Para esto introdujo un hierro en 
el interior del vaso, hierro que unió a la máquina eléctrica. Se formó 
así un condensador en el cual una de las arma- 
duras era una mano y la otra el hierro. Al 
pretender tocar al hierro con la otra mano, 
experimentó el físico nombrado una sacudida 
tan fuerte, que le hizo decir que no repetiría 
el experimento ni por la corona de Francia. 

Los colectores de las máquinas eléctricas co- 
munican con condensadores en forma de bo- 
tellas. (Véase fig. 633). 

340. Dieléctricos. Constante dieléctrica. 

— Si se introduce una substancia aisladora 
entre las dos armaduras de un condensador 
plano (fig. 649) se observa que la capacidad del mismo aumenta 
(pues el potencial disminuye). Llenando de aceite de oliva el espa- 
cio comprendido entre las armaduras la capacidad del condensador 
se triplica. Se dice por esto que la constante dieléctrica del aceite 



Fig. 649. 




Física Elemental 


411 


de oliva es igual a 3. Constante dieléctrica de una substancia es el 
cociente entre la capacidad de un condensador que tiene entre sus 
armaduras a esa substancia y la capacidad del mismo condensador 
en el vacío. La constante dieléctrica del aire es 1,0006; puede con- 
siderársela igual a uno. La del agua es 80, la del vidrio varía entre 
5 y 7, la de la porcelana es 6, etc. 

Si dos cargas e y e se encuentran en un medio cuya constante 
dieléctrica es D, la fuerza F con que se atraen o se repelen si están 
separadas por la distancia r es: 

1 ee’ 

F = — . 

D r 2 

Ésta es la generalización de la ley de Coulomb. 

Polarización del dieléctrico. Experimento de Franklin. — Si 
se descarga una botella de Leyden haciendo saltar una chispa entre 
sus armaduras, se observa que si se espera cierto tiempo (unos se- 
gundos) puede saltar otra chispa y luego otra. Se habla por eso de 
“cargas residuales”. 

Otro experimento notable es el siguiente debido a Franklin. 
Una botella de Leyden fácilmente desarmable (fig. 650) se carga 




Fig. 651. — Polarización 
del dieléctrico. 


Fig. 650. — Experimento de Franklin. 

con la máquina eléctrica. Luego, antes de descargarla, se la desarma 
y se tocan con la mano las armaduras y el vaso de vidrio. A conti- 
nuación se la arma de nuevo y se observa que la botella está car- 
gada! En efecto, salta una chispa entre las armaduras. Esto prueba 
que la energía eléctrica reside en el dieléctrico y no en las cargas. 

Para explicar este fenómeno se • admite que las moléculas dei 
dieléctrico tienen una estructura eléctrica, o sea que están formadas 
por cargas positivas y negativas. Colocando el dieléctrico en un cam- 
po eléctrico, entre las armaduras de un condensador (fig. 651) las 



412 


E. Loedel 


moléculas forman los llamados dipolos, en los cuales las cargas 
positivas y negativas se encuentran algo separadas. Estos dipolos 
están orientados, dirigiéndose hacia la armadura positiva las cargas 
negativas. Se explica así el efecto de las descargas residuales, el 
experimento de Franklin, y también el porqué aumenta la capacidad 
de un condensador con dieléctrico. 

341. Distancia explosiva. — Para que salte una chispa eléctrica 
entre dos esferas pulidas situadas en el aire, debe existir entre las 
mismas cierta diferencia de potencial. 

Si la diferencia de potencial es de unos 30 000 voltios puede 
saltar una chispa de un centímetro de longitud. Para chispas de 10 
centímetros de longitud la diferencia de potencial debe ser del orden 
de los cien mil voltios. Claro está que influye también el diámetro 
de las esferas. En las descargas atmosféricas se trata de diferencias 
de potencial de miles de millones de voltios. 

ENERGIA ELECTROESTÁTICA 
REPRESENTACIÓN CUANTITATIVA DEL CAMPO 

342. Energía electr oestática. — Sea un vaso cilindrico ( fig. 
652) cuyo fondo coincide con el nivel del agua de un lago. Saca- 
mos agua del lago y la llevamos al vaso, hasta que el nivel en éste 
sea H. ¿Cuánto vale la energía potencial gravitatoria almacenada 
en el vaso? La distancia vertical entre el nivel del lago y el centro 

de, gravedad del agua del vaso es H/ 2. 
Siendo el peso del agua igual a P la 
energía potencial almacenada será: 

1 

E p = — PH. 

2 

Se comprende que debe ser así pues 
al llevar al vaso las primeras porcio- 
nes de agua la diferencia de nivel es 
pequeña y al llevar las últimas porciones, esa diferencia de nivel 
es casi igual a H. Si un cuerpo con la carga e adquiere el potencial 
V la energía electroestática almacenada, será, análogamente: 



1 

E = —eV. 

2 


[ 1 ] 



Física Elemental 


413 


En palabras: la energía eléctrica almacenada en un conductor es 
igual a la mitad de su carga por su potencial. 

Si la carga y el potencial se miden en unidades electroestáticas 
C. G. S. la energía resulta expresada en ergios. Midiendo e en umlom- 
bios y V en voltios la energía queda expresada en julios. 

Recordando que e = CV, siendo C la capacidad, puede expre- 
sarse la energía en la forma: 

1 

E — — CV 2 . [2] 

2 

* 343. Representación cuantitativa del campo eléctrico. Con- 
vención de Faraday. — Por medio de las líneas de fuerza podemos 
conocer la dirección y el sentido de la intensidad del campo eléc- 
trico en cualquier punto del mismo. La intensidad del campo eléctri- 
co se representa considerando que pasan más líneas por centímetro 
cuadrado por los lugares de mayor intensidad. Pre- 
cisando: La intensidad del campo eléctrico en un 
punto es igual al cociente entre el número de líneas 
de fuerza que atraviesan normalmente una pequeña 
superficie que rodea al punto y el valor de dicha 
superficie *. 

Si la intensidad del campo eléctrico, o simple- 
mente el campo, en el punto O es igual a 4 (fig. 

653) haremos pasar cuatro líneas de fuerza a través 
de una superficie de un centímetro cuadrado. Cada línea de fuerza 
debe imaginarse como una especie de cordón elástico. Si el campo 
es igual a 1/2 pasará por centímetro cuadrado media línea de fuer- 
za. Esto significa que pasa una línea por cada dos centímetros cua- 
drados o también media línea por centímetro cuadrado considerando 
que esa “media línea” equivale a un cordón elástico menos tendido. 

Esta convención debida a Faraday es sumamente útil y da una 
representación intuitiva del campo. 

* 344. Número de líneas que salen de la carga + e. — Con- 
sideremos la carga eléctrica -f- e (fig. 654) concentrada en un punto. 
A la distancia r de esta carga se ejercerá sobre otra carga e supuesta 
en el vacío la fuerza: 

e e 

F = . 

r 2 



* En realidad el ** número M de lineas tiene las dimensiones de una carga eléctrica. 


114 


E. Loedel 


El campo eléctrico <£* originado por la carga e a la distancia r 
será de acuerdo a la definición de intensidad de campo eléctrico: 



Fig. 654. 



Si el número total de líneas de fuer- 
za que atraviesan una superficie esférica 
de radio r y centro en la carga e es N, 
deberá tenerse de acuerdo a la conven- 
ción de Faraday : 

N e N 

€= > - = - ; 

4 7r r 2 r 2 4 7r r 2 


pues 4>vr 2 es la superficie de la esfera. Se obtiene así para N: 

N = 4 7T e. 



Estas líneas deben haber salido de la carga -f- e. Luego, de una 
carga -f- e salen 47re líneas y a una 
carga — e llegan 4?re líneas. 

* 345. Capacidad del condensador 
plano. — Sean dos placas planas coloca- 
das frente a frente a la distancia d, una 
con la carga -fe y la otra con la carga 
— e. De la primera salen 47re líneas re- 
presentadas en blanco en la fig. 655. De 
estas líneas 2 v e líneas tendrán un sen- 
tido y 2 v e el sentido opuesto. A la pla- 
ca negativa llegan 4-7re líneas (las ne- 
gras), 2-7re de un lado y 2 iré del otro. 

Se ve así, que en la parte exterior de 
las armaduras el campo es nulo (las 
líneas blancas y negras tienen sentido 
opuesto). En cambio, en el espacio com- 
prendido entre las placas tenemos en 
total 47re líneas. Si la superficie de 

las placas es S, la intensidad <£* del campo eléctrico será: 


4 ve 

= & 

5 


[ 1 ] 



Física Elemental 


415 


Consideremos que transportamos de una placa a la otra la car- 
ga e. La fuerza que se ejerce sobre esta carga será £ e. Si la dis- 
tancia entre las placas es d el trabajo (fuerza X camino) será: 

T=£ed. 

Llamando V a la diferencia de potencial entre las placas t el tra- 
bajo eléctrico será igual al producto de V por e: 

T = V e. 

De estas dos igualdades resulta: 

V 

£ed=Ve; £= — . 

d 

Llevando este valor a la [1] se tiene: 

4ire V 

S d' 

Como buscamos la capacidad e/V, pasamos V al primer miem- 
bro y S y 4 ir al segundo, obteniendo así para la capacidad C: 

S 

C = . [2] 

4 7T d 

Si entre las placas existe una subs- 
tancia de constante dieléctrica igual a 
D habrá que multiplicar por D la expre- 
sión anterior: 

SD 

C = ? [3] 

4tt d 

El cálculo hecho es válido para placas situadas muy próximas. 
No siendo así, el campo en el interior no es uniforme, sobre todo 
cerca de los bordes (fig. 656). 

* 346. Energía almacenada en el campo. Fórmula de Maxwell. 
— Calculemos la energía de un condensador plano aplicando la fór- 
mula [2] del párrafo 342. Basta reemplazar en ella la capacidad 
C por el valor [2] del párrafo anterior y el potencial V por su 
valor £ d. 



Fig. 656. 


416 


E. Loedel 


Resulta asi: 

€ 2 

E = Sd. [1] 

8 7T 

El producto Sd es el volumen comprendido entre las placas. Esto 
muestra que la energía debe considerarse almacenada no en las car- 
gas, sino en el espacio que las rodea, o sea en el campo eléctrico. 
Llamando ¿f al cociente entre la energía y el volumen, se tendrá: 

<f 2 

, [ 2 ] 

8 7 r 

que es la expresión de la energía específica del campo. 

Si el medio donde el campo vale £ tiene una constante dieléc- 
trica igual a D, aplicando la [3] en lugar de la [2] del párrafo 
anterior, habríamos obtenido para la energía específica: 

D £* 

U= • [3] 

8 TT 

Ésta es la célebre fórmula de Maxwell. Una fórmula análoga 
vale para el campo magnético. 

* 347. Fuerza de atracción entre las pla- 
cas de un condensador. — Supongamos que 
alejamos en la distancia x la placa móvil de 
un condensador plano (fig. 657). Si la fuerza 
aplicada es F el trabajo será igual a Fx. Este 
trabajo se traducirá en un aumento de energía. 
El campo eléctrico entre las placas, supuestas 
grandes con respecto a la distancia que las 
separa, permanece constante, pues pasa siem- 
pre el mismo número de líneas de fuerza por 
centímetro cuadrado. El aumento de la energía 
será igual al producto de la energía específica, dada por la fórmula 
[2] del párrafo anterior, por el aumento de volumen que es Sx. Luego: 

Fx = Sx, 

8 ir 



Fig. 657. 




Física Elemental 


417 


Deducimos de aquí que la fuerza F con que se atraen las pla- 
cas es: 

£ 2 

F = S. [ 1 ] 

8 7 T 

El cociente entre la fuerza F y la superficie S nos da la tensión 
T con que tienden a contraerse las líneas de fuerza: 

f e 2 

T = - = . [2] 

S 8 7T 

Electrómetro absoluto de Lord Kelvin. — La fórmula [ 1 ] fué 
utilizada por lord Kelvin en la construcción de un electrómetro 
absoluto, instrumento destinado a medir diferencias de potencial. 
AB es el platillo de un condensador plano (fig. 658). Frente a él 
se encuentra el otro platillo CD unido a tierra. De este platillo se 



Fig. 658. — Electrómetro absoluto. 



Fig. 659. — Electrómetro. 


ha recortado una porción circular móvil M que se suspende de una 
balanza. Con la balanza se mide la fuerza F con que la parte móvil 
es atraída cuando el condensador está cargado. Substituyendo en 
i. [i] el valor de <£“ por su igual V/d, siendo V la diferencia de 
potencial y d la distancia entre los platillos se tiene: 

V 2 S ¡ 87 7F 

F — , y de aquí : V = d y — . 

8 tt d 2 S 

Ejemplo: Sea d — 1 cm; el radio del disco móvil r = 10 cm y 
F = 800 dinas. 



418 


E. Loedel 


Resulta: 

d /— 

V = — » / 8 F = 8 u. c. e. e. — potencial. 

o sea: t > 

V = 8 X 300 = 2 400 voltios. 

Por comparación con un electrómetro absoluto puede graduarse 
un electroscopio común, directamente en voltios. La figura 659 
muestra un electrómetro de cuadrante graduado de este^modo. Natu- 
ralmente existen muchos tipos de electrómetros. 

PROBLEMAS 

1. Hallar la fuerza con que se repelen dos esferas de 10 cm de 
radio cada una siendo el potencial de ellas igual a 9000 vol- 
tios y distando sus centros 20 cm. 

La capacidad de las esferas es igual a 10 cm, el potencial 
igual a 30 unidades cegesimales electroestáticas, la carga de 
cada una es entonces igual a 300 unidades electroestáticas C. G. S. 
Aplicando la ley de Coulomb: 

F = 225 dina. 

2. Una esfera cargada origina un potencial de 600 voltios a 20 
cm de distancia de su centro. Hallar la carga e. 

Como el potencial es igual a 2 u. c. e. e. — potencial y 

e 

V — — ; resulta: e = Vr = 40 u. c. e. e. — carga. 

r 

3. Hallar el radio de la esfera anterior sabiendo que su potencial 
es igual a 6000 voltios. 

e 40 

R = — = — = 2 cm. 

V 20 

4. Un condensador tiene una capacidad de 2 microfaradios. Hallar 
su carga cuando el potencial es de 50 voltios. 

Un microfaradio es igual a 10 -6 faradio, luego: 

e = 2 X 10" 6 faradio X 50 voltio = 10 -4 culombio. 



Física Elemental 


419 


5. Hallar la energía almacenada en el condensador anterior. 

1 1 

E = — eV = — 10 -4 culombio X 50 voltio = 25 X 10 -4 julio = 

2 2 

= 25 000 ergio. 

6. El condensador anterior se carga y descarga por un dispositivo 
especial 10 veces por segundo. Hallar el calor que se desarrolla 
al saltar la chispa en 20 minutos. 

Un julio equivale a 0,24 calorías (parágrafo 217), luego: 

Q = 25 X 10- 4 X 10 X 20 X 60 X 0,24 = 7,2 caloría. 

7. Se conectan las dos placas de un condensador plano con los 
bornes de un toma corriente de la red de alumbrado. La dife- 
rencia de potencial entre los bornes es de 220 voltios. Las placas 
son circulares , de radio igual a 30 cm y distan entre sí un milí- 
metro. Hallar la carga y la fuerza con que se atraen. 

Aplicando las fórmulas establecidas: 

Capacidad = 2 250 cm. 

e = 1 650 u. c. e. e. — - carga ; F = 6 050 dina. 


UNIDADES ELECTROESTÁTICAS 


MAGNITUD 

SISTEMA PRACTICO 

EQUIVALEN EN SISTEMA 
ELECTROESTÁTICO C. G. S. 

Carga eléctrica o canti- 
dad de electricidad . . 

Culombio 

3 X 10 9 u. c. e. e. — carga 

Diferencia de potencial . 

Voltio 

i 

u. c. e. e. — potencial 

300 

Capacidad 

Faradio = F 
Microfaradio = ¡j, F 
1 u F = 10- 6 F 

9 X 10 11 u. c. e. e. — capacidad 


9 X 10 5 u. c. e. e. — capacidad 


u. c. e. e. es abreviatura de unidad cegesimal electroestática o lo que és lo mismo 

de unidad electroestática C. C. S. 












CAPÍTULO XXVI 


t 

CORRIENTE ELÉCTRICA 


348. Corriente eléctrica. — Si se unen con un alambre conduc- 
tor dos conductores A y B a diferente potencial (fig. 660) se observa 


que el potencial se iguala 
casi inmediatamente como 
ocurriría con el nivel del 
líquido de los vasos de la 
parte inferior de la figura 
al abrir la llave L. Por el 
conductor AB ha pasado 
una corriente eléctrica. 
Con las máquinas electro- 
estáticas se obtienen co- 
rrientes sumamente débiles. 



En Cambio con la Sim- Fig. 660. — Corriente eléctrica. 

pie pila de Volta, con- 
sistente en un vaso con ácido sulfúrico diluido (fig. 662) en el cual 

se introducen una barra de zinc y otra de 
cobre se obtienen corrientes eléctricas apre- 
ciables. 

El potencial del cobre es en un voltio 
superior al del zinc. Uniendo con un alam- 
bre la barra de cobre con la de zinc se pro- 
ducen ciertos efectos que se atribuyen al 
paso de electricidad a través del alambre. 
Si lo que se mueve en el interior del mismo 
es electricidad positiva ésta irá por el alam- 
bre del cobre al zinc. Éste es el sentido que 
se atribuye a la corriente eléctrica. 

En la pila no se igualan los potenciales 
Alejandro Volta (m5-i827). del cobre y del zinc ; esto se debe a que la 

electricidad circula en el interior del vaso 
del zinc al cobre, cerrando el circuito. La pila se comporta, enton- 
ces, como una turbina hidráulica que hiciera circular agua por un 
tubo (fig. 663). 




Física Elemental 


421 


349. Efectos de la corriente. — Todo el mundo sabe que al paso 
de una corriente eléctrica por un alambre, éste se calienta. Este efecto 
se aplica en las estufas eléctricas, planchas, etc. Una pequeña lampari- 
lla puede ser encendida con la pila de Volta: el filamento de la misma 
se pone incandescente por la elevación de temperatura que produce 

el paso de la corriente. 

Se observa también 
(fig. 664) que una aguja 
imantada se desvía si se 
la coloca en la cercanía de 
un conductor por el que 
circula una corriente. 

Estos efectos demues- 
tran que la corriente eléc- 
trica puede realizar tra- 
bajo. La energía de la 
Fip. 662 . — pila de Voiia. corriente proviene de la 

energía de las reacciones 
químicas que se producen en la pila. 

Fig. 663. — Corriente 

350. Intensidad de la corriente. — En de agua- 

una cañería por la que circula agua podríamos definir la intensidad 
de la corriente de agua por el cociente entre la cantidad de agua 
que pasa por determinada sección del caño y el tiempo que trans- 
curre durante el pasaje. Intensidad, de la corriente eléctrica es el 

cociente entre la cantidad 
de electricidad que pasa 
por determinada sección 
del conductor y el tiem- 
po que transcurre duran- 
te el pasaje. 



Fig. 664. — Efecto magnético de una corriente eléctrica. Fig. 665. 

En un conductor la intensidad de la corriente es igual en todas 
partes, por la misma razón que en una cañería el agua que pasa por 
segundo por A, debe ser igual a la que pasa por B o por C (fig. 665), 
siempre que no hayan derivaciones. 





422 


E. Loedel 


Si en el tiempo t pasa por determinada sección de un conductor, 
la cantidad e de electricidad, la intensidad / será por definición: 

e 

1 =—. 

t 

La unidad electroestática C. G. S. de intensidad de corriente co- 
rresponde al pasaje de una unidad electroestática C. G. S. de carga 
eléctrica en un segundo. 

La unidad práctica, llamada amperio , corresponde al paso de 
un culombio en un segundo. 

351. Caída de potencial. Fuerza electromotriz. — Uniendo uno 
de los polos de una máquina electroestática por medio de un hilo 
común (fig. 666) a tierra, se observa que cuando la máquina fun- 
ciona el potencial es dife- 
rente en cada punto del 


Para revelar esto basta 
colocar sobre el hilo pape- 
litos de seda que hacen las 
veces de electroscopios. 

Si el polo de la máquina es el positivo la corriente circula en 
el sentido de la flecha. Considerando que en cierto tiempo pasa de 
A hacia B la cantidad de electricidad e, el trabajo o energía que se 
pone en juego en este pasaje será igual a la carga por la diferencia 
de potencial: 

T=e(V a—Vb). [1] 

Este trabajo es el que se transforma en calor en el hilo conduc- 
tor que va de A hasta B y es también el trabajo que puede aprove- 
charse para accionar un motor eléctrico, de modo parecido a como 
se aprovecha una corriente de agua para poner en funcionamiento 
una turbina. 

La diferencia de potencial entre dos puntos de un conductor es 
igual al cociente entre el trabajo que es capaz de suministrar la 
corriente, al pasar cierta cantidad de electricidad o carga eléctrica 
de un punto al otro y la carga que pasa. 

Esta definición coincide con la dada para el caso de un campo 
eléctrico. Las unidades de medida son las mismas. 

Consideremos ahora el circuito total cerrado. En el paso de la 
corriente de A hacia B (fig. 667) el potencial de A es mayor que 





" p, 


AV 


ÁsL. ¿1. ^ 


' f >* 




I'ig. Otit). — Caída tie |<<iten« ia I . 


I 



Física Elemental 


423 


el de B; pero en el paso de B hacia A pasando por P el potencial 
de B resulta mayor que el de A. Consideremos el pasaje de una 
carga de A hasta A que efectúe el recorrido ABPA. Como en este 
pasaje se efectúa un trabajo tendríamos dos 
valores distintos para el potencial en A, lo que 
es absurdo. Concluimos de aquí: Las líneas de 
fuerza del campo eléctrico en el interior del con- 
ductor son cerradas. 

Este campo de fuerzas no admite por lo tanto 
un potencial en el sentido visto en el pá- 
rrafo 244. 

Cuando se considera el circuito completo se 
debe hablar de fuerza electromotriz y no de dife- 
rencia de potencial. La fuerza electromotriz de 
un circuito es igual al cociente entre el trabajo 
que es capaz de realizar la corriente eléctrica , 
cuando cierta carga da una vuelta completa al circuito y el valor 
de dicha carga. 

Si la carga que da una vuelta es e y el trabajo es T la fuerza 
electromotriz E será: 

T 

E = — , o sea : T = e E. [2] 

e 

La fuerza electromotriz se mide en el sistema práctico en voltios. 

Reemplazando en la [1] y la [2] la carga eléctrica e por su 
igual It (intensidad por tiempo) resulta: 

T = It(V a—Vb). [3] 

Trabajo eléctrico para una porción de circuito. 

T = Elt. [4] 

Trabajo eléctrico para el circuito total. 

352. Instrumentos de medida. — Si el alumno estudió deteni- 
damente lo que precede se dirá: 

“Bien, entre dos puntos de un conductor existe una diferencia de 
potencial de un voltio cuando el trabajo capaz de realizar la co- 
rriente es de un julio, al pasar de un punto al otro, la carga de un 
culombio; pero, ¿cómo harán los físicos para saber si pasa un cu- 
lombio, siendo que, por el conductor, aunque se observe con un 
microscopio, no se ve pasar absolutamente nada?” 



Fig. 667. — Fuerza 
electromotriz. 



424 


E. L O E D E L 


De que el trabajo de la corriente eléctrica se puede medir, se 
tiene una prueba todos los meses, en la cuenta que pasa la compañía 
de electricidad. 

Veamos un modo sencillo de medir los culombios que pasan por 
un conductor. P es la fuente de corriente eléctrica (fig. 668) que 
puede ser un acumulador de auto. Un alambre AB (resistencia) se 

calienta por el paso de la corriente. Esta 
resistencia se coloca en el interior de 
un calorímetro. Se mide así el número 
de calorías que se producen por el 
paso de la corriente entre A y B, en 
un tiempo de t segundos, medidas con 
un cronómetro. Se sabe que un julio 
equivale a 0,24 caloría pequeña (pá- 
rrafo 217). Se tiene así el trabajo que 
es capaz de suministrar la corriente en 
su paso de A hacia B. Este trabajo 
expresado en julios es igual al producto 
del número de culombios que pasaron 
por la diferencia de potencial entre A y B. Midiendq esta diferencia 
de potencial con un electrómetro se tendrá la cantidad de electri- 
cidad que ha pasado. 

Dividiendo los culombios que han pasado por el tiempo transcu- 
rrido se tendrá la intensidad I medida en amperios. 

Aprovechando el efecto de la desviación que experimenta una 
aguja magnética por el paso de una corriente se construyen apara- 
tos llamados amperímetros con los cuales se mide la intensidad. 

Los aparatos destinados a medir la diferencia de potencial entre 
dos puntos de un circuito se llaman voltímetros. Más adelante insis- 
tiremos sobre esto. 

Ejemplo: Supongamos que en el calorímetro se desarrollan 2400 
calorías (gramo - calorías) . El trabajo será igual a: 

2400 

= 10 000 julios, 

0.24 

pues un julio equivale a 0.24 calorías. 

Tendremos entonces: 

culombios X voltios = 10 000 julios. 



Fig. 668. — Medida de una corriente. 



Física Elemental 


425 


Si la diferencia ‘de potencial entre A y B, que suponemos puede 
medirse con un electrómetro, fuera igual a 10 voltios, el número de 
culombios que habrían pasado sería: 

10000 julios 

— 1 000 culombios. 

10 voltios 

Supongamos que el tiempo transcurrido haya sido de 8 minutos 
20 segundos = 500 segundos. La intensidad sería : 

1 000 culombios 

/ = = 2 amperios, 

500 segundos 

que es lo que, debería indicar un amperímetro bien graduado inter- 
calado en el circuito. 

En la práctica, para graduar los instrumentos, se siguen otros 
procedimientos. Aquí se quiere dar tan sólo una idea de cómo es 
posible esa graduación. La medida de una diferencia de potencial 
pequeña con un electrómetro absoluto es casi imposible. Pero podrían 
conectarse “en serie” muchas baterías y la medida podría efectuarse. 

LEY DE OHM 

353. Ley de Ohm para una porción de circuito. — Los bornes 
1; 2; 3 y 4 de la figura 669 comunican con una batería de acumu- 
ladores. Por el momento no interesa cómo están hechas las conexio- 
nes. Por eso en la 
ura no se ha re- 
presentado a la bate- 
ría. Colocando un 
voltímetro entre 1 y 
2 (no representado 
en la figura) vemos 
que entre estos topes, f¡s. 669. — u-y 6c ohm. 

la diferencia de po- 
tencial es de 2 voltios. Entre 1 y 3 es de 4 voltios y entre 1 y 4 de 6 
voltios. Las partes I, II y III de la figura representan experimentos 
sucesivos llevados a cabo con el mismo amperímetro A, la misma 
resistencia R y los mismos cables. 

En I el amperímetro acusa 0,2 amperios; en II 0,4 amperios y 
en III 0,6 amperios. 

La intensidad de la corriente que circula por un conductor es 
proporcional a la diferencia de potencial entre sus extremos. 





426 


E. Loedel 


El cociente de la diferencia de potencial por la intensidad es 
constante para un mismo conductor: 

2 voltios 4 voltios 6 voltios voltio 

= = 10 . 

0,2 amp. 0,4 amp. 0,6 amp. 

A esta constante que depende sólo de la 
naturaleza del conductor y de su forma (lon- 
gitud y sección) se la llama resistencia. 

La resistencia se mide en ohmios. 

En el ejemplo precedente la resistencia es 
de 10 ohmios: 

2 voltios 4 voltios 

= = . . . = 10 ohmios. 

0,2 amp. 0,4 amp. 

Se dice que un conductor tiene la resis- 
tencia de un ohmio cuando existiendo entre 
sus extremos la diferencia de potencial de un 
voltio circula por él una corriente de intensidad igual a un amperio. 

Formulación de la ley de Ohm. — Llamemos R a la resisten- 
cia del conductor comprendido entre A y B. La intensidad I de 
la corriente será: 


amperio 



Jorge Simón Ohm 
(1787 - 1854 ). 



La intensidad es directamente proporcional a la diferencia de 
potencial y está en razón inversa de la resistencia del conductor. 

PROBLEMAS 

1. Entre los bornes de la red de alumbrado existe una diferencia 
de potencial de 220 voltios. Se conecta una estufa eléctrica y 
la intensidad de la corriente (fig. 672) es de 2,5 amperios. 
• Hallar la resistencia. 


Física Elemental 


427 


A la diferencia de potencial la indicamos con la letra V : 

V V 220 voltios 

/ = — ; R = — = = 88 ohmios. 

R I 2,5 amp. 

2. El amperímetro del tablero de un auto marca 10 amperios al 
encender los faros. Sabiendo que la bate- 
ría es de 6 voltios hallar la resistencia. 

6 voltios 

R = = 0,6 ohmios. 

10 amp. 

3. La resistencia de una lámpara eléctrica 
es de 880 ohmios. Hallar la intensi- 
dad que circula por el filamento de la 
misma al conectarla en la red de alumbrado. 

V 220 voltios 

I — — = — 0,25 amperios. 

R 880 ohmios 

4. ¿Cuántos julios consume en cada 10 segundos la estufa del 
ejemplo 1? 

Siendo la intensidad de 2,5 amperios pasan por segundo 2,5 
culombios. En 10 segundos pasan 25 culombios. El trabajo es 
entonces : 

T = 25 culombios X 220 voltios = 5 500 julios. 

5. ¿Cuánto consume en un solo segundo? El trabajo de un julio 
en un segundo equivale a la potencia de un vatio. Luego la po- 
tencia W es, siendo t el tiempo : 

T 25 culombios julios 

W — — = X 220 volt = 550 = 550 vatios. 

t 10 seg seg 

<3. ¿Cómo se obtiene en general la potencia W? El trabajo T es 
igual a la cantidad de electricidad e por la diferencia de poten- 
cial V . Para obtener la potencia debemos dividir por el tiempo: 

e V e 

W = ; pero: — = Intensidad. Luego: 

- t t 

Potencia = W — Intensidad X dif. de potencial. 




428 


E. L O E D E L 


Si la intensidad está expresada en amperios y la diferencia 
de potencial en voltios, la potencia resulta expresada en vatios: 

amperios X voltios = vatios. 

7 . ¿Cuánto consume la estufa del ejercicio 1 estando encendida; 
10 horas? 

T = VI t — 220 volt X 2,5 amp X 36000 seg. 

T = 220 X 2,5 X 36000 [julios]. 

Sabemos que 3 600 000 julios es un Kilovatio - hora, luego: 
220 X 2,5 X 36 000 

T = = 5,5 kilov - hora. 

3 600 000 

En centavos , al precio de 10 centavos esa unidad, serían- 
55 centavos. 

8. ¿Cuántas kilocalorías suministra la estufa anterior en 10 horas? 

Un julio equivale a 0,24 gramo caloría, por lo que, la can- 
tidad Q de calor será: 

220X2,5X 36000 

@ = 0,24 = 4 752 kilo - calorías. 

1000 

354 . Ley de Ohm para todo el circuito. — Considerando el 
circuito completo debe substituirse la diferencia de potencial por la 
fuerza electromotriz E. La resistencia será la resistencia total. Esta 
resistencia total es la suma de la resistencia exterior Re y de la 
interior Ri. Se tiene así: 



La intensidad de la corriente en un circuito es igual a la fuerza 
electromotriz del mismo sobre la resistencia total. 

Cálculo de la fuerza electromotriz. — La intensidad de la 
corriente del circuito de la figura anterior puede calcularse apli- 
cando la ley de Ohm al conductor exterior de resistencia Re o a 
todo el circuito de resistencia Re -f- Ri- 



Física Elemental 


429 


Se obtiene así: 

Va — Vb E 

1 = ; / = . 

Re Re -f- Ri 

Igualando estas expresiones: 

E Va — Vb /Re + Ri 

= ; E= (Va — Vb) ( 

Re -f- Ri Re 'Re 

La fórmula última puede escribirse: 

/ Ri 

E= (Va — Vb) ( H 

V Re 

Cuando la resistencia exterior Re es muy grande en comparación 
con la interior Ri, el cociente de ambas puede suponerse igual a 
cero. Esto es exacto únicamente cuando la resistencia exterior es 
infinita. Si la resistencia es infinita no circula corriente: el circuito 
está abierto. Concluimos de aquí: la fuerza electromotriz de un ele- 
mento (pila, acumulador, etc.) es igual a la diferencia de potencial 
entre sus bornes cuando el circuito está abierto. 

En un circuito cerrado la fuerza electromotriz es siempre algo 
mayor que la diferencia de potencial entre los bornes. 

Los acumuladores tienen una resistencia interior muy pequeña; 
en ellos puede considerarse, en la generalidad de los casos, la fuerza 
electromotriz igual a la diferencia de potencial entre los bornes. 
Existen varios métodos para la medida de fuerzas electromotrices. 
Nosotros consideraremos que se pueden medir por medio de electró- 
metros, electroestáticamente. De este modo se mide la diferencia de 
potencial en circuito abierto: sin que pasé corriente. 

% 

355. Resistencia de un conductor en función de sus dimen- 
siones. — Se comprueba experimentalmente que la resistencia de un 
alambre es proporcional a su longitud y que está en razón inversa 
de su sección. Además esta resistencia depende del material. Si el 
alambre tiene una longitud l y una sección 5 su resistencia R será: 

l 

R = p — . 

S 

La letra p designa a la resistencia específica del material. 





430 


E. Loedel 


Ejemplo: La resistencia específica del cobre es igual a 0,017, 
midiendo la longitud en metros, la sección en milímetros cuadrados 
y la resistencia en ohmios. 

La resistencia de un alambre de cobre de 2 000 metros de lon- 
gitud y 4 milímetros cuadrados de sección será: 

2 000 

R = 0,017 - 8,5 ohmios. 

4 

He aquí las resistencias específicas de algunas substancias expre- 
sadas en ohmios X milímetros cuadrados sobre metros: 

Cobre Aluminio Hierro Mercurio Níquel 

* 0,017 0,026 0,10 0,9407 0,069 

Se observa que la resistencia aumenta con la temperatura. Los 
valores anteriores se refieren a 0 o C. Llamando po a la resistencia 
específica a 0 o C la resistencia específica p a t grados es: 

P — po (1 + «0- 

Para el cobre el coeficiente a vale 0,004. 

Se consiguen algunas aleaciones en que la resistencia casi no 
varía al aumentar la temperatura. Así, el constantán (60 Cu -f- 40 Ni) 

tiene una resistencia específica igual a 
0,49 y el coeficiente de aumento de 
resistencia a vale sólo 0,000 05. 

Resistencias ' variables. — Como la 
resistencia de un conductor depende de 
su longitud, arrollando un hilo metá- 
lico sobre un cilindro aislador, por el 
desplazamiento de un cursor se consi- 
Fie. 674. — Resistencia variable. gue hacer variar la resistencia inter- 
calada en el circuito (fig. 674). En el 
esquema de la parte inferior se ve que al desplazar el cursor C hacia 
la derecha la resistencia aumenta. La pieza metálica por la que se 
desplaza el cursor es gruesa, por lo cual su resistencia es des- - 
preciable. 

Interruptores. — Las llaves de las instalaciones de luz son inte- 
rruptores. En los laboratorios resultan muy cómodos interruptores 




Física Elemental 


431 


formados por un taco de madera con dos pequeños huecos en los 
que se coloca mercurio. 

Un puente metálico colocado entre los dos agujeros cierra el 
circuito. En la figura 675 se ve un interruptor de esta clase y en 
la parte inferior su representación esquemática. 

Conmutadores. — A veces conviene invertir rápidamente el sen- 
tido de la corriente en un circuito. A este efecto se usan los conmu- 
tadores. En la fi- 
gura 676 se ha 
representado un 
conmutador de ba- 
lancín consistente 
en un taco de ma- 
dera con 6 hoyos 
con mercurio. 

Fig. 675. — Interruptor. Uniendo A COn D Fig. 676. — Conmutador. 

y B con C la co- 
rriente circula en el sentido de la flecha 1. En cambio uniendo 
A con F y B con E la corriente circulará en el sentido indicado 
por la flecha 2. 

356. Corrientes derivadas. — En la figura 677 se ha represen- 
tado, como es costumbre, la pila o acumulador por dos rayas. Con- 
vendremos en que la raya más larga representa el polo positivo. 
Al llegar la corriente al punto A se bifurca en dos ramas cuyas 

resistencias son Ri y R 2 . 

Llamemos /i a la intensidad que circula 
por Ri e I 2 a la que circula por /? 2 - Ea inten- 
sidad I de la corriente principal es igual a 
la suma de las intensidades de las corrientes 
derivadas : 

/ = /i + / 2 . [1] 

Aplicando la ley de Ohm a cada una de las ramas: AR\B y 
AR 2 B tenemos: 

Va — Vb Va — Vb 

/i = ; h = . [2] 

Ri R 2 

IiRi — 7 2 ^ 2 ? 





Se cumple que: 


[ 3 ] 



432 


E. Loedel 


y si tuviéramos más alambres tendidos entre A y B valdría también 
para todos ellos: 

llRl — /2Í2 ~ l^R-S • • • = V A — V B. 

La [3] muestra que la intensidad es mayor por el conductor que 
ofrece menos resistencia. 

Resistencia equivalente. — Deseamos substituir las dos resisten- 
cias R\ y R .2 por una única resistencia R colocada entre A y B de 
modo que la intensidad de la corriente principal siga siendo la mis- 
ma. Para esto deberá cumplirse: 

Va — Vb 

I = . [4] 

R 

Teniendo en cuenta que / es igual a /j + / 2 , podremos escribir 
que la [4] es la suma de las [2] : 

Va — Vb Va — Vb Va — Vb 

= 1 . 

R R 1 /?2 

Dividiendo todo por Va — Vb resulta: 

111 

- = + • [5] 

R Ri R 2 

La inversa de la resistencia equivalente es igual a la suma de las 
inversas de las resistencias colocadas en derivación. 

Ejemplo: Sea R-¡_ = 60 ohmios; /? 2 — 20 ohmios y la diferencia 
«de potencial entre A y B igual a 6 voltios. 

6 6 

¡i = — = 0,1 amp ; / 2 = — = 0,3 amp. 

60 20 

La intensidad por el cable principal será: 

7 = 0,1 + = 0,4 amp. 



Física Elemental 


433 


La resistencia equivalente a las dos Resistencias colocadas en 
derivación debe ser tal que / siga valiendo 0,4 amp. 

6 6 6 

/ = — ; R — — = = 15 ohmios. 

R I 0,4 

Se cumple efectivamente: 

1 1 1 

15 60 20 

Caso de resistencias iguales. — Las cinco lámparas de la figura 
678 están instaladas en derivación. Los alambres de la línea A A’ 
y BB ’ tienen muy poca resistencia y eléctricamente 
todo el cable AA ’ se comporta 
como un punto; lo mismo BB \ • 

Esto quiere decir que la diferen- 
cia de potencial entre los dos po- 
los de cada una de las lámparas 
es la misma. Si todas las lámparas 
tienen la misma resistencia r la 
resistencia total R será: 

111 5 r 

— = — | f- — — — ; R — — . 

R J" f /• 5 Fig. 679. — Lámparas 

en serie. 

Cuanto mayor sea el número de 
lámparas encendidas tanto menor es la resistencia total. Es natural 
que así sea pues a mayor número de lámparas encendidas debe 
corresponder mayor consumo o sea mayor intensidad en la corriente 
de la línea. Si en cambio las lámparas estuvieran conectadas en serie 
(fig. 679) la resistencia aumentaría con el número de lámparas. 

357. Puente de Wheatstone. — Para comparar resistencias se 
puede proceder por el método de Wheatstone, consistente en lo 
siguiente. Se colocan 4 resistencias: R\; R 2 ; R s y R 4 en la forma 
que muestra la figura 680, formando un cuadrilátero. L es una 
llave con la cual se puede abrir o cerrar el circuito de la pila P. 
Hecho esto se conecta un galvanómetro o mejor dicho un galva- 
noscopio G entre C y D (el puente propiamente dicho). Este apa- 
rato G sirve únicamente para indicarnos si pasa o no pasa corriente 




n e . 678. • — Lámpa- 
ras en derivación. 



434 


E. Loedel 


por él. En general pasará corriente de C a D o en sentido inverso 
de D a C. Si pasa corriente de C a D diremos: 

C-+D: Potencial de C mayor que potencial de D. 

Si inversamente la corriente va de D a C diremos: 

D C: Potencial de D mayor que potencial de C. 

Si por casualidad, resultara que el galvanómetro no acusa el paso 
de corriente diríamos: 

G = 0 : Potencial de C = Potencial de D. 

Este caso es justamente el que nos interesa. Cuando esto ocurra 

tendrá que ser: 

Va — Vc = Va — Vd, 

y también: 

Vc — Vb = Vd — Vb. 

(Si C y D están a la misma “ altura ” 
F¡ e . 680. — Puente de wheatatone. difieren lo mismo en “ nivel ” de un 

punto A o de un punto B). 

Sea 1 \ la intensidad de la corriente en la rama AC cuya resis- 
tencia es R\. Por la ley de Ohm es: 

Vk — V c = hR x . 

Siendo /a la intensidad en la rama AD de resistencia R 4 se tiene: 

y A — y D = I 2 R 4 , 

Debe ser entonces: 

hRi=hRi. [i] 

Como entre C y D no pasa corriente es como si el galvanómetro 
no estuviera y en todo el cable ACB debemos tener la misma inten- 
sidad l\ y en el cable ADB la intensidad /o. La diferencia de poten- 
cial entre C y B es entonces I1R2 y entre D y B, I2R3 por lo cual: 

I1R2 = IzRz- [ 2 ] 

Dividiendo la [1] por la [2] resulta: 

Ri R 4 

Rz Ra 




Física Elemental 


435 


o, lo que es lo mismo: 

= i?2^4* 

En el puente de Wheatstone, cuando no pasa corriente por el gal- 
vanoscopio deben ser iguales los productos de las resistencias opuestas . 

Cajas de resistencia. — Si de las cuatro resistencias de la última 
relación establecida se conocen 3 puede determinarse el valor de 



Fig. 682. — Caja de resistencia. 


se ha colocado la resistencia x en una de las ramas del cuadrilátero. 


En las otras ramas se colocan cajas de resistencia consistentes (fig. 
682) en hilos conductores de resistencias conocidas arrollados sobre 
carretes. Unas fichas de metal permiten “sacar” o “agregar” resis- 
tencias. En todos los laboratorios existen cajas de esta clase cuyo 
manejo no puede ser más simple. Si los números de la figura 681 


indican las resistencias de las cajas en el momento en. que se ha 
logrado, variando unas y otras, % 


que no pase corriente por G, se 
tendrá : 

10 x = 20 X6; x — 12 ohmios. 

Conviene intercalar en el cir- 
cuito principal una resistencia 
variable R indicada esquemática- 



mente en la figura. 


Fig. 683. — Puente de hilo. 


Puente de hilo. — Se pueden substituir las resistencias R% y R 4 
por un hilo de sección constante sobre el que se desliza el cursor D. 
Se mueve D a la derecha o a la izquierda hasta que el galvanoscopio 
indique cero. En este caso (fig. 683) vale: 

R 4 

x = R . 


xRz — RR4 ; 


436 


E. Loedel 


La relación Ra/Rz no es más que la relación entre las longitudes 
AD y BD, que se leen en una regla graduada. 

Ohmio patrón. — Un ohmio, hemos dicho, es la resistencia de 
un conductor que permite el paso de una corriente de un amperio 
cuando existe entre sus extremos la diferencia de potencial de un 

voltio. Pero las medidas absolutas ofrecen 
muchas dificultades. Se ha establecido como 
ohmio patrón, la resistencia que ofrece a la 
corriente una columna de mercurio de 106,3 
centímetros de longitud y un milímetro cua- 
drado de sección a la temperatura de 0 o C 
(fig. 684). 

Las cajas de resistencias se fabrican por 
comparación con el ohmio patrón. 

Reglas de Kirchhoff. — Cuando se trata 
de calcular la intensidad de la corriente en 
cada uno de los conductores de una red en 
la que pueden existir varias fuentes de fuerza 
electromotriz, el cálculo, en general compli- 
cado, se lleva a cabo aplicando las dos reglas siguientes debidas a 
Kirchhoff: 

Regla I. — En un nudo A cualquiera (fig. 685) la suma de 
las intensidades de las corrientes que llegan debe ser igual a la 
suma de las intensidades de las corrientes que salen. 

Atribuyendo el signo positivo a las 
unas y el negativo a las otras, esta regla 
se reduce a decir que la suma algebraica 
de las intensidades en un nudo cual- 
quiera debe ser cero: 

SI = 0. 

Regla II. — En un circuito cerrado 
cualquiera, la suma algebraica de las 
fuerzas electromotrices del mismo debe ser igual a la suma alge- 
braica de los productos de las intensidades por las resistencias: 

SE = SIR. 

358. Pilas. Acoplamiento. — Hemos mencionado ya la pila 
de Volta. En ella la energía eléctrica proviene de la energía 




Física Elemental 


437 


química que se libera al ser atacado el zinc por el ácido sul- 
fúrico : 

SO 4 H 2 -{- Zn — - SO \Zn -(- H^. [1] 

Este hidrógeno se deposita en el cobre y forma una capa casi 
aisladora. La fuerza electromotriz de la pila disminuye a causa de 
ese depósito de hidrógeno. Se dice que la pila se ha polarizado. 
Para que vuelva a funcionar como antes, es necesario sacar la barra 
de cobre y frotarla para quitar el hidró- 
geno. En otras pilas esta operación se efec- 
túa automáticamente por medio de subs- 
tancias apropiadas llamadas despolarizado- 
ras. La fuerza electromotriz de estas pilas 
se mantiene constante durante el tiempo 
de funcionamiento, lo que ofrece múltiples 
ventajas. En la pila de Daniell (fig. 

686) se coloca la barra de cobre, dentro 
de un vaso poroso con sulfato de cobre. 

El hidrógeno, que se dirige al cobre, con 
el sulfato de cobre da origen a la reac- 
ción : 

SO4C11 — {- 7/2 = SO4H2 -j- Cu. 

De este modo se regenera el ácido sul- 
fúrico consumido en [1] dirigiéndose el 
cobre a la barra que constituye el polo 
positivo. La fuerza electromotriz de un elemento Daniell es de un 
voltio aproximadamente. 

Las pilas “ secas ” están formadas por un cilindro hueco de zinc 
que constituye el polo negativo. En el interior una barra de carbón 
forma el polo positivo. Esta barra de carbón se recubre con bióxido 
de manganeso y polvo de grafito, existiendo en el espacio entre el 
zinc y la barra central una pasta de celulosa de nuez de coco impreg- 
nada en cloruro de amonio. 

La fuerza electromotriz de estas pilas es igual a 1,5 voltios. 
Existen muchísimos otros tipos de pilas. 

Acoplamiento de pilas. — Conectando el polo positivo de una 
pila con el negativo de Otra igual (fig. 687) se logra una fuerza 
electromotriz doble; con tres pilas, triple, etc. Claro está que la 
resistencia interior se hace también doble, triple, etc. En cambio si 
se conectan los polos negativos entre sí y los positivos entre sí 



438 


E. Loedel 


(fig. 688) se dice que las pilas están en paralelo. En este caso la 
fuerza electromotriz del conjunto es igual a la de un solo elemento, 
pero la resistencia interior se reduce a la mitad, al tercio, etc. 

En unos casos conviene un acoplamiento y en otros otro. Claro 




* Fig». 687, 688 y 689. — Acoplamiento en serie, en paralelo y mixto. Abajo esquemas. 


está que también pueden conectarse varios elementos en forma 
mixta (fig. 689). 

359. Pilas termoeléctricas. — En el año 1821 Seebeck descu- 
brió un curioso efecto en el cual se transforma directamente parte 
de la energía calorífica en energía de una corriente eléctrica. Si se 
suelda a los extremos de una barra de hierro (fig. 690) un alam- 
bre de cobre, se observa que al calentar una de las soldaduras pasa 

una corriente eléctrica por el circuito. 
En el caso del ejemplo, la corriente 
circula del cobre al hierro en la sol- 
dadura caliente; y del hierro al cobre 
en la fría. Este fenómeno se revela en 
forma muy fácil utilizando bismuto 
y antimonio (fig. 691). En la solda- 
dura caliente pasa la corriente del bis- 
muto al antimonio, como lo revela el 
sentido en que se desvía una aguja magnética por el paso de la 
corriente. 

La fuerza electromotriz depende de la diferencia de temperatura 
y de la naturaleza de los metales puestos en contacto. Si una de las 



Fig. 690. — Efecto Seebeck. 




Física Elemental 


439 


soldaduras está a 0 o C y la otra a 100° C, la fuerza electromotriz 
(variable según el par de metales empleados), es del orden del 
milésimo de volt (milivolt). Este efecto termoeléctrico, se aplica 
sobre todo en la medida de temperatu- 
ras. Se construyen a tal objeto pilas ter- 
moeléctricas extremadamente sensibles. 


ENERGIA DE LA CORRIENTE 


360. Ley de Joule. — Vimos ya 
(351) que el trabajo que es capaz de 
suministrar una corriente eléctrica de 
intensidad /, durante el tiempo t es: 

T = It (Va — Vb), 

siendo Va — Vb la diferencia de potencial entre los extremos del 
conductor considerado. Si este conductor tiene una resistencia R, 
por la ley de Ohm: 

Va — Vb = IR. 

Llevando este valor a la fórmula del trabajo: 

T = RIH. 

Si R está medido en ohmios , I en amperios y í en segundos, el 
trabajo está expresado en julios. Si este trabajo no se transforma 

en trabajo mecánico, es decir, si en el conduc- 
tor no existe un motor eléctrico, se transforma- 
rá totalmente en calor. Como un julio es igual 
( aproximadamente ) a 0,24 calorías, el número 
de calorías que se desprenden será: 

Q = 0,24 RI 2 t calorías. 

Ya hemos visto cómo, con un calorímetro, 
puede medirse esta cantidad de calor. La fór- 
mula última es la expresión de la ley de Joule, 
que puede enunciarse así : La cantidad de calor 
que se produce en un conductor por el paso de 
una corriente es proporcional a la resistencia del conductor, al 
cuadrado de la intensidad de la corriente y al tiempo que dura el 
pasaje de la misma. 



Fig. 692. 




440 


E. Loedel 


Ejemplo. — Desea calcularse la resistencia de un calentador 
de baño para que con los 220 voltios de la red de alumbrado eleve en 
30° C (por ejemplo de 10° C a 40° C) en sólo 3 minutos la tempe- 
ratura de 5 litros de agua (fig. 692) . 

Calculemos primero la intensidad I. Llamando V a la diferencia 
de potencial entre los extremos del alambre se tendrá: 

Q = 0,24 VIt; 

Q 

/ = — , 

0,24 Vt 

donde: 

Q = 5 000 gramos X 30° C = 150 000 calorías. 

V = 220 voltios ; t = 3 X 60 = 180 seg. 

I = 15,78 amp. 

V 220 

R = — =' XX 14 ohmios. 

I 15,78 

361. Cortocircuito. Fusibles. — Si se desgastan las envolturas 
aisladoras de los cables que conducen la corriente eléctrica puede 
ocurrir que se toquen por la parte desgastada. Esto origina el paso 
de una corriente eléctrica de intensidad muy grande durante un 
breve tiempo, que produce una elevación de temperatura conside- 
rable. Esta elevación de temperatura puede originar en algunos ca- 
sos hasta un incendio. Para evitar esto se colocan en las líneas, 
alambres de plomo llamados fusibles. Cuando la intensidad de la 
corriente se hace muy grande el plomo se funde y se interrumpe 
el circuito. Se elige plomo, porque su punto de fusión es relativa- 
mente bajo. 


ELECTRÓLISIS. APLICACIONES 

362. Leyes de Faraday. — Se llaman electrólitos cuerpos que 
se descomponen por el paso de la corriente eléctrica. Los aparatos 
en que se produce el fenómeno reciben el nombre de voltámetros. 

El electrodo positivo A (fig. 693) recibe el nombre de ánodo; 
el negativo C es el cátodo. En el electrólito la corriente circula 
entonces del ánodo al cátodo. Si se trata de agua acidulada con 



Física Elemental 


441 


ácido sulfúrico (el agua pura no es conductora) se recoge en el 
ánodo oxígeno y en el cátodo hidrógeno. El volumen de hidrógeno 
es doble del del oxígeno. Intercalando en el circuito una resistencia 
variable R y un amperímetro I puede 
estudiarse experimentalmente la depen- 
dencia entre la cantidad de electricidad 
que pasa y las masas de las substancias 
recogidas en los electrodos. La canti- 
dad de electricidad que pasa es el pro- 
ducto de la intensidad de la corriente 
por el tiempo transcurrido. 

La figura 694 representa un “voltá- 
metro de cobre”. Dos placas de cobre 
están sumergidas en un baño de sulfato Fig. 693. — Voltámetro de agua, 
de cobre. Se observa que por el paso 

de la corriente, la placa catódica aumenta de peso, mientras que 
la placa anódica disminuye de peso en cantidad igual. Todo pasa 
como si la corriente eléctrica transportara cobre de una placa a la 

otra. Pero aun siendo el ánodo A una 
placa de otro metal (platino por ejem- 
plo) en el cátodo sigue depositándose 
cobre, lo que prueba que éste pro- 
viene de la descomposición del SO^Cu. 

Primera ley de Faraday. — Expe- 
rimentalmente comprobó Faraday que 

Fig. 694. — Voltámetro de cobre. i j i . • j 

La masa de una substancia despren - 
dida en la electrólisis es proporcio- 
nal a la cantidad de electricidad que ha pasado. Esto significa que di- 
cha masa es proporcional a la intensidad de la corriente y al tiempo. 




Segunda ley de Faraday. — Conectando varios voltámetros en 


serie (fig. 695) por todos 
ellos pasa en cierto tiem- 
po la misma cantidad de 
electricidad. Se observa 
entonces que las masas de 
distintas substancias des- 
prendidas en la electrólisis 



por una misma cantidad Fig. 69S. — Voltámetro» en eerie. 

de electricidad, son quí- 
micamente equivalentes. Se ha constatado en efecto que por el pasa 


442 


E. Loedel 


de 96 500 culombios se deposita en los electrodos: 1 gramo de 
hidrógeno y 8 de oxígeno , 108 de plata , 31,8 de cobre, etc. 

Estas masas son químicamente equivalentes en el siguiente sen- 
tido: Si se tiene ácido nítrico (NO 3 H), una molécula gramo de 
esta substancia contiene un gramo de hidrógeno. Exactamente con- 
tiene 1,008 gramos de hidrógeno pues 1,008 es el peso atómico del 
hidrógeno y la molécula gramo de una substancia no es más que 
su peso molecular expresado en gramos. El peso molecular del 
ácido nítrico es: 

14,008 + 3 X 16,000 + 1,008 

pues 14,008; 16,000; 1,008 son los pesos atómicos del nitrógeno, 
oxígeno e hidrógeno, respectivamente. 

En una molécula gramo de NO 3 H se tendrán: 

14,008 gramos de N. 

3 X 16,000 „ „ O. 

1,008 „ „ H. 

Análogamente en la molécula gramo de nitrato de plata (N0 3 
Ag) se tienen: 

14,008 gramos de N. 

3 X 16,000 „ „ O. 

107,88 „ „ Ag 

pues 107,88 es el peso atómico de la plata. 

107,88 gramos de Ag son entonces químicamente equivalentes a 

1,008 gramos de hidrógeno. Consideremos ahora el ejemplo de una 
substancia bivalente (cobre). En la molécula gramo de ácido sulfú- 
rico SO4H2 se tienen: 

2 X 1,008 gramos de hidrógeno 

y en la molécula gramo de sulfato de cobre (S0 4 Cu) se tienen 
■(peso atómico del Cu = 63,57) : 

63,57 gramos de cobre. 

Resulta así: 

2 X 1,008 gramos de H equivalen a 63,57 gramos de Cu 

63,57 


1,008 gramos de H equivalen a 


2 


= 31,78 gramos de Cu. 



Física Elemental 


443 


Para hallar la masa químicamente equivalente a 1,008 gramos 
de hidrógeno debe dividirse el peso atómico (si se trata de un ele- 
mento) expresado en gramos, por la valencia. 

La masa de un radical cualquiera químicamente equivalente a 
la de 1,008 gramos de hidrógeno se halla dividiendo el “peso mo- 
lecular” del radical, expresado en gramos, por la valencia del mis- 
mo. Para el radical sulfato (SO4) se tendrá: 

32,07 + 4 X 16,000 

gramos 

2 

equivalen químicamente a 1,008 gramos de hidrógeno pues 32,07 
es el peso atómico del azufre. 

Expresión de las leyes de Faraday. — Si A es el peso atómico 
de un elemento o el “peso molecular” de un radical y V la valencia 
•del mismo, sabemos que cuando pasan 

A 

96 500 culombios se desprenden — gramos. 

V 

El paso de un culombio produce la liberación de 

1 A 

. — gramos ; 

96 500 V 

y por el pasaje de It culombios, siendo I la intensidad medida en 
amperios y t el tiempo medido en segundos, se desprenderá una 
masa m dada por la expresión: 

1 A 

m = It (gramos). 

96 500 V 

Esta fórmula expresa las dos leyes de Faraday. 

Ejemplo. — Una corriente de dos amperios pasa durante un tiem- 
po de 3 horas 15 minutos por un voltámetro de S0 4 Cu. Hallar la 
masa de Cu depositada. Reduciendo el tiempo a segundos, tomando 
A/V — 31,78 y efectuando los cálculos resulta: 

m = 7,90 gramos. 



444 


E. Loedel 


Al producto 

1 A 

96 500 V 

se le llama equivalente electroquímico de la substancia. Por lo que: 

m = elt. 

Medida de las corrientes con los voltámetros. — Se compren- 
de cómo con un voltámetro, midiendo la masa depositada o des 1 
prendida durante la electrólisis, puede conocerse la cantidad de 
electricidad total que ha pasado. Por esta razón, convendría a los 
voltámetros el nombre de culombímetros. 

Si la intensidad de la corriente se ha mantenido constante du- 
rante la experiencia, se la podrá calcular, con sólo dividir el número 
de culombios que han pasado, por el tiempo transcurrido. 

363. Galvanoplastia. — Si el cátodo está constituido por una 
pieza metálica cualquiera, un anillo por ejemplo (fig. 696), se 

recubre de cobre si el electrólito es una 
sal de cobre, de plata si se trata de 
una sal de plata, etc. En esto se basa 
el plateado y dorado (con sales de 
plata y oro, respectivamente). 

364. Teoría de la electrólisis. — 
Para poder explicar la proporciona- 
lidad entre la cantidad de electricidad . 
que pasa por un electrólito y la masa 
desprendida en los electrodos, lo más sencillo es suponer que son 
los átomos mismos los que transportan o acarrean la electricidad 
en el seno del electrólito. Un átomo o complejo atómico cargado 
eléctricamente recibe el nombre de ion. Los iones con carga posi- 
tiva se dirigen en la electrólisis al cátodo ; son los cationes. Los 
aniones en cambio tienen carga negativa y se dirigen al ánodo. 
Para poder explicar las leyes de Faraday debe admitirse además 
que los iones bivalentes transportan una carga eléctrica doble que 
los monovalentes; los trivalentes triple, etc. 

Los iones se encuentran en el electrólito antes del pasaje de la 
corriente. Disolviendo cloruro de sodio en agua casi todas las molé- 
culas de Na C1 se dividen o disocian en iones de acuerdo a la ecua- 
ción simbólica siguiente: 

Na C1 ~Z- Na + + Cl~. 




Física Elemental 


445 


Los signos + y — indican que el sodio es el catión y el cloro 
el anión. La doble flecha indica que mientras algunas moléculas se di- 
socian otras se recomponen. En el equilibrio, el número de moléculas 
que se disocian es igual al número de moléculas que se forman: 
se trata de un equilibrio dinámico . Las fórmulas siguientes indican 
cómo se disocian por simple solución algunas substancias. 

S0 4 H 2 ^S0 4 — + H + + H + ; 

SO4 Cu ^ S0 4 “ “ -f- Cu + + ; 

N0 3 Ag N0 3 - -j- Ag\ 


En la electrólisis del agua los cationes hidrógeno provenientes 
del ácido sulfúrico son los que una vez en estado neutro se recogen 
en el cátodo. Los aniones S0 4 descomponen al agua dando origen 
al desprendimiento de oxígeno en el ánodo: 

2 SO4 — ]— 2 H 2 0 2 SO4 H 2 -f- 0 2 . 


La disminución de la masa del cobre en el ánodo si éste es de 
cobre en la electrólisis del S0 4 Cu se explica en forma análoga. 
El ion SO4 ataca al cobre 


©©©©;©©®© 



Fig. 697. — Desplazamieoto de loa ioDea. 


mmm 

y regenera el sulfato de « ]j¡ 
cobre. ' 

La masa de cualquier 
electrólito se encuentra 
en estado neutro, lo que 
prueba que las cargas po- 
sitivas de los cationes igua- 
lan a las cargas negativas 
de los aniones. Al colocar en el seno del electrólito dos electrodos 
a diferente potencial se establece una doble corriente de iones. En 
la figura 697 se han representado 8 iones positivos y 8 negativos. 
En II se han colocado dos electrodos y se ha supuesto que al cabo 
de cierto tiempo han atravesado una sección AB del seno del elec- 
trólito dos iones positivos de izquierda a derecha y tres negativos 
de derecha a izquierda. Los iones negativos que se mueven de dere- 
cha a izquierda se comportan como iones positivos que se movieran 
en sentido contrario, si se considera el trabajo eléctrico correspon- 
diente al transporte de esas cargas. 

La cantidad de electricidad que ha pasado por la sección AB 
es igual a 2 — J— 3 = 5. Esta cantidad de electricidad es la que queda 



446 


E. Loedel 


libre en los electrodos: al cátodo han llegado 5 cargas positivas 
y otras 5 negativas al ánodo. 

Se comprende así que cuando pasa la cantidad de electricidad 
de un culombio llega al cátodo un culombio de electricidad posi- 
tiva y al ánodo otro culombio de electricidad negativa. 

Ésta es en esencia la teoría de Clausius y Arrhenius, con la 
cual se explican todos los fenómenos observados en la electrólisis. 

365. Atomicidad de la electricidad. — Los iones bivalentes 
transportan exactamente una carga doble que los monovalentes , los 
trivalentes triple, etc. Esto prueba en forma concluyente que la 
electricidad posee una estructura atomística como lo hizo notar 
Helmholtz en 1881. 

Deducción de las leyes de Faraday. — Sea Mi la masa en gra- 
mos de un único ion. Cuando lleguen n iones a un electrodo la 
masa m de la substancia que se recoge en él será: 

m = nMi. [1] 

La cantidad q de electricidad que ha pasado por el electrólito 
es igual a la transportada por estos iones. Llamemos e a la carga 
eléctrica elemental o sea a la carga de un átomo de electricidad. 
Si el ion tiene la valencia v cada uno de ellos transporta la carga 
ev. La llegada de n iones implica el paso de una cantidad q de 
electricidad igual a: 

q — evn. [2] 

Dividiendo [1] por [2] : 

Mi 

m = q. [3] 

ev 

La fórmula [3] expresa las leyes de Faraday pues la masa de 
substancia recogida resulta ser proporcional a la cantidad de elec- 
tricidad, al peso atómico o molecular Mi del ion, estando además 
en razón inversa de la valencia v del mismo. 

366. Número de átomos existentes en un átomo gramo. — 
Si en un gramo de hidrógeno hubieran mil átomos, en 16 gramos 
de oxígeno tendríamos también mil átomos, pues cada átomo de 
oxígeno es 16 veces más pesado que uno de hidrógeno. Luego en 
el átomo gramo de todos los elementos existe el mismo número de 


m Mi 


q ev 



Física Elemental 


447 


átomos. Este número es desde luego igual al núméro de moléculas- 
existentes en la molécula gramo. Se le llama número de Avogadro, 
aun cuando este autor no indicó ningún método para determinar 
ese número. 

Si llamamos N a ese número, se le podría obtener por simple 
división si se conociera la masa en gramos de un solo átomo. Siendo- 
A la masa atómica de un elemento expresada en gramos o la masa 
molecular de Un complejo atómico, dividiendo A por la masa M 
de un solo átomo, molécula o ion, obtendremos el número N: 

A 

= N 

Mi 

o lo que es lo mismo la masa del átomo gramo es: 

A = NMi, 


esto es, el producto del número de átomos por la masa de cada uno- 
de ellos. 

Reemplazando en la [3] el valor de Mi que se obtiene de esta- 
última relación resulta: 

1 A 

m = q. [4] 

Ne v 


Comparando esta fórmula con la expresión general de las leyes- 
de Faraday se ve que debe ser: 

Ne — 96 500 culombios 
o lo que es lo mismo: 

Ne = 96 500 X 3 X 10 9 u. c. e. e. — carga ; 
efectuando las operaciones: 

Ne = 2,89 X 10 14 u. c. e. e. — carga. 

Si se conociera el valor de la carga eléctrica e se podría deter- 
minar el número N. 


367. Método de Millikan. — R. A. Milliican logró en 1917 
medir directamente la carga eléctrica de los iones. Para esto se 
pulveriza entre las placas de un condensador eléctrico un líquido> 



448 


E. Loedel 


cualquiera, por ejemplo aceite. Las placas del condensador plano 
están dispuestas horizontalmente. Las pequeñas gotas de aceite se 
observan con un microscopio. El experimento puede hacerse tam- 
bién con humo de cigarrillo: las pequeñísimas partículas sólidas 
quedan como flotando entre las placas del condensador. Si éste no 
está cargado se observa que las gotas caen lentamente con movi- 
miento uniforme debido a la resistencia del medio. La velocidad de 
caída de las gotas puede determinarse midiendo el tiempo que trans- 
curre entre los pasajes de una misma gota 
por dos hilos horizontales colocados a manera 
de retículo en el microscopio. De esta velo- 
cidad de caída se deduce el peso de una 
única gota utilizando fórmulas especiales de- 
ducidas de los principios generales de la me- 
cánica. 

Ahora bien: dichas gotas están eléctrica- 
mente cargadas, por la acción de la luz con 
que las iluminamos. Se aprovecha aquí el lla- 
mado efecto fotoeléctrico del cual nos ocupa- 
remos en otro lugar. Ahora comienza la parte 
interesante del experimento. Estas gotas car- 
gadas son verdaderos iones gigantes en lo que respecta a sus masas. 
Supongamos que una gota se ha cargado positivamente y que la 
placa superior del condensador sea la placa negativa. * 

El campo eléctrico tiende a hacer que la gota suba y su peso 
tiende a hacerla caer. Variando el campo eléctrico entre las placas 
del condensador puede conseguirse que la gota permanezca en 
reposo. Es un verdadero juego seguir el movimiento de una gota 
haciendo que baje o que suba a voluntad. 

Siendo <£* la intensidad del campo eléctrico entre las placas y 
e la carga de una única gota, la fuerza eléctrica que obra sobre 
ella es igual a £e. Esta fuerza, cuando la gota queda en suspen- 
sión, debe ser igual a su peso P : 

£e = P. 

De este modo se determina la carga e de las gotas. En miles y 
miles de medidas efectuadas, se encontró que las cargas eléctricas 
de las f gotas eran siempre múltiplos enteros de una cierta carga 
eléctrica e. Es decir, algunas gotas tenían una carga igual a e; otras 
igual a 2 e; otras 3 e, etc. Las primeras eran o se comportaban 




Física Elemental 


449 


como iones monovalentes, las segundas como bivalentes, etc. Esa 
carga eléctrica e resultó ser: 

e = 4,77 X 10 -10 u. c. e. e. — carga. 

Por otros métodos se obtiene el mismo valor. 

368. Determinación del número de Avogadro. — El número 
N se calcula ahora de inmediato, pues debe ser según (366) : 

2,89 X 10 14 

N — — 

4,77 X 10- 10 

N = 6,06 X 10 23 . 

Por otros métodos (pág. 285) se obtiene este mismo valor. Cono- 
ciendo este número se puede calcular la masa de un solo átomo. Calcu- 
lemos la masa raH de un átomo de hidrógeno. Como en 1,008 gramos 
de hidrógeno existen N átomos, resulta : 

1,008 

mH — — 1,66 X 10~ 24 gramos. 

6,06 X 10 23 

369. ¿Qué son los iones?. — Un ion hemos dicho que es un 
átomo cargado eléctricamente. Un ion monovalente negativo tiene 
igual carga eléctrica que un ion monovalente positivo. 

Para explicar este y otros fenómenos, se supone que los átomos 
tienen una estructura eléctrica. Se parecerían a minúsculos sis- 
temas planetarios: en la parte central un núcleo con cargas eléc- 
tricas positivas; en la periferia, “los planetas”, que serían los elec- 
trones, cada uno de ellos con una carga elemental negativa. 

El átomo de hidrógeno estaría constituido por un protón (po- 
sitivo), y un único electrón que gira alrededor de aquél. El ion 
hidrógeno es un átomo que ha perdido su único electrón plane- 
tario. Este ion se dirige en la electrólisis al cátodo y se neutra- 
liza captando un electrón. Por eso se desprenden en la electrólisis 
átomos * y no iones. 

Átomos más complicados que pierden dos electrones se convier- 
ten en bivalentes positivos; si pierden tres, dan origen a iones 
trivalentes positivos, etc. En cambio, otros átomos captan un elec- 


* En realidad moléculas Hz. 



450 


E. Loedel 


trón de más y se convierten en iones negativos monovalentes ; cap- 
tando dos electrones de más en iones negativos bivalentes , etc. 

Los iones son, pues, átomos o grupos atómicos con uno o varios 
electrones de más o de menos. 

En cuanto a la masa de los electrones, numerosos hechos con- 
ducen a su determinación. Se ha encontrado que la masa de un 
electrón es 1 850 veces menor que la masa de un átomo de hidró- 
geno. La masa de los átomos se halla, pues, casi totalmente con- 
centrada en el núcleo. 


ACUMULADORES 

370. Corrientes de polarización. Acumuladores. — Si la lla- 
ve PQ que cierra el circuito del voltámetro de la figura 699, se 
coloca en la posición PR, se observa que durante un breve tiempo 

circula por el galvanómetro G una co- 
rriente. El sentido de la corriente en el 
seno del líquido es contrario al sentido 
que tenía la corriente que producía la 
electrólisis.. Durante la electrólisis la co- 
rriente va, en el líquido, del ánodo al 
cátodo. Si se trata de un “voltámetro de 
agua”, el cátodo de platino se recubre 
de hidrógeno y el ánodo, de oxígeno. 
Ambos electrodos son entonces diferen- 
tes, existiendo entre ambos cierta dife- 
rencia de potencial. Se explica así esta 
corriente llamada la polarización. A la 
fuerza electromotriz de la corriente de 
polarización se la llama fuerza contra- 
electromotriz. En un voltámetro de agua 
con electrodos de platino, la fuerza con- 
traelectromotriz es aproximadamente igual 
a 2 voltios. La corriente de polarización 
en el voltámetro de agua dura muy po- 
co tiempo, debido a que el mismo se comporta como una pila cuyos 
electrodos fueran gaseosos. Para obtener una corriente de polari- 
zación durable, será necesario que los productos de la electrólisis 
no sean gaseosos. Esto se logra en los acumuladores inventados 
por Planté (1860), el cual observó que si se sustituyen los elec- 
trodos de platino por otros de plomo, la corriente de polarización 
dura más tiempo. 




Física Elemental 


Un acumulador consiste en dos láminas o placas de plomo alea- 
do con antimonio para hacerlas más duras, sumergidas en un baño 
de ácido sulfúrico diluido. Estas placas son alveoladas, con el 
objeto de aumentar su superficie (fig. 700). En la placa positiva 
se llenan los alvéolos con una pasta de minio _____ 
(P63O4) y agua acidulada. En la negativa se llenan 1 I $ ■ 
con óxido de plomo ( PbO ). 

Durante la carga del acumulador la corriente a 13 ri ri tJl 
entra por la placa positiva (fig. 701). Se produ- laaaaBogjl 
cen entonces reacciones complicadas (sobre las 13^213 43 1 

cuales no están todos los; EjKitSigf^gg 1 
'rrrr autores de acuerdo), y el I®® I 

- acumulador queda “car- I 

?p trica se conserva en él < 
i I i" : t‘ - en forma de energía quí- . 




®S3g§ 

«BU ® E]® 

Í3 S£j aci a* 


¡j | H ■ : 1 i 1 carga esta energía quí- 

i mica se convierte de nuevo en energía 
i í I i 1 eléctrica. Un acumulador devuelve en 

f ; ^ I- i ® - la descarga nueve décimos de la ener- 

■bÉMHM; * gia recibida en la carga: su rendimiento 

"* es de 90%. Los acumuladores comu- 
K¡*. 701 . -Carga y descarga nes tienen una “capacidad de carga” de 
de un acumulador. 10 amperios - hora por cada kilogramo 

de placa; 10 amperios hora son 36 000 
culombios. La fuerza electromotriz de un acumulador es igual 
a 2 voltios. 

Según esto en cada kilogramo de placa se acumula una 
energía de 

36000 X 2 = 72 000 julios = 7 300 kilográmetros. 


: ; • , 


, 


mica. Durante la des- F,g * acumuiadir^ dc 


m ' l 

m *■ u í 


i 

I I 




Fig. 701. — Carga y descarga 
de un acumulador. 


Cuando la fuerza electromotriz de un acumulador es inferior 
a 1,8 voltios, se le debe cargar de nuevo. Asociando varios acumu- 
ladores se forman las llamadas baterías. 


PROBLEMAS 

1 . Se hace pasar por un voltámetro de agua una corriente de 0J5 
amperios durante 10 minutos. Hallar el volumen de oxígeno 

recogido. 



452 


E. Loedel 


Comenzamos por hallar la masa m: 

1 16 

tu = X — X 0,5 X 600. 

96500 2 

Sabemos además que la molécula gramo de oxígeno (32 
gramos) ocupa a 0°C y 760 mm de presión el volumen de 
22 412 cm s . De aquí : 

22 412 

V = m = 17,4 cm 8 . 

32 

2. Una batería de 50 kilogramos de placas se descarga en for- 
ma continua durante una hora. Calcular la potencia en H. P. 

7300 X 50 

Potencia — = 1,35 H. P. 

3 600 X 75 

<3. La batería anterior está formada por 25 acumuladores dispues- 
tos en serie. Hallar la intensidad de la corriente. 

Siendo la fuerza electromotriz igual a 50 voltios, debe ser: 

50 volt X I amp X 3 600 seg = 50 X 72 000 julios 
de donde: / = 20 amperios. 



CAPÍTULO xxvn 


ELECTROMAGNETISMO 

371. Descubrimiento de Oersted. — Ya sabemos que por el pa- 
saje de una corriente eléctrica, una aguja imantada colocada en las 
proximidades de la misma se desvía. 

Este efecto fué descubierto por Oersted en el año 1820, 20 años 
después de la invención de ía pila. Llama enormemente la atención 
que haya transcurrido tanto tiempo, 20 años, en ponerse de mani- 
fiesto un efecto tan fácil de revelar. Se sospechaba que entre 
magnetismo y electricidad debía existir alguna relación; se sabía 
que cuando se produce una descarga eléctrica atmosférica la aguja 
de una brújula se desvía, pero antes de Oersted, se limitaban los 
físicos a acercar uno de los polos de la pila a los polos de una 

aguja magnética, constatando que el efecto 
era nulo. No se acertaba a cerrar el circuito! 
Una anécdota hecha circular a raíz del des- 
cubrimiento de Oersted, relata que estando 
este físico dando clase en la Universidad de 
Copenhague, durante un experimento en que 
trataba de demostrar “la no influencia de la 
electricidad sobre el magnetismo ” acertó a 
unir, por pura casualidad, los polos positivo 
y negativo de la pila cerrando el circuito y 
produciendo la desviación de la aguja! 

372. Sentido de la desviación: regla de 
Ampére. — El polo norte de la aguja imantada se desvía hacia 
la izquierda del llamado “ nadador de Ampere ” . El nadador de 
Ampére es un observador que se supone acostado sobre el conduc- 
tor, mirando la aguja y de tal modo que la corriente entre por sus 
pies y salga por su cabeza (fig. 703). 

Más sencilla es la regla siguiente: Se coloca la mano derecha 
sobre el conductor, de modo que la corriente entre por la muñeca 




454 


E. Loedel 


y salga por la punta de los dedos, con la palma dirigida hacia la 


aguja : el dedo pulgar in- 
dica el sentido en que se 
desvía el polo norte (fi- 
gura 703). 

Arrollando un hilo con- 
ductor alrededor de un 
cuadro de madera (fig. 
704) en el interior del 
cual se coloca una aguja 
imantada, los efectos de 
las corrientes 1; 2; 3 y 
4 sobre la aguja se su- 
man. Con el sentido de 
la corriente indicado en 



la figura el polo norte se desviará hacia atrás. El aparato que 



precede, llamado multiplicador, 
constituye un sencillo galvanos- 
copio. 

373. Campo magnético de 
una corriente rectilínea. — Co- 
locando limaduras de hierro so- 



por un conductor rectilíneo, se observa 
limaduras se orientan disponién- ammm 
dose según circunferencias con- K|pl 
céntricas, con centro en el con- B||| 
ductor. Para conocer el sentido 
de estas líneas de fuerza cerra- j| ; f/ 
das y circulares basta colocar fm 
sobre la pantalla pequeñas agu- m 
jas magnéticas (fig. 706). El m 
sentido de estas líneas está dado a 
por la regla de Maxwell lia- jf 
mada también del tirabuzón: El iaü« 
sentido de las líneas de fuerza 
del campo magnético originado 
por una corriente es el mismo 
en que debería girarse un tirabuzón, supuesto en el conductor, 
para que avance en el sentido de la corriente (fig. 707). 


— Campo magnético 
corriente rectilínea. 



Física Elemental 


455 


Se ve que esta regla puede aplicarse también para prever el 
sentido en que se desviará una aguja magnética por la acción de 
una corriente eléctrica. 


Campo magnético de una corriente circular. — La figura 708 
muestra la disposición de las líneas de fuerza del campo magnético 

originado por una corriente cir- 
cular. Las líneas de fuerza entran 
por una de las caras del plano 







456 


E. Loedel 


que estas líneas salen por uno de los extremos y entran por el otro. 
El sentido de las mismas puede hallarse por cualquiera de las reglas 
mencionadas antes. Llama la atención el parecido entre el campo 
magnético originado por un solenoide y el campo magnético origi- 



Fig. 712. — Campo de un imán. 


Fig. 713. — Solenoide móvil. 


es el polo norte y el otro extremo, por donde las líneas entran, es 
el polo sur. 

Para comprobar que es efectivamente así, se le suspende de un 
soporte apropiado (fig. 713). A y B son dos pequeños huecos prac- 









Física Elemental 


457 


ticados en dos barras metálicas sujetas a un soporte aislador. En 
esta suerte de alvéolos se coloca mercurio y en ellos se suspende 
el solenoide. Si la corriente es suficientemente intensa se observa 
que este solenoide móvil se orienta igual 
que una aguja magnética por la acción 
del campo magnético terrestre. El extre- 
mo que se dirige hacia el Norte, o sea 
el polo norte del solenoide, es aquél en 
que visto de • frente se ve circular la co- 
rriente en sentido inverso del sentido en 
que giran las agujas de un reloj (fig. 

713) ; en el polo sur, visto de frente, se 
ve circular la corriente en el mismo sen- 
tido de las agujas. Esta regla es conse- 
cuencia de las reglas dadas anteriormente. 

Si se acerca al solenoide un imán, se 
observa que el polo norte del imán repele 
al norte del solenoide y atrae al sur. Acercando al solenoide móvil 
otro pol'-’noiV" provisto de un mango (fig. 714) se verifica de inme- 
diato que polos de igual nombre se repelen y de 
distinto nombre se atraen. 

Esta analogía profunda entre imanes y sole- 
;ioides prueba que se trata más bien de una 
: dentidad. 

375. Corrientes circulares e imanes mole- 
■ulares. — Los imanes moleculares no serían 
nás, de acuerdo a la teoría de Ampére, que co- 
rrientes circulares moleculares. Hoy se concibe 
i estas corrientes eléctricas circulares como pro- 
lucidas por el movimiento de los electrones en 
los átomos. En la figura 715 se ha representado 
•1 campo magnético de un pequeño imán y el 
le una corriente circular. Se ve que ambos cam- 
pos son casi idénticos. 

Para explicar la imantación habíamos su- 
puesto que los imanes moleculares se orienta- 
ban por la acción de un campo magnético. Ahora 
podremos decir que son las corrientes eléctricas moleculares las 
que se orientan en el campo. El plano de la corriente se colocaría 
perpendicular a las líneas de fuerza. 



y corrientes. 



458 


E. Loedel 


ELECTROIMANES Y APLICACIONES 


376. Electroimanes. — Colocando en el interior de un solenoide 
una barra de hierro dulce ésta se imanta al paso de la corriente. 

Cuando la corriente se interrumpe la iman- 
tación cesa (fig. 716). Al campo magnético 
del solenoide se le agrega el campo magnético 
originado por el hierro. Con los electroimanes 
pueden obtenerse campos magnéticos muy po- 
derosos. La figura 717 muestra un electro- 
imán en forma de herradura. El arrollamiento 
del conductor alrededor del hierro dulce se 
efectúa de tal modo que uno de los extremos 
sea norte y el otro sur. 


377. Campanilla eléctrica. — Cuando se 
cierra el circuito con el botón B (fig. 718) 
la corriente entra por A, 
pasa por el electroimán, 
de allí a una varilla me- 
tálica elástica que sos- 



Fien. 716 y 717. — Electro- 
imanes. 


tiene en su extremo el martillo y de la vari- 
lla al tornillo T en contacto con ella, vol- 
viendo la corriente por C a la pila. La va- 
rilla elástica tiene una pieza de hierro dulce 
que es atraída por el electroimán. En este 
momento el martillo M golpea contra la 
campanilla propiamente dicha. Pero se se- 
para entonces del tornillo T y el circuito 
queda interrumpido. Cesa de actuar el elec- 
troimán y la varilla vuelve, porque es elás- 
tica, a su posición primitiva, toca el tornillo, 
pasa la corriente de nuevo, excita al elec- 
troimán y en mucho menos tiempo del que 
se emplea en describir el fenómeno se pro- 
ducen una serie sucesiva de golpes. 



Fig. 1 718. — Timbre eléctrico. 


378. Telégrafo. — Ya en 1820 Ampére propuso utilizar la des- 
viación de la aguja magnética por el paso de una corriente para 
transmitir señales a distancia. Pero recién en 1837 logró el pintor 
estadounidense Morse construir un verdadero telégrafo eléctrico. 



Física Elemental 


459 


El telégrafo de Morse consiste esencialmente en lo siguiente. Al 
apretar el interruptor de la batería A (manipulador) colocado en 
la estación transmisora (fig. 719) pasa por la línea una corriente 
que excita el electroimán de la estación receptora. Este electroimán 
atrae a una pequeña palanca sujeta por un resorte que lleva en su 
otro extremo una punta que presiona en ese momento sobre una 
cinta de papel puesta en movimiento por un aparato de relojería. 
La punta en cues- 
tión presiona el pa- 
contra un rodillo 
con tinta. Si se tiene 
apretado el manipu- 
lador un lapso lar- 
go se imprimirá en 
la cinta una raya ; 
si en cambio el lap- 
so del contacto es 
corto se imprimirá 
un punto. Un alfa- 
beto convencional de 
rayas y puntos permite transmitir un mensaje cualquiera (fig. 720). 

Como se ve en el esquema de la figura 719 no hace falta más 
que un hilo de línea. Para esto se une uno de los polos de la bate- 
ría con la línea, a través del manipulador, y el otro polo con tierra. 
En la estación receptora el alambre de línea después de pasar por 
el electroimán se une también con tierra. De este modo el circuito 
queda cerrado pues tanto en A como en B el potencial es el de la 
tierra, igual a cero. No debe decirse que la corriente vuelve de B 
a A pues esto significaría el paso de una corriente eléctrica sin 

diferencia de potencial. Los dos 
puntos A y B constituyen eléc- 
tricamente un único punto. 

Claro está que la “ toma de 
tierra ’ debe ser buena. 

* Principio de los tipotelégrafos. — La figura 721 representa 
en forma esquemática el telégrafo inventado por Hughes en 1855. 
El transmisor es parecido al teclado de una máquina de escribir. 
Al apretar una tecla una pieza metálica penetra por determinado 
agujero de un disco fijo. Este disco tiene tantos agujeros como 
teclas. Sobre este disco gira una pieza metálica P que da dos vuel- 
tas por segundo. En el momento que la pieza metálica pasa sobre 







460 


E. Loedel 


el agujero cuya tecla está oprimida se efectúa un contacto, se cierra 
el circuito y pasa por el alambre de línea una corriente que acciona 
un electroimán de la estación receptora. En ésta existe una rueda 
dentada con tantos dientes como signos diferentes tiene el trans- 
misor. Sobre cada 
diente existe un ti- 
po de letra. Estos 
tipos se entintan 
con tinta grasa, al 
pasar frente al ro- 
dillo r. Esta rue- 
da gira también a 
razón de dos vuel- 
tas por segundo y 
debe marchar sin- 
crónicamente con 
la pieza P. Este 
sincronismo signi- 
fica que cuando la pieza P cierra el circuito correspondiente a la 
letra H, por ejemplo, el diente H de la rueda de los tipos, pasa 
por la parte inferior, y sobre la cinta de papel qué se aprieta 
contra la rueda en ese momento quedará impresa la letra H. 
Estas cintas se cortan luego, se pegan sobre un papel y se re- 
miten directamente al destinatario. 

379. Motor eléctrico. — En la 
figura 722 se ve el esquema de un 
motor eléctrico. Los dos polos de 
una batería de acumuladores co- 
munican con dos semianillos de 
cobre separados entre sí. Un elec- 
troimán en forma de barra puede 
girar alrededor de un eje. Por me- 
dio de láminas elásticas que frotan 
contra los semianillos de cobre la 
corriente circula por el arrolla- 
miento del electroimán. Este elec- 
troimán giratorio está colocado en- 
tre los polos de un imán permanente. En la posición indicada en 
la figura la corriente circula por el electroimán en tal sentido que 
se forma en A un polo norte y en B un polo sur. La barra tiende 
a girar entonces en el sentido de las flechas. Cuando el extremo A 



Fig. 722. — Motor eléctrico. 



Fig. 721. — Telégrafo de Hughes. 


Física Elemental 


461 




se coloca trente a S cesaría la rotación porque A es norte y S sur; 
pero entonces comunica A con el semianillo inferior y B con el 
superior. De este modo se logra una rotación continua de la barra 
pues por inercia no se detiene en la posi- 
ción horizontal. 

En lugar de colo- 
car la barra AB en- 
tre los polos de un 
imán permanente pue- 
de colocarse entre los 
polos de un electro- 
imán excitado por la 
misma batería como 
muestra la figura 723. 

En este esquema 
se ha agregado una 

Fig. 723. -Motor. Excitación reS í StenC í a Variable Fig. 724. — Motor. Excitación en 

en serie. que permite variar la derivación, 

intensidad de la co- 
rriente y con ello la velocidad del motor. El electroimán fijo y el 
del motor propiamente dicho se han conectado en la figura en serie. 
En cambio en la figura 724, el devanado del electroimán fijo está 
en derivación con el devanado de la parte giratoria. 


INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO PRODUCIDO 
POR LAS CORRIENTES 

380. Ley de Biot y Savart. — Ya sabemos que las líneas de 
fuerza del campo magnético originado por una corriente rectilínea 
son circulares. ¿De qué dependerá la in- 
tensidad del campo magnético H originado 
en un punto P situado a una distancia r 
del conductor? (fig. 725). Medidas direc- 
tas llevadas a cabo por Biot y Savart en 
1820 probaron que en el caso de un con- 
ductor rectilíneo muy largo la intensidad 
del campo magnético originado en un pun- 
to por una corriente eléctrica, es directa- 
mente proporcional a la intensidad de ésta 
y está en razón inversa de la distancia que separa ai punto del 
conductor. Ese campo magnético H debe ser igual a la resultante 



462 


E. Loedel 


de los campos magnéticos originados en P por las diferentes pur- 
ciones en que puede considerarse dividido el conductor. 

Laplace dió la ley general que permite calcular el campo mag- 
nético A H originado en un punto (fig. 726) por una porción de 
conductor de longitud muy pequeña Al. Si esa porción de conduc- 
tor se halla a la distancia r del punto con- 
siderado origina en él un campo, también 
muy pequeño, igual a AH. 

El valor de AH es: 

/ Al 

A H = K sen a. 


siendo K una constante de proporcionali- 
dad y a el ángulo formado por la dirección 
del elemento de conductor considerado y la 
recta r. El vector AH es perpendicular al 
plano del ángulo a y su sentido está dado 
por la regla del tirabuzón. La fórmula última se conoce con el 
nombre de ley de Biot y Savart, pues las medidas efectuadas por 
estos físicos permitieron hallarla. 

Aplicación al cálculo del campo en el centro de un conduc- 
tor circular. — En el punto O (fig. 727), el campo magnético estará 
dirigido perpendicularmente al plano de la 
ura; su sentido será de delante hacia 
atrás. Para todos los elementos del conduc- 
tor circular el ángulo a es igual a 90° y 
sen a = 1. Además todos los elementos están 
a igual distancia de O. Esta distancia es el 
radio R del conductor circular. De aquí, 
el campo AH originado por un elemento de 
corriente en el centro O será: 

I 

AH = K — Al. 

R* 

Para hallar el campo total habrá que sumar todos los AH origi- 
nados por cada uno de los elementos Al. La suma de los Al da la 




Fig. 727. — Campo en O. 



Fig. 726. — Ley de Biot 
y Savart. 



Física Elemental 


463 


longitud de la circunferencia igual a 2 irR, con lo que, el campa 
H en el centro valdrá: 

2 7 tI 

En el centro de un conductor circular : H = K . 

R 

En el caso de un conductor rectilíneo el cálculo es más compli- 
cado, pues varía el ángulo y la distancia. El resultado que se obtiene 
es el siguiente: 

2 / 

Conductor rectilíneo : H = K . 

R 

* 381. Valor de la constante K. Unidades electromagnéticas: 
— El valor de la constante K depende de las unidades que se elijan 
para medir el campo H, la intensidad I de la corriente y la dis- 
tancia R. Hemos estudiado ya: 

Sistema electroestático C. G. S. basado en la ley de Coulomb, 
haciendo en ella igual a uno, la constante de proporcionalidad. 

Sistema práctico en que se tomaba como unidad de carga al 
culombio, igual a 3 X 10 9 u. c. e. e. de carga. 

Existe además otro sistema de unidades que es el : 

Sistema electromagnético C. G. S. En este sistema se conviene 
en hacer la constante K igual a la unidad, midiéndose el campo en 
gauss * y la distancia en centímetros. 

Con esta convención el campo originado en el centro de un con- 
ductor circular de radio R será: 


2 ttI 



y de aquí: 

RH 

1 = . 

2 7T 

Se ve que si R es igual a 2 ir centímetros y H es igual a 1 gauss 
resulta / igual a 1 unidad electromagnética. 

Por lo tanto: la unidad electromagnética de intensidad de co- 
rriente es aquélla que origina en el centro de un conductor circular 
de radio igual a 2 ir centímetros el campo de un gauss. 

* Lo que implica haber tomado también como unidad la constante de la ley de Coulomb del 
magnetismo, cosa que hemos hecho al definir la unidad de masa magnética en el capítulo de- 
magnetismo. 



464 


E. Loedel 


Esta unidad se ha encontrado que es igual a 10 amperios *. 
Por lo tanto, si se mide la intensidad en amperios la constante 
K de la ley de Biot y Savart es igual a un décimo. 

En el sistema práctico de unidades, que es el que seguiremos 
usando, el valor del campo H para un conductor rectilíneo será: 

I 

H = 0,2—; 

R 

estando I medido en amperios, R en centímetros y H en gauss. 

* 382. La velocidad de la luz, las unidades electromagnéticas 
y electroestáticas. — De la ley de Coulomb: 



considerando que e es igual a e’ se tiene: 

e 2 = r^F ; e = r \/ F. 

Las dimensiones de una carga eléctrica son entonces las de una 
longitud r (cm) por las dimensiones de la raíz cuadrada de una 
fuerza. La intensidad de la corriente eléctrica es el cociente entre 
la cantidad de electricidad y el tiempo. Dividiendo por el tiempo t 
la expresión anterior se tiene: 

e r 

— = — yjF. 

t t 

El cociente r/t tiene las dimensiones de una velocidad, por lo 
cual podemos poner: 

[I] e — [Velocidad] X [V Fuerza] [1] 

El subíndice e indica que la intensidad se supone medida en 
el sistema electroestático. Veamos ahora las dimensiones de una 
intensidad de corriente en el sistema electromagnético. Como la 
constante K de la ley de Biot y Savart es, en este sistema, un número 
sin dimensiones, la intensidad de la corriente expresada en unida- 
der “lectromagnéticas tendrá las dimensiones de un campo maguó- 

• En reaüdaii el amperio ae ha definido como la décima parte de la unidad electromagnética 
de intensidad. 



Física Elemental 


465 


tico multiplicado por una distancia, como se desprende de la fór- 
mula que expresa / en el párrafo precedente: 

[/]«=[«] X [H]. 

En cuanto al campo H , éste es igual al cociente entre la fuerza 
y la masa magnética: 

F 

H = —. 

m 


La masa magnética m tiene por dimensiones, de acuerdo a la 
ley de Coulomb del magnetismo, haciendo en ella la constante de 
proporcionalidad igual a la unidad sin dimensiones: 

[m] = R s/T. 


Resulta así: 


[H] 



y de aquí: [R] X [ H ] = [VF]. 


Por lo tanto se tendrá: 


[/]*«= CV^l; 


[ 2 ] 


la intensidad de la corriente en unidades electromagnéticas tiene las 
dimensiones de la raíz cuadrada de una fuerza. Comparando [1] 
con [2] puede escribirse: 

[l] e = [Velocidad] X [I] m . [3] 


Veamos ahora la relación cuantitativa entre una misma intensidad 
de corriente medida en ambos sistemas. Sea una corriente igual a la 
unidad electromagnética, que como sabemos vale 10 amperios. Pero 
10 amperios son 10 culombios en un segundo y un culombio es igual 
a 3 X 10° unidades electroestáticas de carga. Resulta así que la inten- 
sidad de una corriente medida en unidades electroestáticas es: 


3 X 10 10 


veces mayor, numéricamente, que la misma intensidad medida en 
unidades electromagnéticas. Pero ese “ número ” tiene que tener las 
dimensiones de una velocidad. Tanto en el sistema electroestático 



466 


E. Loedel 


como en el electromagnético (ambos C. G. S.) las dimensiones de una 
velocidad son cm/seg. 

Se obtiene así para la velocidad que interviene en la [3] y que 
llamaremos c: 

c = 3 X 10 10 cm/seg = 300 000 Km/seg. 

Éste es justamente el valor de la velocidad de la luz! Esta nota- 
ble coincidencia dió origen a la teoría electromagnética de la luz 
de Maxwell (1870) de la cual trataremos de dar una idea en el 
capítulo XXIX. 



383. Acción de un campo magnético sobre una corriente. — 


Ya vimos la acción de un imán 
Sobre el mismo soporte en que 
suspendíamos el solenoide pode- 
mos suspender (fig. 728) un 


sobre un solenoide móvil ('374). 


Fig. 728. — Acción de un imán sobre 
una corriente. 


Fig. 729. — Sentido de la fuerza que actuó 
sobre una corriente. 


rectángulo de alambre por el cual hacemos pasar una corriente. 
Acercando a la corriente un imán se observa que el conductor se 
desplaza. Pero el conductor no es atraído por el imán sino que se 
desplaza perpendicular mente a las líneas de fuerza del campo magné- 
tico. En el caso de la figura el conductor AB tiende a moverse hacia 
delante del plano del dibujo estando el imán colocado como allí 
se indica. 


Regla. — Para conocer el sentido de la fuerza que actúa sobre 
una corriente eléctrica colocada en un campo magnético se coloca 
la mano derecha sobre el conductor de modo que la corriente entre 
por la muñeca y salga por la punta de los dedos , con la palma diri- 
gida hacia donde van las líneas de fuerza del campo: el dedo pul- 



Física Elemental 


467 


gar indica el sentido en que tiende a moverse el conductor o sea el 
sentido de la fuerza que actúa sobre él. 

En la figura 729 los pequeños círculos blancos representan líneas 
de fuerza del campo magnético que van de delante hacia atrás del 
plano del dibujo. Debe imaginarse 
entonces un polo norte delante del 
plano del papel y un polo sur de- 
trás. Por el conductor AB circula una 
corriente en el sentido de la flecha: 
de A hacia B. Colocamos la mano 
derecha sobre el conductor con la 
palma hacia abajo y los dedos hacia 
B. El sentido de la fuerza F es el 
indicado por el dedo pulgar. 

Si las líneas vinieran de atrás 
hacia delante la palma de la mano 
debería mirar hacia arriba. La fuer- 
za F es perpendicular a las líneas de fuerza del campo y al con - 
ductor. La figura 730 muestra otro dispositivo para verificar la 

misma acción. 

Acción y reacción. — Supongamos que 
entre los polos A y 5 de un imán exista un 
conductor C (fig. 7¿1). En esta figura se 
ha representado la sección del conductor con 
el plano del papel y supondremos que la 
corriente va de delante hacia atrás. Las cir- 
cunferencias blancas representan el campo 
magnético de esta corriente. Los polos del 
imán se encuentran en el campo magnético 
originado por la corriente. El polo norte 
estará solicitado por una fuerza F\ pues tien- 
de a moverse en el mismo sentido de las 
líneas de fuerza. El polo sur estará solici- 
tado por una fuerza F 2 paralela y del mis- 
mo sentido que F i pues por el polo norte 
pasan las líneas de fuerza blancas hacia 
“arriba” (del dibujo) y por el polo sur hacia abajo; pero como 
es polo sur, tiende a moverse en sentido opuesto al sentido de las 
líneas de fuerza. F i y F 2 tienen una resultante F. Si el conductor 
estuviera fijo sería el imán en forma de herradura el que se des- 
plazaría en el sentido’ de F. 





468 


£. Loedel 


Si la corriente ejerce sobre el imán la fuerza F el imán ejer- 
cerá sobre el conductor una fuerza igual y opuesta F\ Se ve que 
el sentido de esta fuerza F* está dado por la regla ya mencionada. 

Intensidad de la fuerza. — Si una porción de longitud l de 
un conductor rectilíneo (fig. 732) se halla en un campo de inten- 
sidad H cuyas líneas de fuerza (los pequeños círculos blancos) 

sean normales al conductor, la fuer- 
za F que se ejerce sobre el con- 
ductor es igual, como se puede de- 
mostrar, a: 

1 

F = — Hll. 

10 

Si en esta fórmula se supone H 
medido en gauss; / en amperios; l 
en centímetros, resulta F expresada 

Fig. 732. — Valor de la fuerza. dinaS. 

* Demostración. — Sea un conductor circular de radio R en 
cuyo centro supondremos colocada una masa magnética norte igual 
a m (fig. 733). Esta masa m estará solicitada por una fuerza F 
dirigida, en el caso de la figura, hacia atrás 
del plano del dibujo, y cuyo valor será igual 
al producto de la masa m por la intensidad 

en el centro por el 

conductor circular: 

2 7i7 

F = mFF = m . 

10 R 

En virtud del principio de la igualdad F¡ g . 733. 

de la acción y la reacción la masa magné- 
tica m ejercerá sobre el conductor una fuerza F igual y opuesta, o 
sea dirigida hacia delante del plano del dibujo. Si multiplicamos 
y dividimos la expresión de la fuerza F por R tenemos: 

1 m 

F = / (2 7 tR). 

10 R 2 


H ’ del campo originado 





Física Elemental 


469 


En esta expresión m/R 2 es el campo H originado por la masa 
m en el lugar donde está el conductor y 2 ttR es la longitud l del 
mismo. Se tiene así: 

1 

F = — HIl. 

10 

384. Rueda de Barlow. — Aprovechando el efecto de un cam- 
po magnético sobre una corriente se puede construir un aparato 
en el cual se produce una rota- 
ción. Esto constituye un motor 
eléctrico. El principio de esta 
clase de motores se comprende 
observando la figura 734 que 
representa una rueda dentada 
colocada en un campo magné- 
tico originado por un imán no 
representado en la figura. Los 
dientes de esta rueda tocan al 
pasar por la parte inferior la 
superficie del mercurio colo- 
cado en una canaleta. Si la 
corriente entra por el mercu- 
rio de la canaleta y sale por 

el eje de la rueda, dicha corriente reco- 
rrerá un radio de la rueda dirigiéndose 
hacia arriba. Si el polo norte del imán 
está delante y el sur detrás, las líneas 
de fuerza del campo magnético (puntos 
blancos) irán de delante hacia atrás. 
Aplicando la regla de la mano dere- 
cha, ya mencionada, se ve que esa co- 
rriente estará solicitada por la fuerza 
F con lo cual la rueda girará en el 
sentido indicado en el dibujo. 

385. Acciones entre corrientes. 
— Suspendiendo un cuadro de alambre 
en el aparato de la figura 713 y disponiendo de otro cuadro pro- 
visto de un mango (fig. 735) es fácil observar que: 

Corrientes paralelas de igual sentido se atraen ; 

Corrientes paralelas de sentido opuesto se repelen. 



Fig. 735. — Acción entre lea 
corrientes. 



Fig. 734. — Rueda de Barlow. 


470 


E. L O E D E L 


que 




Explicación. — Sean A y B las secciones de dos conductores 
atraviesan normalmente el plano del dibujo (fig. 736). Supon- 
gamos que en ambos 
la corriente se dirija de 
delante hacia atrás. Se 
han representado en ne- 
gro las líneas del cam- 
po de la corriente A y 
en blanco las líneas de 

Fig. 736. — Corrientes para- 1 mrripntp R frpcrlíí Fie ‘ '37. — Corrientes para- 
lelas de fgual sentido. ' o lelas de sentido opuesto. 

del tirabuzón). El con- 
ductor B se encuentra en el campo magnético originado por A. 
Las líneas de fuerza de ese campo en la región donde está B van 
hacia la parte inferior del dibujo. 

Colocando la mano derecha sobre el conduc- 
tor B con la palma hacia la parte inferior del dibujo 
y las puntas de los dedos hacia atrás se ve que la 
fuerza que actúa sobre B está dirigida hacia A. Aná- 
logamente se vería que la fuerza que actúa sobre A 
está dirigida hacia B. Las corrientes se atraen. 1 
En la figura 737 se ha supuesto que la corriente 
que circula en A va hacia atrás y en B hacia ade- 
lante. Las fuerzas son ahora de repulsión. 

A consecuencia de la atracción entre corrien- 
tes paralelas de igual sentido, una hélice (fig. 738) 
recorrida por una corriente se encoge. Cuando esto 
sucede, la punta de la hélice sale de la pequeña 
cubeta de mercurio con lo cual se interrumpe el circuito. Vuelve 
entonces la hélice a su posición anterior, se cierra el circuito, y 
se repite el fenómeno periódicamente. 


386. Motor eléctrico. — Hemos visto ya 
el principio de dos motores eléctricos en 
los párrafos 379 y 384. Los motores que se 
aplican en la práctica aprovechan esos mis- 
mos principios aunque son algo más com- 
plicados. Más adelante nos ocuparemos de 
ellos. Sepamos por el momento que en los 
motores eléctricos se transforma parte de 
la energía eléctrica en trabajo mecánico. 

Si se tiene un circuito como el que indica la figura 739, con una 
lámpara instalada en serie con un motor eléctrico, se observa que 



Fig. 738. — La 
hélice se contrac 
periódicamente. 



Fig. 739. — Al frenar el motor 
la lámpara brilla más. 


Física Elemental 


471 


si el motor está frenado y no efectúa trabajo, la intensidad de 
la corriente que circula es grande y la lámpara brilla intensamente. 
En este caso toda la energía de la corriente se transforma en calor. 
Si el motor funciona, realizando un trabajo, la intensidad de la 
corriente disminuye, lo que se revela por el menor brillo de la 
lámpara. En el circuito se produce ahora 
menos calor que antes, pues parte de la 
energía eléctrica se transforma en trabajo. 

Pero, ¿cómo es posible que se produzca 
ahora menos calor que antes? ¿No es acaso 
igual la resistencia del circuito? Se pro- 
duce menos calor porque la intensidad de 
la corriente es menor cuando el motor 
funciona. Pero, ¿cómo puede ser la inten- 
sidad menor? ¿No vale acaso ya, la ley de 
Ohm? Sí, la ley de Ohm sigue valiendo, 
y si la intensidad de la corriente es menor 
debe admitirse que al funcionar el motor se origina una corriente 
eléctrica de sentido contrario a la corriente principal , siendo la 
intensidad resultante igual a la diferencia de ambas intensidades. 

Si es cierto esto, suprimiendo la batería (fig. 740) y haciendo 
girar el motor (con la mano por ejemplo) deberá observarse que 
éste genera una corriente eléctrica. Eso es efectivamente lo que se 
observa: los motores eléctricos pueden funcionar como dínamos 
generadores de corriente eléctrica. Se vislumbra ya un nuevo fenó- 
meno: la producción de corrientes eléctricas en conductores que 
se mueven en un campo magnético. Son las corrientes inducidas de 
las cuales nos ocuparemos en el próximo capítulo. 

Obsérvese que la existencia de esas corrientes resulta como con- 
secuencia del principio de conservación de la energía. 

INSTRUMENTOS DE MEDIDA 

387. Galvanómetros. — En los galvanómetros de cuadro móvil 
(fig. 741) la corriente a medirse se hace circular alrededor de 
un cuadro liviano suspendido por un hilo muy delgado y conductor 
del tornillo T. Este cuadro se halla entre los polos de un imán. 
Al circular la corriente el cuadro se comporta como un pequeño 
imán en forma de barra dispuesto perpendicularmente al plano del 
cuadro. Por lo tanto el cuadro tiende a girar, al pasar la corrien- 
te, hasta colocarse normalmente a las líneas de fuerza del imán. 



Fig. 740. — El motor «a abora 
dínamo. 


472 


E. Loedel 


El ángulo que gira el cuadro permite medir la intensidad de la 
corriente. Para apreciar el ángulo de giro, el hilo de suspensión 

lleva un pequeño espejo E que 
refleja un haz de luz sobre una 
escala. Se consigue de este mo- 
do medir corrientes sumamente 
débiles, del orden de 1 cienmi- 
llonésimo de amperio. 

* Brújula de tangentes. — 
En el centro de un conductor cir- 
cular de radio R (fig. 742) se 
coloca una brújula que se mue- 
ve en un plano horizontal. El 
plano del conductor, que es ver- 
tical, se hace coincidir con la 
dirección de la aguja por lo 
cual dicho plano coincide con 
el meridiano magnético. Al pasar la corriente la aguja se desvía 
en cierto ángulo a. En la parte infe- 
rior de la figura se supone el aparato 
visto desde arriba. Se ha exagerado el 
tamaño de la aguja, que es muy pe- 
queño. Sobre la aguja actúa la compo- 
nente horizontal H del magnetismo te- 
rrestre y el campo magnético IV origi- 
nado por la corriente circular de ra- 
dio R. 

El valor de H’ es, según vimos 
(381) cuando la corriente se mide en 
amperios : 

2 7T I 

W = gauss. 

10 R 

* 

Si el conductor da n vueltas alre- 
dedor del aro el valor de H’ será: 

2 irn 1 

H’ — gauss. 

10 R 

La resultante entre los campos H y H’ debe tener la dirección 
de la aguja. 





Física Elemental 


47a 


Por lo que: 


de donde: 


H’ 2 7r ni 

tg a — — ; tg a = , 

H 10 RH 

10 RH 

/ = tg a amperios. 

2 7 r n 


Éste es un galvanómetro absoluto. Un galvanómetro cualquiera 
puede graduarse conectándolo en serie con un galvanómetro de esta 
clase. Debe conocerse, como es natu- 
ral, el valor exacto de la componente j 

horizontal del magnetismo terrestre. \'já$r \ ''h\ 




Amperímetros y voltímetros. — 
Existen muchos tipos de estos instru- 
mentos. Esencialmente un amperímetro 

i 7-T” ~~ es i g ual a un 

7 >Jt?f rt voltímetro; la 

! r < ' diferencia con- 






: ; j' | voltímetro; la ; 

y-, diferencia con- 

siste en que el 

tiene una re- ® 

¿\ sistencia inte- f¡¡>. 


1 7^ quena y el voltímetro una resistencia interior 

La corriente recorre una pequeña bobina 
Fi g . 744. — conexión de un g (fig. 743) colocada entre los polos de un 

amperímetro y de un . , D • r 

voltímetro. imán poderoso. El bastidor de esta bobina 

tiene fija una aguja que recorre un cua- 
drante graduado. En el eje de giro de la bobina se fija un resorte 
en forma de espiral. La corriente entra a la bobina móvil por uno 
de los extremos del eje de giro y sale por el otro extremo. Para 
esto una parte de dicho eje no debe ser metálica. 

Los amperímetros deben conectarse en serie y los voltímetros en 
derivación. En la figura 744 se ha conectado el amperímetro A en 
serie con la resistencia CD y el voltímetro V en derivación entre 
C y D. De este modo se conocerá la intensidad que pasa por CD 
y la diferencia de potencial entre esos puntos. 












Kír. 743. — Amperímetro o voltímetro. 





474 


E. Loedel 


Advertencia. — Si la resistencia CD es muy grande las indi- 
caciones del voltímetro pueden resultar completamente falseadas. 
Esto proviene de la circunstancia de que al intercalar el voltímetro 
varía la resistencia entre los puntos C y D. Se comprende ahora 

porqué la resistencia interior de un 
voltímetro debe ser muy grande. 

* 388. Trabajo electromagnético. 
— Consideremos un polo magnético 
norte aislado situado en el campo 
magnético originado por una corriente 
eléctrica rectilínea (fig. 745). Sabemos 
que polos magnéticos aislados no exis- 
ten, a pesar de lo cual es útil su con- 
sideración desde el punto de vista teórico. Si la masa magnética 
de ese polo es igual a m estará solicitado por una fuerza igual a 
mH, llamando H al campo magnético que origina la corriente en 
el lugar donde se encuentra el polo considerado. Siguiendo las 
líneas de fuerza de la corriente este polo daría 
vueltas alrededor del conductor. El trabajo en 
cada vuelta será: 



Fig. 745. — Trabajo electromagnético. 


T = mH X 2 ttR y como H = 


2 / 


10 R 


resulta: 


T = 


4 7 r/ 


10 


m — 0,4 7r Im. 



Fig. 746. — Trnbajo 
electromagnético. 


Este trabajo resulta expresado en ergios si se 
mide I en amperios. Como se ve, el trabajo por 
vuelta es el mismo, tanto que el polo conside- 
rado se mueva cerca o lejos del conductor, pues 
en la fórmula final no interviene R. Si el camino consta de n vuel- 
tas el trabajo será: 

4 77 1 

T = n m, 

10 


cualquiera sea la forma del conductor (fig. 746). 




Física Elemental 475 

En cambio si el camino es cerrado y no rodea al conductor el 
trabajo . es nulo. De lo que precede se desprende que el campo 
magnético originado por las corrientes es un campo de fuerzas no 

conservativo o lo que es lo mismo, es un cam- 
po que no admite un potencial (pár. 244). 

PROBLEMAS 

i 

1. Una brújula está colocada sobre el cable 
AB orientado en la dirección del meridiano 


Fig. 747. 


Fig. 748. 


magnético. Al cerrar el circuito la corriente pasa de A hacia B 
(fig. 747). Indíquese hacia dónde se desvía la aguja. 

2. Señálese en la figura 748 dónde estará el polo norte y el polo 
sur del solenoide al cerrar el circuito; y dibújense las líneas de 


Kig. 749. 


Fig. 750. 


3. Señálese hacia dónde se dirigirá el conductor AB de la figura 
749 al cerrar el circuito. 

4. Una aguja magnética (fig. 750) está orientada en la dirección 
N S del meridiano magnético. La aguja gira en un plano hori - 


476 


E. Loedel 


zontal. Al pasar una corriente rectilínea vertical por O la aguja 
se inclina 45°. Siendo la distancia de O a la aguja igual a 10 cm 
calcular la intensidad de la corriente. Se supondrá que la com- 
ponente horizontal del campo magnético terrestre es igual a 
0,2 gauss. 

Se tendrá: 

2 1 10 RH 

H = ; I = = 10 amperios. , 

10 R 2 


5 . Calcúlese el campo magnético en el interior de un solenoide rec- 
tilíneo de n espiras y longitud 1 siendo la intensidad igual a I 
amperios. El radio de las espiras se supone pequeño con res- 



Fig. 751. 


pedo a 1. 

Si suponemos que hacemos reco- 
rrer a un polo norte de masa mag- 
nética m un camino cerrado cual- 
quiera como el indicado en blanco 
en la figura 751, el trabajo será 
igual a: 

4 7r ni 

T = m, 

10 


pues por tener el solenoide n espiras se rodea n veces al con- 
ductor. Este trabajo es la suma del trabajo Ti que se realiza en 
el trayecto interior más el trabajo T e al retornar al punto de 
partida por el exterior. Suponiendo que en el interior el campo 
sea constante e igual a Hi el trabajo Ti será igual a la fuerza, 
mHi, por el camino l: 

T i = mHil. 

Si el solenoide es largo, el campo exterior es pequeño cón 
respecto al campo magnético en el interior. Suponiendo enton- 
ces despreciable al trabajo exterior T e , podrá considerarse al 
trabajo total T, igual a 7\. Resulta así: 

4 7r ni 4 7 mi 

mHil = m; Hi = . 

10 10 l 

Si n = 1 000, l = 100 cm e 7 = 1 amperio el campo en 
el interior es igual a 4 ir = 12,56 gauss. 


CAPÍTULO XXVIII 


CORRIENTES INDUCIDAS 

389. Inducción electromagnética. — Sea un carrete (fig. 752), 
conectado a un galvanómetro G. En el circuito no hay ninguna 
pila, por lo cual el galvanómetro no acusará el paso de corriente 
alguna. Si acercamos ahora al carrete un imán, notamos que el 
galvanómetro se desvía. Si el imán está en reposo ya no pasa 
corriente por G. Alejándolo, observaremos el paso de otra corrien- 
te. Cuando se acerca un polo norte la corriente tiene cierto sen- 
tido; cuando se aleja di- 
cho polo norte, el sentido 
es opuesto. Al acercar un 
polo norte se produce una 
corriente de igual sentido 
que al alejar un polo sur. 

En lugar del imán pue- 
de utilizarse un segundo 
carrete, recorrido por una 
corriente. Este segundo 
carrete, que es un solenoi- 
de, se comporta también 
en este caso como un imán. 

Las corrientes que acusa el 
galvanómetro se llaman 
corrientes inducidas . 

xig. ijj. burílenle 

Para que se produzcan inducida en n. 
corrientes inducidas es 
necesario que varíe el campo magnético que atraviesa el circuito . 
inducido. 

Estas corrientes inducidas duran todo el tiempo que dure la 
variación del campo. 

Si éste es producido por otro carrete por el cual circula una 
corriente (fig. 753), pueden obtenerse corrientes inducidas en el 
circuito II de estos modos: 




Fig. 752. — Corriente 
Inducida. 



478 


E. Loedel 



Miguel Faraday (1791 • 1867). 


Fig 753. — Flujo. 


Cerrando o abriendo el circuito I. 

Variando la intensidad de la corriente en el circuito I. 
Introduciendo o alejando I de II. 

Al circuito I se le llama inductor y al II inducido. 

Las corrientes inducidas fueron descubiertas por Faraday. 


390. Ley de Faraday. — Consideremos una espira de conductor 
de S centímetros cuadrados colocada normalmente a las líneas de 
fuerza de un campo magnético de H gauss (fig. 755). Se denomi- 
na flujo y se le designa con la 
letra 4> al producto de S por 


H. Si en lugar de una vuelta se tienen n vueltas el flujo será: 

4» = nSH. 

Este flujo se mide en una unidad llamada maxwell. Cuando un 
campo de un gauss atraviesa normalmente un circuito de un centí- 
metro cuadrado, se dice que el flujo es de un maxwell. Si la sección 
de las espiras no es normal a las líneas de fuerza del campo mag- 
nético, la sección S que debe considerarse (fig. 756) es la proyec- 
ción de la sección real S r sobre un plano perpendicular a las líneas 
del campo. 

La ley de inducción de Faraday puede enunciarse así: La fuerza 
electromotriz inducida en un circuito, en un instante dado, es pro- 
porcional a la velocidad con que varía el flujo que atraviesa el cir- 
cuito en ese momento. 


Física Elemental 479 

Si en un intervalo de tiempo A t, el flujo que atraviesa el cir- 
cuito varía en A4>, la velocidad media con que varía el flujo será: 


Considerando un intervalo de tiempo muy pequeño, esta velo- 
cidad media se convertirá en la velocidad instantánea de variación 
del flujo en un momento dado. Llamemos 
a la velocidad con que varía el flujo en 
un momento dado. La fuerza electromotriz 
inducida E{ es proporcional a 4>\ Si el tiem- ■ 

po se mide en segundos y el flujo en max- KrKpll 

wells, para que Ei quede expresado en voltios 
debe multiplicarse por un cien milloné- 
simo o sea por 10“ 8 . La ley de Faraday se ' V-’ V 




Ei = — X 10 -8 voltios. 

= velocidad de variación del flujo. 


Fig. 756. — Flujo. 


El signo menos proviene del sentido de la fuerza electromo- 
triz, sentido del cual nos ocuparemos al tratar de la regla de Lenz. 


, $zfO?/rmx. 

|í r <$ z -Q¿xiQ 7 max. 
m/t=w'rs&g 

Bis: 8 voltios 

1 

HWHEkH 

Fig. 757. 


Ejemplo: Una bobina (fig. 757) 
tiene un arrollamiento de 1 000 vuel- 
tas. La sección de la misma es de 100 
cm 2 . Esa bobina se encuentra en un 
campo magnético de 100 gauss. El 
flujo será: 

4»i = nSH = 10 7 maxwell. 


Consideremos que en un centésimo de 
segundo el campo se reduce a sólo 20 gauss. El flujo ahora será: 

$2 = nsH = 0,2 X 10 7 maxwell. 

La variación del flujo ha sido: 

— *2 = 8 X 10 6 maxwell. 


Esta variación tuvo lugar en un tiempo de 0,01 seg. 



480 


E. Loedel 


La velocidad <$’ con que varía el flujo en ese intervalo será: 

8 X 10 6 maxwell 

= = 8 X 10 8 . 

0,01 segundo 

Supondremos que el flujo decreció en forma uniforme. 

La fuerza electromotriz Ei es: 

Ei = 10 -8 = 8 voltios. 

391. Sentido de las corrientes inducidas. Regla de Lenz. — 
Esta regla dice lo siguiente: El sentido de una corriente inducida 
es tal, que sus efectos se oponen a las acciones que la generan. 
Esto quiere decir 
lo siguiente: si se 
acerca el polo nor- 
te de un imán a la 
bobina de la figu- 
ra 758 I, se origi- 
na una corriente 
inducida; la acción 
que origina a ésta 
es entonces: 

Acercamiento a la 
parte A de un polo 

norte. 

La corriente ten- 
drá un sentido tal 
que sus efectos se opondrán a ese acercamiento. ¿De qué modo 
pueden oponerse? Pues, produciéndose en A un polo norte que 
repela al imán inductor. Para que en A se forme un polo norte la 
corriente debe circular de tal modo que mirando a A de frente 
(desde arriba) se vea la corriente circular en sentido inverso al de 
las agujas de un reloj (374). 

En la figura se han representado otros casos que conviene que 
el alumno discuta por su cuenta. 

La regla de Lenz es consecuencia directa del principio de con- 
servación de la energía. 

La corriente que se produce en el circuito inducido cuando acer- 
camos un imán puede efectuar cierto trabajo; representa cierta 



Fig. 758. — Regla de Lenz. 



Física Elemental 481 

energía. ¿De dónde sale ésta? Sale sencillamente del trabajo mecá- 
nico que debemos efectuar para acercar el imán. 

La regla de Lenz es equivalente entonces a lo siguiente: El sentido 
de la corriente inducida es tal, que obliga al gasto de una energía. 

392. Inducción mutua. — Si se 

tienen dos circuitos próximos (I y 
II fig. 759), parte de las líneas de 
fuerza del campo magnético de uno 
de ellos atraviesan el otro. Si en uno 
de ellos se produce una variación 
de intensidad de corriente, se ori- 
ginará en el otro una fuerza elec- 
tromotriz inducida proporcional a Fig. 759. — Inducción mutua, 

la velocidad con que varía la inten- 
sidad de la corriente. La figura 760 muestra dos circuitos acopla- 
dos de tal modo que todas las líneas del campo del I atraviesan 

el II. El grado de acoplamiento 
de dos circuitos se mide por una 
magnitud especial que depende 
de la forma y posición de los 

mutua. La inducción mutua se 
Fig. 760. — Inducción mutua. mide en una unidad llamada 

*' henry. Se dice que la inducción 

mutua es de un henry cuando , al variar la intensidad de la corriente en 
uno de los circuitos en un amperio por segundo, se produce en el 
otro la fuerza electromotriz inducida de 
un voltio. 

393. Autoinducción — Intercalemos 
una lámpara eléctrica entre los puntos 
A y B de un circuito donde tengamos un 
electroimán (fig. 761). La resistencia de 
la lámpara es mucho mayor que la del 

devanado del electroimán por lo cual la fí b . 7 fii. — Autoinducción, 

lámpara no se enciende o se enciende 

apenas. Con el interruptor cortamos la corriente: observamos de 
inmediato que la lámpara se enciende durante un tiempo muy 
breve. ¿Qué ha pasado? Al cortar la corriente su intensidad tiende 
a disminuir, con ello varía el flujo que atraviesa las espiras de! 



mismos. A esa magnitud se la 
llama coeficiente de inducción 





482 


E. Loedel 


electroimán y se producirá en las mismas espiras una corriente indu- 
cida que tiende a oponerse (por la regla de Lenz) a que el flujo 
disminuya. Al cortar el circuito la corriente inducida debe tener 

el mismo sentido que tenía an- 
• * 

tes. Un circuito está atravesado 
por el campo que él mismo ge- 
nera. De aquí, si varía la in- 
tensidad de la corriente apare- 
cerá una corriente inducida. Si 
la intensidad aumenta la fuer- 

Fig. 762. — Cierre y apertura de un circuito. za electromotriz inducida tiene 

sentido opuesto al de la corrien- 
te principal; si la intensidad disminuye ambos sentidos coinciden. 
La autoinducción de un circuito se mide también en henrys. Se dice 
que un circuito tiene una autoinducción de 
un henry cuando se produce en el mismo una 
fuerza electromotriz inducida de un voltio si 
varía la intensidad en un amperio por segundo. 

De lo expuesto se desprende que la auto- 
inducción de un circuito hace que la corriente 
eléctrica se comporte como si tuviera inercia. 

Al cerrar un circuito, debido a la autoinduc- 
ción, se genera una corriente contraria a la 
principal. Por eso transcurre cierto tiempo 
entre el instante del cierre y el momento en 
que la intensidad de la corriente adquiere su 
valor máximo. En la figura 762 se ha repre- 
sentado la intensidad / de una corriente en 
función del tiempo, durante el cierre y durante la apertura de un 
circuito. Al pasar la llave OA a la posición OB se elimina la bate- 
ría del circui- 
to (fig. 763). 

Ese movimien- 
to correspon- 
de a la aper- 
tura. En cam- 
bio si pasa la 

Fig. 764. — Chispa de ruptura. llave de OB 3 

OA el circuito 

se cierra. En el esquema, L es un conductor arrollado, que posee 
cierta autoinducción. Cuando un circuito como el de la figura 764 
se abre, la corriente inducida de ruptura puede hacer saltar una 



Fig. 765. — Cierre y apertura en 
circuito abierto. 




Fig. 763. 




Física Elemental 


48a 


chispa en la parte interrumpida: esto es lo que se observa en las 
campanillas eléctricas. En este caso la resistencia del circuito al 
quedar abierto se hace muy grande y el tiempo que tarda la co- 
rriente en tomar el valor cero es muy pequeño como se ve en la 
representación gráfica de la figura 765. 



* 394. “Velocidad” de la corriente eléctrica. — Imaginemos 
una instalación como la de la figura 766. Dos electroimanes A y 
B están separados por 
un largo alambre, que 
puede ser una línea tele- 
gráfica.* Esté primero el 
interruptor 2 cerrado y 
el 1 abierto. Estando así, 
cerramos el interruptor 
1. Debido a la autoinduc- 
ción. una especie de iner- 
cia, la tórnente tarda 

cierto tiempo en alcanzar el valor necesario para actuar sobre los 
electroimanes. Pero el electroimán A funcionará antes que el B. Si 
inversamente, el interruptor 1 hubiera estado cerrado, al cerrar el 
contacto en 2, habría sido el electroimán B el que hubiera accionado 

primero. Luego, la trans- 
misión de una señal eléc- 
trica por un cable no tie- 
ne nada que ver con el 
sentido en que se propa- 
gue la electricidad en el 
interior del mismo. 

Sean dos vasos Vi y 
V 2 (fig. 767) en comuni- 
cación con un largo caño 
provisto de dos tubos A 
y B y de dos llaves 1 y 2. 
Inicialmente la llave 2 está abierta y la 1 cerrada^ Si abrimos la 
llave 1 se notará un movimiento del líquido primero en A que en 
B. En este caso la señal se propaga en el mismo sentido que la 
corriente de agua, porque el nivel en Vi es superior al nivel en V %. 
Si en cambio (parte inferior de la figura) se encuentra inicialmente 
la 11 ave 1 abierta y la 2 cerrada, al abrir ésta, la 2, se notará un 
movimiento en B antes que en A. En este caso la señal se propaga 
en sentido inverso al del movimiento del líquido. 



j 

Á S 

1 f ‘TI 

i 

' 

1 - í W 

L 




jT 

líl ' 


A 


mm 

I r. . 



Fig. 767. — Velocidad del liquido y velocidad de 
propagación de una onda. 



484 


E. Loedel 


Al abrir cualquiera de las llaves, en el caso del líquido, se 
produce en el lugar de la llave una variación de presión. Esto da 
origen a la producción de una onda longitudinal, que se propagará 
con la velocidad con que se propagan en ese líquido las ondas lon- 
gitudinales, o sea las ondas sonoras. Esta velocidad no depende de 
la forma del tubo. 

En un cable eléctrico, la propagación de la onda, que tanto 
puede marchar en el sentido de la corriente como en sentido opuesto, se 
efectúa con la velocidad de la luz y en parte por el exterior del cable. 

El tiempo que tarda la corriente en adquirir su valor máximo 
o el valor necesario para accionar un electroimán, depende de la 
autoinducción del circuito. Decir esto equivale a decir que depende 
de la forma del conductor. En cuanto a la velocidad de la electrici- 
dad en el interior del conductor o sea a la velocidad de los elec- 
trones, ella es comparable con la velocidad de las partículas de 
agua en el interior del tubo de nuestro ejemplo. Esa velocidad es 
sumamente pequeña, del orden de los milímetros por segundo, y su 
sentido es opuesto al que se le atribuye a la corriente. En resumen, 
en el caso de una corriente eléctrica debe distinguirse entre: 

Velocidad de los electrones en el cable: muy pequeña. 

Velocidad de propagación de una onda = Velocidad de la luz. 

Tiempo que tarda en alcanzar la corriente su valor estacionario: 
depende de la forma del circuito. 

Luego, entre el momento en que se aprieta en Buenos Aires un 
manipulador Morse y el momento en que en Montevideo funciona 
el electroimán del receptor, puede transcurrir un tiempo variable, 
siempre mayor que el que tardaría la luz en ir de 
una estación a la otra. Ese tiempo es tanto mayor 
cuanto mayor sea la autoinducción del circuito. 

395. Corrientes de Foucault. — Si se hace os- 
cilar una masa de cobre (fig. 768) en*re los polos 
de un electroimán, se observa que apenas se excita 
éste, el péndulo se frena en forma brusca. Al cor- 
tar la masa de cobre las líneas de fuerza del campo 
magnético originado por el electroimán, se pro- 
ducen en aquella masa corrientes inducidas cuyo sentido, por la 
regla de Lenz, es tal que se opone al movimiento. 

Si se hace mover el péndulo entre los polos del electroimán, 
para lo cual es necesario gastar un trabajo, se observa aue se 
calienta, pues la energía de las corrientes inducidas se transforma 
en calor. 



Fig. 768. 



Física Elemental 


485 


Estas corrientes llamadas de Foucault circülan en la masa metá- 
lica como remolinos. De aquí que si esa masa metálica tiene cor- 
tes (fig. 769), las corrientes se hacen mucho más débiles. Un péndulo 
de esta forma oscila entre los polos del electroimán experimentando 
un frenamiento muy débil. En las máquinas generadoras de electri- 
cidad y en los motores eléctricos se mueven siempre masas metá- 
licas en campos magnéticos intensos. Se producen 
corrientes de Foucault que calientan esas masas. 

Esto implica en la práctica una pérdida de energía. 

Se procura por esta razón que las piezas metálicas 
en movimiento tengan cortes para que las corrien- 
tes de Foucault sean débiles. 

396. Corrientes inducidas en un conductor 
móvil. Regla de los tres dedos de la mano dere- 
cha. — Sean dos rieles metálicos AB y CD (fig. 

770) conectados con un galvanómetro G. Estos 
rieles están colocados en el campo magnético origi- 
ginado por los polos de un imán. Una varilla metálica V puede 
desplazarse sobre los rieles. Se observa que al mover la varilla 
rápidamente, cortando las líneas de fuerza del campo, se produce 
una corriente inducida que es revelada por el galvanómetro. El sen- 
tido de la corriente inducida cuando se mueve la varilla hacia la 
derecha, es opuesto al sentido de 



Fig. 769. 




Fig. 770. — Corriente inducida a) desplazar 
la varilla V . 


Fig. 771. — Sentido de la 
corriente inducida. 


la corriente cuando el movimiento se efectúa hacia la izquierda. 

En la figura 771 se ha representado el ipismo dispositivo visto 
desde arriba. Los puntos blancos representan la intersección de 
las líneas de fuerza con el plano del dibujo, que coincide con el 
plano determinado por los rieles. Las líneas de fuerza van de 
delante hacia atrás. 



486 £. Loedel 

Supongamos que la varilla se mueve en el sentido que indica 
el vector V (velocidad). De acuerdo a la regla de Lenz, la corriente 
inducida tendrá un sentido tal, que haga aparecer una fuerza F 
que se oponga al movimiento. Para que esto suceda, la corriente 
inducida deberá ir en la varilla del extremo 1 al 2 de acuerdo a 

la regla de la mano derecha 
(383). En efecto, colocando la 
mano derecha sobre la varilla, 
con la palma hacia abajo (ha- 
cia donde van las líneas de fuer- 
za) si el dedo pulgar se coloca 
según F , la muñeca de la mano 
está en 1 y el extremo de los de- 
dos en 2. Por lo tanto de acuerdo 
a la regla de Lenz la corriente 
inducida tiene en este caso el 
sentido indicado en la figura: en 
la varilla móvil de 1 a 2. 

En las máquinas generadoras 
de corriente eléctrica, se apro- 
vechan las corrientes inducidas que se producen en cables que cor- 
tan líneas de fuerza. Por eso es útil una regla que permita hallar 
de inmediato el sentido de la corriente inducida conociendo el 
sentido de las líneas de fuerza y el sentido del movimiento. Ya 
sabemos que si las líneas de fuerza van hacia atrás (fig. 771) y 
el movimiento está dado por V la co- 
rriente inducida irá de 1 hacia 2. Colo- 
quemos el dedo pulgar, el índice y el 
mayor de la mano derecha (fig. 772) 
formando un triedro trirrectángulo. Si 
ahora colocamos el índice en el sentido 
de las líneas de fuerza y el pulgar en 
el sentido del movimiento el dedo ma- 
yor indicará el sentido de la corriente 
inducida. 

En el caso de la figura 771 debe 
colocarse el índice perpendicularmente 
al plano del dibujo y el pulgar en el sentido del vector V : el dedo 
mayor estará dirigido de 1 hacia 2. 

* 397. Deducción de la ley de Faraday. — Si el conductor AB 
(fig. 773) que desplazamos en el sentido del vector V tiene una 




Física Elementa! 


487 


longitud l y el campo supuesto uniforme es H , siendo / la intensi- 
dad de la corriente inducida, la fuerza F que se opone al movimiento 
valdrá ( 383 ) : 

1 

F = — HIl (dinas). 

10 

Esta fuerza resulta expresada en dinas midiendo H en gauss, 
I en amperios y Z en centímetros. 

Si el conductor se desplaza con movimiento uniforme hasta ocu- 
par la posición A’B\ y este desplazamiento vale x centímetros el 
trabajo realizado será: 

1 

Fx = — HIlx (ergios). 

10 

Para expresar este trabajo T en julios dividimos por diez millo- 
nes, pues un julio es igual a diez millones de ergios: 

T = HIlx 10 -8 (julios). 

Si la fuerza electromotriz inducida es Ei voltios y el tiempo 
transcurrido en recorrer el trayecto x es A t segundos, dicho trabajo 
será igual también a: 

T = EilAt (julios). 

Al igualar estos dos trabajos estamos aplicando el principio de 
conservación de la energía. Luego: 

EjAt = HIlx 10- 8 . 

En esta fórmula Hlx no es más que la disminución A4> del 
flujo a través del circuito, pues Ix es la disminución de la super- 
ficie. Podemos poner: 

Hlx = — A«í>. 


Resulta entonces: 

A4> 

Ei = 10' 8 voltios = — 4>’ X 10 -8 voltios. 

A t 


398. Cantidad de electricidad inducida. — Si en una bobina 
el flujo varía (fig. 757) acercando o alejando un imán, etc., y 



488 


E. Loedel 


dicho flujo pasa de un valor <J?i a otro valor $2 la cantidad de 
electricidad inducida Q es igual a: 

1 

Q — — (<l>i — $ 2 ) 10 -8 culombios, 

R 

estando R , la resistencia del circuito inducido, medida en ohmios, 
y el flujo en maxwells. 

* Demostración. — La intensidad / de la corriente inducida la 
obtenemos dividiendo la fuerza electromotriz inducida por la resis- 
tencia R : 

Ei 1 A4> 

/ = = 10“ 8 amperios. 

R R At 

Prescindimos aquí del signo que interesa sólo para conocer el 
sentido de la corriente inducida. De la relación anterior tenemos, 
multiplicando por el tiempo At: 

1 

lAt = — A<3> 10“ 8 culombios. 

R 

El primer miembro es la cantidad de electricidad A Q produ- 
cida en el intervalo de tiempo At. La cantidad total Q será la suma 
de esos A Q: 

Q = + A@2 -j- . . . ; 

así como la suma de los A<í> dará la variación total del flujo: 

$1 — $2 — A$i -j- A$2 - 1~ • • • 

Por lo tanto: 

1 

Q — — ($1 — $ 2 ) 10” 8 culombios. 

R 

FLUJO DE INDUCCIÓN. PERMEABILIDAD MAGNÉTICA 

399. Flujo de inducción. — Sea una bobina en forma de ani- 
llo (fig. 774) por la que circula una corriente eléctrica proveniente 
de una batería. Una parte de esta bobina primaria está envuelta por 
otra bobina secundaria que comunica con un galvanómetro. Si en 



Física Elemental 


489 


el circuito primario varía la intensidad de la corriente se produce 
una corriente inducida en el secundario que hace desviar la aguja 
del galvanómetro. Lo mismo ocurre si se cierra o se abre el circuito 
primario con un interruptor. En este último caso la corriente indu- 
cida circula durante un tiempo muy breve. 

Si el galvanómetro tiene una inercia grande se demuestra que 
su desviación es proporcional a la cantidad de electricidad que ha 
pasado por él. Un galvanómetro que mide la 
cantidad de electricidad que pasa por su de- 
vanado en un tiempo muy breve, se llama 
galvanómetro balístico. 

Midiendo la cantidad de electricidad in- 
ducida durante el cierre o la apertura del 
circuito primario se podrá conocer el flujo 
que atraviesa el circuito secundario. 

Supongamos que el flujo pasa del valor 
cero al valor $ al cerrar el circuito, cuando 
en el interior de la bobina anular exista el 
vacío (prácticamente aire). Si repetimos la 
operación llenando el anillo con alguna subs- 
tancia observaremos que, siendo las demás 
condiciones las mismas, el flujo es ahora 
otro. Supongamos para fijar ideas, que se trata de un anillo de 
hierro de sección circular. Las medidas podrían hacerse con dos 
bobinas idénticas: una con aire y otra con hierro. Se observará que 
para un mismo valor de la intensidad de la corriente en el prima- 
rio de ambas bobinas el flujo es mucho mayor en la que tiene hierro. 

Permeabilidad magnética. — Si el flujo en la bobina con la 
substancia es <í>F y el flujo en la misma bobina en el vacío es <í> 
(para el mismo valor de la intensidad de la corriente) al cociente 
de ambos flujos se le denomina permeabilidad magnética de la 
substancia, que se designa con la letra p: 

p = . 

& 

Si llamamos H al campo magnético generado en el interior de 
la bobina por la corriente primaria el flujo <t> a través de una 
sección S de la misma es, existiendo el vacío 



<f> = HS. 



490 


E . Loedel 


El flujo 4 >f será: 

<í>F — ; <í>F — fiH S. 

Al producto de la permeabilidad magnética ¡i por el campo 
magnético H se le llama inducción magnética y se le representa 
co-n la letra B: 

B — fiH. 

El flujo de inducción se halla multiplicando la inducción B 
por la sección S. 

Conociendo la sección 5 del primario y el número de espiras 
n del carrete secundario cuando en el interior de la bobina existe 
el vacío, la medida del flujo nos dará el valor del campo H en 
el interior de la bobina, pues debe ser: 

4 > 

4> = nSH ; H = . 

nS 

Análogamente cuando existe en el interior una substancia, la 
inducción magnética B estará dada por: 

4>f 

B = . 

nS 

Se observa en el caso del hierro que el valor de la permeabi- 
lidad magnética depende de la intensidad del campo magnético. 
Realizando experiencias sucesivas con las dos bobinas idénticas, 
una con hierro y otra con aire y variando la intensidad de la co- 
rriente del primario se puede hallar la dependencia entre la induc- 
ción B y el campo H. 

En la figura 775 se ha representado B en función de H para 
•el hierro dulce. He aquí algunos valores numéricos: 


H = 0,25 

1,00 

5,00 

100 

1000 

B = 2 200 

10 240 

14470 

18 050 

22 570 

B 

H = — = 8 800 

10 240 

2 894 

180,5 

22,57 

H 

En realidad las medidas 

se efectúan 

como se 

verá en 

el párrafo 



Física Elemental 


491 


Entre la permeabilidad magnética /i y la susceptibilidad mag- 
nética k (pág. 386) se demuestra que existe la relación: 

fi — 1 -f- 4 irk. 

En cuanto a la denominación de permeabilidad magnética la 
razón es la siguiente. Si se coloca entre los polos de un imán un 
trozo de hierro (fig. 776) se observa que 
las líneas de fuerza del campo magnético se 
desvían como si el hierro les ofreciera me 
nos resistencia. 

En el interior de un imán permanente 
existe también un flujo de inducción fácií 
de medir. Si el imán es muy largo y se le 
hace atravesar una pequeña bobina unida a 
un galvanómetro balístico (fig. 777) reti- 
rando rápidamente al imán, la cantidad de 
electricidad inducida nos servirá para medir 
el flujo de inducción en el interior del mismo. 

El flujo de inducción se representa por las llamadas “ líneas de 
inducción ’. . 

Si el flujo que atraviesa determinada superficie es igual a 4 
maxivell se dirá que la superficie está atravesada por 4 líneas de 
inducción. 

Las líneas de inducción son siempre cerradas . .En un imán per- 
manente colocado en él aire las líneas de inducción de la parte 

exterior son simplemente las lí- 


Fig. 776. — Líneas de inducción. Fig. 777. — Medida del flujo de un imán. 

neas de fuerza del campo magnético originado por el imán. En la 
figura 712 de la página 456 las líneas blancas representan en reali- 
dad líneas de inducción. 

i 

Intensidad del campo magnético en el interior del hierro. 
— Consideremos que las líneas de inducción pasen del hierro al 
-aire atravesando normalmente cierta superficie S. Designando por 






492 


E. Loedel 


Hí a la intensidad del campo magnético en el interior del hierro 
cuya permeabilidad es /i, el flujo en el interior será: 

4 » — / ulHíS. 

Siendo la permeabilidad magnética del aire igual a 1, llamando 
H e a la intensidad del campo magnético en el aire y en las proxi- 
midades de la superficie de separación de ambos medios, el flujo, 
que debe ser igual al anterior, será: 

4> = H e S. 


De ambas igualdades deducimos: 

_H e 

¡xll i H g H í . 

Luego, en el interior del hierro, la intensidad del campo magné- 
tico es en general mucho menor que en el exterior. Las líneas de 
inducción están más juntas en el hierro, pero las líneas de fuerza, 

que representan al campo mag- 
nético, están más separadas. 

400. Anillo de hierro en un 
campo magnético. — Debido a 
la permeabilidad magnética del 
hierro las líneas de inducción 
en el interior de un anillo de 
ese metal colocado en un cam- 
po magnético se disponen como 
muestra la figura 778. En el 
interior hueco del anillo el cam- 
po es muy débil, prácticamente 
nulo. 

401. La “memoria” del hierro. — Supongamos que tenemos 
un trozo de hierro dulce que no ha sido imantado nunca.' Es lo 
que se llama un hierro “virgen”. Si este hierro se encuentra en 
un campo magnético nulo (H = 0) su inducción magnética será 
también nula (B = 0). 

Consideremos una instalación como la de la figura 779. La 
corriente de una batería B pasa por un carrete C\ y por otro ca- 
rrete largo C 2 . Una resistencia variable R y un amperímetro A per- 
miten variar y medir la intensidad de la corriente eléctrica. Los 



Fig. 778. — Líneas de inducción en un 
anillo de hierro. 



Física Elemental 


493 



carretes C\ y C<¿ están dispuestos de tal modo que, cualquiera sea 
la intensidad de la corriente, la aguja magnética M no se des- 
vía por el campo magnético producido por los mismos. En otras pa- 
labras el campo magnético de C\ se compensa r . v 

con el de C 2 justamente en M. • A ’ 'I 

Introduzcamos ahora dentro del carrete Co 
un alambre de ese hierro virgen. Vayamos aumen- 
wrr-** t ’ , •> tando 


poco a poco la ín- <\ g 

tensidad de la corriente 
eléctrica. Para cada va- 
lor de esta intensidad co- 
rresponderá una posición f 

diferente de la aguja M 
sometida además al cam- 
po magnético terrestre. / M 

Esto nos permitirá cono- j 

cer la imantación del 
alambre de hierro para 
diferentes valores del 
campo inductor H. 

Conociendo la imán- Mi 

tación se puede calcular Fíg. 779. 

la inducción B y se re- 
presenta así en una gráfica B en función de H (fig. 780). Se obtie- 
ne de este modo una curva tal como la O A. Si al llegar al punto A 
comenzamos a disminuir la intensidad de la corriente obtenemos 
valores de B dados por la curva A 1. 

Cuando el campo H se hace cero el alam- 
bre de hierro continúa imantado. Esta imanta- 
ción remanente está medida por la ordenada 
O 1. Invertimos ahora la corriente y llegamos, 
para un valor del campo igual a - — H, a un 
punto A\ habiendo pasado por el punto 2. 

Si ahora disminuimos la intensidad de la 

corriente llegamos al punto 3 y finalmente wImI ÍHsÍ !Ü ImHmÉ , 


Histéresis. 



494 


E. Loedel 


son los únicos valores que puede tomar B para un mismo valor de 
H. Si al llegar al punto 1 en que H — 0 (fig. 781) comenzamos' 
a aumentar H de nuevo, los valores de B estarían dados por la 
línea de puntos que parte de 1. Si en cambio hubiéramos comen- 
zado a aumentar el campo al alcanzar el punto P, la inducción B 
estaría dada por la línea de puntos que parte de P. 

En resumen, si se tiene un trozo de hierro no se puede decir 
que en un campo H adquirirá tal imantación: la imantación que 
adquiere depende de la historia del material. Si el comportamiento 
de un trozo de hierro depende de su historia, dicho trozo se com- 
porta como si tuviera memoria. Cuando un trozo de hierro se ¡manta 
en un sentido y luego en sentido contrario, es decir, cuando des- 
cribe un ciclo de histéresis, se requiere para este proceso gastar 
cierto trabajo. En las máquinas eléctricas, a causa del fenómeno 
de histéresis, parte del trabajo mecánico se transforma en calor. 

Lo que precede servirá al alumno para darse cuentg de lo com- 
plicados que son los fenómenos magnéticos. El valor de la permea- 
bilidad magnética del hierro depende, no sólo del campo que 
actúa sobre él en ese momento, sino también de los campos que 

han actuado con anterioridad. 

« 

En la elasticidad, cuando se sobrepasan los límites de la elasti- 
cidad perfecta, ocurre un fenómeno análogo: es la histéresis elás- 
tica. Estos fenómenos de histéresis hacen difícil la formulación 

exacta del principio de causalidad: “a 
iguales causas iguales efectos”. 

APLICACIONES 

402. Carrete de Ruhmkorff. Inte- 
rruptores. — Un núcleo de hierro dul- 
ce de forma cilindrica (fig. 782) se 
halla envuelto por un alambre (negro) 

Fig. 782. — Carrete de Ruhmkorff. q ue p 0cas VUeltaS y que Constituye 

el circuito primario. En este circuito se 
encuentra la batería B y un interruptor /. Este interruptor a mar- 
tillo funciona exactamente igual que una campanilla eléctrica. Al 
pasar la corriente el hierro se imanta y atrae al martillo de hierro 
dulce, con lo cual se interrumpe la corriente. Luego la varilla elás- 
tica que sostiene el martillo hace que éste vuelva a estar en contacto 
con el tornillo T restableciendo el paso de la corriente. 




Física Elemental 


495 


Se logra de este modo, en forma automática, que el circuito pri- 
mario se abra y se cierre un gran número de veces por segundo. 
Si envolviendo al circuito primario se halla un hilo que dé un gran 
número de vueltas, el flujo a través del mismo variará con rapidez, 
ya sea aumentando o disminuyendo. En este circuito secundario 
(blanco) se producen entonces fuerzas electromotrices que pueden 
ser muy grandes, de muchos miles de voltios. Por eso entre los. 
terminales del secundario salta una chispa muy intensa. 

Debido a la autoinducción, en el interruptor salta una chispa 
cada vez que se abre el circuito. Esto hace que el intervalo de tiem- 
po que tarda la corriente del primario en tomar el valor cero sea 
relativamente grande, Conviene que en la ruptura ese tiempo sea lo 
menor posible para que el flujo varíe rápidamente. Esto se logra 
intercalando un condensador eléctrico C entre el tornillo T y el 
martillo. Este condensador se coloca en la base de la caja del aparato. 

Debido a que en la ruptura del circuito 
el flujo varía con mayor rapidez que en 
el cierre, la fuerza electromotriz inducida 
durante la ruptura es mucho mayor que la 
inducida durante el cierre. Por eso los dos 
terminales del carrete secundario se com- 
portan ae modo diferente: el terminal po- 
sitivo es el que adquiere un potencial posi- 
tivo durante la ruptura del circuito. Ese 
mismo, terminal será negativo durante el cierre pero esto no cuenta 
para nada. Pongamos un ejemplo numérico. Durante la apertura 
sea el potencial de A igual a -f- 10 000 voltios y el de B cero (fig. 
783). Puede suponerse a B conectado con tierra. Durante el cierre 
seguirá siendo el potencial de B cero y A alcanzará un potencial, 
digamos de menos 100 voltios ( — 100 voltios). 

De modo que A es alternativamente positivo y negativo, pero 
cuando es negativo su potencial es pequeño en tanto que cuando 
es positivo su potencial es grande. El terminal A del secundario 
será entonces el polo positivo del carrete. En el ejemplo precedente 
el intervalo de tiempo de la ruptura sería 100 veces menor que el 
intervalo de tiempo en el cierre. (Véase párrafo 393). 

Existen otros tipos de interruptores además del de martillo. 
Una rueda dentada accionada por un motor puede servir de inte- 
rruptor al rozar los dientes sucesivamente con una lámina de metal 
o con un baño de mercurio. Se construyen también interruptores 
electrolíticos basados en que la capa gaseosa que se desprende en 



Fíg. 783. —»* Carrete de 
Ruhmk.arf!. 



496 


E. Loedel 


uno de los electrodos interrumpe momentáneamente la corriente 
primaria. 

El carrete de Ruhmkorff es lo que se llama un transformador. 
La energía de la corriente del carrete primario, de poca fuerza elec- 
tromotriz (seis, ocho o diez voltios) y de intensidad relativamente 
grande (uno o dos amperios) se transforma en energía de la co- 
rriente del secundario de fuerza electromo- 
triz grande (decenas y hasta centenas de mi- 
les de voltios) e intensidad pequeña (del 
orden de las decenas de microamperio) *. 

TELÉFONO Y MICRÓFONO 

403. Teléfono de Bell. — El primero 
que pretendió utilizar la corriente eléctrica 
para transmitir los sonidos y en particular 
la palabra hablada fué Philipp Reís, profesor 
de física en un colegio de enseñanza secun- 
daria de Alemania. La idea de Reis no en- 
contró el apoyo que merecía entre sus con- 
temporáneos y el profesor Poggendorff “ de- 
mostró ” que la transmisión eléctrica de la palabra era imposible! 
En el año en que murió Reis (1874) el profesor de Filadelfia 
Graham Bell inventó el teléfono que lleva su nombre y que se 
difundió de inmediato en todo el mundo. 

El teléfono de Bell consiste simplemente en un imán colocado 
en el interior de un tubo (fig. 785). En un extremo de este imán 
se encuentra una bobina con un alambre conductor muy delgado 

que da muchas 
vueltas. Frente al 
imán y a la bobi- 
na se encuentra 
una placa P de hie- 
rro dulce. 

El transmisor 
y el receptor son 
exactamente iguales. Al hablar frente a la placa P, ésta se acerca 
y se aleja del imán debido a las vibraciones que le comunica el 
aire puesto en vibración por la voz. Al vibrar la placa de hierro 
varía el flujo que atraviesa la bobina por lo cual se producen en 
ésta corrientes inducidas muy débiles. Estas corrientes inducidas 




Craham Bell (1847 - 1922). 


• El prefijo micro significa 1 millonésimo. 



Física Elemental 


497 


recorren el circuito de la bobina del receptor aumentando o debi- 
litando la acción del imán. La placa de hierro del receptor vibrará 
entonces de la misma manera que la placa del transmisor. Las vibra- 
ciones de la placa del receptor producen la vibración del aire, que 
transmite el sonido al oído. 

Piénsese en la complejidad de las vibraciones que se producen 
al pronunciar cualquier palabra, en la forma complicada que debe 
vibrar la placa y en fin, que esas vibraciones se traducen en corrien- 
tes eléctricas débilísimas cuyas varia- 
ciones de intensidad hacen posible la 
reproducción de la voz a cientos de 
kilómetros de distancia y se com- 
prenderá que Poggendorff creyera 
que era imposible tal maravilla. 

404. Micrófono. — En la actua- 
lidad el transmisor telefónico es 
diferente del receptor. Se utiliza 
como transmisor un micrófono. El micrófono de Hughes consiste 
en una barra de carbón C (fig. 786) colocada entre dos soportes 
A y B, también de carbón. Esta barra de carbón se encuentra en 

el circuito de una batería y un teléfono. Al hablar 
frente a la barra o produciendo un débil sonido 
cerca del soporte del micrófono las vibraciones 

tos variaciones de la resistencia que se traducen 
en variaciones de intensidad de la corriente. De 
aquí que el teléfono reproduzca el sonido. Que 
esto es así, lo creemos... ¡porque lo oímos! 

En los transmisores telefónicos se utiliza una 
membrana de carbón C apoyada en esferitas tam- 
bién de carbón, que realizan de ese modo mu- 
chos contactos microfónicos (fig. 787). Existen mu- 
f¡|. 787.— Micrófono, chos otros tipos de micrófonos y en cuanto a los 
teléfonos no es necesario decir que se han per- 
feccionado muchísimo desde la época de Bell hasta nuestros días. 

GENERADORES DE CORRIENTE ELÉCTRICA 

405. Máquina de Gramme. — Cualquiera de los motores eléc- 
tricos que ya conocemos puede servir de generador de corriente 
eléctrica. (Véase párrafos 379, 384 y 386). Las máquinas eléctricas 
son, pues, reversibles. 


de la varilla de carbón producen en los contac- 





498 


E. Loedel 


Si la máquina produce trabajo mecánico a expensas de la energía 
eléctrica que recibe, es un motor eléctrico. Esta misma máquina 
puede servir para transformar trabajo mecánico en energía eléctrica. 
Apenas Faraday descubrió la inducción electromagnética, se constru- 
yeron diversos modelos de generadores en los que se transformaba 

trabajo mecánico en energía eléctri- 
ca. Pero una solución técnica del 
problema se logró recién en 1869 con 
la máquina construida por Gramme 
en la que utilizaba el anillo induc- 
tor inventado años antes por Paci- 
NOTTI. 

Ya sabemos cómo se disponen las 
líneas de inducción en el interior 
de un anillo de hierro colocado eq 
un campo magnético (fig. 778 de 
pág. 492). Consideremos ahora un 
anillo o espira de cobre (fig. 788), 
que rodea al anillo de hierro y que movemos en el sentido de la 
flecha. En A el flujo a través de la misma es cero, en B es máximo. 
Al pasar de A a B se originará en la espira de cobre una corriente 
eléctrica en el sentido indicado en 1. Es fácil hallar el sentido de 
la corriente inducida aplicando la regla de Lenz o la regla de los 
tres dedos de la mano de- 
recha (396). Al aplicar es- 
ta regla debe tenerse en 
cuenta que la parte exterior 
de la espira es la única que 
corta líneas de inducción. 

Para conocer el sentido de 
la corriente inducida cuan- 
do la espira se mueve de 
A hacia B, colocaremos el 
dedo índice en el sentido 
del flujo, es decir, del polo 
norte al polo sur; el dedo 
pulgar en el sentido del 
movimiento que de A hacia B es hacia arriba; el dedo mayor se dirige 
entonces hacia atrás del plano del dibujo. De B hacia C y de C hacia 
D el movimiento es hacia abajo: las corrientes inducidas en ese reco- 
rrido vendrán hacia delante del plano del dibujo en la parte exterior 
de las espiras. Se ve así que la corriente cambia de sentido en B y D. 





Física Elemental 


499 


Consideremos ahora el anillo de hierro dulce envuelto totalmente 
por un conductor en forma de hélice. Imprimamos al anillo (figu- 
ra 789), un movimiento de rotación. 

Las corrientes inducidas en la parte BCD, son opuestas y se anu- 
larían con las inducidas en la parte DAB. Pero si conectamos B y 
D con dos láminas metálicas E\ 
y E 2 , a la escobilla Ei llega co- 
rriente de la derecha y de la iz- 
quierda del anillo, en tanto que 
la corriente sale por E 2 - Ei será 
el polo positivo de la máquina y 
E 2 el negativo. Las espiras co- 
munican de tanto en tanto con 
varillas metálicas aisladas dispues- 
tas paralelamente a las genera- 
trices de un cilindro montado en 
el eje de la máquina (fig. 790). 

Esta pieza es el colector. 

En realidad, al girar el ani- 
llo, debido a la histéresis, las secciones donde el flujo es máximo 
no se encuentran sobre BD (fig. 791), sino sobre el plano B’D’ 
donde deben colocarse las escobillas. El ángulo entre BD y B’D * 
depende de la velocidad de rotación. 

El imán que produce el campo inductor puede ser un imán 

permanente (la máquina se llama entonces 
magneto), o un electroimán excitado con. 
la misma corriente de la máquina (figu- 
ras 792 y 793). Al comienzo la máquina 
funciona merced al magnetismo remanen- 
le del hierro dulce. 




r¡ K 


7<J1. 


406. La máquina de Gramme como 
motor. — Las corrientes inducidas en el 
devanado del anillo de Gramme tienen un 
sentido tal que, de acuerdo a la regla de 
Lenz, se oponen al movimiento que las 
produce. Esto quiere decir que están sometidas a fuerzas (fig. 794) 
(dibujadas en blanco) que tienden a producir una rotación en sen- 
tido inverso. De aquí que si hacemos circular por el devanado 
corrientes que tengan el mismo sentido que antes (fig. 795), la 
máquina rotará en el sentido indicado en la figura. 




500 E. Loedel 

Claro está que esta corriente puede provenir de una batería o. de 
otro generador (fig. 796) de corriente continua. 

407. Transporte de la energía eléctrica. — En una usina eléc- 
trica los dínamos o generadores de corriente se mueven por la 


Fig. 794. Fig. 795. 

acción de potentes máquinas a vapor o por otra clase de motores. 
Esta energía se distribuye luego por cables. 

Si la distancia entre el lugar de producción y el lugar de con- 
sumo es grande, los cables deben ser largos y oponen una resis- 
tencia eléctrica considerable. Se desarrolla en ellos cierta cantidad 



Física Elemental 


501 



’Df río trió 


Motor 


térmico 


Linea 




de calor (¿ey de Joule), que representa energía perdida. Para 
evitar esto conviene que los cables ofrezcan poca resistencia, para 
lo cual deben ser gruesos. ¡Pero el cobre es muy caro! Como la 


Fig. 796. — Transformación y conducción de la energía: desde la mina de carbón a nuestra caaa. 


energía de la corriente en un tiempo t está dada por El t (siendo 
E la fuerza electromotriz, e / la intensidad), para que en los cables 
se desprenda menos calor, podría hacerse que la fuerza electro- 
motriz fuera, en lugar de 220 voltios, igual a 2 200 
voltios. Con esto la misma energía podría trans- 
portarse con una intensidad diez veces menor. Pero 
el llevar a las casas corrientes de 2 200 voltios 
implicaría un peligro muy grande y las aislaciones, 
para una diferencia de potencial tan considerable, 
serían muy costosas. 

Estos motivos hacen preferible el empleo de 
F¡ g . 797 . — la corriente alternada. 

Esquema de 
alternador. 



408. Alternadores. Corriente alternada. — 
Existen máquinas generadoras de corriente eléctrica alternada, lla- 
madas alternadores. Se representan en esquema como indica la 
figura 797. A y B son los dos polos del alternador. Uniendo A j 
B con un conductor C la corrien- 
te circula por el alambre en cier- 
tos momentos en el sentido de la 
flecha 1 y en otros momentos en 
el sentido de la flecha 2. 

Si se considera como positiva 
la fuerza electromotriz que hace 
circular la corriente en el sentido 
ACB, la fuerza electromotriz que 
la hace circular en sentido contrario será negativa. En la fig. 798 se ha 
representado esta fuerza electromotriz variable en función del tiempo. 

Si en un segundo la corriente circula treinta veces en el sentido 
ACB y otras treinta en el sentido BCA, diremos que la frecuencia 




502 


E. Loedel 



Fig. 799. — Alternador. 


es igual a treinta. El período sería igual a 1/30 de segundo. En 
las aplicaciones se utilizan corrientes alternadas de frecuencia com- 
prendida entre 20 y 50. Al cabo de un período la fuerza electro- 
motriz vuelve a adquirir el mismo valor en magnitud y signo. 

La figura 799 representa es- 
quemáticamente un alternador. 
El circuito inducido es fijo, se 
llama estator y está formado por 
los carretes 1; 2; 3 y 4: Estos 
carretes de hierro están envueltos 
por un alambre conductor arro- 
llado en sentido inverso en cada 
par de carretes consecutivos. En 
el interior gira el inductor lla- 
mado rotor. Está formado por 
un número de carretes exacta- 
mente igual al de los carretes del 
inducido. Por los carretes del 
inductor circula una corriente continua que proviene de un gene- 
rador de corriente continua, que suele estar montado en el mismo 
eje del rotor. 

En la figura 800 se ve cómo la corriente de un dinamo D se 
hace circular por los carretes del rotor, de modo 
que ellos constituyan polos norte y polos sur 
dispuestos en forma alternada. Para esto se 
unen los polos -f- y — del dínamo excitador 
con dos escobillas metálicas apoyadas en dos 
anillos que comunican con el devanado de los 
carretes. 

Volvamos ahora a la figura 799. Cuando 
un polo norte del inductor se acerca al carre- 
te 1, se producirá en el arrollamiento de éste, 
una corriente que impida ese acercamiento. La 
corriente inducida en 1 hará que se forme en 
él otro polo norte. Mirando desde el eje al 
carrete 1, se verá a la corriente circular en 
sentido inverso al de las agujas del reloj. Cuan- 
do un polo norte se acerca a 1, un polo sur 

se aleja de él. Estos dos efectos se suman. Cuando al carrete 1 se 
acerca un polo norte, al carrete 2 se acerca un polo sur. 

En el carrete 2 se verá entonces desde el eje, que la corriente 
gira en el mismo sentido que el de las agujas de un reloj. Como los 








Fig. 800. — Dínamo 
y rotor. 



Física Elemental 


503 


arrollamientos de los carretes están dispuestos en sentido inverso, 
todas las corrientes inducidas producidas en un momento dado se 
suman. Cuando un polo norte del rotor enfrenta al carrete 1, a 
partir de ese momento se producirán en el inducido 
corrientes de sentido contrario. Si el estator tiene 
cuatro carretes, como se ha supuesto en la figura, el 
rotor tendrá dos polos norte y dos sur. De aquí que 
si el rotor da 20 vueltas por segundo, la frecuencia 
de la corriente alternada sería igual a 40, y el período 
igual a 1/40 seg. 

de la corriente alternada. — Seá 
una instalación como la de la fi- 
gura 801. La corriente de un al- 
ternador alimenta varias lámparas 
incandescentes montadas en para- 
lelo. En el circuito se ha interca- 
lado un carrete. Si se introduce 
dentro de este carrete una barra 
de hierro dulce se observa de in- 
mediato que el brillo de las lám- 
paras disminuye. Al introducir 
el hierro en el carrete aumenta la 
autoinducción del circuito y las corrientes inducidas en el mismo 
circuito, opuestas a la corriente principal, producen el efecto de 
un aumento de resistencia. Esto prueba que en las corrientes alter- 
nadas la autoinducción del circuito hace las veces de una resistencia. 

Si se coloca sobre un carrete con núcleo de hie- 
rro (fig. 802), recorrido por una corriente alter- 
nada, una bobina en comunicación con una pequeña 
lámpara eléctrica, se observa que ésta se en- 
ciende por las corrientes inducidas en el circuito 
de la misma. Colocando (fig. 803) una pequeña 
caldera de bronce con agua sobre el carrete reco- 
rrido por una corriente alternada, se producen en 
las paredes metálicas de la caldera corrientes de 
Foucault que provocan por calentamiento la ebu- 
llición del agua. 

Se llama intensidad eficaz de una corriente al- 
ternada a la intensidad que debería tener una corriente continua 
para producir en igual tiempo el mismo calor que aquélla, reco- 
rriendo un circuito que ofrezca a la corriente continua la misma 



Fig. 803. 


Propiedades 



Fig. 802. 



Fig. 801. 



504 


E. Loedel 


resistencia que el circuito dado ofrece a la corriente alternada. 
La intensidad eficaz es, naturalmente, menor que la intensidad 
máxima. En forma análoga se define la fuerza electromotriz eficaz. 
La intensidad eficaz se mide por medio de amperímetros térmicos. 

Si se intercala un condensador C (fig. 804), en el circuito de 
una corriente alternada, se observa que la corriente pasa por el 
condensador a pesar de la aislación. La autoinducción L del cir- 
cuito produce un aumento de la resistencia en tanto que una capa- 
cidad produce una disminución. Se explica 
el pasaje de la corriente por el condensador 
por el hecho de que alternativamente las ar- 
maduras del mismo se cargan con electrici- 
dades de signo contrario. 

409. Transformadores. — La principal 
ventaja de las corrientes alternadas es la fa- 
cilidad con que pueden transformarse. Una corriente de fuerza 
electromotriz de 100 voltios puede transformarse en otra de fuerza 
electromotriz de 1 000 voltios e inversamente. Claro está que si 
aumenta la fuerza electromotriz debe disminuir la intensidad e 
inversamente. En cambio, la transformación de las corrientes 
continuas ofrece grandes dificultades. 

La figura 805 representa un transformador, consistente en un 
marco de hierro dulce con dos deva- 
nados: el primario P, unido al alter- 
nador, y el secundario 5. Al circular 
por P una corriente alternada varía 
continuamente el flujo de inducción a 
través del secundario. Si el número 
de espiras del secundario es muy gran- 
de, la fuerza electromotriz inducida 
en el mismo será también grande. 

Llamando £ a la fuerza electro- 
motriz del circuito primario e / a la 
intensidad en el mismo, la potencia W de la corriente, o sea, el tra- 
bajo capaz de entregar, dividido por el tiempo, será: 

W = El. 

Aquí E e / son valores medios. Si en el secundario la fuerza 
electromotriz es E’ y la intensidad V, se tendría en el caso ideal 
en que toda la energía pasara de un circuito a otro: 

El = E’ /’. 




Kig. H(M. 



Física Elemental 


505 


En la práctica E’V es siempre menor que El, pues parte de la ener- 
gía del primario se transforma en calor. Se consigue en los trans- 
formadores un rendimiento muy elevado, que llega hasta el 95 %. 
Esto significa que con 100 vatios de potencia en el primario se 
obtienen 95 vatios en el secundario. 

Transporte de la energía eléctrica. — Para transportar ener- 
gía eléctrica a distancias grandes se procede así: la corriente del 
alternador A se transforma en T i ( fig. 806), haciendo que se con- 
vierta en corriente de alta tensión. 

Esta corriente de alta tensión (digamos 20 000 voltios), se trans- 



Fig. 806 . — Producción, transformación y transporte de la energía eléctrica. 


porta por la línea hasta la región donde será utilizada. Allí, otro 
transformador T 2 hace que disminuya la tensión a sólo 200 voltios. 
De este modo los cables de la línea de alta tensión pueden ser 
bastante delgados ya que la intensidad de la corriente es 100 veces 
más pequeña de lo que habría sido si se le hubiese transportado 
con la tensión de 200 voltios. En la figura se ha supuesto que el 
alternador A está accionado por una caída de agua. 


PROBLEMAS 

1 . Indíquese cuál será el sentido de la corriente inducida en el 
circuito II (fig. 807), al cerrar el circuito en /. 

2. Los puntos blancos de la figura 808 representan líneas de 
fuerza de un campo magnético que van hacia atrás . Indíquese 



506 


E. Loedel 


el sentido de la corriente inducida cuando se aumenta la su- 
perficie del circuito. 

3. Si la fuerza electromotriz originada en el secundario de un 

transformador es de 20 000 voltios, ¿cuánto 
valdrá la intensidad de la corriente si la po- 
tencia es de 100 kilovatios? 

100 000 = 20 000 X / ; / = 5 amperios. 

4. Esta energía se transporta a una distancia de 
80 kilómetros por conductores de cobre. Se 
pierde en calor de Joule el 10 % de la energía. 
¿Qué sección tienen 
los conducto res ? 

Será: 

10 000 = RI 2 ; 

R = 400 ohmios. 

Como la longitud de los dos cables F¡g- «os. 

es de 160 Km y la resistencia espe- 
cífica del cobre 0,017 ohmio X mm 2 sobre metro, resulta: 

160 000 

400 = 0,017 ; S = 6,8 mm 2 , 

S 

en el supuesto de que para la corriente alternada valga la 
misma ley que para la corriente continua, lo que sólo es cierto 
si el número de alternancias por segundo es pequeño. 

5 . Hallar la intensidad de la corriente en el secundario del trans- 
formador de la región donde se utilizará la energía anterior 
suponiendo que la fuerza electromotriz se reduzca a 200 voltios. 

Como llegan 90 000 vatios, suponiendo un rendimiento del 
100 %, se tendrá : 

90 000 
1 = 




200 


= 450 amperios. 



CAPÍTULO XXTX 


OSCILACIONES ELÉCTRICAS 

410. Noticia histórica. Nociones sobre la teoría electro- 
magnética de Maxwell. — De acuerdo a las leyes de Coulomb de 
la electroestática y del magnetismo, las acciones eléc- 
tricas y magnéticas se propagarían en forma instan- 
tánea. En las fórmulas de Coulomb no interviene 
para nada el tiempo. Supongamos que un cuerpo con 
cierta carga eléctrica se mueva entre A v B (fig. 809) 
con movimiento oscilatorio. El campo eléctrico ori- 
ginado en un punto P por esa carga móvil será va- 
riable. El punto P puede encontrarse muy lejos de 
la carga que produce el campo. Cuesta admitir que 
estas acciones se transmitan en forma instantánea. 

El físico inglés Maxwell desarrolló en 1870 una 
teoría de los fenómenos electromagnéticos, según la 
cual, estas acciones se propagan en el espacio con 
cierta velocidad finita. 

Maxwell estableció un conjunto de 
^ fig. 811), mostrando que todas las leyes 
de los fenómenos eléctricos y magnéticos 
podían ser deducidas de esas ecuaciones. 

n ellas, resulta que una variación del 
campo eléctrico o magnético producida en 
un punto, se propaga con una velocidad 
igual al cociente entre la unidad electro- 
magnética C. G. S. de intensidad y la uni- 
dad electroestática C. G.S. Experimental - 
mente (382) se ha comprobado que ese 
cociente es igual a la velocidad de la luz. 

Supongamos que por el conductor AB 
circule una corriente que vaya alternati- 
vamente (fig. 812), de A hacia B y de B 
hacia A. En un momento dado, el campo magnético en un punto 



complicadas ecuaciones 



Jamc9 Maxwell (1S31 - 1Í179 1 



Fig. 809. 


508 


E. L O E D E L 


P estará representado por un vector H; el campo eléctrico por un 
vector £ perpendicular a H. 

Como la corriente en el conductor AB es oscilante, también 

serán oscilantes los vectores 
H y <£*. Si el período de os- 
cilación es T, siendo c la ve- 
locidad de propagación, re- 
sultará que se propaga una 
onda electromagnética de lon- 
gitud de onda A, tal que: 

A = cT. 

En la figura 813 se ha 
representado la onda elec- 
tromagnética, formada por 
la onda que corresponde ■ al 
campo eléctrico y por la que 
corresponde al campo mag- 
nético. Ambas ondas están 
situadas en planos perpen- 
diculares entre sí y marchan 
sin diferencia de fase. Esto 
significa que cuando H es 
máximo también £ es má- 
ximo. Al encontrar Maxwell 
que según su teoría las ondas electromagnéticas se debían propagar 
en el vacío con la velocidad de la luz, supuso, para explicar esa 
coincidencia, que la luz consistía en ondas electromagnéticas. Los 
átomos que emiten luz, serían compa- 
rables a pequeñísimos osciladores eléc- 
tricos. Ésta es la teoría electromagné- 
tica de la luz de Maxwell que sustitu- 
yó a la teoría del éter mecánico. La 
única propiedad que debe tener el éter 
en la teoría de Maxwell, es servir de 
“ soporte ” a los campos eléctricos y 
magnéticos. 

411. Oscilaciones eléctricas. — Si 
se fotografía en forma conveniente sobre una película móvil, la 
chispa que salta al descargarse un condensador (fig. 814), se 
observa que la descarga se efectúa en forma oscilante. Ocurre aquí 



Fig. 812. 




Física Elemental 


509 



Él i ' 


algo análogo a lo que sucede cuando se comunican entre sí dos 
vasos con agua a 
diferente nivel. 

El agua pasa de 
uno al otro, y 
antes de alcanzar 
la posición de 
equilibrio se, efec- 
túan una serie de 
oscilaciones de 
amplitud decre- 
ciente (fig. 815). 

Si se tienen dos botellas de Leyden iguales (fig. 816), se ob- 
serva que al descargarse la 
r " ’ . 1, que puede estar conectada 

A | a una máquina electroestáti- 

ca de influencia o a un ca- 
f Ji . 1 rrete de Ruhmkorff, saltan 

| chispas en la 2. Éste es un 

fenómeno de resonancia eléc- 
trica análogo a los fenóme- 
^ I nos de resonancia mecánica 

,$ ÉHjHSSSEfe*. j T-*i » j i «i * . 

El periodo de oscilación 

i ¡-, su. — oescarga osciiume. j 1 jg un c i rcu ito oscilante de- 

pende de la capacidad C del 
condensador y del coeficiente L de autoinducción del mismo (figu- 
ra 


Wpmwcui 


T = 2tt y/CL. 

Ejemplo. — Supon- 
gamos que C valga un 
microfaradio (10~ 6 fara- 
dio) y L un henry; re- 
sulta : 


T — 2 7t X 10 -3 = 0,00628 seg. 



Si la resistencia del circuito es grande, la descarga se hace conti- 
nua en lugar de os- 


que se aplican en te- 

Fig. 816. - Resonancia eléctrica. rapéutica ( diatermia ) , 

se obtienen por me- 
dio del transformador de Tesla (fig. 818). 

Un condensador C se une al secundario de f - l ""' : ' 1 

una bobina de Ruhmkorff. Este condensa- 
dor (botella de Leyden), se descarga a tra- 
vés de un chispeador, formado por dos esfe- 
ritas E, recorriendo la descarga oscilante 
una bobina B formada por un conductor 
grueso, que da unas pocas vueltas. 

En el interior de esta bobina, que cons- 
tituye el circuito primario del Tesla, se colo- 
ca otra, 5, formada por un alambre muy 
fino que da miles de vueltas. Las corrien- 
tes oscilantes que pasan por B son de una 
frecuencia muy grande y producen a través 
de la bobina secundaria un flujo de induc- 
ción variable de la misma 
frecuencia. En esta bobina 
secundaria se originan co- 
rrientes inducidas de alta ten- 
sión y de alta frecuencia. 

A pesar de la tensión ele- 
vada, puede acercarse la ma- 
no a uno de los terminales 
del secundario y se experi- 
menta en la descarga sólo un 
débil cosquilleo, pues debi- 
do a la rapidez con que varía 
el sentido de estas corrientes, 
cuya frecuencia es del orden de los millones por segundo, no pue- 
den descomponer electrolíticamente a los tejidos. 




Transformador de Tesla, 



Física Elemental 


511 


Un tubo de Geissler que se encuentre en S las proximidades del 
secundario se ilumina vivamente debido al campo variable aue lo 
atraviesa. Algunos experi- 
mentos muy curiosos pue- 
den efectuarse con estas 
corrientes de alta frecuen- 
cia. Si se hace circular una 
corriente de alta frecuen- 
cia por el marco grueso de 
cobre ABCDF (fig. 819) 
se observa que, colocando 
entre B y D una pequeña 
lámpara de incandescen- 
cia. ésta se enciende. Esto significa que para la corriente de alta ) 

frecuencia ofrece menos resistencia el camino 
ABDF que el ACF a pesar de que entre B y 
D se encuentra el filamento de la lámpara. 
Este curioso efecto se debe a que siendo ma- 
yor la superficie de la parte ACF del circuito 
su autoinducción es muy grande, y en las co- 
rrientes de alta frecuencia influye más la auto- 
inducción que la resistencia óhmica. 

413. Experimentos de Hertz. — Las ondas 
previstas teóricamente por Maxwell en 1870, 
fueron puestas de manifiesto por Hertz en 
1888 y utilizadas por Marconi en 1896 para 
transmitir mensajes inalámbricos. Esas ondas, 
llamadas hertzianas, son las ondas de la radio- 
telefonía actual. El oscilador de Hertz consiste en dos placas metá- 
licas cuadradas P y P* 
unidas al secundario de 
un carrete de Ruhm- 
korff. Las placas se 
cargan con el carrete y 
se descargan en forma 
oscilante a través de 
las esferillas E. El pe- 
ríodo de oscilación de 
este circuito oscilante 

es del orden del cien millonésimo de segundo. Claro está que este 
período depende del tamaño de las placas. En un cien millonésimo 




lleiniich Hertz (1857-1894). 




512 


E. Loedel 


de segundo la perturbación eléctrica producida en E recorre tres 
metros. La longitud de las ondas electromagnéticas sería igual en- 
tonces. a tres metros. Si se coloca frente al oscilador una plancha 

metálica B las ondas se refle- 
jan en ella y se producen en 
AB (fig. 822) ondas estacio- 
narias. Para el estudio de estas 
ondas empleaba Hertz un re- 
sonador eléctrico consistente 
(fig. 823) en un anillo metá- 
lico interrumpido, con una es- 
ferita en un extremo y una 
punta en el otro. Corriendo este resonador a lo largo de AB en 
forma conveniente, se observa que en algunos puntos saltan peque- 
ñas chispas. Estos puntos donde saltan chispas corres- 
ponden a los vientres de las ondas estacionarias. La 
distancia entre dos vientres consecutivos es igual a 
1/2 longitud de onda. 

En las ondas estacionarias los vientres de la onda 
eléctrica coinciden con los nodos de la onda magné- 
tica, pero en las ondas progresivas, ambas ondas, como 
ya dijimos, están en concordancia de fase. Para inves- 
tigar la posición de los nodos y vientres de la onda 
magnética se coloca el resonador H de modo que su 
plano coincida con el plano ABPP’ (fig. 824) y se 
le desplaza a lo largo de AB. En cambio, para investigar las ondas 
eléctricas se le coloca perpendicularmente a la recta AB y de tal 

modo que la chispa en el resonador 
sea paralela a la chispa del oscila- 
dor o sea en la posición E. Se ha 
encontrado que las ondas electromag- 
néticas de Hertz se reflejan y se re- 
fractan en forma análoga a como lo 
hace la luz. Ellas dan lugar también 
a fenómenos de interferencia y di- 
fracción, todo lo cual prueba la 
identidad entre las ondas luminosas 
y las ondas electromagnéticas, que 
difieren sólo en el valor numérico de la longitud de onda. 

414. Telegrafía sin hilos. — El transmisor de Marconi (fig. 
826) consiste en un oscilador formado por dos esferillas E, unidas 



Fig. 824. 



Fig. 823. — 
Resonador. 



Física Elemental 


513 


una a tierra y la otra a la antena A. Ambas esferillas comunican 
con el secundario de un carrete de Ruhmkorff. En el primario se 
intercala un manipulador 
M como en el telégrafo 
de Morse. 

Cada vez que se aprie- 
ta M, se producen des- 
cargas oscilantes en E, 1 
con lo cual se propagan, 
en el espacio que rodea 
a la antena, ondas elec- 
tromagnéticas. En la fig. 

827 se ha representado 
un tren de ondas. Las 
porciones corresponden 
a descargas oscilantes su- 
cesivas del transmisor. El receptor del primitivo sistema de Mar- 
coni está representado en la figura 828. En C se encuentra el cohesor 

de Branly consistente en un pe- 
queño tubito de vidrio que tiene 
en su 
cas. Al 

ondas de la estación transmisora, 
el cohesor C se hace buen con- 
ductor de la electricidad. Se ex- 
plica esto suponiendo que entre 
las pequeñas limaduras saltan 
chispas imperceptibles que hacen 
Fig. 826 . — Transmisor de Marconi. que se suelden unas con otras. El 

cohesor deja de ser conductor dán- 
dole un pequeño golpe, que separe de- nuevo las limaduras. Para 
lograr esto se intercala en el circuito del cohesor un timbre eléc- 
trico T que al funcionar lo 
golpea. De este modo la co- 
rriente que pasa por el re- 
ceptor de Morse M hace que 
se escriba sobre la cinta de 
papel una sucesión de pun- 
tos muy juntos que consti- 
tuyen una raya, cuya lon- 
gitud es tanto mayor cuanto mayor es el tiempo que se ha te- 
nido apretado el manipulador del transmisor. De aquí que se 



Fig. 827. — Tren de ondas. 


interior limaduras metáli- 
llegar a la antena A las 




Guillermo Marconi (1874 - 1937), experimentando 
con uno de sus primeros aparatas. 


514 


E. Loedel 


pueda telegrafiar por el sistema de puntos y rayas del alfabeto 
Morse. 



Fig. 828. — Receptor Marconi. 


415. Radiotelefonía. — Para transmitir un sonido utilizando 
Irs ondas hertzianas debe lograrse producir éstas en forma soste- 
nida, o sea sin amortiguamiento 
(fig. 829 a). 

Veremos más adelante de 
qué modo se logra esto. Supo- 
niendo que en la antena A 
(fig. 830) se produzcan ondas 
sostenidas, intercalando un mi- 
crófono M entre algunas espi- 
ras de la autoinducción de la 
antena, al hablar frente al mi- 
crófono varía su resistencia, 
con lo cual varía la intensi- 
dad de las ondas emitidas. La 
amplitud de las ondas varía 
de acuerdo al sonido que se 
produce frente al micrófono 
(fig. 829 6). Para convertir en el receptor estas ondas eléctricas 
moduladas en ondas sonoras, se puede conectar el teléfono T en el 
circuito de la antena A con un detector D (fig. 831). Puede em- 
plearse un detector de galena que consiste en un pequeño trozo de 
ese mineral (sulfuro de plomo) sobre el que se apova una punta 
metálica. Este contacto tiene la 
curiosa propiedad de dejar pa- 
sar por él corrientes débiles sólo 
en un sentido. Supongamos que 
el detector deje pasar las co- 
rrientes que van de la antena a 
la tierra, pero no en sentido in- 
verso. En este caso como la 
resistencia del teléfono es gran- 
de, las corrientes de antena a 
tierra pasan sólo por el detec- 
tor, pero las de tierra a antena pasan por el teléfono. Por éste pasan 
entonces las corrientes que corresponden a la mitad de la onda 
modulada que llega a la antena (fig. 832), es decir, corrientes de 
un mismo sentido (la parte en blanco de la onda). Todo pasa 
'.ómo si circulara por el teléfono una corriente continua como la 



Fig 829. — Ondas sostenidas (a) 
y moduladas (¿). 


Física Elemental 


515 


indicada en b. Las vibraciones de la placa del teléfono reproducen 
las vibraciones del micrófono y originan en el aire un sonido igual 
al sonido modulador. 





416. Lámparas termoiónicas. — En 1890 descubrió Edison que 
os filamentos de las lámparas de incandescencia emiten electrones, 
o sea partículas mucho más pequeñas 
que los átomos, cargadas de electricidad 
negativa. 

Una pila (fig. 833) se conecta al 
filamento F colocado .en el interior de 
un tubo donde se ha efectuado un alto 
vacío. Conectemos ahora el polo posi- 
tivo de una batería con la placa P, metá- 
lica, colocada frente al filamento. El polo 
negativo de la batería lo unimos al cir- 
cuito del filamento F. Se observa que 
pasa una corriente eléctrica por el ins- 
trumento 7. Dentro del tubo esta corriente 
va de P a F lo que significa que los elec- 
trones (negativos) se mueven de F a P. 

La placa positiva atrae a los electrones 
que emite el filamento. Luego el tubo FP 
se comporta como un conductor que permite el paso de la corriente 
eléctrica en un solo sentido: de la placa al filamento. De aquí el 

nombre de válvulas que re- 
ciben estos tubos. En 1906 
Fleming y de Forest apli- 
caron estos tubos a la recep- 
ción radiotelefónica, utilizán- 


Kig. 830. — 

T ransmisor 
radiotelefónico. 


Fig. 831. — 
Receptor de 
galena. 


Fig. 832. — Recepción de una onda modulada. 


Fig. 83o. — Electo Edison. 


dolos como detectores. En 1910 Lieben agregó, entre la placa y 
el filamento, una rejilla obteniéndose así la llamada lámpara de 
tres electrodos que se aplica en radiotelefonía como emisora de 
ondas sostenidas, como amplificadora y como detectora. 


516 


E. Loedel 


417. Producción de ondas sostenidas. — En la figura 834, I 
es el circuito de placa alimentado por una batería B. Una pila pone 
incandescente el filamento F. Al cerrar el circuito / comienza a 
oscilar el circuito II debido a la inducción mutua Mi, que vincula 

electromagnéticamente los circuitos I y 
II. Este circuito II está vinculado por 
M 2 al circuito III de la rejilla R. El 
potencial de la rejilla varía entonces pe- 
riódicamente. Si este potencial de R es 
positivo, la corriente de electrones que 
va del filamento F a la placa P, pasan- 
do por la rejilla, aumentará, en tanto 
que si el potencial de R es negativo mu- 
chos electrones son repelidos por la re- 
jilla y no llegan a la placa. De este modo, 
como el circuito III está vinculado al II, 
el potencial de la rejilla varía, y su pe- 
ríodo de variación es igual al período de 
oscilación del circuito II. Al variar el 

r jg. odi. — iLimaiuu uc uiiuaa 

sostenidas. potencial de la rejilla, varía con su mis- 

mo período la corriente del circuito / 
que excita justamente al circuito II. El circuito II oscila como un 
péndulo en forma continua y con amplitud constante. La energía 
que irradia la toma de la batería B. Para irradiar esta energía el 
circuito II se vincula a la antena A por intermedio de M 3 . El perío- 
do de oscilación de II depende de la capa- 
cidad del circuito, donde se intercala el con- 
densador C, y de la autoinducción del mis- 
mo (411). 

La longitud de la onda electromagnética 
irradiada por la antena será igual a la velo- 
cidad de la luz por el período de oscilación: 

X = cT. 

Para modular estas ondas sostenidas se 
intercala el micrófono en el circuito III, de 
la rejilla. El micrófono puede estar en otro 
circuito (no representado en la figura) vinculado al III electro- 
magnéticamente. 

418. Amplificación. — Supongamos que una corriente variable 
muy débil circule por Si (fig. 835). Esta corriente podría provenir 




Física Elemental 


517 




* ig. 837. — 
Lámpara de 
trea electrodos. 


de un micrófono muy lejano y ser tan débil que, si se la conectara 
directamente a un teléfono, no alcanzara a accionar sobre la mem- 
brana del mismo. La bobina Si se coloca en el interior de otra S 2 
conectada al circuito de rejilla. Las variaciones de la corriente en 
Si producen variaciones del potencial de la rejilla que hacen variar 
la corriente del circuito de placa donde se intercala 
el teléfono T. Claro está que en lugar de T puede 

colocarse allí una segunda 
inducción mutua, en conexión 
con el circuito de rejilla de 
otra lámpara. Se obtiene así 
una amplificación mayor, pu- 
diéndose reemplazar el telé- 
fono por un altoparlanté. 


419. Lámpara detectora. 

— - Al llegar las ondas del 
transmisor a la antena A (fig. 

836) el circuito CBRF se 
i i g . H36. — Lámpara detecto™, pondrá a oscilar si su período 

propio de oscilación coincide 

con el período de la onda que llega a A. Pero la corriente en este 
circuito puede circular sólo de la rejilla R 
al filamento F y no en sentido inverso pues 
los electrones van de F a R. Se intercala por 
eso una resistencia r muy grande, del orden 
de un millón de ohmios. Con esto, la semi- 
oscilación que hace circular la corriente en 
el sentido CBRF se efectúa realmente en ese ' 
circuito, pero la semioscilación que tiende , 
a hacer circular la corriente en sentido in- 
verso se efectúa a través de r. Podemos de- 
cir entonces que la resistencia de la porción 
de tubo comprendida entre la rejilla y el 
filamento es mucho menor que r para co- 
rrientes que vayan de R a F, pero dicha re- 
sistencia es infinita, para corrientes que va- 
yan de F a R. De este modo la lámpara funciona como un detector 
de galena y el teléfono T intercalado en el circuito de placa repro- 
duce los sonidos que habían modulado la onda emitida por el 
transmisor. 



Kig. 838. — Condensador 

variable. 


518 


E. Loedel 


En la figura 837 se ve un esquema de una lámpara de tres elec- 
trodos. 1 y 2 comunican con los extremos del filamento. Éste está 
rodeado por un alambre en espiral que es la rejilla y que comu- 
nica con R. La placa es un cilindro incompleto que rodea al fila- 
mento y a la rejilla y se conecta con el electrodo P . 

En la actualidad se intercalan entre el filamento y la placa 
varias rejillas y se tienen así lámparas de cuatro, cinco o más elec- 
trodos. Para lograr la sintonización del receptor con una estación 
determinada se varía la capacidad o la autoinducción del circuito 
oscilante del receptor hasta que su período propio coincida con 
el período de oscilación de la estación que se busca para que entre 
en resonancia con ella. La variación de la capacidad se logra con 
condensadores variables consistentes en placas metálicas girato- 
rias entre otras fijas (fig. 838). 

PROBLEMAS 

1. La estación L R 11 de la Universidad de La Plata transmite con 
una onda de longitud A igual a 215 m. Hallar la frecuencia. 

Llamando n a la frecuencia y siendo c la velocidad de la 
luz se tendrá : 


c 3 X 10 8 m/seg 1 

, n = — = = 1395000 . 

A 215 m seg 

Como 1000 oscilaciones constituyen un kilo -ciclo (Kc) y un 
millón un mega -ciclo (Me) se tendrá: 

n = 1 395 Kc/seg = 1,395 Mc/seg. 

2 . Hallar la longitud de onda que corresponde a una frecuencia 
de 10 megaciclos por segundo. 

R.: A = 30 m. 


3 . Hallar el período . 


R.i T = 10~ 7 seg. 



CAPITULO XXX 


DESCARGA ELÉCTRICA EN GASES. ISOTOPÍA. 
EFECTO FOTOELÉCTRICO 



420. Tubos de Plücker. — Si se introducen dos alambres de 
platino E y E’ (fig. 839) en un tubo de vidrio y se conectan estos 
electrodos con una máquina eléctrica de influencia, o, lo que es 
más cómodo, con los terminales del secundario de un carrete de 
Ruhmkorff, se observa que el aspecto que toma el tubo con la des- 
carga eléctrica, depende de la naturaleza y de la Dresión del eras 
que contiene. La dependencia con la 
presión puede estudiarse conectando el 
tubo con la máquina neumática por 
medio de otro tubo pequeño soldado al 
primero. 

Plücker en 1858 efectuó estudios 
de esta clase, • utilizando al efecto tu- 
bos construidos por su ayudante H. 

Geissler. Por eso se les llama tam- 
bién tubos de Geissler a estos tubos 
de forma muy variada y que son los 

que se utilizan en la actualidad en letreros luminosos de propa- 
ganda. Para que estos tubos se iluminen, es necesario que la dife- 
rencia de potencial entre los electrodos sea de algunos kilovoltios. 

Se observa que, para un mismo tubo, no se mantiene constante 
el cociente entre la diferencia de potencial entre los electrodos y la 
intensidad de la corriente. La resistencia eléctrica de los tubos varía 
al variar la diferencia de potencial en forma complicada, lo que 
significa que, en este caso, no es aplicable la ley de Ohm. 

El color de la luz emitida depende de la naturaleza del gas 
encerrado en el tubo. El espectro de emisión de un gas se estudia, 
precisamente, analizando con el espectroscopio la luz emitida por 
tubos de Geissler que se han llenado con el gas, disminuyendo 
luego la presión del mismo. 


Fig. 839. — Descarga eléctrica en gases 
a baja presión. 



520 ‘ 


E. Loedel 


Cuando el tubo tiene aire y la presión es de sólo un centímetro 
de mercurio, sale del electrodo positivo o ánodo un resplandor de 
color rosavioláceo que se desvanece en las proximidades del cátodo, 
que aparece rosado. Al espacio obscuro que queda en el tubo se 
le llama espacio obscuro de Faraday. 

A la presión de un milímetro de mercurio la luz anódica apa- 
rece estratificada, aumentando en intensidad el resplandor del 

cátodo. (Véase lámi- 
na II). 

Para presiones 
muy bajas, del orden 
del centésimo de mi- 
límetro de mercurio, 
F¡g. 840. — Molinete a rayo» catódicos. desaparece la ilumi- 

nación del gas que 

llena el tubo y aparecen los rayos catódicos que estudiaremos en 
el párrafo siguiente. A presiones más pequeñas aún, la descarga se ha- 
ce imposible: el vacío absoluto sería infranqueable a la descarga. 

421. Rayos catódicos. — Cuando la presión en un tubo de 
Plücker es de un centésimo de milímetro de mercurio, o menor aún, 
se desprenden del cátodo rayos que al chocar contra la pared anti- 
catódica del tubo provocan la fluorescencia del vidrio, que toma 
por esto una coloración verde. 

Intercalando en el trayecto de estos rayos un cuerpo metálico 
(lámina II, 6), se ve su “sombra” proyectada sobre la pared anti- 
catódica, lo que prueba que 
esos rayos, llamados cató- 
dicos por salir del cátodo, 
se propagan en línea recta. 

Estos rayos son capaces 
de poner en movimiento un 
pequeño molinete (fig. 84(J), 
lo que prueba que son por- 
tadores de energía mecánica. 

Además de excitar la 
fluorescencia, los rayos ca- 
tódicos impresionan las placas fotográficas. 

Se comprueba que los corpúsculos que constituyen estos -rayos 
están cargados con electricidad negativa, pues son atraídos por la 
placa positiva de un condensador (fig. 841). No estando cargado 
el condensador, los rayos llegan a un punto A de la pantalla fluo- 




Física Elemental 


521 


rescente. Cargándolo se desvían incidiendo sobre otro punto B. 
Como cargas negativas que se mueven en cierto sentido equivalen 
a una corriente eléctrica de sentido opuesto, estos rayos se desvían 
también en un campo magnético, como muestra la figura 842. Por eso 
al acercar un imán a un tubo de rayos catódicos como el repre- 
sentado en la lámina II, se observa que la sombra se mueve, pues 
los rayos son desviados lateralmente por el imán. 

Colocando en el trayecto de estos rayos substancias fluorescen- 
tes, adquieren coloraciones 
muy vistosas. 

La desviación que expe 
rimentan los rayos catódicos 
en un campo eléctrico y en 
un campo magnético, permite 
calcular el cociente entre la 
carga eléctrica e y la masa 

m de loS corpúsculos, asi CO- Fig. tí42. — Se desvían en un campo magnético. 

mo también la velocidad v de 

los mismos. Al cociente e/m se le llama carga específica del cor- 
púsculo. 

Se determina entonces directamente : 



carga eléctrica e 

masa m 


velocidad = v. 


La velocidad de los rayos catódicos depende de la diferencia 
de potencial entre los electrodos del tubo y puede llegar a ser hasta 
de unos cien mil kilómetros por segundo (1/3 de la velocidad de 
la luz) . 

En cuanto a la carga eléctrica de cada corpúsculo se admite que 
es igual a la carga transportada en la electrólisis por un ion mono- 
valente (367). Resulta así que la masa de estos corpúsculos es 
1 850 veces menor que la masa de un átomo de hidrógeno. Estos 
corpúsculos reciben el nombre de electrones. En resumen: Los rayos 

1 

catódicos son rayos de electrones. La masa del electrón es 

1850 

de la masa de un átomo de hidrógeno. 

La carga eléctrica de un electrón es negativa e igual a: 

4,77 X 10 -10 u. c. e. e. — carga. 



522 


E. Loedel 


Si la diferencia de potencial entre los electrodos del tubo es 
V el trabajo del transporte de un electrón, de. un electrodo a otro 
es e V, siendo e la carga eléctrica del electrón. v Este trabajo se em- 
plea en aumentar la energía cinética del electrón, por lo cual será: 

Va mv 2 = eV. [1] 

Esta fórmula permite calcular la velocidad de un electrón si se 

conoce la diferencia de 
potencial. Por eso se 
habla en la práctica 
de velocidades “ medi- 
das en voltios”. A 100 
voltios corresponde una 
velocidad del electrón 
Fig. 843. — Rayos canales. de 6 000 kilómetros por 

segundo. 

La energía se expresa también en “ electronvoltios ”, 

422. Rayos canales o positivos. — Si se practica un canal en 
el cátodo de un tubo de rayos catódicos (fig. 843), como lo hizo 
por primera vez Goldstein en 1886, se observa que pasan a través 
del mismo rayos que excitan la fluorescencia de una pantalla P. 
Estos rayos impresionan también las placas fotográficas. Por el 
sentido en que se desvían en un campo eléc- 
trico o magnético, se comprueba que se trata 
de corpúsculos cargados positivamente, cuya 
masa es mucho mayor que la de los electrones 

Estos corpúsculos no son otra cosa que áto- 
mos del gas que llena el tubo de rayos cató- 
dicos. Aparecen cargados positivamente por- 
que están ionizados, o sea, porque han perdido 
uno o más electrones de su capa externa. La 
ionización de estos átomos se debe al choque 
de los electrones que constituyen los rayos 
catódicos. 

Los rayos canales, que no son más que 
haces de átomos ionizados en movimiento, emiten luz de por sí. El 
espectro de esta luz corresponde a la naturaleza de los átomos o 
moléculas que forman los rayos. Si en el tubo existía oxígeno se 
obtiene para la masa de las partículas de los rayos canales corres- 
pondientes, un valor que es aproximadamente igual a 16 veces la 
masa de un átomo de hidrógeno. 





Física Elemental 


523 


423. Balanza de átomos. Isotopía. — En 1919 logró F. W. 
Aston construir algo así como una balanza ultrasensible para pesar 
átomos. Un haz de rayos canales pasa a través de una ranura R 
(fig. 845). Colocando un condensador eléctrico en el trayecto de 
los mismos, éstos se desvían y produ- 
cen sobre una película fotográfica P 
una mancha de cierta extensión. 

Los átomos más veloces se desvían 
menos, de modo que suponiendo que 
se trata de un haz de átomos de igual 
masa, el trayecto 1 corresponde a los F¡e- 845 

átomos dotados de mayor velocidad. 

El ideal sería que el haz de átomos incidiera sobre una línea bien 
definida de P cualquiera fuese la velocidad de los mismos. A dis- 
tintas líneas corresponderían entonces masas diferentes. Para lo- 
grar esto Aston hace que el haz de átomos atraviese, después de 
haber pasado por el condensador, un campo magnético (fig. 846). 




Figs. 846 y 847. — Balanza de átomos o espectrógrafo de masas. 




SP 

N 

i 


i 


lO 'ONCO 
f'OCQOOf'O 

lili 


En esta figura los puntos negros representan la intersección de las 
líneas de fuerza del campo magnético con el plano del dibujo, ha- 
biendo supuesto que van de delante hacia atrás. Regulando la in- 
tensidad de los campos se consigue que átomos de igual masa e 
igual carga eléctrica, cualquiera sea la velocidad de los mismos, 

incidan sobre un 
punto, o una línea 
de la placa P. 

En la figura 847 
se han representado 
tres trayectorias co- 
rrespondientes a átomos de diferente masa y la figura 848 es una 
reproducción de una fotografía obtenida por Aston con este pro- 
cedimiento. A este aparato lo llamó Aston espectrógrafo de masas, 
pues del lugar de la mancha se deduce la masa de los átomos 
(o mejor iones) que la produjeron. 


Fig. 848. — Espectrograma de masas. 20: neón; 28 y 32: 
moléculas de nitrógeno y oxígeno; 35 y 37 : átomos 
de cloro, etc. 



524 


E. Loedel 


Si el tubo donde se originan los rayos canales se llena de gas 
cloro cuyo peso atómico es 35,5, se observa que se obtienen dos 
manchas, una correspondiente a la masa atómica 35 y la otra a la 
masa 37. Existen, pues, dos clases de átomos de cloro de pesos ató- 
micos diferentes y de propiedades químicas y físicas iguales o casi 
iguales. Esto hace muy difícil su separación química. El peso ató- 
mico de un elemento que se determina por los procedimientos co- 
munes de la química, es un término medio, cuyo valor depende de 
la relación en que se encuentran mezclados los átomos de propie- 
dades iguales y pesos atómicos distintos. 

A los átomos de un mismo elemento que tienen pesos atómicos 
diferentes, se les llama isótopos. Se ha encontrado que la mayoría 
de los elementos químicos están formados por isótopos. Así, por 
ejemplo: 

Existen tres clases de hidrógeno de pesos atómicos: 1; 2; 3. 

„ dos „ „ carbono „ „ „ 12; 13. 

„ tres „ „ oxígeno „ „ „ 16; 17; 18. 

De acuerdo a esto existirían varias clases de moléculas de agua: 
H 1 2 0 16 ; H 2 2 0 16 ; H^O 17 ; H^^H 2 etc.; 




la primera formada por dos átomos de hidrógeno de peso atómico 
1 y un átomo de oxígeno de peso atómico 16; la segunda formada 
por dos átomos de hidrógeno de peso atómico 2 y un átomo de 
oxígeno de peso atómico 16 etc. Se ha logrado efectivamente pro- 
ducir “agua pesada ” cuya densidad es mayor que 1, por intervenir 
en ella, en mayor proporción, moléculas de 
peso molecular superior a 18. 


424. Rayos 
X. — En 1895 
observó Roent- 
gen que de una 
ampolla de rayos 
catódicos salían 
radiaciones que 
atravesaban los 


Fig. 850. — Ampolla de rayo9 X. 


Conrado Roentgen 
(1845 • 1923). 


cuerpos opacos 
para la luz co- 
mún e impresio- 
naban las placas fotográficas. Les llamó rayos X por no conocer 
en un principio su naturaleza. 


LÁMINA II 



1 a 5. Descarga eléctrica en un tubo con aire. En 1 la presión es de 10 cm 
de Hg, en 2 de unos milímetros y en 4 y 5 de unos 0,05 mm. — 6. Ampolla 
de rayos catódicos. — 7. Radioscopia de tórax. 




Física Elemental 


525 


En la figura 850 se ve una ampolla de rayos X. Los rayos ca- 
tódicos que salen del cátodo ( — ) chocan contra el anticátodo colo- 
cado en el centro de la ampolla, de donde salen los rayos X en 
todas direcciones. Estos rayos excitan la fluorescencia por lo cual 
una pantalla fluorescente se ilumina al ser alcanzada por los mis- 
mos. Si se interpone entre la ampolla y la pantalla, que puede ser 
de platinocianuro de bario, una mano, por ejemplo, aparece sobre 
la pantalla la silueta sombreada de los huesos. En esto se basa 
la radioscopia. (Véase lámina II). Colocando una placa fotográ- 
fica en lugar de la pantalla fluorescente, se obtienen las llamadas 
radiografías. 

En 1913 Laue logró producir fenómenos de difracción con ra- 
yos X, pudiendo medir la longitud de onda de estas radiaciones. 

Se encontró así que los rayos X no son otra cosa que “ luz ”, 
pero de longitud de onda mucho menor que la de la luz visible. 
Es tan pequeña la longitud de onda de los rayos X que se la expre- 
sa, por comodidad, en una unidad llamada X que es un milésimo 
de angstrom. Recuérdese que el angstrom es igual a un cienmillo- 
nésimo de centímetro. 

Existen rayos Roentgen de longitud de onda igual a sólo algu- 
nas decenas de X y rayos Roentgen de longitud de onda de miles de X. 

En las radiaciones emitidas por un tubo de rayos X se encuen- 
tran rayos Roentgen que dan lugar a un espectro continuo y cuya 
longitud de onda depende sólo de la velocidad con que chocan en 
el anticátodo los rayos catódicos. Además parten del anticátodo 
rayos X característicos de la substancia de que está hecho dicho 
anticátodo. Estos rayos X característicos dan origen a espectros 
de líneas. Cuanto menor es la longitud de onda, mayor es el poder 
de penetración de los rayos X. 

Además de excitar la fluorescencia e impresionar las placas 
fotográficas, los rayos X tienen un gran poder de ionización. Esto 
significa que el aire atravesado por estos rayos se vuelve buen 
conductor de la electricidad, por lo cual, bajo la influencia de 
los mismos, un electroscopio cargado se descarga rápidamente. 

EFECTO FOTOELÉCTRICO 

425. Fotoelectrones. Fotones. Teoría de los cuantos. — En 
el año 1887 descubrió Hallwachs que un cuerpo cargado con 
electricidad negativa se descarga rápidamente si se le ilumina. Se 
verificó posteriormente que de los cuerpos iluminados se despren- 
den electrones. La velocidad con que los electrones son arrancados 



526 


E. Loedel 


del cuerpo por la luz no depende de la intensidad de ésta; depende 
sólo de su color. Más precisamente: se constata que al aumentar la 
frecuencia de la luz incidente aumenta la velocidad de los fotoelec- 
trones. Se llaman así a los electrones desprendidos de un cuerpo 
por la acción de la luz. A luz de gran frecuencia corresponde peque- 
ña longitud de onda. De aquí que cuanto menor es la longitud 
de onda, tanto mayor es la energía con que sale el fotoelectrón. 
La luz roja apenas si tiene energía suficiente, por intensa que sea, 
para arrancar un electrón. De algunos cuerpos consigue arrancar 
electrones, de otros no. La luz azul arranca a los electrones con 
mayor violencia; la luz violeta más todavía, saliendo los electro- 
nes con mayor velocidad aún, si se trata de luz ultravioleta o de 
rayos X. 

Para explicar el efecto fotoeléctrico debe admitirse que la luz 
está formada por gránalos o corpúsculos de energía. La energía 
de estos gránulos que constituirían la luz 
y que se llaman fotones, es proporcional 
a la frecuencia de la onda luminosa: 

e = hv. [1] 

En esta fórmula e es la energía de 
un fotón; v la frecuencia de la onda y h 
una constante introducida en la física por 
Plancic en el año 1900 y que se llama 
por eso constante de Planck. Su valor es: 

h = 6,55 X 10 -27 ergios X seg. 

Planck introdujo esta constante al for- 
mular su hipótesis de los cuantos. Según 
esta hipótesis, verificada ya en forma con- 
cluyente, los cuerpos, al absorber o emitir energía, lo hacen en 
forma discontinua, por sorbos, gránulos o átomos de energía. 

No sólo la materia estaría formada por corpúsculos. También 
la energía tiene una estructura corpuscular. Un cuerpo emite o 
absorbe siempre un número entero de fotones. El fotón se com- 
porta como indivisible. Existen fotones portadores de pequeña ener- 
gía (luz roja o infrarroja) y fotones portadores de gran energía 
(luz violeta o ultravioleta). 

Fórmula: Para separar un electrón de la superficie de un cuer- 
po, se requiere gastar un trabajo A que depende de la naturaleza 



Mnx Planck (nacido en 1858). 



Física Elemental 


527 


del cuerpo. Si además el electrón sale proyectado con la velocidad 
v su energía cinética será: 

y 2 mu 2 , 


siendo m la masa del electrón. El trabajo A más esta energía ciné- 
tica debe ser igual a la energía del fotón incidente. Por lo tanto:- 

hv = V 2 mu 2 + A. 


Esta fórmula establecida por Einstein en 1905 ha sido verifica- 
da por medidas directas. 

El número de electrones desprendidos por la acción de la luz 
aumenta al aumentar la intensidad de la radiación luminosa , o sea. 
al aumentar el número de fotones inci- 
dentes. 

APLICACIONES 

Célula fotoeléctrica. — En el interior de 
una ampolla de vidrio en la que se efectúa 
un alto vacío (fig. 852), se encuentra una 
capa de sodio metálico unida al polo nega- 
tivo de una batería de acumuladores. El 
polo positivo de ésta se une a un anillo 
metálico de níquel. La luz que incide sobre 
la placa de sodio arranca de ella elec- 
trones (negativos), que son atraídos por el anillo de níquel. Se esta- 
blece así una corriente de electrones que van de la placa al anillo, 
que equivale a una corriente eléctrica en sentido opuesto, cuyo paso se 



Fig. 852. — Célula fotoeléctrica. 



Fig. 853. — Puesta en marcha de un motor ai interceptar un haz de luz. 


revela por el galvanómetro G. Cada vez que la célula se ilumina pasa 
por G una corriente eléctrica cuya intensidad aumenta con la inten- 
sidad de la luz incidente, supuesta de un mismo color. 

Entre las aplicaciones ya corrientes de la célula, citaremos la 
puesta en marcha de un motor M (fig. 853), al interceptarse el 


528 


E. L O E D E L 



haz de luz que incide sobre una célula fotoeléctrica. La palanca 
P, al no pasar corriente por el electroimán E, cierra el circuito del 



Fig. 854. — Manera de registrar el sonido en un film. 


motor. Un aparato de relojería adecuado puede hacer que el motor 
funcione durante cierto tiempo como sucede en las escaleras ro- 



i n 

Fig. 855. — Dos modos de registrar 
loa sonidos en un film. 


dantes del subterráneo. De modo aná- 
logo se puede hacer sonar un timbre 
de alarma, abrir una puerta, etc. 

Como la corriente que pasa por la 
célula es muy débil, se la amplifica 
con una o varias lámparas termoióni- 
cas (418). 

Cine sonoro. — La figura 854 mues- 
tra un esquema de cómo puede regis- 
trarse un sonido sobre un film. Diga- 
mos desde ya que los dispositivos em- 
pleados son muy variados. Las ondas 
sonoras se traducen, en el micrófono 
M, en variaciones de intensidad de co- 
rriente que se amplifican en A. Estas 
corrientes actúan sobre un oscilógrafo 
O que hace vibrar un pequeño espejo 
E que refleja la luz proveniente de una 
ranura R sobre un borde del film. Se 
puede registrar el sonido de dos mi- 
neras (fig. 855). 

En una de ellas la opacidad se 


mantiene constante, variando la longi- 
tud de los trazos luminosos (I). En II la longitud de los trazos 
es constante y varía la opacidad. 


Física Elemental 


En la figura 856 se muestra cómo se reproduce el sonido im- 
preso en el film. 

La lente L concentra sobre la abertura R la luz de una lámpara 
de intensidad lqminosa constante. La luz que parte de R se con- 



Fig. 856. — Reproducción del sonido impreso. 


centra con la lente L\ sobre el borde del film que lleva impreso 
el sonido. La lente Lo concentra esa luz sobre la célula fotoeléc- 
trica C. Las variaciones de intensidad luminosa se traducen en va- 
riaciones de intensidad de corriente que se amplifican en A actuan- 
do luego sobre el altoparlante P. 

Telefotografía y televisión. — Para transmitir una fotografía 
telegráficamente es necesario ir “explorando” punto por punto 
la imagen a transmitir, convirtiendo las variaciones de brillo lumi- 
noso de la imagen en variaciones de 
una corriente eléctrica. 

En el receptor se efectúa la recom- 
posición de la imagen convirtiendo nue- 
vamente las variaciones de intensidad de 
la corriente en variaciones de brillo. 

Entre los muchos sistemas emplea- 
dos se utiliza para explorar la imagen 
un disco (fig. 857), con una serie de 
orificios 1, 2, 3..., dispuestos en espi- 
ral. Este disco gira, accionado por un 
motor, frente a una ventana ABCD, don- 
$ de se coloca la película o la placa de 
vidrio con la imagen que se desea trans- 
mitir. 

En la figura 858 se ve la disposición esquemática del transmisor. 
La luz de una potente lámpara de intensidad constante incide sobre 
la parte del disco colocada frente a la ventana donde se coloca la 
imagen. Esta luz penetra por uno de los orificios del disco (uno 




530 


E. Loedel 


por vez) e incide sobre la placa P. Luego la lente proyecta esa 
luz sobre una célula fotoeléctrica cuya corriente se amplifica en A. 

Cuando uno de los 
orificios del disco pa- 
sa frente a una parte 
obscura de la imagen, 
la corriente que pasa 
por la célula será 
débil. En cambio la 
corriente será más in- 
tensa cuando uno de 
los orificios pasa fren- 
te a regiones claras 
de la imagen. 

Estas corrientes pueden transmitirse por cable o bien se hace 
que ellas modulen una onda electromagnética. En la estación recep- 
tora (fig. 859) sé encuentra otro disco 
idéntico al disco explorador, dotado de 
la misma velocidad y rotando en igual- 
dad de fase con aquél. La corriente del 
transmisor convenientemente amplificada 
alimenta una lámpara de neón L. La luz 
de esta lámpara se proyecta sobre el 
disco, detrás del cual se encuentra una 
película sensible P donde quedará im- 
presa la fotografía transmitida. 

Si la pantalla P es fluorescente y los 
discos giran con mucha rapidez un obser- 
vador podrá ver sobre la misma imágenes 
en movimiento, si frente al disco trans- 
misor se hace pasar, en forma conve- 
niente, una película de cine. En esto con- 
siste el telecinema. 

La televisión se resuelve en forma análoga. Se prefiere actual- 
mente utilizar como receptor un tubo de rayos catódicos donde un 
haz de estos rayos recorre una pantalla fluorescente y “dibuja 5 ’ cor» 
rapidez vertiginosa imágenes sucesivas del objeto distante. 




CAPÍTULO XXXI 


RADIACTIVIDAD. ESTRUCTURA DEL ÁTOMO. 
RAYOS CÓSMICOS 

426. Cuerpos radiactivos. Rayos alfa, beta y gamma. — 
Habiéndose enterado Becquerel del descubrimiento efectuado por 
Roentgen (424) de esas radiaciones raras que parecían salir de 
la parte opuesta del cátodo de un tubo de rayos catódicos, pensó 
que quizá se debieran a que la pared de vidrio anticatódica fluo - 
resce coloreándose de verde, por la acción de los rayos catódicos. 
Pensó entonces, que quizá las substancias fluorescentes podrían emi- 
tir radiaciones análogas. 

Entre las substancias fluorescentes de que disponía para com- 
probar su hipótesis, quiso la casualidad que eligiera una sal de 
uranio. Comprobó entonces que de esta' r 
sal salían radiaciones que impresiona- 
ban las placas fotográficas ionizando 
también el aire. Pero advirtió de inme- 
diato que el fenómeno no tenía nada 
que ver con la fluorescencia. Cualquier 
sal de uranio emite radiaciones análo- 
gas: se trataba sin duda de lina propie- 
dad del átomo de uranio. 

La figura 860 es una reproducción 
reducida de una fotografía obtenida en 
el Colegio N. de La Plata por la acción de las radiaciones de un 
mineral de uranio. Se colocó para ello sobre una placa fotográfica 
común, envuelta en papel negro, la hoja de acero, y a un centímetro 
de distancia, el mineral de uranio. La exposición duró diez días. 

La actividad de -una substancia radiactiva se mide teniendo en 
cuenta el tiempo que tarda en descargarse un electroscopio bajo su 
influencia. De este modo los esposos Curie comprobaron en 1898 
que el mineral llamado pechblenda, de donde se extrae el uranio, 
era cuatro veces más activo que el uranio puro. Sospecharon que 
ese mineral debía contener alguna substancia de una actividad mayor 




532 


E. Loedel 


que la del uranio. Lograron efectivamente aislar un nuevo elemento, 

el radio , cuya actividad ea 
2 000 veces mayor que la 
del uranio. 

Los 1 1 

un pre 

forman un complejo de 
radiaciones. 

Si se tiene el prepa- 
rado (fig. 862) en el inte- 
rior de un bloque de plo- 
mo, por la acción de un 
campo magnético se sepa- 
ran esas radiaciones en 
tres haces: rayos a, f3 y y. 

En la figura se ha su- 
puesto que las líneas de 
fuerza del campo magné- 
tico van de delante hacia 
atrás. 

El sentido en que se 
desvían los rayos a prue- 
ba que se trata de corpúsculos cargados positivamente. Los rayos 
(3 se desvían en sentido opuesto, tienen cargas negativas y sus pro- 
piedades son análogas a las de los rayos 
catódicos. Finalmente los rayos gamma no 
se desvían, comportándose en forma pare- 
cida a los rayos X. 

Los rayos (3 están formados por electro- 
nes dotados de gran velocidad que en algu- 
nos casos llega a ser igual a 0,99 de la 
velocidad de la luz. Los rayos (3 emitidos 
por una misma substancia están formados en 
general por haces dotados de diferentes ve- 
locidades. Las partículas que constituyen los 
rayos a tienen una carga eléctrica igual a 
dos cargas elementales y una masa igual a 
cuatro veces la masa de un átomo de hidró- 
geno. El helio tiene un peso atómico igual 
a 4 y dos electrones rodean su núcleo. Una F¡g. 862 . 

partícula a es un átomo de helio que ha 

perdido sus dos electrones planetarios. Esto se ha comprobado ade- 


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rayos que saien ae 
parado radiactivo 



Los esposos Curie en su laboratorio. 

P. Cuñe (1859 - 1906). Sra. Cuñe (1867 - 1934). 



Física Elemental 


533 


más en forma directa pues en un tubo que contiene una substancia 
radiactiva aparece helio al cabo de cierto tiempo. 

El cuadro siguiente resume las propiedades principales de esta» 
radiaciones : 


Rayo* 

Masa 

Carga eléctrica 

Análogos a loa: 

a 

4 Mh 

+ 2 e 

Rayos canales. 

(3 

m 

— € 

Rayos catódicos muy veloces* 

y 

Ondas más cortas que los 

Rayos X. 


En este cuadro AÍH es la masa del átomo de hidrógeno y m 
la masa del electrón, siendo e la carga eléctrica elemental. 


427. Transmutaciones atómicas. — De un preparado de radio 
se desprende por una parte helio de masa atómica 4 y por otra una 
substancia gaseosa llamada emanación que corresponde a un ele- 
mento de peso atómico igual a 222. 

Para explicar este y otros fenómenos se admite que algunos 
¿tomos de radio explotan de tanto en tanto dividiéndose en dos 
partes de acuerdo al esquema: 


Radio (226) 


^✓''Emanación ( 222 ) . 
'^KHelio (4) = partícula 


a. 


Como la cantidad de partículas a desprendidas en cierto tiempo 
puede contarse (en forma indirecta) se sabe el número de átomos 
de radio que se han desintegrado en ese tiempo. Se ha calculado 
así que la mitad de los átomos de radio explotan en 1 580 años. 
Esto significa que si tenemos ahora un conjunto de un millón de 
átomos, al cabo de 1580 años tendremos sólo medio millón; el otro 
medio millón explotó dando origen a emanación y helio. 

Pero los fenómenos son algo más complicados, pues la emana- 
ción es también una substancia radiactiva que se desintegra por 
mitad en algo menos de cuatro días, dando origen, por emisión de 
una partícula a, al radio A. 

Los procesos de radiactividad no pueden acelerarse ni retar- 
darse por medio alguno: aunque se caliente o se enfríe la substancia 
a temperaturas extremas, aunque actúen sobre la misma campos 







634 


E. Loedel 





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C£ Ip p.órfío; 

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eléctricos o magnéticos intensos, etc. Los fenómenos radiactivos se 
producen siempre de la misma manera. 

Se conocen tres familias radiactivas naturales, la del torio, la 
del uranio y la del protoactinio cuyos “árboles genealógicos” puede* 
verse en la figura 863. Las flechas verticales negras significan que 
la transformación se efectúa por emisión de una partícula a y las 
horizontales blancas por emisión de una partícula ¡3. 

Fuera de los elementos de estas familias se ha constatado una débil 
actividad en el potasio y el rubidio. 

Las transmutaciones atómicas están regidas por las leyes del 
azar aplicándose a las mismas el cálculo de probabilidades. Cono- 
ciendo el tiempo de reducción a la mitad de una substancia radi- 


Fig. 863. — Las tres familias radiactivas. 


activa cualquiera y el número de átomos existentes en un instante 
dado, puede calcularse fácilmente cuántos átomos explotarán ea 
determinado intervalo de tiempo, pero no puede decirse cuáles será* 
los que han de estallar. Análogamente puede calcularse sobre la 
base de estadísticas, el número de personas que se suicidarán e* 
Buenos Aires en el año 1945, siendo imposible, empero, determinar 
quiénes adoptarán una resolución tan trágica. La explicación prece- 
dente sobre las transmutaciones radiactivas se debe a Rutherfor» 
y Soddy quienes establecieron la ley siguiente: El porcentaje de 
átomos que estallan en un intervalo de tiempo es constante para 
cada especie de átomos. El tanto por ciento de los átomos que se 
desintegran en un tiempo dado, dividido por cien y por dicho tiempo 
se llama constante de desintegración. 



Física Elemental 


535 




Fig. 864. — Cámara 
de Wilson. 


428. Cámara de Wilson. Trayectoria de las partículas a. — 
Se pueden fotografiar las trayectorias de las partículas a del modo 
siguiente. El preparado radiactivo, que puede ser 
una sal de radio, se coloca en el extremo R de 
un alambre, en el interior de una cámara (fig. 

864) que contiene aire y vapor saturado de agua, 
llamada cámara de Wilson por ser este físico 
el que inventó en 1912 este procedimiento. Se 
produce en la cámara una expansión brusca por 
medio del émbolo P o simplemente con una pe- 
rilla de goma. El enfriamiento producido por la 
expansión hace que los vapores de agua se con- 
densen en pequeñísimas gotitas. Estas gotas se 
forman con más facilidad alrededor de átomos 
ionizados. En el trayecto recorrido por una par- 
tícula a quedan miles y miles de átomos de nitró- 
geno y oxígeno ionizados. En ese trayecto se 

forma un hilo de pequeñísimas gotitas de agua. Ese hilo de niebla 
es visible a simple vista y puede fotografiarse si se le ilumina en 
forma conveniente. En la figura 865 se ve una fotografía estereos- 
cópica tomada por 
Blacicett. Se ve en 
ella que las trayecto- 
rias terminan en for- 
ma brusca como si de 
golpe la partícula a 
perdiera su poder de 
ionización. 

Algunas trayecto- 
rias muestran 'quebra- 
duras muy pronuncia- 
das en su extremo. 
Estos detalles que pa- 
recen no tener mayor 
importancia son de 
enorme trascendencia. 
La bifurcación que se 
observa en la figura 
corresponde al choque 
de una partícula a 
con un átomo de oxígeno. Las partículas a tienen un alcance que 
oscila en el aire entre los tres y los once centímetros, según sea la 


Fig. 865. — Fotografía estereoscópica de los trayectos de 
las partículas 01 . El preparado radiactivo está abajo. 


536 


£. Loedel 


velocidad de las mismas. El alcance no es otra cosa que la longitud 
de la trayectoria visible de las mismas en la cámara de Wilson. 
Algunas transmutaciones dan origen a partículas a. muy veloces y 
por lo tanto de gran alcance. 

Se puede calcular que una partícula a produce en su recorrido 
en el aire de cien mil a doscientos cincuenta mil pares de iones, 
según sea su energía inicial. Para producir estos iones debe arran- 
car de los átomos con que choca uno o más electrones. Así va 
perdiendo energía paulatinamente y llega un momento en que su 
energía cinética es tan pequeña, que no alcanza al valor necesario 
para ionizar más átomos. Su trayectoria se hace entonces invisible. 

El cambio brusco de la dirección que se observa al finalizar el 
trayecto de algunas partículas a se explica admitiendo que por 
casualidad la partícula pasó muy cerca del núcleo de algún átomo, 
que al repelerla la desvió de su trayectoria primitiva. 

ESTRUCTURA DEL ÁTOMO 

429. Modelo atómico de Rutherford. — ¿Cómo es posible que 
una partícula a pueda atravesar los átomos sin desviarse en forma 
sensible? Si una partícula a recorre en el aire cinco o seis centí- 
metros puede calcularse fácilmente sabiendo que cada átomo tiene 
un diámetro aproximado de un cien millonésimo de centímetro, que 
debe atravesar decenas de miles de átomos. Los átomos no pueden 
ser entonces esferas macizas, deben ser en gran parte huecos. 

Rutherford imagina a los átomos formados por un núcleo cen- 
tral muy pequeño rodeado de electrones. El diámetro de la esfera 
donde se encuentran los electrones externos sería diez mil veces 
mayor que el diámetro del núcleo. La probabilidad de que una 
partícula a choque con el mismo núcleo de un átomo es sumamente 
pequeña. Cuando ese choque se produce ocurren fenómenos muy 
interesantes. 

La casi totalidad de la masa del átomo se encuentra concentrada 
en el núcleo, cuya carga eléctrica es positiva. En el átomo neutro 
girarían alrededor del núcleo, como planetas de un minúsculo siste- 
ma planetario, un número de electrones igual al número de cargas 
eléctricas elementales positivas del núcleo. 

430. Clasificación periódica de los elementos. — El hidrógeno 
tiene peso atómico uno, es monovalente y se convierte en un ion 
positivo. En el orden creciente de los pesos atómicos sigue al hidró- 
geno el helio, de peso atómico 4 y valencia nula. El helio pertenece 



Física Elemental 


537 


a los gases “nobles”, que no forman combinaciones estables con 
otros elementos. 

Para ionizar el helio se requiere una energía muy grande. 

Sigue en este orden el litio (tiene dos isótopos estables de pesos 
atómicos 6 y 7) que es monovalente y se convierte con facilidad 
en ion positivo. Cosa curiosa, el espectro del litio es muy pare- 
cido al del hidrógeno. 

Al litio le siguen los elementos que se mencionan a continuación: 

1 2 

H He 


3456789 10 

Li Be B C N O F Ne 


El elemento número 10, neón, es también un gas noble de pro- 
piedades muy parecidas al helio. Por eso hemos colocado en la 
misma columna los elementos de propiedades análogas. Al neón le 
sigue el sodio cuyas propiedades (monovalente, ion positivo, espec- 
tro) son muy parecidas a las del hidrógeno y el litio. 

Escribimos a continuación, además de los elementos anteriores, 
los que siguen al sodio: 

1 2 

H He 


3456789 10 

Li Be B C N O F Ne 


11 12 13 14 15 16 17 18 

Na Mg Al Si P S Cl Ar 

El argo es un gas noble parecido al helio y al neón; el cloro cae 
debajo del flúor cuyas propiedades son tan similares, etc. Al argo 
le sigue el potasio* (19) un metal alcalino lo mismo que el sodio. 
Las propiedades químicas y físicas se repiten periódicamente. En el 
cuadro de la contratapa se encuentran clasificados en esta forma 
todos los elementos conocidos cuyos números de orden van desde 
el uno que corresponde al hidrógeno hasta el noventa y dos corres- 
pondiente al uranio. 

* El peso atómico del argo es 39,94, el del potasio 39,10. Ordenando los elementos por 
el peso atómico se debería clasificar a! potasio antes que al argo. En el mismo caso se encuen* 
tras el cobalto y el níquel y también el telurio y el iodo. Esto prueba que lo fundamento 1 
en la clasificación no es precisamente el peso atómico. 



538 


: E. Loe dpl 

Para explicar este comportamiento de los elementos se admite 
que el número de cargas eléctricas elementales positivas del núcleo 
es igual al número de orden del elemento en la clasificación ante- 
rior, llamada clasificación de Mendelejeff. 

Además se supone que los electrones que rodean al núcleo se 
agrupan en pisos sucesivos o cáscaras de capacidad limitada . El 
primer piso formado por la cáscara más cercana al núcleo se llama 
piso K (fig. 866) y tiene capacidad para contener sólo dos elec- 
trones. El piso siguiente o capa L tiene una capacidad de ocho 
electrones. El hidrógeno está formado por un núcleo positivo con 
carga eléctrica igual a uno llamado protón, y en el piso K existe 

un único electrón. Cuando pierde este 
electrón se ioniza. ¿Qué es un ion 
hidrógeno? Sencillamente un protón. 

El helio tiene una carga nuclear 
igual a 2 y el piso K completo con 
dos electrones. Cuando la capa exte- 
rior queda completa la estabilidad del 
átomo es muy grande; éste se ioniza 
con suma dificultad por lo cual no 
es apto para reaccionar químicamente. 

El litio tendría carga nuclear igual 
a 3 y tres electrones planetarios. De 
estos 3 electrones planetarios 2 ocupan 
la capa A y el tercero uno de los ocho 
compartimientos libres de la capa L. 
Como el núcleo del litio tiene carga + 3 y existen en la capa K 
dos electrones, sobre el tercer electrón actúa una fuerza electro- 
estática hacia el interior como si proviniera de una carga positiva 
igual a uno (3 — 2 = 1). De aquí que el litio se parezca al hidró- 
geno. La capa L se completa con sus ocho electrones en el neón 
que tiene una estructura muy estable y se parece por eso al helio. 

Al neón le sigue el sodio. En el átomo de sodio existen 11 elec- 
trones planetarios: 2 en la capa K; 8 en la capa L y un electrón 
que ocupa uno de los compartimientos del piso o capa siguiente 
que se denomina M. Esta distribución de los electrones explica el 
comportamiento de los átomos en cuanto a sus propiedades eléctri- 
cas, magnéticas, espectroscópicas, etc. 

Para citar un solo ejemplo: Si el litio se ioniza una vez (pierde 
un electrón) su espectro es parecido al del helio; si se ioniza dos 



Fig. 866. — Los electrones ae 
distribuyen en capas. 



Física Elemental 


'539 


,y,e,ces el espectro, es parecido al del hidrógeno. Para obtener el es- 
pectro de un gas ionizado se le somete a descargas eléctricas de ele- 
vada tensión. 

431. Constitución del núcleo. — Se admite en la actualidad que 
los núcleos de todos los átomos están formados por protones y 
neutrones: 

Los protones tienen una carga eléctrica elemental positiva y su 
masa es igual a la masa del átomo de hidrógeno menos la masa de 
un electrón. A la masa del protón la llamaremos 1. 

Los neutrones tienen una masa igual a la del protón pero no 
tienen carga eléctrica, ni positiva ni negativa. 

Si designamos al protón por P y al neutrón por /V, los núcleos 
de los tres isótopos del hidrógeno (423) estarían formados así: 

P ; PN ; PNN. 

El núcleo de helio o sea una partícula a estaría formado por dos 
protones y dos neutrones: 

He = PPNN. 

Los dos isótopos estables del litio (figs. 867 y 868) de masas 
atómicas 6 y 7 estarían formados así: 

Li 6 = PPPNNN ; Li, = PPPNNNN. 

El número de protones del núcleo de un elemento es igual al 
número de orden del mismo en la clasificación periódica de M en- 
ciele jeff. El radio, de masa atómica igual a 226 y número de orden 
88 tiene su núcleo formado por 88 protones y 138 neutrones 
(138 = 226 — 88). La desintegración espontánea de un átomo de 
radio con emisión de una partícula a se expresa simbólicamente así: 

2Z6 222 4 

Ra — Em -(- He. 

88 86 2 

Los subíndices de la parte inferior izquierda representan las 
cargas eléctricas nucleares y los índices superiores las masas 
nucleares. La suma de los índices superiores debe ser igual en 
ambos miembros (226 = 222 -f- 4) y lo mismo debe ocurrir con 
t los subíndices inferiores (88 = 86 + 2). La ecuación anterior ex- 
presa la formación de emanación y helio a partir del • adió . 

. Las radiaciones /? se explican admitiendo que en el seno del 
jiúcleo atómico que emite una partícula f3 se convierte un neutrón 


4 



540 


E. Loedel 


en un protón ; como si el neutrón estuviera formado por la fuñón 
de un protón con un electrón. 


432. Los neutrones. — Los neutrones fueron descubiertos en 
1930 por Bothe y Becker. Se obtienen rayos de neutrones bombar- 



F¡g9. 867 y 868. — Átomos de litio 6 y litio 7. 


deando con partículas a elementos de peso atómico pequeño coma 
el berilio. Basta colocar en un pequeño recipiente berilio con un 
preparado radiactivo para que salgan del recipiente en todas 
direcciones rayos de neutrones. Se caracterizan estos rayos por no 
desviarse en un campo magnético ni eléctrico y por atravesar con 
suma facilidad gruesas paredes de cualquier substancia. Como estas 

partículas no tienen carga eléctrica no produ- 
cen ionización, de modo que atraviesan los áto- 
mos sin influir sobre los mismos. Se explica 
de este modo su enorme poder de penetración. 
Cuando por casualidad un neutrón choca con 
el núcleo de un átomo de la substancia que 
atraviesa, este átomo se divide y salen de él 
partículas que por estar cargadas eléctricamen- 
te producen la ionización del medio cir- 
cundante. Supongamos (fig. 869), que la tra- 
yectoria punteada corresponde al camino in- 
visible seguido por un neutrón que en A choca contra el núcleo 
de un átomo. A partir de A se observan en la cámara de Wilso» 
dos trayectos AB y AC. Estos trayectos permiten individualizar 
los productos de la explosión artificial provocada en A por el 



Fie. 869. 


* '■ 


Física Elemental 


541 


choque del neutrón. Resumiendo: las trayectorias de los neutrones 
son invisibles pero sus efectos al chocar con los núcleos de otros 
átomos permiten conocer la masa y la velocidad de los neutrones. 

433. Transmutaciones artificiales. — En 1919 observó Ru- 
therford que bombardeando una atmósfera de nitrógeno con par- 
tículas a provenientes del polonio aparecían rayos de protones 
dotados de gran velocidad. La ecuación nuclear que interpreta este 
fenómeno es la siguiente: 

14 4 17 1 

N+ He = 0+ H. 

7 2 8 1 

4 14 

La partícula a ( He) al chocar con el núcleo de nitrógeno ( N), 

2 17 

es absorbida por ese núcleo desprendiéndose protones ( H), o sea, 

i 

núcleos de hidrógeno. Como la carga del protón es igual a la unidad, 
el resto atómico que queda después 
de expulsar el protón debe tener 
una carga igual a 8. Este resto ató- 
mico debe ser entonces un núcleo 
de oxígeno de masa igual a 17. Se 
trata de un isótopo del oxígeno. 

Hoy día se consigue transmu- 
tar unos elementos en otros de mu- 
chos modos. Así por ejemplo, bom- 
bardeando con protones el litio se 
obtiene helio (partículas a) : 

7 14 4 

Li + H= He+ He. 

3 12 2 

En este proceso se pone en li- 
bertad una energía muy grande, 
pero el rendimiento es aún suma- e. Rutherford (i87i - 1937). 

mente pequeño como para pensar 

en utilizar la energía intraatómica industrialmente: Es necesario 

utilizar millones de proyectiles para que por azar uno de esos 
proyectiles dé en el blanco y ponga en libertad la energía deseada. 

Estos ejemplos de transmutaciones de elementos pertenecen a 
una rama enteramente, nueva de la física, que podría llamarse 
auímica nuclear. 



542 


E. Loedel 


434. Radiactividad artificial. — El matrimonio Joliot - Curie 
descubrió en 1934 el fenómeno de la radiactividad artificial. 

Colocando un trozo de azufre en las cercanías de una fuente 
emisora de neutrones se observa que se convierte en radiactivo emi- 
tiendo partículas (3. La actividad se reduce a la mitad en catorce 
días. Disolviendo ese azufre y tratándolo .químicamente por los 
procedimientos comunes, se observa que la actividad puede sepa- 
rarse del azufre exactamente por los mismos procedimientos que 
se emplean para librarlo de impurezas de fósforo. 

Se explica el fenómeno admitiendo que un átomo de azufre al- 
canzado por un neutrón se convierte en un átomo radiactivo, isótopo 
del fósforo, de acuerdo a la ecuación siguiente: 

32 1 32 1 

S ti — — P -J- H. 

16 0 15 1 

Luego, durante el bombardeo, se desprenderían protones. Este 
fósforo radiactivo, al emitir partículas /3 se convierte de nuevo en 
azufre: 

32 32 0 

p-> ■ s+ p. 

15 16 —1 

Se conocen actualmente muchísimas reacciones nucleares que dan 
origen a átomos inestables o sea radiactivos. Fermi ha conseguida 
de este modo, obtener átomos radiactivos inestables de número ató- 
mico superior al 92 que corresponde al uranio. Para esto se expone 
el uranio u otros elementos pesados a la acción de rayos de neu- 
trones. 

435. Rayos cósmicos. — La Tierra se encuentra literalmente 
bombardeada por rayos que llegan de todas las direcciones del es- 
pacio. Estos rayos parecen tener una naturaleza corpuscular. Los 
corpúsculos que los constituyen poseen carga eléctrica positiva, 
siendo probable que se trate de protones ultrarrápidos. Estos cor- 
púsculos son portadores de una energía enorme que se manifiesta 
en su extraordinario poder de penetración, pues son capaces de 
atravesar una pared de plomo de unos diez metros de espesor. Por 
esto se les llamó también rayos ultra penetrantes, ya que los rayos 
gamma más penetrantes atraviesan sólo unos centímetros de plomo. 
La energía de los corpúsculos que constituyen estos rayos cósmicos 
se avalúa en decenas de miles de millones de electrón - voltios. 

Hasta ahora nos estamos refiriendo a los rayos cósmicos prima- 
rios. Cuando una de estas partículas choca, por azar, con el núcleo de 



Física Elemental 


543 » 


algún átomo de la atmósfera terrestre, lo hace explotar y sus frag- 
mentos originan los rayos cósmicos secundarios , menos penetrantes 
y más complejos que los primarios. 

Los rayos cósmicos fueron descubiertos al observarse que un 
electroscopio (o mejor electrómetro) perfectamente aislado se des- 
cargaba como si en su cercanía hubiera alguna substancia radiactiva 
que provocara la ionización del gas que rodeaba ál aparato. Se- 
pensó que ese efecto provendría de substancias radiactivas de la 
corteza terrestre, pero bien pronto se observó, experimentando con- 
globos, que el efecto ionizante aumentaba con la altura. 

En 1910 Hess exploró con un globo sonda, provisto de apara- 
tos registradores, basta la altura de 5 200 m; en 1914 Kolhoerster 
alcanzó los 9000 m; en 1918 R. A. Millikan hizo exploraciones 
hasta la altura de 15 500 m, que es más o menos la altura a que llegó 
Piccard en 1932 con su globo estratosférico de cabina rígida. Más re- 
aientemente Regener alcanzó con un globo sonda la altura de 26 Km. 

En la superficie terrestre los efectos son muy complicados, pues 
inciden de pronto en el aparato de observación, haces complejos 
de partículas que son rayos secundarios. De aquí la gran impor- 
tancia de las observaciones efectuadas a gran altura. El poder de 
penetración de los rayos se mide colocando un electrómetro regis- 
trador en el mar o en un lago a diferentes profundidades. 

En las cercanías de los polos terrestres incide en término me- 
dio mayor número de corpúsculos cósmicos que en el Ecuador. 
La dependencia del efecto de estos rayos con la latitud prueba jus- 
tamente que el campo magnético terrestre es capaz de orientar a las 
partículas que los contituyen, sabiéndose así que pose«n cargas eléc- 
tricas positivas (LemaÍtre y Vallarta). 

Origen de los rayos cósmicos. Las partículas de los rayos 
cósmicos inciden sobre la Tierra en igual cantidad de noche que 
de día, lo que induce a pensar que no provienen del Sol. Se pre- 
sume que se originan en el seno de estrellas y nebulosas lejanas por 
explosiones de los núcleos atómicos del interior de las mismas. 
La enorme energía de los rayos cósmicos hace difícil encontrar una 
explicación acertada del mecanismo de su producción. 

Se ha pensado también que estos rayos son “ rayos fósiles ”, 
(Regener), queriéndose significar con ello, que se han formado en 
épocas remotas, cuando las condiciones de temperatura y presión 
de las nebulosas o de las estrellas eran muy distintas a las actuales. 
Desde entonces estos rayos se encontrarían viajando por el espacio,, 
constituyendo un documento errante de épocas pretéritas. 



544 E. Loe del 

Se ha calculado que la energía que incide sobre la Tierra en 
forma de rayos cósmicos es casi igual a la energía que en forma 
de luz y calor nos envían todas las estrellas en conjunto. El cuerpo 
•de un hombre es atravesado por unos 50 corpúsculos cósmicos en 
un segundo. Piénsese en la cantidad de átomos de nuestro orga- 
nismo que deben estar explotando continuamente sometidos a ese 
continuo bombardeo. Algunos biólogos opinan (H. Thomas), que 
los corpúsculos cósmicos al actuar sobre los genes (elementos por- 
tadores de los caracteres hereditarios), serían capaces de producir 
mutaciones en los seres vivos. En favor de esta hipótesis estaría el 
hecho de que en las alturas de algunas montañas existirían mayor 
número de variedades de flores de una misma especie que en la 
falda de las mismas. 

436. Positones. — En el año 1932 el físico estadounidense C. 
D. Anderson estudiaba los rayos cósmicos secundarios que se pro- 
ducían en el interior de la cámara de ionización de Wilson (428) 
fotografiando los haces de partículas que se originaban de tanto 
en tanto al incidir un rayo cósmico sobre la materia. La cámara 
de Wilson se encontraba en el interior de un campo magnético 
intenso. Los electrones comunes negativos describían por la acción 
del campo arcos de circunferencia. En algunas placas se registraron 
trayectorias iguales a las de los electrones negativos, pero curvadas 
en sentido opuesto. Esto probaba que se trataba de partículas igua- 
les, en masa, al electrón, pero con carga eléctrica positiva. Se en- 
contró posteriormente que también los rayos gamma más penetran- 
tes originan el desprendimiento de electrones positivos o positones 
al incidir sobre ,1a materia común: una chapa de plomo, por ejem- 
plo. En algunos procesos de radiactividad artificial se producen 
elementos que irradian positones. 

En algunas fotografías se obtienen dos trayectorias que parten 
de un mismo punto: una corresponde a un electrón positivo y otra 
a un electrón negativo. Esto hace pensar que el fotón de rayos 
gamma incidente se materializa originando una pareja de electro- 
nes. El proceso inverso parece también posible: un positón más un 
electrón desaparecerían dando origen a un fotón de rayos gamma. 
La energía de este fotón originado por la aniquilación de dos elec- 
trones de signos opuestos sería aproximadamente igual a un millón 
de electrón - voltio. 

¿Por qué será tan difícil y rara la producción de positones, 
contrariamente a lo que ocurre con los electrones que se hallan 
en todas partes? Quizá se deba esto a una afinidad especial entre 



Física Elemental 


546 


neutrones y positones que haría refundir a ambos dando origen a 
un protón. Puede pensarse también en que la breve vida de los 
positones en el seno de la materia obedece a que se aniquilan al 
encontrar un electrón. 

437. Mesones. — En el año 1935 el físico japonés Yuicawa for- 
muló la hipótesis de la existencia de una partícula de masa inter- 
media entre la del protón y la del electrón. La supuesta partícula ten- 
-dría una masa igual a unas 200 veces la masa del electrón. Esta 
partícula se encontraría en el interior de los núcleos atómicos sir- 
viendo de enlace a protones y neutrones. 

En 1937 Neddermeyer y Anderson encontraron efectivamente en 
los rayos cósmicos secundarios partículas de masa intermedia entre 
el protón y el electrón: los “ electrones pesados ”. 

El deutón es un isótopo del hidrógeno que estaría formado por 
un protón y un neutrón. Para explicar la energía de enlace de 
ambos, se admitiría que entre ellos se encuentra un mesón. 

Los electrones pesados positivos y negativos es posible que re- 
sulten de la fusión de los mesones, que serían neutros, con posi- 
tones y electrones, respectivamente. 

438. Energía intraatómica. — En algunas reacciones nucleares 
de radiactividad artificial se pone en libertad una cantidad rela- 
tivamente enorme de energía. Por analogía podríamos decir que se 
trata de reacciones nucleares exotérmicas. ¿Será posible aprovechar 
esa energía intraatómica en forma análoga a como aprovechamos 
la energía liberada en la simple combustión del carbón? 

Consideremos el proceso siguiente: Colocamos una fuente de 
* neutrones en el seno de un bloque formado por una substancia 
cuyos núcleos explotan poniendo en libertad determinada energía. 
Esta energía liberada se traducirá en una mayor energía cinética 
de los restos atómicos que queden después de la' explosión y admi- 
tamos que otro neutrón es proyectado con igual o mayor velocidad 
aún que la del neutrón incidente. Este neutrón encontrará en su 
•camino otro núcleo y así se repetirá el proceso indefinidamente... 
hasta que todos los átomos hayan explotado. En principio este 
proceso no es imposible. Pero no sólo habría que encontrar la 
manera de producirlo sino también el modo de sofrenarlo. De lo 
contrario todo nuestro planeta podría convertirse en pocos segun- 
dos quizá, en una inmensa hoguera. Se admite que en el seno del 
Sul y de las estrellas se producen procesos en que se libera la 
cuantiosa energía intraatómica. 



APÉNDICE 


LA FÍSICA TEÓRICA DE NUESTROS DÍAS. TEORÍA DE 
LA RELATIVIDAD. ONDAS Y CORPÚSCULOS 

439. Loa buscadores del movimiento absoluto. — El lector sabe 
ya que existen buscadores del movimiento continuo y buscadores 
cíe martingalas para ganar en los juegos de azar; sabe también 
que los hombres se afanan por la gloria o el oro, pero tal vez 
ignore la existencia de los que han buscado y buscan el “ movi- 
miento absoluto ”. Llamaremos M al físico empeñado en buscar 
o revelar el movimiento absoluto y R a otro físico amigo de aquél. 
R visita a M en su laboratorio y se entabla el siguiente diálogo: 

R. — ¡Qué aparatos complicados! ¿Qué nuevo experimento estás 
por hacer? 

M. — Pienso poner de manifiesto por medios ópticos el movi- 
miento de la Tierra en el espacio. 

R. — ( Después de mirar hacia el techo y hacia las paredes del 
laboratorio buscando en vano, alguna abertura desde donde pudiera 
observarse el Cielo). Será, me imagino, alguna nueva prueba del 
movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol. Tal vez 
quieras poner de manifiesto que la Tierra durante 6 meses se 
acerca a algunas estrellas y en el resto del año se aleja de las 
mismas. Pero, me extraña la falta de aberturas en tu laboratorio, 
en el cual no veo, por otra parte, ningún telescopio. 

M. — No me has entendido. Si yo quisiera poner de manifiesto 
el movimiento de la Tierra con respecto a las estrellas, me haría 
falta, desde luego, observarlas. Así se revelaría únicamente el 
movimiento relativo de la Tierra con respecto a determinadas estre- 
llas. Ese movimiento relativo es el que se revela por el movimiento 
paraláctico de las estrellas, la aberración de la luz, el efecto Dop- 
pler. . . en fin, fenómenos todos vulgares y conocidos. Yo busco 
otra cosa. 

R. — Tú sabes que siento por ti gran respeto y admiración, pero 
me parece que sólo tiene sentido hablar del movimiento de un 



Física Elemental 


547 


cuerpo con respecto a otros. Hablar del movimiento de la Tierra 
sin referirlo a nada me parece absurdo. 

M. — A nada no, al espacio. 

R. — ¡Al espacio! Pero eso, únicamente tiene sentido si el 
espacio estuviera lleno de alguna substancia. Puedo hablar del mo- 
vimiento de un tren con respecto al aire, movimiento que se revela 
por el viento que se produce, pero siempre se trata de un movi- 
miento relativo. 

M. — Bien, si tú prefieres puedo decirte que lo que busco es 
revelar el movimiento de la Tierra con respecto al éter que llena 
el espacio y atraviesa todos los cuerpos; quiero poner de manifiesto 
un viento de éter. 

R. — Convengo en que si se revelara ese viento de éter podría 
hablarse de un movimiento absoluto. Si un observador se desplaza 
con respecto a otro con movimiento rectilíneo y uniforme, siendo la 
velocidad relativa de ambos de 100 Km/hora, si uno de ellos 
no observa el viento de éter y el otro sí, el primero tiene derecho 
a afirmar que es él, el que está en reposo, máxime si el segundo 
constata un viento de éter de 100 Km/hora. Comprendo que tu 
experimento ha de tener una trascendencia enorme cualquiera sea 
el resultado del mismo. No debí haber prejuzgado. Galileo nos 
enseñó que sólo la observación y la experimentación sistemática son 
fuentes de nuevos conocimientos. 

M. — Como te veo bien dispuesto voy a darte una idea de los 
experimentos que pienso realizar. 

La Tierra en su movimiento de traslación alrededor del Sol se 
mueve con una velocidad relativa de treinta kilómetros por segundo. 

Como la trayectoria es aproximadamente cir- 


Fig. 87i. cualquier modo, admi- F¡ g . 872. 

tiendo la existencia del 

éter, en un momento dado el viento de éter, dentro de mi labora- 
torio, tendrá por ejemplo la dirección y el sentido de las flechas 

(fig. 871). Si mido la velocidad de la luz en la dirección CD, a 


cular, en un intervalo 
de seis meses cambia el 
sentido de la velocidad. 
Del movimiento del Sol 
con respecto al éter na- 
da sabemos; hasta aho- 
ra se han observado y 
medido sólo movimien- 
tos relativos. Pero de 


Mmki 



E. Loedel 
















favor o en contra del viento de éter, obtendré un valor diferente 
que midiéndola en la dirección AB. Esta plataforma la puedo girar 
y las velocidades resultarán iguales sobre AB y CD cuando se 
encuentren en una posición con respecto al viento de éter como la 
indicada en la figura 872. 

R. — No comprendo que puedas medir la velocidad de la luz 
con tanta precisión en trayectos tan cortos, de pocos metros. 

M. — La luz sale de L (fig. 873); al llegar al espejo semi- 
azogado E en parte se refleja y en parte pasa. En el anteojo A 

se reúnen los haces de luz que han 

H 8F1&3 seguido diferentes trayectos: el 

EE 2 EA y el EE\EA. Estos haces 
de luz producen franjas de in- 
terferencia. Si giro la plataforma 
con todo el aparato las franjas 

SC ^ es pl azaran en uno u otro 

con el ojo fijo en el anteojo A 
voy girando la plataforma. De- 
beré observar que las franjas se 
desplazan hacia la izquierda o 
Fig. B73. — Para revelar ei "viento de éter”. hacia la derecha, y ese despla- 
zamiento me permitiría medir la 
velocidad absoluta del laboratorio o lo que es lo mismo de la Tierra. 

M. — ¿Por qué te extrañaba tanto, entonces, el que yo inten- 
tara hacer estos experimentos? 

R. — Es que pensaba en el principio de relatividad de la mecá- 
nica clásica. Si un barco se desplaza con respecto a la costa con 
movimiento rectilíneo y uniforme, sin que exista la más mínima 
trepidación ni oscilación, tú sabes que en el interior del barco todo 
sucede exactamente igual que en la ribera. Un péndulo oscila en 
él exactamente del mismo modo que en la costa, los cuerpos caen 
con la misma aceleración, etc. Confieso que te miraba con la misma 
cxtrañeza con que hubiera mir?do a un pasajero de ese supuesto 
barco, que encerrado en su camarote, hiciera experimentos con pén- 
dulos y resortes para revelar el movimiento del buque. A ese pasa- 
jero le habría dicho, que todos los sistemas que se trasladan con 
movimiento rectilíneo y uniforme son equivalentes desde el punto 
de vista mecánico. Tanto en la ribera como en el barco vale la ley: 
Fuerza = masa X aceleración. 




Fig. 073. — Para revelar el “viento de éter". 



Física Elemental 


549 


M. — Si mi experimento resulta, o sea si revelo el viento de éter, 
la ribera y el barco serían equivalentes en lo que respecta a las 
leyes de la mecánica, pero no serían equivalentes en cuanto a las 
leyes de los fenómenos que tienen su asiento en el éter: Propagación 
de la luz y de las ondas hertzianas, inducción eléctrica, etc. 

R. — ¿De modo que tú crees que el pasajero del barco podría, por 
lo menos en principio, constatar su movimiento si en lugar de usar 
péndulos y resortes usara condensadores eléctricos, haces de luz, etc.? 

M. — Exactamente. Podría constatar su nfovimiento absoluto con 
respecto al éter. Los fenómenos electromagnéticos que él observa 
en su camarote dependen de la velocidad del barco con respecto 
al éter. 

R. — Entonces, ¿las leyes de los fenómenos ópticos y eléctricos 
varían en cada sistema de referencia? 

M. — Desde luego; si así no fuera, no tendrían sentido los expe- 
rimentos que emprendo. 

R. — ¡Qué complicación espantosa! Por suerte soy profesor de 
mecánica y no de electromagnetismo. 

M. — No creas que la complicación es tan grande. Las leyes 
son particularmente simples si se refieren al éter en reposo. 

R. — Estoy deseando conocer el resultado de tus experimentos. 
Si consigues revelar el “viento de éter”, en adelante, cuando enun- 
cie el principio de relatividad de la mecánica clásica a mis alumnos 
lo haré así: 

Todos los sistemas que se trasladan con movimiento rectilíneo y 
uniforme son del todo equivalentes en lo que a las leyes de la me- 
cánica se refiere, pero no lo son, como lo ha probado experimental - 
mente mi amigo M, con respecto a las leyes de la óptica y el elec- 
tromagnetismo. 

En cambio, si el famoso viento de éter no es revelado, enun- 
ciaré así el principio de relatividad: 

Todos los sistemas * que se trasladan con movimiento rectilíneo 
y uniforme son absolutamente equivalentes en cuanto a las leyes 
de los fenómenos físicos se refiere. 

Resultados de los experimentos de Michelson. — A. A. Michel- 
SON en 1881 y en colaboración con Morley en 1887 llevó a 
cabo el experimento que hemos mencionado en el párrafo prece- 
dente. Este experimento se repitió muchísimas otras veces tomando 
toda clase de precauciones y siempre su resultado fue negativo. 


• Deben ser alaternas inerciales. Véase párrafo 447. 



550 


E. Loédel 


No ha sido posible poner de manifiesto el movimiento de la Tierra 
con respecto al éter. Girando la plataforma las franjas permanecían 

sin correrse. Destaquemos 
que la precisión de las 
medidas era tal que hubie- 
ra podido constatarse un 
“ viento de éter” de sólo 3 
kilómetros por segundo. 

Entre los eminentes fí- 
sicos experimentales que 
han intentado, sin resul- 
tado, poner de manifiesto 
por diversos métodos el 
movimiento de la Tierra 
con respecto al “éter”, ci- 
taremos : 

Trouton y Noble 
(1903); Trouton y Ran- 
icine (1908) ; Des Coudres (1889) ; lord Rayleich y Brace (1904) ; 
Strasser (1907); Miller 
(1904 y 1925 hasta época re- 
ciente), etc., etc. 

440. La solución de Eins- 
tein. — Los físicos, que creían 
firmemente en la existencia del 
éter, se asombraron mucho ante 
el resultado negativo de los ex- 
perimentos de Michelson. Se pro- 
pusieron hipótesis de lo más 
extrañas. 

Einstein en 1905 siguió en 
cambio el camino más simple, 
cual es, el aceptar sencillamen- 
te el resultado de esos experi- 
mentos. Estableció, pues, el prin- 
cipio, llamado de la relatividad 
restringida, que no es otro que 
el enunciado por R al finalizar 
el párrafo precedente. De acuerdo a esto, el éter pierde toda realidad 
física, pues ni siquiera se puede hablar de un movimiento con res- 
pecto a él. El éter, pues , de acuerdo a la teoría de la relatividad , no 
existe. Otro de los postulados que sirven de base a la teoría de la 



Alberto Ein9tcin (nacida en 1879). 



El físico Micbelaan (1852 - 1930) en su laboratorio. 


Física Elemental 


551 


relatividad, es el de la constancia de la velocidad de la luz. Si se 
mide la velocidad de la luz debe obtenerse el mismo valor en todas 
direcciones. En todos los sistemas de referencia que se trasladen 
unos respecto a los otros con movimiento rectilíneo y uniforme 
debe obtenerse el mismo valor para la velocidad de la luz. Este 
valor no depende, entonces, de la velocidad del observador con res- 
pecto a la fuente luminosa ni de la velocidad de ésta. 

441. El tiempo físico. — Para el físico, el tiempo es lo que 
puede medir por medio de un reloj. Este reloj puede ser un reci- 
piente con agua como el que utilizaba Galileo en sus experimentos. 
Al pasar el agua de un nivel A a otro B transcurre cierto tiempo 
y se supone que al repetir la operación transcurrirá de nuevo el 
mismo tiempo si las condiciones son exactamente las mismas. Dos 
oscilaciones de igual amplitud, de un mismo péndulo, emplean en 
las mismas condiciones (igualdad de temperatura, etc.) el mismo 
tiempo. ¿Disponen los físicos de algún reloj patrón? En la práctica 
se utiliza como reloj patrón el movimiento de rotación de la Tierra 
con respecto a las estrellas. Pero el tiempo no está definido por 
ese movimiento. Tanto es así que si la Tierra se fuera frenando 
poco a poco, lo que tal vez ocurra debido a las mareas, podría 
constatarse su variación de velocidad comparando su marcha con 
la de otros relojes. Cualquier ley física donde intervenga el tiempo 
t puede servir de fundamento para construir un reloj. Se trata ahora 
de adoptar un reloj patrón o sea de definir el tiempo. Einstein al 
considerar constante la velocidad de la luz da, implícitamente, una 
definición del tiempo. Esta velocidad sabemos que es de 300 000 
Km/seg. Si midiendo el tiempo con relojes de péndulo, regulados 
por el movimiento de la Tierra, constatáramos que el valor numé- 
rico de la velocidad de la luz se hace mayor año tras año, dedu- 
ciríamos de aquí, no que la velocidad de la luz aumenta, puesto 
que por definición es constante , sino que la Tierra gira cada vez 
más lentamente. En los relojes comunes influyen muchos factores 
que hacen alterar su marcha. Un reloj perfecto sería aquél que 
marchara de acuerdo a un rayo de luz: que indicara doble o 
triple tiempo cuando el rayo de luz recorre doble o triple distancia. 

442. Relatividad del tiempo. — Consideremos ahora dos espe- 
cie de obuses (fig. 876) como los imaginados por Julio Verne 
para ir a la Luna, aislados en el espacio y que distinguimos por el 
color: el uno negro y el otro blanco. Supongamos que el blanco se 
desplaza con respecto al negro en el sentido de la flecha, con 



552 


E. Loedel 


velocidad constante. Los observadores del obús negro podrán 
considerarse en reposo (a) y suponer que es el obús blanco el que 
se desplaza y también los observadores del obús blanco podrán 
considerar (6) que son los otros los que se mueven. Al cruzarse 

ambos obuses (fig. 877) se emite una 
onda luminosa en el punto medio M. 
Este destello de luz puede haber tenido 
su asiento en el 
obús negro o el 
blanco, eso no 
importa, pues la 
velocidad de la 
luz no depende 
del movimiento 
de la fuente. 

Es nuestro 

F!g. 876. — Relatividad del objeto. Seguir el Fig. 877. — Parte una onda 

movimiento. recorrido de la luminosa de M. 

onda luminosa. 

Para ello supondremos un sistema de coordenadas rectangulares 
fijo en cada obús (fig. 878). Para mayor simplicidad supondremos 
que los orígenes de ambos sistemas coincidían en el momento en 
que empezó a propagarse la luz , con el punto M. La dirección de 

los ejes x y x’ la tomamos en coin- 
cidencia con la dirección de la velo- 
cidad relativa de ambos sistemas. 

Supondremos que esta velocidad 
relativa es igual a 3/5 de la veloci- 
dad de la luz o sea de 180 000 
Km/seg. Además supondremos que 
los observadores de ambos sistemas 
disponen de relojes perfectos y las 
medidas de longitud las llevan a 
cabo con barras rígidas copias tam- 
bién perfectas del metro patrón. Cuan- 

FU. 878 .-Lo a dn 9 .i.tem flfl de e oord e . ¿ o los orígenes de ambos sistemas 
nada» negro y blanco. coinciden supondremos que un reloj 

situado en el origen O , de coorde- 
nadas negro ( sistema 5), marca cero seg y otro reloj situado en 
el origen O’ del sistema blanco ( sistema S’) marca también 
cero seg. A los relojes de 5 los llamaremos negros y a los de 
S\ blancos. 






Física Elemental 


553 


Describamos primero la marcha de los fenómenos tomando como 
referencia las medidas efectuadas por los observadores del sistema 
S negro (de origen O). Tomamos como unidad en la medida da 
longitud 300 000 Km. Esto equivale a tomar como unidad la velo- 
cidad de la luz. Lo hacemos con el único objeto de no operar con nú- 
meros grandes. La onda luminosa que empezó a propagarse en O, en 
10 seg ocupará la superficie de una esfera de radio igual a 10 
(fig. 879). En este tiempo el origen' O’ se encuentra a una distancia 
igual a 6 del origen O (3/5 X 10 = 6) . 

Cuando la onda alcanzó el punto A los relojes “negros” mar- 
caban 10 seg. ¿Cuánto marcarán los relojes “blancos” ? Tanto los 
relojes negros como los blancos son perfectos, pero esto no quiere 
decir que coincidan. Es más, 
aún; la pregunta anterior 
debe formularse así: Cuan- 
do el punto A es alcanzado 
por la onda, ¿cuánto mar- 
cará un reloj “ blanco ” si- 
tuado junto a A? 

Es muy fácil averiguar- 
lo. La hipotenusa OA del 
triángulo OO’ A vale 10 
camino recorrido por la 
luz en diez segundos del 
sistema 5). El cateto OO’ 
vale 6. El cateto O’ A val- 
drá 8. 

Los observadores de S 
miden O’A y constatan que 
tiene una longitud igual a 
8. Admitiremos , por ahora, 
miden O’A y obtienen 8. Siendo así, ¿cuánto debe marcar un reloj 
blanco situado en A? 

En el sistema S ’ la luz se propagó en la dirección O’A, desde 
que, de acuerdo al principio de relatividad podían los observadores 
de S > considerarse en reposo. Si la luz recorre el camino O’A, debe 
tardar en ese recorrido 8 segundos medidos por los relojes blancos 
para que obtengan los observadores de S’ el valor de la velocidad 
de la luz. Si el reloj blanco de A marcara 10 seg lo mismo que los 
relojes negros de A, los relojes blancos marcharían mal pues resul- 
taría así en el sistema S’ otro valor distinto para la velocidad de 
la luz. 



Fig. 879. — Para el negro el reloj blanco atrasa. 


que también los observadores de S’ 



554 


E. Loedel 


Los observadores del sistema S (negro) sacan esta conclusión: 
Los relojes blancos del origen O’, situados en ese origen , se atra- 
san 2 seg por cada 10 seg. Marchan despacio. 

¿Qué opinan los observadores del sistema blanco? Ellos tienen 
también el mismo derecho de suponerse en reposo (fig. 880). Ra- 
zonan exactamente de la misma manera y sacan la conclusión: 
Los relojes negros del origen O, situados en ese origen , se atrasan 
2 seg por cada 10 seg. Marchan despacio. 

Esta relatividad del tiempo no es pues lo que con la palabra 
relatividad se entiende en el lenguaje común. Gulliver ve a los 
liliputienses muy pequeños v éstos a aquél como un gigante. 

En cambio aquí: 

v. c , , 

Según el sistema negro: 
LOS RELOJES BLANCOS ATRASAN. 

\ Según el sistema blanco: 

LOS RELOJES NEGROS ATRASAN. 






Relatividad de la simul- 
taneidad. — Ya sabemos que: 
I i j' Wjto i,, Al marcar un reloj negro sitúa- 

\ do en A 10 seg el reloj blanco 

I \ de A marca 8 se S- El tiem P° 

| t> | “ blanco ” del origen O’ es igual 

\ « los c T t ™ l quÍntos deZ t^mpo 

Fig. fl8 0.-r.,a el hUnco el reloj negre . ^ principio de rela- 

también atraaa. tividad debe ser también: El 

tiempo “ negjo ” del origen O 
es igual a los cuatro quintos del tiempo “ blanco ” del origen O’. 
Cuando la luz alcanza el punto B (fig. 881) el reloj negro marca 
10 seg. Estos 10 seg deben ser las 4/5 partes de lo que marca un 
reloj blanco situado en B. El reloj blanco marcará entonces 12,5 
segundos. 

Los observadores del sistema negro dicen: Los acontecimientos 
de la llegada de la luz a los puntos A y B son simultáneos. 




'■ 






Fig. 880. — Para el blanco el reloj negrc 
también atrasa. 


Los observadores del sistema blanco, afirman: La luz llega al 
punto A antes que al punto B; ambos acontecimientos no son simul- 
táneos. La luz emplea en ir de O' a B 12,5 segundos, medidos por 
los relojes blancos y en ir de O ,a B 10 segundos medidos por los 
relojes negros. 



Física Elemental 


555 


En la figura 882 se ha representado la posición de la onda 
cuando los relojes blancos marcan 8 segundos. Ahora son los obser- 
vadores blancos los que dicen: Los acontecimientos de la llegada 
de la luz a los puntos A’ 
y B’ son simultáneos. 

Para los observadores 
negros : 

La luz llega antes a 
B’ que a A’. 

Si hubiéramos tomado 
O’A’ igual 10 se tendría 
lo representado en la fi- 
gura 883. 

443. Relatividad del 
espacio. — La figura 884 
es reproducción de la fi- 
gura 881. Si el reloj blan- 
co de B marca 12,5 segun- 
dos al llegar la luz a B 
partiendo de 0\ la distan- 
cia O'B medida por los observadores blancos debe ser igual a 12,5. 
La distancia OB medida por los observadores negros es igual a 10. 

Los observadores blancos miden OB 
y encuentran también el valor 10. 
Por ahora admitiremos esto sin de- 
mostración. La distancia 00 ’ es 
igual a 6 medida por los obser- 
vadores del sistema negro. ¿Cuánto 
obtienen los observadores del sis- 
tema blanco en la medida de 
00 ’ = d ’? Es muy fácil hallarlo, 
pues debe ser: 


d’ = V12,5 2 — 10 2 = 


V 10 2 (5/4) 2 — 10 2 ; 




Fig. 881. — Para el negro los acontecimientos de la 
llegada de la luz a A y B eon simultáneos; para el 
blanco llega a A antes que a B. 


obteniéndose : 5 5 

á’ = 6X — = ¿X — * 

4 4 



556 


E. Loedel 



siendo d la distancia medida por los observadores de 5. ¿Cómo 
se explica esto? Los observadores de 5 (negros) dicen: Si donde 

nosotros medimos una longitud 
4 los blancos obtienen para la 


Fig. 883. — Compárese con la figura 881. 


I- iü- 884. — Relatividad en la medida 
de una longitud. 



misma un valor 5 es porque sus reglas de medida (blancas) se 
acortan en 4/5 cuando las colocan paralelamente a la dirección de 
la velocidad (fig. 885). Los metros negros se comportan según los 
observadores del siste- 
ma S’ como muestra la 
misma figura. 

Para los observado- 
res blancos son los me- 
tros negros los que se 
acortan. 

¿No existe una con- 
tradicción en lo que 
precede? 

De ninguna manera. 

Para los observadores 
negros los aconteci- 
mientos que correspon- 
den a las coincidencias 
de los extremos del seg- 

mentó 6 con los del 7 5 — P ara l° a negros el metro blanco se acorta; para 

/ . \ l° a bl fl D coa el metro negro también ee acorta. 

(fig. 884) son simul- 
táneos ; pero esos acontecimientos no lo son para los observadores 
del sistema blanco. 



Física Elemental 


557 


Si se quiere medir la longitud de un tren en marcha puede pro- 
cederse así: una serie de observadores se colocan al costado de la 
vía; si el observador A registró el paso de la locomotora en el 
instante cero y el observador B registró el paso del último vagón 
frente a él también en el instante cero, si los cronómetros están 
bien regulados, la distancia entre A y B da la longitud del tren 
medida desde la vía. Al marcar cero los cronómetros de A y B 
los de los observadores A’ y B ’ del interior del tren que se enfren- 
taron con ellos marcarán en general tiempos diferentes. 

Las coincidencias de A con A’ y de B con B’ son simultáneas 
para los observadores de la vía, pero no lo son para los del' tren. 

Si desde el tren se quiere medir la distancia entre A y B se tendrá 
que buscar dos observadores A” y B ” situados en el tren, tales que 
las coincidencias de A ” con A y de B ” con B sean simultáneas 
para A” y B”. 

En cuanto a las medidas efectuadas según una dirección per- 
pendicular a la velocidad relativa, se comprende que deben coin- 
cidir en los dos sistemas de referencia por simples razones de sime- 
tría, ya que la relación entre dos medidas y e y no debe cambiar . 
aunque cambie el sentido de la velocidad. 

444. Algunas fórmulas. — Todo lo que precede puede expre- 
sarse de manera mucho más sencilla por medio de fórmulas, para 
cuya deducción no se necesita m᧠que los rudimentos del álgebra. 
La deducción de las 
fórmulas del movi- 
miento acelerado es 
más difícil desde el 
punto de vista mate- 
mático. 

Llamemos v a la 
velocidad del sistema 
S’ con respecto a S 
(fig. 886). Sea c la 
velocidad de la luz. 

Una onda lumino- 
sa partió de O en el 

momento en que O ’ coincidía con O. Al tiempo medido en el sis- 
tema S le llamamos t, al que miden los observadores de S’ le lla- 
maremos t\ 

O coincide con O’ en el instante t = 0 del sistema S. Al cabo 
del tiempo t la onda de luz ocupa una superficie esférica de centro 




558 


E. Loedel 


O y radio ct. La distancia 00' es al cabo de ese tiempo igual a vt. 
Sea un punto A de abscisa x. La distancia O’ A medida desde O es d: 

d = x — vt. 

Si las reglas con que miden los observadores de S' no se acortaran 
la abscisa x ’ medida por ellos para el punto A sería igual a d : 

X ■ = X — vt. [1] 

Esto es lo que se suponía en la mecánica clásica o prerrelativista. 
Es la ecuación de transformación de Galileo. Además se suponía, 
sin decirlo explícitamente, que el tiempo t ’ medido en el sistema S’ 
coincidía con el tiempo t medido desde el sistema S, o sea: 

/’ = t. [2] 

Si se cumplieran estas ecuaciones sería falso el principio de rela- 
tividad en lo que a la propagación de la luz se refiere. La velocidad 
de la luz variaría según el sistema de referencia. 

En lugar de la [1] y la [2], ensayemos las ecuaciones siguientes: 

x' = ( x — vt) p [3] 

?=(l—ax)p, [4] 

donde a y /3 tienen valores por ahora indeterminados. Estos valo- 
res los determinaremos de modo que resulte la velocidad de la 
luz constante en ambos sistemas y que quede satisfecho además el 
principio de relatividad. 

Hagamos x — ct; se trata del punto B de la figura. 

Se tiene: 

x' = (c — v) tfi; t' = (1 — ac) tp. 

Dividiendo x ’ por t’ debemos obtener la velocidad c de la luz, por 
lo que: 


c — v 


V 


= c; 


de donde a = — . 


1 — ac 

De aquí, se tiene para la [4] : 


{ = (t x) p. 


[5] 


[4’] 



Física Elemental 


559 


Para hallar el valor de f3 apliquemos el principio de relatividad: 
Las fórmulas [3] y [4’] permiten conocer x y t’ en función de x y 
de t ; fórmulas idénticas deben ser las que permitan hallar x y t en 
función de x y t\ La única diferencia es que con respecto al sistema 
O’ la velocidad del sistema O es negativa e igual a: — v. Luego: 

v 

x — (V + ¡3; t=(t’-\ x’) p. [6J 

^2 


Llevemos estos valores de x y de t a la [3] : 

x’ = £(*’ + vi’) (3 —v (í’ + — a’) /?J/3. 

Efectuando las operaciones resulta: 

x’ = x’ (1 — v 2 / c 2 ) (3 2 ; 

de donde: 

1 

P = • [7] 

v i— t>yc 2 

Llevando el valor de a dado en [5] y este valor de (3 a las [3] y 
[4] se tiene: 

t — vx/ c 2 

t = ■ - ■ [ 8 ] 

VI v 2 /c 2 

Éstas son las célebres ecuaciones de transformación, llamadas 
ecuaciones de Lorentz, por haber sido este autor quien las estableció 
por primera vez, pero en la creencia de que su significado era me- 
ramente formal. En lo que respecta a las coordenadas y e y’ y tam- 
bién z y z (considerando las tres dimensiones del espacio) para 
ellas se cumple: 

y = y; z = z. 

Esto es así, como ya vimos, por razones de simetría, fáciles de com- 
prender. 

Destaquemos que las fórmulas [8] y toda la teoría de la relati- 
vidad surge de los fracasos de los buscadores del movimiento abso~ 


x — vt 

i 

v l — rr/c 2 



560 


E. Loedel 


luto así como el principio de conservación de la energía se estable- 
ció por la imposibilidad del movimiento continuo. Esto muestra 
que aun los resultados experimentales negativos pueden tener mucha 
importancia. 

Las ecuaciones [6] dan, en cambio, x y t en función de x y t. 
Se ve que para valores pequeños de la velocidad v en comparación 
con la velocidad de la luz, las fórmulas [8] coinciden con la [1] 
y la [2]. Las fórmulas de la mecánica clásica son entonces fórmu- 
las aproximadas aplicables a sistemas que se desplazan con veloci- 
dad relativa pequeña. 


445. Adición de velocidades. — El punto P (fig. 887), se 
mueve con velocidad u respecto al sistema S\ ¿Cuál es su velocidad 

respecto al sistema S? Se tendrá, pues 
T” 1 suponemos u paralelo a 




v 


I -> 

x = ut ; 


llevando este valor a las [6]: 
x = (u + v) /3t’ ; 


Fig. 837. — Adición de velocidades 


Dividiendo x por t tendremos la velocidad w del punto P respecto a S: 

u + v 

w = . [9] 

1 -f- uv/c 2 

Si u y v son pequeños con respecto a c, la velocidad w resulta igual 
a la suma de u y v. La fórmula [9] demuestra que la velocidad de 
la luz es una velocidad límite inalcanzable. 

Suponiendo u y v iguales a nueve décimos de c tenemos: 

0,9 + 0,9 1,80 

w = c — c < c. 

1 + 0,81 1,81 

Aun suponiendo u =c y v = c resulta: 

C 4* c 

W = = c. 

2 



Física Elemental 


561 


446. Consecuencias dinámicas. — En la mecánica clásica la ma- 
sa no depende de la velocidad. Esto quiere decir que para comu- 
nicarle a un cuerpo una aceleración de 10 m/seg 2 se requiere la 
misma fuerza, tanto si la velocidad del cuerpo es cero, mil o cien 
mil Km/seg. Acabamos de ver que la velocidad de la luz es una 
velocidad límite inalcanzable. De acuerdo a esto se debe necesitar 
una fuerza tanto más grande para acelerar a un cuerpo cuanto más 
próxima sea su velocidad a la de la luz. 

Siendo m o la masa correspondiente a la velocidad cero (masa 
en reposo) el cálculo muestra que la masa m correspondiente a la 
velocidad v es: 

m o 

m ' ~ * • 

V 1 — r 2 /c 2 

Se ha comprobado experimentalmente la validez de esta fórmula 
midiendo la masa de los electrones de los rayos catódicos. 

La energía E resulta ser: 

m oC 2 

E = me 2 ; [1] E = . [2] 

V i — tVc 2 

La última expresión se encuentra que equivale a la siguiente: 

1 3 v A 

E = moc 2 -j m 0 v 2 m 0 — 

2 8 c 2 

El segundo término del segundo miembro es la energía cinética 
de la mecánica clásica. 

La [1] muestra que masa y energía son, en esencia, una misma 
cosa o mejor dicho a toda masa corresponde una energía e inver- 
samente. 


TEORÍA GENERALIZADA DE LA RELATIVIDAD 

447. El movimiento absoluto de segunda especie. — Vimos que 
es imposible revelar experimentalmente el movimiento rectilíneo y 
uniforme de un sistema por medio de experimentos efectuados mi él 
interior del mismo. 

Debemos agregar aquí algo importante: aquellos sistemas equi- 
valentes que considerábamos, debían ser lo que los físicos llaman 
sistemas inerciales o galileanos. Para que el barco del ejemplo de 



562 


E. Loedel 


R fuera un sistema galileano, debimos suponer que no experimen- 
tara la más pequeña oscilación ni trepidación, o sea que no se 
manifestaran en su interior aceleraciones. Un sistema inercial es, 
desde luego, un sistema ideal, en cuyo interior se supone que se 
cumple el principio de inercia. Un sistema de referencia ligado a 
la Tierra no es un sistema inercial ya que un cuerpo abandonado 
a sí mismo se mueve respecto al sistema con movimiento acelerado. 

Consideremos el movimiento de rotación. Dos amigos A y B van 
a un parque de diversiones: A sube a una rueda giratoria y B queda 
tranquilamente sentado en un banco. Cuando A baja de la rueda 
B le pregunta: ¿Te mareaste? Nos asombraríamos mucho, si fue- 
ra A el que dijera: Mientras yo estaba en la rueda te veía girar y 
pensaba: “¡Pobre B, cómo debe marearse!” Cuando un barco “bai- 
la” mucho, no son por cierto los habitantes de la costa los que 
se marean. Si un tren se mueve con movimiento uniforme pueden 
los pasajeros del tren suponer que es la vía y las casas las que se 
mueven en sentido contrario; pero si el tren frena de golpe los que 
se caen, los que notan el efecto de la aceleración, son los pasajeros 
del tren y no los habitantes de las casas. 

Según esto, parece que los movimientos en que existe acelera- 
ción gozan de un carácter absoluto. No hacen falta siquiera apara- 
tos especiales para poner de manifiesto esos movimientos. El obser- 
vador del interior del camarote de un barco no podrá poner de ma- 
nifiesto la traslación del mismo, pero sí sus movimientos de vaivén. 

De modo que el movimiento sería esencialmente relativo si no 
existiera aceleración y absoluto si existiera ésta. Estos movimientos 
absolutos con aceleración es lo que denominamos movimiento abso- 
luto de segunda especie. La teoría general de la relatividad formulada 
por Einstein en 1914 afirma, aunque parezca extraño: el movimiento 
absoluto de segunda especie tampoco es revelable, no teniendo sen- 
tido, en consecuencia, hablar de él. 

448. Campo gravitatorio y aceleración. — Sea una gran caja, 
especie de ascensor situada en una región del espacio lejos de la 
Tierra, del Sol y de las estrellas. Inicialmente esta caja constituye 
un sistema inercial. No se manifiestan en ella fuerzas de gravita- 
ción y un cuerpo sobre el que no actúe ninguna fuerza permane- 
cerá en reposo respecto a las paredes de la caja o se moverá en 
línea recta y con movimiento uniforme. Supongamos ahora que 
la caja se mueve con la aceleración a, tirada por un hipotético 
cable desde una lejana estrella (fig. 888). Los observadores del 
interior de la caja observarán ahora que todos los cuerpos caen 



Física Elemental 


563 


con la misma aceleración a (representada en blanco) y ejercen 
contra el piso de la caja o contra los soportes una fuerza, a la 
que llaman peso, igual ama. 

Para explicar esto pueden suponer: 

l 9 Que existe un campo gravitatorio G. 

2 9 Que la caja se mueve con aceleración 
igual y opuesta a la del supuesto campo gra- 
vitatorio. 

En la primera hipótesis queda sin explica- 
ción el hecho de que todos los cuerpos caigan 
con igual aceleración. De este resultado expe- 
rimental, concluirán, sin darse cuenta porqué, 
que la masa de inercia es proporcional al peso. 

En la segunda hipótesis, en cambio, los 
cuerpos parecen caer con la misma aceleración 
que no es otra que la de la caja. 

De aquí el siguiente principio de equiva- 
lencia de Einstein: Un campo gravitatorio es 
equivalente , en una pequeña región, a un movi- 
miento acelerado, convenientemente elegido, del sistema de referencia. 

Cuando el tren de uno de los ejemplos anteriores frena, pueden 
los pasajeros del mismo decir: el movimiento de la vía, de las casas 

etc., que era uniforme, se convirtió en ace- 
lerado y esto originó en el tren un cam- 
po gravitatorio que es el que me hace 
caer. Análogamente el pasajero del bar- 
co que baila: “Este movimiento de vaivén 
de todo el Universo origina un campo 
gravitatorio variable que me hace ir de 
un lado para el otro”. 

449. Consecuencias. — Si en la caja 
anterior penetra por una ventana A (fi- 
gura 889) un rayo de luz, incidirá, en 
la pared opuesta, en un punto tal como 
B. Todo pasa como si la luz pesara. 
Debe esperarse entonces, de acuerdo al 
principio de equivalencia, que un rayo 
de luz se desvíe de su trayectoria inicial en un campo gravita- 
cional. El campo gravitacional terrestre es muy débil para poner de 
manifiesto el fenómeno. En las cercanías del Sol, en cambio, puede 
esperarse un efecto apreciable. 



Fig. 889. — Efecto de la acelera- 
ción del sistema sobre la luz. 



Fig. 888. — Campo gra- 
▼itacional producido por 
un movimiento acele- 
rado. 


564 


E. Loedel 


La luz de una estrella E, que pasa cerca del borde del Sol (fi- 
gura 890) se desviará, pareciendo al observador terrestre de T 
que proviene de otro punto del Cielo E\ Este efecto se ha com- 
probado fotografiando las estrellas cercanas al Sol durante un 

eclipse total. Comparando' las placas obte- 
nidas con las que se obtienen de la misma 
región del Cielo en otra época del año se com- 
probó que la luz se desviaba justamente en 
el valor previsto por la teoría. Esto prueba 
que en un campo gravitacional la velocidad 
de la luz deja de ser constante. 

450. La geometría y la gravitación. — 
Sea un disco (fig. 891) que se mueve en el 
sentido de la flecha alrededor de un eje O 
respecto a un sistema inercial S. Aparecen 
en cada punto del disco fuerzas centrífugas. 
Los observadores del disco, sistema 5’, pue- 
den suponerse en reposo a condición de hacer 
aparecer un campo gravitacional especial que 
ellos supondrán generado por el movimiento 
rotatorio de S. Nosotros explicamos el acha- 
tamiento polar de la Tierra por la fuerza 
centrífuga originada por su “ rotación en el 
espacio ”. Esta rotación se efectúa con respecto a las estrellas y 
podemos suponer que el achatamiento es producido por la rotación 
de todo el Universo alrededor de la Tierra. En otros términos: 
si la Tierra fuera el único cuerpo del Universo 

no se habría achatado. 

* 

Pero ocurre aquí una complicación: si en 
el sistema 5’ se mide el diámetro del disco y 
o la circunferencia del mismo, se obtiene, 
por división, un número mayor que i r. En efecto, 
en la dirección del radio, las reglas de medida no 
experimentan acortamiento alguno, en cambio se 
acortan en la dirección del movimiento. La geo- 
metría aplicable a la superficie del disco en movi- 
miento no puede ser ya la geometría de Euclides. 

En un campo gravitatorio tampoco es válida esa geometría. Los 
planetas describen curvas alrededor del Sol, no porque sean atraí- 
dos por él, sino porque el espacio es curvo. 




Fig. 891. — La geome- 
tría del disco es no 
euclídea. 



Física Elemental 


565 


El aparato matemático de la teoría general de la relatividad de 
Einstein es sumamente complicado. Digamos tan sólo que con ella 
se explican los movimientos de los planetas, coincidiendo en sus 
resultados con los que se obtienen aplicando la ley de Newton. En 
algunos casos en que la ley de Newton no era suficiente, como en el 
del pequeño desplazamiento observado en el eje de la elipse que 
recorre Mercurio (42” por siglo), la teoría de Einstein los explica 
perfectamente. 

Otra consecuencia de esta teoría de la gravitación que se ha 
comprobado experimentalmente es la siguiente: Volvamos al disco 
de la figura 891. Los relojes de 5’ colocados en la periferia del 
disco atrasan con respecto a los relojes de S. Pero en la periferia 
del disco actúa la fuerza centrífuga, o sea, un campo gravitacional. 
Aplicamos el principio de equivalencia y obtenemos este curioso 
resultado: Un reloj {de cualquier naturaleza) colocado en un cam- 
po gravitacional debe marchar tanto más despacio cuanto más 
intenso sea ese campo. Los átomos son relojes que al vibrar emi- 
ten luz de determinada longitud de onda. Un átomo de sodio en el 
Sol vibra más despacio que en la Tierra. De aquí que la longitud 
de onda de la luz de sodio emitida por el Sol debe ser algo mayor 
que la longitud de onda de la luz de sodio emitida por una fuente 
terrestre. Las rayas espectrales del Sol deben estar desplazadas en- 
tonces hacia el rojo, si se com- 
para su espectro con el de una 
fuente terrestre. 

Este corrimiento hacia el rojo 
(muy pequeño) se ha comprobado 
sobre todo en los espectros de las 
estrellas llamadas “enanas blan- 


ONDAS Y CORPÚSCULOS 

451. Cómo nace un fotón. 

Teoría de Bohr. — Hemos visto 
que los átomos están formados por un núcleo central cargado posi- 
tivamente y por cierto número de electrones negativos que rodean 
a aquel núcleo. 

Supongamos que un electrón que se encuentra en A (fig. 892) 
salte a otra posición B. 



* Véase: Cosmografía, Loedel - De Luca, Editorial Estrada. 


566 


E. Loedel 


Esta caída del electrón implica una disminución de la energía 
del átomo. Esa energía se irradia en forma de un fotón. Siendo 
V la diferencia de potencial entre A y B y e la carga eléctrica del 
electrón, la disminución de la energía será eV. La energía del 
electrón irradiado tendrá que tener este valor, y si la frecuencia es 
v deberá ser (426) : 

hv = eV. 

Como la frecuencia v es igual a c/\ siendo c la velocidad de 
la luz y X la longitud de onda se tiene: 

he he 

— = eV ; de donde: X = — . 

A. eV 

Haciendo los cálculos numéricos se encuentran los valores del 
cuadro siguiente: 


Longitud de onda 
en angstrom 

Electrón - voltios 

12 360 

l 

6 000 

2,06 

3 000 

4,12 

1000 

12,36 

1 

12 360 


De acuerdo a este cuadro, la emisión de un fotón de luz ama- 
rilla (unos 6000 angstrom), corresponde a un salto del electrón 
entre dos niveles que difieren en po- 
tencial en unos dos voltios. 

Los fotones de los rayos X se 
generan por caídas del electrón en- 
tre niveles, que difieren en miles de 
voltios. 

La absorción de un fotón por 
un átomo hace que uno de sus elec- 
trones pase de un nivel inferior a 
otro superior (fig. 893). 

Hemos hablado de niveles ató- 
micos de energía. La existencia de 

esos niveles es una consecuencia de la teoría de los cuantos. 



Fie. 893. — Absorción de un fotón 
por un ¿tomo. 


Física Elemental 


567 





Según la teoría de Bohr (1913) de la emisión y absorción de la 

luz, cuyas ideas esen- 
ciales son las que es- 
tamos exponiendo, los 
niveles de . energía en 
que puede encontrarse 
un electrón de determi- 
nado átomo, podrían 
representarse en forma 
parecida a escalones de 
desigual altura de una 
escalera (fig. 895). Los 
saltos del electrón de 

Niela Bohr (nacido en 1885)., Un eSCalÓn a OtrO prO- 

ducen la emisión o la 
absorción de la luz según el sentido en que 
se efectúan dichos saltos. Las líneas espec- 
trales más intensas corresponderían a saltos 
más probables. Si la probabilidad de un salto es grande, el mismo 
se efectúa en muchos átomos en un intervalo de tiempo dado. 

Hemos visto que los electrones se 
agrupan alrededor del núcleo atómico 
en cáscaras, pisos o niveles que se de- 
signan con las letras K; L; M, etc. 
(fig. 896). Los rayos X característicos 
tienen su origen en saltos de un elec- 
trón en las capas más internas del 
átomo. 

La luz visible proviene de saltos 
efectuados por un electrón de la capa 
exterior. 

Este electrón saltarín , responsable 
del espectro del átomo, recibe el nom- 
bre de electrón luminoso. 


Fig. 895. — Niveles de 
energía: emisión y 
absorción de lna. 


Fig. 896. — Por saltos de un elec* 
trón de la9 capas externas del 
¿tomo se origina luz; de las capas 
internas rayos X. 


corpúsculos portadores de 


452. ¿Ondas o corpúsculos? — 
El lector se habrá dicho ya, más de una 
vez: ¿“Pero, en qué quedamos, la luz 
consiste en una onda que se propaga 
en todas direcciones o en fotones o 
cierta energía que siguen determinada 


dirección ”? 



568 


E. LoE’Del 


Los físicos se han desesperado por resolver este dilema. Los fe- 
nómenos de interferencia y difracción prueban en forma concluyente 
que se trata de ondas. En este caso la energía emitida por un átomo 
se propaga según una onda esférica. 

Pero el fenómeno fotoeléctrico y otros muchos fenómenos de los 
cuales aquí no nos ocupamos, prueban también, en forma no menos 
concluyente , que la luz consiste en corpúsculos o fotones , en que la 
energía está concentrada en una pequeñísima región del espacio. 

Para resolver esta situación se han propuesto teorías de lo más 
curiosas y divertidas, algunas de las cuales mencionaremos rápida- 
mente. Se propuso llamar a las ondas , ondas pilotos. Estas ondas 
no serían portadoras de energía, y se limitarían a guiar a los fotones. 
Actuarían sobre éstos como el “ espíritu sobre la materia”. Otros 
físicos creyeron resolver el dilema suponiendo que los fotones eran 
“paquetes de ondas” . Pero se encontró que estos “ paquetes ” no po- 
dían tener consistencia, pues al incidir la luz sobre una lámina de 
vidrio, en parte se refleja y en parte pasa. Los paquetes se dividen, en 
tanto que los fotones se comportan como indivisibles: un número 
de ellos se refleja y el resto atraviesa la 
lámina. 

Se resignaron los físicos a admitir para 
la luz una naturaleza dual : Para explicar 
unos fenómenos se admite que son ondas, 
para explicar otros, que son corpúsculos. 

453. Ondas de de Broglie. — La situación 
precedente en que se encontraba la física teó- 
rica frente al problema de las ondas y los 
corpúsculos no podía ser más desagradable. 

Luis de Broglie en 1924 debe haberse dicho T . J „ 

„ ! . , , , Luü de Broglie (nacido 

para si, lo siguiente: 01 la luz, de cuya natu- en 1892 ). 

raleza ondulatoria no podemos dudar, pues 

medimos la longitud de onda , se comporta como si estuviera formada 
por corpúsculos, a lo mejor un haz de corpúsculos, por ejemplo un 
haz de electrones, se comporta como si estuviera formado por ondas” . 

Si un electrón se mueve con la velocidad v, se supondrá que 
lo acompaña una onda, de longitud de onda A, tal que : 

h 

A = , 

mv 

siendo m la masa del electrón y A la constante de Planck. 



[ 1 ] 



Física Elemental 


569 


Para obtener la relación anterior aplicó de Broglie una nota : 
ble consecuencia de la teoría de la relatividad enunciada por Eins- 
tein en 1905. Según esta teoría la energía y la masa son una misma 
cosa, transformables en principio una en otra. A una masa m corres- 
ponde una energía E dada por la relación: 

E = me 2 

donde c es la velocidad de la luz. Según la teoría de los cuantos 
de luz o fotones, la energía de un fotón es igual a hv siendo v la 
frecuencia. Aplicando la fórmula anterior a los fotones se tiene: 

hv = me 2 . 

Como v (frecuencia) es igual a c/X resulta: 

h 

A = , 

me 

donde rn sería la supuesta masa de un fotón, que se mueve con 
la velocidad c. 

La fórmula [1] de de Broglie es análoga a la precedente. 

Con la incomprensible fórmula [1], logró de Broglie dar una 
explicación de los niveles de energía de los átomos, en particular 
para el hidrógeno que es el átomo más 
sencillo de todos. 

Hemos dicho ya varias veces que el 
átomo de hidrógeno se supone formado 
por un protón y un electrón negativo 
que gira alrededor de aquél. ¿A qué 
distancia podrá encontrarse el electrón 
del protón? De Broglie contesta: El 
electrón puede recorrer aquellas órbi- 
tas circulares en que quepan un número entero de ondas de elec- 
trón (fig. 898). Llamando r al radio de una órbita deberá ser: 

2 tt r = nX. 

Reemplazando aquí el valor de X dado por la [1] resulta: 

h 

mvr = n . 

2 tr 



[ 2 ] 


570 


E. Loedel 


Esta ecuación, consecuencia de la teoría de los cuantos de Planck, 
había sido utilizada por Bohr en 1913, pudiendo explicar con su 
auxilio, la emisión de todas las líneas espectrales del hidrógeno. 

A pesar de este éxito de la suposición de de Broglie la mayoría 
de los físicos no tomaron muy en serio eso de las ondas de materia. 
Deben haberse dicho: Bastante dolor de cabeza nos causa el com- 
portamiento dual de la luz para admitir un 
comportamiento dual de la materia! 

454. La mecánica ondulatoria. — Las 
ideas de de Broglie se abrieron, sin embar- 
go, camino. El físico E. Schroedinger en 1926 
debe haber pensado lo siguiente: 

“En el seno del átomo los electrones 
pueden recorrer solamente determinadas 
órbitas. Si la mecánica clásica de New- 
ton fuera aplicable a esas diminutas par- 
tículas, todas las órbitas serían posibles E . schroedinger (nacido 
y no habría escalones de energía, sino en 1887) - 

una pendiente continua. Es notable que 

de Broglie haya conseguido establecer la fórmula fundamen- 
tal [2] de la teoría de los cuantos, con su audaz hipótesis de 
las ondas de materia. Cuando aparecen ondas, aparecen tam- 
bién números enteros, como en la teoría de los cuantos ”. 

En una cuerda vibrante fija por sus extremos, la longitud de 
onda es tal que la mitad de ella (fig. 900), por un número entero, 

debe ser igual a la longitud de 
la cuerda. 

Se trata entonces de inventar 
una fórmula que sustituya a las 
fórmulas de la mecánica clásica 
y que sea aplicable al dominio 
del átomo. Esta fórmula fué en- 
contrada efectivamente por el fí- 

Fig. 900. — Ondas y números enteros. SÍCO mencionado y COn ella Se 

podía calcular las líneas espec- 
trales de los átomos y muchas otras cosas. En esa fórmula aparecía 
una “letra” 4 f y los grandes sabios se encontraban frente a ella, 
como un alumno del colegio que aprende una fórmula de memoria 
y olvida lo que significan las letras de la misma. Esa “letra” repre- 
sentaba para algunos la densidad eléctrica, asemejándose el elec- 




Física Elemental 


571 


trón a una nube de electricidad de dimensiones mucho más grandes 
que el mismo átomo! Para otros esa letra representaba la probabili- 
dad de que un electrón se encontrara en determinado lugar! 

Basta mencionar lo que precede para que el lector se forme 
una idea del grado de abstracción que ha alcanzado la física de 
nuestros días. 


455. Ondas de materia. — Frente a los éxitos de la mecánica 
ondulatoria de de Broglie y Schroedinger los físicos empezaron a 
considerar más seriamente las supuestas ondas de de Broglie. Se 
encontró entonces que esas supues- 


tas ondas existían realmente, pues 
un haz de electrones, o sea un haz 
de rayos catódicos se difracta en 
forma análoga a como lo hace la 
luz (fig. 901). La longitud de onda 
medida corresponde al valor que 
había supuesto de Broglie. 

456. Ondas de probabilidad. 
— Profundos análisis teóricos han 
probado que no es posible aplicar 
al dominio del átomo los conceptos 
e imágenes que obtenemos de nues- 
tra experiencia diaria por estar en 
contacto sensorial con el mundo de 
dimensiones medias. El mundo de 
lo infinitamente pequeño requiere, 
para su interpretación, nuevos con- 



Fig. 901. — Anillos de difracción obteni- 
dos haciendo pasar un ha 2 de electrones 
a través de una delgada hoja metálica. 


ceptos. A estos conceptos no se les puede acoplar imágenes toma- 
das del mundo de dimensiones medias. Las ondas de agua que vemos 
en la superficie de un lago y la bala que sale del caño de un arma. 


nos dan una imagen de ondas y corpúsculos. Con estas imágenes 
pretendemos interpretar lo que pasa en el dominio del átomo y nos 


encontramos que ondas y corpúsculos aparecen mezclados en forma 


ininteligible. El único lenguaje aplicable al dominio atómico es el 


lenguaje matemático. Los físicos están en posesión de fórmulas, 
desgraciadamente muy complicadas, con las cuales pueden preverse 
ciertos hechos. Esto significa que un físico puede decir: en tal y 
tal circunstancia se observará tal y tal cosa. Por ejemplo: si se 


hace pasar una corriente de electrones por un tubo con helio (tubo 
geissler) se observarán tales y tales líneas con un espectroscopio; 


572 


E. Loedel 


la luz correspondiente a tal longitud de onda arrancará de tal cuerpo 
electrones y los proyectará con tal velocidad y esa misma luz pro- 
ducirá en tales circunstancias franjas de interferencia en tal y tal 
lugar. 

El lector dirá: Para saber dónde se producen las franjas de 
interferencia el físico necesitará de las ondas y para saber cómo 
salta un electrón de un cuerpo herido por la luz, de los corpúsculos. 

Efectivamente es así: Los físicos siguen empleando las ondas 
pero estas ondas son ¡ondas de probabilidad! Si dos ondas de 
probabilidad al superponerse dan origen en un punto a una onda 
de amplitud mayor en ese punto, la probabilidad de que incida allí 
un fotón será mayor y tendremos el punto iluminado. En cambio, 
si dos ondas de probabilidad se anulan, siendo la amplitud resul- 
tante cero, la probabilidad de encontrar un fotón es cero y tendre- 
mos allí obscuridad. Pero las cosas son todavía más complicadas: 
este cálculo con ondas de probabilidad se efectúa en un espacio fic- 
ticio de un número de dimensiones muy grande! No es posible 
llevarlo a cabo en un espacio de tres dimensiones. 

El lector no ha comprendido, con seguridad, gran cosa. No se 
aflija por ello, que los físicos tampoco comprenden esto mucho 
mejor que él. 


CAUSALIDAD E INDETERMINISMO 

457. Principio de Heisenberg. — Entre un alumno A y un 
profesor P se entabla el siguiente diálogo: 

A. — Señor, he leído en un periódico que la física actual es 
indeterminista; que ya no se acepta más el principio de causalidad. 
¿Es ello cierto? 

P. — No, no es cierto. 

A. — Ya me había parecido a mí que no podría ser así. ¡Es tan 
lógico y claro eso de que a iguales causas iguales efectos! De modo 
que el principio de causalidad se considera actualmente válido 
¿ verdad ? 

P. — No, tampoco. 

A. — Ahora sí que entiendo menos que antes. Según esto el 
tal principio no es ni falso ni verdadero. ¿No es así? 

P. — Justamente. El principio de causalidad en el mundo ató- 
mico, en la microfísica, carece de sentido. 

A. — ¿Qué quiere decir que carece de sentido? 



Física Elemental 


573 


P. — Existen proposiciones que son gramaticalmente correctas y 
que no son verdaderas ni falsas. Ejemplos: Napoleón es un número 
primo; el oro es impar; la gravedad es azul. 

A. — Pero el principio de causalidad es algo serio. En cambio. . . 

P. — Sí, los ejemplos precedentes son, si se quiere, groseros; 
pero a veces no es fácil advertir la falta de sentido de una propo- 
sición. Ejemplo: ¿Qué color tienen los cuerpos en la oscuridad? 

A. — Comprendo en este caso que se trata de un pseudo - proble- 
ma, pues carecería de sentido que alguien sostuviera que en la obs- 
curidad son rojos o azules ya que para verificar ello experimental- 
mente habría que iluminarlos. 

P. — Perfectamente. Una proposición que se refiera al mundo 
físico y que sea, en principio, incontrolable experimentalmente, 
carece de sentido. 

A. — Pero el principio de causalidad no está en ese caso; me 
parece que la experiencia lo confirma a cada instante. Ni siquiera 
concibo la existencia de la ciencia si no se admite la validez del 
principio de causalidad. 

P. — Vayamos más despacio. Imaginemos que queremos verifi- 
car experimentalmente el tal principio en el campo de la macro- 
física. En particular, todavía, en el campo de la mecánica. 

Si arrojamos un proyectil y medimos su posición y velocidad 
en un instante dado, estamos en condiciones de prever, utilizando 
las ecuaciones de la mecánica, la posición del proyectil en un ins- 
tante posterior cualquiera. Si sacamos una película de la trayectoria 
se encuentra efectivamente que el recorrido real coincide con el 
calculado, dentro de ciertos limites. En astronomía se verifica esto 
en forma maravillosa. 

A. — Entonces tiene pleno sentido hablar del principio de cau- 
salidad, ya que la experiencia puede decidir si es él verdadero o 
falso. Si fuera falso, o si hubiera indeterminación en la física, a 
la misma posición y velocidad inicial corresponderían, en experi- 
mentos sucesivos, distintas trayectorias. Nadie en el mundo podrá 
convencerme de que el principio es falso y mucho menos de que 
no tiene sentido. 

P. — No hay que apurarse. Sea ahora nuestro proyectil un elec- 
trón. Tratemos de imaginar que deseamos medir la posición y la 
velocidad del electrón en un instante dado. Disponemos para ello 
de aparatos perfectos: microscopios ideales con placas fotográficas 
que registran el paso del electrón por determinada región. Incluso 
podemos suponer que las observaciones son llevadas a cabo por un 

« 



574 


E. Loedel 


superfisico S, tan amable, que nos comunica el resultado de sus 
medidas. 

Le preguntamos a S: ¿Quisiera decirnos, señor S, con toda exac- 
titud la posición y la velocidad que tenía el electrón en tal momento? 

S contestaría: Lo que ustedes pretenden es imposible. Si se 
mide con mucha exactitud la posición del electrón, el error que 
inevitablemente se comete en la determinación de la velocidad es 
muy grande; e inversamente, si mido la velocidad con creciente 
exactitud, la incerteza con respecto a la posición aumenta. 

A. — Señor profesor, no entiendo absolutamente nada. 

P. — Para observar a un electrón, aunque se trate de un super- 
físico, debe iluminársele, o hacer que choquen contra él otros 
electrones u otras partículas que llegarán después del choque hasta 
el aparato de observación. El choque de los fotones o de otros elec- 
trones contra el electrón que se desea observar, modifica en forma 
imprevisible su posición y su velocidad. El poder separador de un 
microscopio es tanto mayor cuanto menor es la longitud de onda 
de la luz empleada. Si le pedimos a S mucha exactitud en la deter- 
minación de la posición, utilizará luz de longitud de onda muy corta, 
pues la incerteza es en este caso del orden de la longitud de onda. 
Si opera con luz ultravioleta nos podrá decir la posición que ocu- 
paba el electrón más exactamente que utilizando luz visible; con 
rayos X la exactitud en la determinación de la posición será aún 
mayor, y mayor todavía si utiliza rayos gamma. 

A. — Tratándose de un superfisico dispondrá de un buen mi- 
croscopio de rayos gamma y nos podrá decir con la exactitud que 
queramos la posición y la velocidad «que tenía el electrón. 

P. — De ningún modo ambas magnitudes. Al disminuir la lon- 
gitud de onda aumenta la frecuencia v de la luz empleada. Los 
fotones son portadores de una energía igual a hv y de un impulso 
mecánico igual a hv/c, siendo h la constante de Planck y c la 
velocidad de la luz. Al chocar contra el electrón modifican su velo- 
cidad, tanto más, cuanto mayor sea el impulso de los fotones. Le 
ocurre al físico con los electrones algo análogo a lo que sucede 
cuando un ciego quiere palpar la frágil forma de un castillo de 
naipes. 

A. — Le confieso que no he entendido mucho, pero me parece 
que el hecho de que no se pueda determinar en forma absolutamente 
precisa, simultáneamente, la posición y la velocidad de un electrón, 
no afecta mayormente al principio de causalidad. Podemos, y me 
parece que hasta debemos pensar, que en determinado momento el 
electrón tendrá una posición y una velocidad bien determinada. 



Física Elemental 


575 


P. — ¿No habíamos quedado en que el sentido de una proposi- 
ción radica en que ella sea controlable, por lo menos en principio, 
experimentalmente ? 

A. — Entonces no tiene sentido tampoco decir que los electrones 
recorren órbitas circulares alrededor del núcleo, pues si se quisiera 
comprobar si esas órbitas son circulares o no, habría que iluminar 
al átomo y los electrones saltarían fuera por el efecto fotoeléctrico. 

P. — ¡ Muy, pero muy bien ! Las órbitas de la teoría de Bohr 
pertenecen ya al dominio de la historia. 

A. — ¿De modo que la teoría de Bohr es falsa? 

P. — No, lo esencial de la teoría de Bohr subsiste: la energía 
de un átomo varía en forma discreta , discontinua ; existen en él 
niveles de energía. Esta variación de energía puede medirse en for- 
ma directa. De la parte imaginativa de la teoría de Bohr, de las 

órbitas de los electrones es de lo que no debe 

hablarse. 

A. — Entonces tampoco podrá hablarse de 
la rotación de los electrones sobre sí mismos, 
y yo he leído en un libro moderno algo de 
esa rotación, que creo se designa con el nom- 
bre de “spin”. ¡Es tan lindo imaginar que el 
electrón rota sobre un eje y se traslada alre- 
dedor del núcleo como la Tierra alrededor 
del Sol! 

P. — Es que los físicos son incorregibles: 
lo del “spin” es un momento magnético, un 
número cuántico con el cual se explica, entre 
otras cosas, el desdoblamiento de las líneas 
espectrales emitidas por los átomos cuando éstos se colocan en un 
campo magnético. Lo de la rotación es un adorno. 

A. — ¿Qué principio sustituye al de causalidad en el dominio 
del átomo? 

P. — Es el principio de indeterminación de Heisenberg que 
puede enunciarse así: 

Si en la determinación de la velocidad v de una partícula de 
masa m, según la dirección del eje de coordenadas x, se comete un 
error menor que Av, la posición de la partícula según el eje x. 
podrá determinarse, a lo más, con un error Ax tal que: 

h 

Ax X Av = — . 

m 



Werner Heisenberg (nacido 
en 1901). 


576 


E. Loedel 


Ejemplo numérico: Si la partícula es un electrón, su masa es: 
m — 9 X 10 -28 [gramos], 

y como la constante h de Planck en el. sistema C. G. S. vale: 
h = 6,5 X 10 -27 [ergio X segundo] 
resulta aproximadamente : 

h cm 

— = 7 cm X 

m seg 

Luego, si se determina la posición con una aproximación de 1 
cm, la aproximación que se podrá lograr en la medida de la velo- 
cidad será, a lo más, de 7 cm/seg. Si Ax = 0,1 cm resulta para 
el margen de incerteza en la velocidad: Av = 70 cm/seg, etc. 

A. — Pero en todas las medidas se cometen siempre errores; si 
se dispara con un fusil sobre un blanco, por más precauciones que 
se tengan, no se podrá lograr que todos los proyectiles hagan im- 
pacto siempre en el mismo punto. Pero en lugar de pensar que ello 
se debe a que el principio de causalidad no vale, se admite que las 
condiciones iniciales son algo diferentes: las balas no serán todas 
exactamente iguales, la cantidad de pólvora tampoco, etc. 

P. — Hasta ahora se había admitido que esos errores podían 
reducirse en principio cuanto se quisiera. Se admitía que el límite 
hacia el cual podrían hacerse tender a los mismos era cero. Hoy 
en cambio se sabe que ese límite está dado por la constante de 
Planck. Si se disparara con un fusil de electrones, al ir reduciendo 
el diámetro de la boca del caño, vamos precisando más y más la 
posición de los proyectiles, por lo cual quedará más y más indeter- 
minada la componente de la velocidad de los mismos perpendicu- 
lar al caño del arma: los electrones se difractan en la boca del caño. 

A. — ¿De modo que esto tiene algo que ver con las ondas de 
materia? 

P. — Naturalmente. La indeterminación surge del comporta- 
miento dual, corpuscular y ondulatorio, de luz y materia. Del elec- 
trón que sale de la boca del supuesto fusil, no se puede decir dónde 
hará impacto; sólo se puede calcular la probabilidad que tiene de 
incidir en determinado punto. La onda que acompaña al electrón es 
una onda de probabilidad cuya longitud está dada justamente 
por h/mv. 



fisiCA Elemental 


577 


A. — Y si la constante de Planck tuviera un valor mucho más 
grande del que realmente tiene ¿qué pasaría? 

P. — Una de las consecuencias inmediatas sería que no se podría 
jugar al billar. La longitud de la onda de materia que acompañaría 
a cada bola sería grande, los efectos de difracción enormes y al 
iluminar la sala donde está el billar, para observar las trayectorias 
de las bolas, éstas saltarían, pues los fotones tendrían una energía 
y un impulso muy grande. Si la constante de Planck tuviera un 
valor mucho mayor del que realmente tiene, creo que no se hubiera 
hablado jamás de determinismo. 

A. — Todo esto me resulta sumamente confuso. 

P. — Lo suponía: 

“En el principio era todo tinieblas”. 



INDICE 


Tim. 


Prólogo IX 

Cuadro histórico XIV 

CAPITULO I 

INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA FÍSICA 

1. Materia 1 

2. Dilatación 1 

3. Cambios de estado 2 

4. Termómetro 3 

5. Escala termométrica 3 

6. Fenómeno. Observación y experimentación 3 

7. Leyes 4 

8. Principios 4 

9. Inducción y deducción 4 

10. Hipótesis y teorías 5 

CONSTITUCIÓN DE LA MATERIA 

11. Moléculas & 

12. Átomos y moléculas 5 

13. Número, tamaño y peso de los átomos 6 

14. Constitución de los átomos 7 

15. Los núcleos atómicos 7 

CAPÍTULO II 

MAGNITUDES Y MEDIDAS ^ 

16. Magnitudes escalares y vectoriales 9* 

17. El metro 9 

18. Unidades derivadas de superficie y volumen 10 

19. Medida de ángulos en radianes 10 

20. Vernier 11 

21. Tornillo micrométrico. Palmer 13 

FUERZAS. GRAVEDAD. PESO 

22. Fuerza 13 

Peso. Su medida 13 

23. Peso específico 14 



580 


Indice 


Pág. 

24. Densidad relativa al agua 15 

25. Todos los cuerpos son pesados 15 

26. Medidas de las fuerzas por los pesos 16 

27. Dinamómetros 16 

EXACTITUD Y ERROR 

Problemas 17 

CAPITULO III 

ESTÁTICA 

28. Fuerzas concurrentes 22 

29. Polígono de las fuerzas 23 

30. Descomposición de una fuerza 24 

31. Cuerpo rígido. Traslación del punto de aplicación 24 

32. Resultante de fuerzas coplanares y concurrentes 25 

33. Fuerzas paralelas 25 

34. Fuerzas paralelas de sentido opuesto 28 

35. Determinación gráfica del punto de aplicación 29 

36. Fuerzas aplicadas en diferentes puntos de un cuerpo rígido .... 29 

37. Centro de gravedad 30 

Problemas 30 

V 

CAPÍTULO IV 

CONDICIONES DE EQUILIBRIO 

38. Palanca. Momento de una fuerza 32 

39. Teorema de los momentos de Varignon 34 

40. Demostración de la ley de la palanca 36 

41. Palanca en la que actúan varias fuerzas 36 

42. Polea fija 37 

Polea móvil 1 37 

43. Asociación de poleas 38 

44. Torno 38 

45. Plano inclinado 39 

46. Equilibrio de cuerpos suspendidos 41 

47. Determinación del centro de gravedad 41 

48. Equilibrio de cuerpos apoyados 42 

49. Balanza 43 

50. Cupla o par de fuerzas 47 

51. Composición de fuerzas no coplanares 48 

Reducción de un sistema de fuerzas 48 

52. Principio de acción y reacción 48 

53. Viga apoyada. Condiciones generales de equilibrio de un sistema 

de fuerzas 49 

Problemas 49 



ÍNDICE 


581 


Pág- 

CAPÍTULO y 

MOVIMIENTO 

54. Traslación y rotación 51 

55. Medida 1 del tiempo 51 

56. Movimiento uniforme 52 

Velocidad 52 

57. Leyes del movimiento uniforme 54 

58. Representación gráfica 54 

59. Sucesión de varios movimientos uniformes 55 

60. Movimiento variado 55 

61. Velocidad media 56 

62. Velocidad instantánea 56 

63. Espacio recorrido en un movimiento variado 57^ 

64. Aceleración 57 

65 . Aceleración instantánea 57 

66. Movimiento uniformemente variado 57 

67. Movimiento uniformemente acelerado y uniformemente retardado. 58 

68. Representación gráfica 58 

69. Cálculo del espacio 58 

70. Caso de velocidad inicial nula 59 

71 . Leyes del movimiento uniformemente acelerado 59 

Problemas 59 

CAÍDA DE LOS CUERPOS 

72. Experimentos de Calileo. Su significado 61 

73. Leyes de la caída 63 

74. Aceleración de la gravedad 64 

75. Fórmulas de la caída en el vacío 65 

Problemas 65 

76. Otros modos de comprobar las leyes de la caída 67 

FUERZAS RESISTENTES 

77. Rozamiento 68 

78. Resistencia del aire 70* 


CAPITULO VI 

DINÁMICA 

79. Principio de inercia 72 

80. Composición de movimientos 73 

81. Principio de superposición 75 

82. Trayectoria de un proyectil en el vacío 76 

Problemas 76 

83. Composición de aceleraciones 78 



582 


Indi ce 


Fág. 

PRINCIPIO DE MASA ~~~ 

84. Fuerza y aceleración 78 

85. Principio de masa 80 

86. Comparación de masas 80 

87. Medida y dimensiones de la masa 81 

88. Peso y latitud 81 

Problemas 82 

IMPULSO 

89. Impulso y cantidad de movimiento 84 

90. Principio de acción y reacción 85 

91. Los principios de la dinámica 87 

UNIDADES 

r 

92. Sistema C G. S. y técnico 87 

93. La dina 88 

94. Densidad 88 

Problemas y aplicaciones 89 

* PRINCIPIO DE D’ALEMBERT 

*95. Principio de D’Alembert 91 

Problemas (cont.) 93 

* Advertencia sobre algunas definiciones 94 

CAPÍTULO VII 

TRABAJO Y ENERGÍA 

96. Noción de trabajo mecánico 95 

Unidades de trabajo 95 

97. Aplicación a las máquinas simples % 

98. Principio de los trabajos virtuales 98 

ENERGÍA 

99. Concepto de energía 98 

100. Energía potencial 99 

101. Energía cinética 99 

102. Transformación de energía potencial en cinética y viceversa 100 

103. Teorema de las fuerzas vivas 101 

104. Potencia 101 

Medida de la potencia. Freno de Prony 102 

Problemas 103 



ÍNDICE 


583 


Pi*. 

CAPÍTULO vm 

PÉNDULO. MOVIMIENTO CIRCULAR. 
MOVIMIENTO OSCILATORIO 

105. Péndulo; definiciones 106 

106. Péndulo simple 106 

107. Juego de la energía 107 

108. Leyes del péndulo 108 

109. Fórmula del péndulo 109 

110. Determinación de g con el péndulo 109 

111. Aplicaciones. Aplicación a los relojes 110 

Comprobación de la rotación terrestre 110 

Problemas 111 

MOVIMIENTO CIRCULAR 

112. Velocidad angular y tangencial 112 

113. Aceleración centrípeta 113 

114. Fuerza centrípeta 114 

115. Fuerza centrífuga 114 

116. Ejemplos y experimentos 115 

*117. Cálculo de la aceleración centrípeta 116 

Problemas 117 

* ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO 

*118. Aceleración tangencial y aceleración angular 119 

*119. Momento de inercia y aceleración angular 119 

* 120. Energía cinética de rotación. Volantes 121 

*121. Impulso rotatorio 122 

*122. Giróscopo 123 

*123. Traslaciones y rotaciones 124 

*124. Momento de inercia de algunos cuerpos regulares 125 

* Regla de Steiner 125 

MOVIMIENTO OSCILATORIO 

125. Movimiento oscilatorio 125 

126. Movimiento vibratorio armónico 126 

* 127. Condición para que se efectúe un movimiento vibratorio armónico 127 

* 128. Fórmula del péndulo simple 128 

* 129. Fórmula del péndulo compuesto 128 

Problemas 129 

CAPÍTULO IX 

GRAVITACIÓN UNIVERSAL 

130. Leyes de Kepler 132 

131. Ley de Newton 133 



584 


* Índice 


Pá*. 

132. Leyes de Kepler y ley de Newton 133 

133. Peso de los cuerpos 134 

134. Determinación de g por el movimiento de la Luna 135 

135. Determinación de la constante de gravitación 136 

136. Masa y densidad de la Tierra 137 

137. Masa del Sol y demás planetas 137 

138. Descubrimientos de Neptuno y Plutón 137 

* 139. Variación de g con la latitud 137 

Problemas 139 

CAPÍTULO X 

HIDROSTÁTICA 

140. Hidrostática. Noción de fluido *40 

141. Fuerza y presión 140 

142. Presión en el seno de un líquido 141 

143. Teorema general de la hidrostática 141 

144. Presión sobre las paredes y sobre el fondo 143 

145. Paradoja hidrostática 143 

146. Vasos comunicantes 144 

TRANSMISIÓN DE PRESIONES 

147. Principio de Pascal 145 

148. Prensa hidráulica 146 

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES. APLICACIONES 

149. Principio de Arquímedes 147 

150. Determinación del peso específico 148 

151. Flotación 149 

152. Equilibrio de lo° cuerpos flotantes 150 

153. Densímetros 150 

Problemas 150 

CAPÍTULO XI 

PRESIÓN ATMOSFÉRICA 

154. Peso de los gases. Principios de Pascal y Arquímedes 153 

155. Peso específico del aire 154 

156. t Presión atmosférica. Experimento' de Torricelli 154 

: Valor de la presión atmosférica 155 

157. Barómetros 155 

158. Masa total del aire atmosférico .' 157 

159. Efectos de la presión atmosférica 157 * 

160. Variación de la presión atmosférica con la altura 158 

COMPRESIBILIDAD DE LOS CASES 

161. Expansibilidad 158 

162. Ley de Boyle y Mariotte 158 



ÍNDICE 


585 


Pág. 

163. Representación gráfica 160 

164. Manómetros 160 

APLICACIONES 

165. Bombas hidráulicas 161 

166. Sifón 16$ 

BOMBAS NEUMÁTICAS 

167. Bomba de Otto de Guericke 165 

Otros tipos de bombas 166 

Problemas 166 

HIDRODINÁMICA 

168. Teorema de Torricelli 16B 

Problemas 169 

CAPÍTULO XII 

FUERZAS MOLECULARES 

169. Elasticidad 171 

Ley de Hooke 172 

Torsión 172 

Flexión 173 

170. Choque 173 

CAPILARIDAD Y TENSIÓN SUPERFICIAL 

171. Capilaridad 174 

Tensión superficial . 175 

Medida de la tensión superficial 175 

Explicación de la capilaridad 176 

172. Acciones moleculares. Adherencia. Viscosidad 177 

Problemas 177 

CAPITULO XIII 

ACÚSTICA 

173. Movimiento oscilatorio y naturaleza del sonido 178 

174. Caracteres del sonido 179 

175. Límite de los sonidos perceptibles 180 

PROPAGACIÓN DE ONDAS 

176. Ondas en el agua 180 

177. Longitud de onda 181 

178. Ondas transversales y longitudinales 182 



586 


ÍNDICE 


Pág. 

179. Propagación del sonido 183 

Velocidad de propagación 183 

REFLEXIÓN DEL SONIDO 

180. Reflexión y eco * 184 

DIAPASÓN, TUBOS Y CUERDAS 

181. Diapasón. Medida de la frecuencia 185 

182. Ondas estacionarias 186 

183. Ondas estacionarias en una barra y en el aire. Tubo de Kundt . . 186 

184. Tubos sonoros 187 

185. Cuerdas 188 

RESONANCIA 

186. Resonancia mecánica 189 

187. Resonancia acústica 189 

188. Escala musical 190 

189. Superposición de ondas. Fonógrafo 190 

190. Efecto Doppler 191 

191. Figuras de Lissajous 193 

Problemas 194 

CAPÍTULO XIV 

TERMOMETRÍA. DILATACIÓN 

192. Noción de temperatura 196 

193. Otras escalas termométricas 196 

194. Relación entre dos temperaturas 197 

195. Otras substancias termométricas 198 

196. Termómetros de máxima y mínima 199 

DILATACIÓN DE SÓLIDOS 

197. Coeficiente de dilatación 199 

198. Fórmula de la dilatación lineal 201 

199. Dilatación cúbica 202 

DILATACIÓN DE LÍQUIDOS 

200. Dilatación aparente y real 203 

Determinación del coeficiente absoluto de dilatación 203 

201. Dilatación del agua 204 

DILATACIÓN DE GASES 

202. Leyes de Gay-Lussac 205 

203. Fórmulas de la dilatación de los gases 208 



ÍNDICE 587 

Pág. 

204 . Fórmula general de los gases 208 

205. Termómetro a gas . 208 

206. Gas perfecto. Temperatura absoluta 209 

* 207. Ecuación general de estado de los gases 210 

SOLUCIONES Y GASES 

208. Presión osmótica 211 

* Ley de van’t Hoff 212 

* Soluciones electrolíticas 213 

Problemas 213 

CAPITULO XV 

CALORIMETRIA 

209. Cantidad de calor y temperatura ; 216 

210. Capacidad calorífica y calor específico 216 

211. Precauciones en las medidas 219 

212. Fórmulas 219 

213. Calor específico de líquidos 220 

214. Variación del calor específico con la temperatura 220 

215. Calor específico de gases 221 

CALOR Y TRABAJO 

216. Equivalente mecánico del calor 222 

217. Experimento de Joule 223 

* 218. Método de Roberto Mayer 224 

219. Noticia histórica 225 

220. ¿Qué es el calor? 226 

221 . Principio de conservación de la energía 226 

PROPAGACIÓN DEL CALOR 

222. Conducción 227 

223. Convección 228 

224. Radiación 229 

Problemas 229 

CAPITULO XVI 

CAMBIOS DE ESTADO 

225. Fusión y solidificación 232 

226. Calor de fusión 234 

VAPORIZACIÓN 

227. Evaporación y ebullición 234 

228. Tensión de vapor. Vapores saturados 235 



588 


Indice 


Pag- 

229. Vapores no saturados 236 

230. Ebullición 236 

231. Destilación. Principio de la pared fría 238 

232. Calor de vaporización 238 

HIGROMETRÍA 

233. Estado higrométrico 239 

234. Higrómetro de Daniell 240 

235. Volatilización 241 

Problemas 241 

% 

CAPÍTULO XVII 

VAPORES Y GASES 

236. Temperatura crítica 243 

237. Experimentos de Andrews. Isotermas del C0 2 . .. . 244 

238. Gases reales y gases ideales 246 

Efecto Thomson - Joule 246 

239. Liquefacción de gases. Nieve carbónica 247 

Experimentos con aire líquido 248 

MAQUINAS TÉRMICAS 

240. Máquina a vapor 248 

241. Motores a explosión 253 

CAPÍTULO XVIII 

EL MOVIMIENTO CONTINUO 

242. Movimiento continuo de primera especie 254 

Máquinas basadas en el principio de Arquímedes 253 

Máquina basada en la capilaridad 256 

Máquina basada en la variación de g con la latitud 256 

Demostraciones negativas 257 

243. Fuerzas conservativas 259 

244. Idea general de potencial 261 

245. Superficies de nivel en la Tierra 262 

246. Principio de conservación de la energía 263 

MOVIMIENTO CONTINÚO DE SEGUNDA ESPECIE 

247. Definición 263 

248. Principio de Carnot - Clausius o segundo principio de la termo- 

dinámica 264 

249. Consecuencias 264 

250. Método termodinámico 265 

251. Rendimiento máximo de una máquina térmica 266 

252. Temperatura termodinámica 267 

253. La entropía 267 

254. Reversibilidad 269 

Problemas 270 



ÍNDICE 


589 


Pá*. 

CAPÍTULO XIX 

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 

'TEORÍA CINÉTICA MOLECULAR 

255. El cálculo de probabilidades 273 

256. ¿Cara o ceca? 273 

257. Otros ejemplos. Frecuencia 276 

258. Esperanza matemática 278 

259. Estadística 278 

Un juego para determinar ^ 280 

TEORÍA CINÉTICA MOLECULAR 

260. Teoría cinética de los gases 282 

Distribución de velocidades 283 

El movimiento browniano 284 

¿Cómo se cuentan las moléculas? 285 

Oscilaciones moleculares en los sólidos 286 

261. La ruleta y el movimiento continuo 286 

El “Demonio” de Maxwell. Macro y microfísicos 288 

Problemas 290 

CAPÍTULO XX 

ÓPTICA. REFLEXIÓN DE LA LUZ 

262. Propagación rectilínea de la luz 293 

Sombra 293 

263. Velocidad de propagación 294 

Método de Galileo 294 

Método de Roemer 295 

Método de Fizeau 296 

FOTOMETRÍA 

264. Intensidad luminosa 298 

Unidades de intensidad 298 

265. Iluminación en función de la distancia 298 

Dependencia del ángulo 299 

266. Fotómetros ‘ 300 

Unidades de iluminación 301 

REFLEXIÓN DE LA LUZ 

267. Leyes de la reflexión 302 

268. Difusión de la luz 302 

269. Espejos planos 303 

Campo de un espejo 304 

Espejos en ángulo 304 

Espejos paralelos 305 



590 


Indice 


Pá*. 

ESPEJOS ESFÉRICOS 

270. Espejos cóncavos 305 

271. Formación de imágenes 307 

* Demostración de la fórmula 309 

Espejos esféricos convexos 310 

272. Imagen de un objeto infinitamente lejano 310 

Problemas 311 

CAPÍTULO XXI 

REFRACCIÓN DE LA LUZ 

273. Leyes de la refracción 313 

274. Velocidad de la luz e índice de refracción 315 

índice de refracción absoluto 316 

Principio de Fermat 317 

275. Reflexión total .* 318 

276. Espejismo 320 

277. Lámina de caras paralelas 320 

PRISMA 

278. Refracción en el prisma 321 

279. Prisma de ángulo refringente pequeño 323 

280. Desviación mínima 324 

281. índice de refracción, color y longitud de onda 325 

Problemas 326 

CAPÍTULO XXII 

LENTES. INSTRUMENTOS DE ÓPTICA. 
DISPERSIÓN DE LA LUZ 

282. Definiciones 328 

283. Marcha de los rayos en el interior de una lente 331 

284. Formación de imágenes 331 

285. Fórmula de los focos conjugados 332 

* 286. Demostración 333 

287. Convergencia. Lentes adosadas 334 

Defectos de las lentes 336 

* 288. Lentes gruesas 336 

EL OJO Y LOS INSTRUMENTOS ÓPTICOS 

289. El ojo desde el punto de vista óptico y la cámara fotográfica ... 338 

Ojo miope e hipermétrope 339 

Astigmatismo 339 



ÍNDICE 


591 ' 


Pág. 

Presbicia 341 

Daltonismo 341 

290. Poder separador del ojo 341 

Percepción del relieve 343 

291. Lupa o lente de aumento 343 

* Cálculo del aumento 343 

292. Microscopio 345 

Poder separador de un microscopio 345 

Objetivos de inmersión 345 

293. Anteojo astronómico 346 

294. Anteojo terrestre 347 

295. Máquina fotográfica 348 

Linterna de proyección. Cinematografía 348 

DISPERSIÓN DE LA LUZ 

296. Naturaleza de la luz blanca 349 

Colores complementarios 350 

Colores de los cuerpos 351 

"297. Espectros de emisión 351 

Espectros de bandas 353 

298. Espectros de absorción 353 

Espectro solar 354 

299. Extensión del espectro. Lentes acromáticas 355 

300. Radiaciones infrarrojas y ultravioletas 356 

Espectros de redes 357 

Problemas 357 

CAPÍTULO XXIII 

NATURALEZA DE LA LUZ 

301. ¿Qué es la luz? 359 

Principio de Huygens í . . . 359 

Explicación de la refracción 360 

302. Interferencia 361 

Explicación de los fenómenos de interferencia 363 

303. Difracción 364 

304. Redes de difracción. Medida de la longitud de onda 366 

POLARIZACIÓN DE LA LUZ 

305. Luz polarizada rectilíneamente 368 

306. Doble refracción 369 

307. Prisma de Nicol 370 

* 308. Explicación de la doble refracción 371 

309. Polarización por reflexión 372 

* 310. Ley de Malus 3722 

311. Rotación del plano de polarización. Sacarimetría 373 



592 


ÍNDICE 


CAPITULO XXIV 

MAGNETISMO 

312. Imanes naturales y artificiales 

Acción entre los polos 

Magnetismo inducido 

Imán cortado 

Imanes moleculares 

Imantación por frotamiento. Armaduras 

313. Ley de Coulomb 

Masa magnética 

314. Campo magnético 

MAGNETISMO TERRESTRE 

315. Campo magnético terrestre 

Declinación e inclinación magnética 

Componente horizontal 

316. Determinación de H y del momento magnético de un imán 

COMPORTAMIENTO DE LAS SUBSTANCIAS 
EN UN CAMPO MAGNÉTICO 

317. Cuerpos ferromagnéticos 

318. Cuerpos paramagnéticos y diamagnéticos 

319. Influencia de la temperatura 

Problemas 


375 

376 
376 

376 

377 

377 

378 

379 
37'. 


385 

387 

387 

388 


CAPÍTULO XXV 

ELECTROESTÁTICA 


320. Electrización por frotamiento . . 390 

Atracción y repulsión 390 

321. Las dos electricidades 390 

322. Electroscopio 3* 

323. Máquina electroestática de frotamiento 3’ 

324. Influencia eléctrica 39. 

325. Distribución de la electricidad en la superficie de los conductores 394 

326. Densidad eléctrica 395 

327. Acción de las puntas. Pararrayos 395 

328. Relación entre la carga inductora y la inducida 396 

Caja de Faraday 398 

MAQUINAS ELÉCTRICAS DE INFLUENCIA 

329. Electróforo de Volta 398 

330. Máquina de Wimshurst 399 




1 Hidrógeno 

2 Helio 

3 Litio 

4 berilio 

5 ¿oro 

( Carbono 

7 Nitrógeno 

8 Oxígeno 

9 Flúor 

10 Neón 

11 Sodio 

12 Magnesio 

13 Aluminio 

14 Silicio 

15 Fósforo 

16 Azufre 

17 Cloro 

18 Argo 

19 Potasio 

20 Calcio 
£1 Escandio 

22 Titanio 

23 Vanadio 

24 Cromo 

25 Manganeso 

26 Hierro 

27 Cobalto 

28 Níquel 

29 Cobre 
3CLZtnc 
31 Galio 


H 

1,008 

He 

4,00 

Li 

6,94 

Be 

9,02 

B 

10.82 

C 

12,00 

N 

14,008 

0 

16,000 

F 

19,00 

Ne 

20,2 

Na 

23,00 

Mg 

24,32 

Al 

26,97 

Si 

28,06 

P 

31,04 

s 

32,07 

C1 

35,46 

Ar 

39,94 

X 

39,10 

Ca 

40,07 

Se 

45,10 

Ti 

47,90 

V 

51,0 

Cr 

52,01 

Mn 

54,93 

Fe 

55,84 

Co 

58,97 

Ni 

58,68 

Cu 

63,57 

Zn 

65,38 

Ca 

69,72 


32 Germanio Ge 72,60 

33 Arsénico As 74.96 

34 Selenio Se 79,2 

35 Bromo Br 79,92 

36 Criptón Kr 82,9 

37 Rubidio Rb 85,5 

38 Estroncio Sr 87,6 ’ 

39 Itrio Y 88,9 

40 Circonio Zr 91,3 

41 Niobio Nb 93,5 

42 Molibdeno Mo 96,0 

43 Masurio Ma . — 

44 Rutenio Ru 101,7 

45 Rodio Rh 102,9 

46 Paladio Pd 106,7 

47 Plata Ag 107,88 

48 Cadmio Cd 112,4 

49 Indio In 114,8 

5(1 Estaño Sn 118,7 

51 Antimonio Sb 121,8 

52 Telurio Te 127,5 

53 Yodo I 126,92 

54 Xenón Xe 130,2 

55 Cesio Cs 132,8 

56 Bario Ba 137,4 

57 Lantanio La 138,9 

58 Cerio Ce 140,2 

59 Praseodimio Pr 140,9 

60 Neodimio Nd 144,3 

61 Ilinio II . — 

62 Samario Sm 150,4 

63 Europio Eu 152,0 


64 Gadolinio 

Gci 

157,3 

65 Terbio 

Tb 

159,2 

66 Disprosio 

Dv 

162,5 

67 Holmio 

Ho 

163,5 

68 Erbio 

Er 

167,7 

69 Tulio 

Tu 

169,4 

70 Iterbio 

Yb 

173,5 

71 Casiopeo 

Cp 

175,0 

72 Hafnio 

Hf 

178,6 

73 Tantalio 

Ta 

181,5 

74 Volframio 

W 

184,0 

75 Renio 

-Re 

189 

76 Osmio 

Os 

190,9 

77 Iridio 

Ir 

193,1 

7ÍJ Platino 

Pt 

195,2 

79 Oro 

Au 

197,2 

80 Mercurio 

Hg 

200,6 

81 Talio 

TI 

204,4 

82 Plomo 

Pb 

207,2 

83 Bismuto 

Bi 

209,0 

84 Polonio 

Po 

210 

85 Alabamio 

Ab 

— 

86 Emanación 

Em 222 

87 Virginio 

Vi 

— 

88 Radio 

Ra 

226,0 

89 Actinio 

Ac 

230 

90 Torio 

Th 

232,1 

91 Protactinio 

Pa 

234 

92 Uranio 

U 

233,2 


El elemento 86 se llama tam- 
bién Radón (Rn). 


CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DE LOS ELEMENTOS 

i 

ps m —M Ba 


íÚMERO DE ORDEN, NOMBRE, SIMBOLO Y I’ESO ATÓMICO